Содержание к диссертации
Введение
1. Общие принципы расчета надежности и эффективности функционально-сложных систем 13
1.1. Описание процесса функционирования и классификация систем, определение показателей их надежности 13
1.1.1. Система и элемент 13
1.1.2. Эволюция состояний системы 14
1.1.3. Системы длительного и мгновенного действия... 15
1.1.4. Системы непрерывного и дискретного действия.. 17
1.1.5. Описание процесса функционирования и надежности систем мгновенного действия 17
1.1.6. Описание процесса функционирования и надежности систем длительного действия 20
1.2. Использование арифметического (линейного) представ
ления функции эффективности.^ 21
1.2.1. Теорема существования и единственности 21
1.2.2. Вычисление моментов и оценка вероятности сохранения заданного уровня эффективности 23
1.2.3. Получение арифметического представления 26
1.3. Использование модифицированного арифметического
представления функции эффективности 28
1.4. Сведение систем длительного действия к системам
кратковременного действия 30
1.4.1. Системы непрерывного действия 30
1.4.2. Системы дискретного действия 35
Выводы 38
2. Декомпозиция систем 40
2.1. Постановка задачи 40
2.2. Использование числовых значений показателей надежности подсистем 42
2.3. Использование функциональных зависимостей надежности подсистем от надежности элементов 47
2.4. Декомпозиция обобщенных последовательных и параллельных систем 51
Выводы 59
3. Анализ некоторых классов систем 60
3.1. Системы длительного действия, невосстанавливаемые в рабочем режиме 60
3.1.1. Общая формула 60
3.1.2. Невосстанавливаемые в режиме ожидания элементы 63
3.1.3. Восстанавливаемые в режиме ожидания элементы 63
3.1.4. Частные случаи и примеры расчета 65
3.2. Мультимодальные системы 68
3.3. Системы с групповыми отказами элементов 74
Выводы 79
4. Системы с иерархической ветвящейся структурой 80
4.1. Общие положения 80
4.2. Использование арифметического представления 83
4.3. Системы с зависимыми исполнительными элементами 86
4.4. Двухсторонние оценки по двум моментам числа нормально функционирующих исполнительных элементов 90
Выводы 93
Приложение к главе 4 95
5. Системы с сетевой структурой 99
5.1. Постановка задачи и определение показателей надежности 99
5.1.1. Общие положения 99
5.1.2. Показатели надежности функционально-сложных сетей 102
5.1.3. Общая схема показателей надежности сетей связи 105
5.2. Двухсторонняя оценка математического ожидания параметров двухполюсных сетей с ненадежными элементами.. 110
5.3. Двухсторонние оценки для двухполюсных потоковых сетей с ненадежными элементами 113
5.3.1. Общие положения 113
5.3.2. Оценки математического ожидания пропускной способности \ 115
5.3.3. Оценки вероятности сохранения требуемой пропускной способности 119
5.4. Расчет средней наработки на отказ 130
5.5. Расчет коэффициента оперативной готовности 137
Выводы 145
6. Некоторые вопросы управления и экспериментальной оценки надежности сложных систем 147
6.1. Общие положения 147
6.2. Показатели важности элементов системы. 148
6.3. Выбор оптимального времени анализа состояния элемента 151
6.4. Экспериментальная оценка надежности сложных систем 155 6.4.1. Расчетно-экспериментальный метод, 155
6.4.2. Использование бутстреп-моделирования 157
6.4.3. Экономный алгоритм нахождения квантилей распределений при моделировании на ЭВМ 161
6.5. Наблюдаемые риски при статистическом контроле 165
6.5.1. Основные понятия 167
6.5.2. Одноступенчатый контроль с помощью оценочного норматива 168
6.5.3. Основные свойства наблюдаемых рисков 171
6.5.4. Контроль с помощью доверительных границ 172
Выводы 175
Заключение 177
Список литературы 181
Приложение 194
- Описание процесса функционирования и классификация систем, определение показателей их надежности
- Использование числовых значений показателей надежности подсистем
- Системы длительного действия, невосстанавливаемые в рабочем режиме
- Использование арифметического представления
Введение к работе
Одним из важнейших аспектов проектирования и эксплуатации информационно-управляющих систем, которому, к сожалению, иногда не уделяется должного внимания, является обеспечение их надежности. Практический опыт показывает, что в большинстве случаев целесообразней затратить дополнительные средства на обеспечение требуемой надежности создаваемой системы, чем нести потери от низкой надежности в процессе эксплуатации.
Развитие современных информационных технологий, основанных на совместном использовании средств вычислительной техники и связи, сделало их жизненно необходимыми для функционирования многих сфер деятельности (государственное управление, оборона, финансы, промышленность, транспорт, медицина). Это обуславливает необходимость обеспечения высокой надежности информационно-управляющих систем и сетей. По оценкам ряда специалистов убытки от отказов в них могут достигать нескольких миллионов долларов в час [116, 119]. В ряде случаев низкая надежность может привести к катастрофическим последствиям (человеческие жертвы, ущерб окружающей среде).
Надежность, взятая отдельно, еще не означает технического совершенства, однако, если система не обладает необходимой надежностью, то все остальные показатели качества теряют свое значение, поскольку при низкой надежности система не может в полной мере выполнять свои функции.
Особенно важно обеспечение надежности управляющих систем. Она должна быть существенно выше, чем у управляемых ими объектов, в противном случае эффект от их применения может быть отрицателен.
В качестве примера можно привести систему сигнализации Л 7, служащую для управлением установлением соединений на современных сетях связи. По международным нормам [391 величина простоя сигнального соединения должна составлять не более 10 мин. в год, что соответствует коэффициенту готовности 0,99998. Столь высокое требование вполне оправдано, так как потери от ненадежности этой системы весьма значительны. Например, в результате отказа в сети общих каналов сигнализации, происшедшем 10 января 1990 г., крупнейшая американская телекоммуникационная компания AT&T потеряла 50% всей нагрузки, что составило более 1 млн. Эрл. [119].
Внедрение современных технических средств, концентрирующих значительные объемы информации (высокопроизводительных вычислительных комплексов, волоконно-оптических линий связи и др.) также заставляет уделять повышенное внимание обеспечению их отказоустойчивости. 0 важности этого говорит, например, авария, случившаяся в США в начале 1991 года [1193. Разрыв одного оптического кабеля, обслуживающего Манхеттен, на 8 часов блокировал 60% телефонной сети Нью-Йорка и прервал деятельность нью-йоркских товарных бирж. В течение 5 часов была нарушена работа средств управления воздушным движением Нью-Йорка, Вашингтона и Бостона.
Обеспечение надежности является сложной задачей, решение которой невозможно без разработки соответствующих моделей, применения ЭВМ и специальных программных средств. Решения, принимаемые только на основе "здравого смысла" без должного количественного анализа, зачастую ведут к весьма плачевным последствиям как в техническом, так и в экономическом плане. Таким образом, методы расчета и оценки показателей надежности должны стать обязательным инструментом при проектировании
информационно-управляющих систем, позволяющим убедиться, что система обладает необходимой надежностью, а также сравнить между собой различные варианты ее построения или развития.
Сложность современных технических систем обуславливает и сложность решения задач анализа их надежности. Словосочетание "сложные системы" очень часто встречается в различных областях науки и техники, в том числе и в теории надежности. Однако понимается это понятие разными авторами не всегда одинаково. В теории надежности можно выделить два основных подхода к определению того, какую систему называть сложной.
Один из них базируется на виде структурной схемы системы. При этом система считается структурно-сложной, если ее структурная схема не может быть представлена комбинациями последовательных и параллельных соединений элементов [25, 41, 881. Такие структуры называют также неприводимыми [85]. Простейшей сложной с этой точки зрения системой является так называемая мостиковая схема из 5 элементов (рис. 0.1).
ш
Рис. 0.1
При другом подходе система считается сложной (в этом случае ее можно назвать функционально-сложной), если множество ее состояний не может быть четко разбито на состояния работоспособ-
ности и неработоспособности. В этом случае отказы отдельных элементов могут приводить не к полному прекращению функционирования системы, а к некоторому снижению ее эффективности [13, 18, 86, 91, 92, 1053. Про такие системы также говорят, что они относятся к виду II [18, 861.
Традиционные показатели надежности, определяемые на основании понятия отказа системы (наработка на отказ, коэффициент готовности и т.п.), оказываются для таких систем малопригодными, и их надежность должна оцениваться с помощью показателей технической эффективности. Основным показателем надежности таких систем является коэффициент сохранения эффективности, определяемый как отношение показателя эффективности использования объекта по назначению к номинальному значению этого показателя, вычисленному при условии, что отказы не возникают [15, 18, 413.
Простейшая функционально-сложная система может иметь всего два элемента. Пусть, например, каждый из двух независимо работающих элементов вносит 50% в общую производительность. Такая система имеет состояние с номинальной производительностью при работе обоих элементов, полной неработоспособности при отказе обоих элементов и промежуточные состояния при работоспособности одного элемента (рис. 0.2).
Многие информационно-управляющие системы относятся к структурно- и функционально-сложным Е12, 18, 86, 94, 1053.
В данной работе изложены разработанные автором математические методы анализа надежности структурно- и функционально-сложных информационно-управляющих систем.
Главы 1-4 посвящены анализу надежности функционально-сложных систем, имеющих более двух уровней работоспособности и оцениваемых с помощью показателей технической эффективности.
Рис. 0.2
В начале главы 1 вводятся необходимые для дальнейшего изложения определения. Далее рассматриваются методы расчета надежности. Известны три достаточно общих и практически проверенных метода расчета коэффициента сохранения эффективности: усреднение по траекториям, усреднение по состояниям и усреднение по требованиям [18, 863. В главе 1 излагается развитый автором новый метод расчета надежности функционально-сложных систем, основанный на использовании арифметического (линейного) представления функции эффективности. Подобное представление структурной функции ранее использовалось для расчета надежности систем с двумя уровнями работоспособности [2, 84, 85]. Здесь этот метод получил дальнейшее развитие и обобщение. Поскольку анализ надежности систем длительного действия существенно более сложен, чем систем мгновенного действия, важное значение имеют методы сведения систем длительного действия к системам мгновенного действия,
также изложенные в главе 1. При этом усреднение по траекториям для систем непрерывного действия сводится к усреднению по состояниям, а для систем дискретного действия - к некоторому обобщению усреднения по требованиям.
Одним из способов снижения трудоемкости расчета надежности сложных систем является декомпозиция, которой посвящена глава 2. Система при этом разбивается на несколько подсистем, для каждой из которых более просто могут быть вычислены свои частные показатели, а затем результирующие показатели для системы вычисляются на основании полученных частных показателей. При этом на основании функциональной зависимости выходного эффекта системы от выходного эффекта ее подсистем получены соотношения для расчета или оценки показателя надежности системы.
В главах 3 и 4 приведены результаты, позволяющие производить расчет надежности для нескольких классов систем. Некоторые из этих классов систем изучались другими авторами, однако приведенные здесь для них результаты обобщают ранее известные. В частности, в главе 3 рассматриваются системы длительного действия, которые до начала выполнения основных функций в рабочем режиме, не допускающем восстановления отказавших элементов, находятся некоторое время в режиме ожидания. В этой же главе дан метод расчета надежности произвольных мультимодаль-ных систем и систем, в которых возможны одновременные отказы некоторых групп элементов.
Иерархическая ветвящаяся структура является типичной для многих технических систем, к числу которых относятся управляющие, информационные, вычислительные и другие системы, поэтому их детальный анализ выделен в отдельную главу 4. В ней выводятся фоормулы для расчета и оценки показателей надежности таких
12 систем. При этом рассмотрены различные виды выходного эффекта системы, выраженного в виде функции от числа нормально функционирующих исполнительных элементов, а также возможность статистической зависимости между состояниями исполнительных элементов некоторых групп.
В главе 5 изучаются структурно-сложные системы с сетевой структурой. Они рассматривались во многих работах (например, Е2, 12, 17, 31, 35, 38, 41, 85, 88, 98]), однако основное внимание уделялось показателям типа вероятности связности, представляющим собой с точки зрения теории надежности коэффициент готовности. В данной работе даются методы расчета таких показателей надежности сетевых систем, как коэффициент сохранения эффективности, средняя наработка на отказ и коэффициент оперативной готовности. Поскольку для многих сетевых систем большое значение имеет их пропускная способность, предложены оценки для показателей, совместно учитывающих надежность и пропускную способность.
В главе 6 решаются задачи обеспечения надежности на стадиях испытаний и эксплуатации систем. В частности, вводятся показатели важности элементов, полезные при выборе путей повышения надежности и порядка восстановления элементов при отказах; определяется оптимальный момент переключения на резерв элемента, подверженного действию кратковременных самоустраняющихся отказов; предлагаются новые и развиваются известные подходы для расчетно-экспериментальной оценки и контроля надежности сложных систем.
В приложении даны копии актов о внедрении результатов диссертации.
В целом совокупность всех изложенных в диссертации результатов дает основание считать, что в ней осуществлено решение научной проблемы, имеющей важное народнохозяйственное значение.
Описание процесса функционирования и классификация систем, определение показателей их надежности
В работах по надежности основной объект исследования обычно называют системой. При этом понимается, что система представляет собой совокупность структурно и функционально взаимосвязанных элементов, предназначенных для совместного функционирования и выполняющих определенные задачи в определенных условиях в течение заданного времени. Элементом системы называют определенную ее часть, способную выполнять конкретную операцию в общем процессе функционирования системы. Понятия "система" и "элемент" выражены друг через друга и являются в значительной мере условными и относительными. Деление системы на элементы существенно зависит как от характера анализируемого объекта, так и от требуемой точности анализа, степени изученности объекта, целей исследования и т.д.
Например, при рассмотрении сложной системы управления элементами могут быть собственно объекты управления, каналы связи, устройства обработки данных, средства отображения информации. При рассмотрении же отдельного устройства обработки данных его можно принять за систему, а элементами считать процессор, запоминающее устройство и другие входящие в него блоки и узлы. При грубом ориентировочном анализе ряд фунциональных блоков и сравнительно больших подсистем бывает удобно объеденить в один крупный элемент.
Каждый элемент в любой момент времени находится в определенном состоянии, характеризуемом значениями параметров этого элемента, как выходных, так и внутренних. Реально большинство параметров (например, коэффициент усиления, внутреннее сопротивление, выходная мощность и т.д.) может принимать непрерывное множество значений. На практике как правило приходится использовать грубую модель элемента системы, когда можно говорить только о двух состояниях - работоспособном и неработоспособном.
Эволюция состояний системы
С течением времени происходит изменение значений параметров элемента. В случае элемента с двумя состояниями его поведение может быть описано функцией вида
Совокупность состояний элементов системы определяет состояние системы, а совместное изменение состояний всех элементов определяет поведение системы во времени. Таким образом, поведение системы из п элементов в интервале времени (tQ$tQ+T) описывается гс-мерной векторной функцией X(t) = ( (t) In(t)) , t0& t0+T . Состояние системы в некоторый фиксированный момент времени описывается гс-мерным бинарным вектором х = (х , ... , хп), где х характеризует состояние і-го элемента: { 1 , если і-й элемент работоспособен; О , если і-й элемент неработоспособен. Таким образом, множество всех состояний системы есть Вп -п-я декартова степень двухэлементного множества В = {0,1}, представляющее из себя множество вершин n-мерного единичного куба 1п (I - единичный отрезок [0,1]).
Поскольку переходы элементов из одного состояния в другое, (отказы и восстановления) происходят случайным образом, состояние системы z в некоторый момент времени является случайным вектором, а поведение системы на некотором интервале времени Х() - случайным процессом.
С точки зрения особенностей функционирования все системы удобно разделить на два класса: длительного и мгновенного (точнее, кратковременного) действия.
Система длительного действия характеризуется тем, что для выполнения операций необходимо ее функционирование в интервале времени [t-,t0+9], в течение которого она может неоднократно менять свое состояние. Для таких систем качество выполнения операций зависит не только от того, какие элементы системы в процессе функционирования работали, а какие отказали, но и от того, в какие моменты происходили переходы системы из состояния в состояние. Иначе говоря, качество функционирования или выходной эффект при выполнении операций в интервале времени [tQ,t0+Ql определяется конкретным видом реализованной траектории X(t) поведения системы.
Система мгновенного действия характеризуется тем, что качество ее функционирования полностью определяется состоянием в момент выполнения задачи. Понятно, что строго говоря таких систем не существует, так как любая задача выполняется в течение какого-то конечного интервала времени. Можно лишь говорить о том, что система выполняет свои операции "достаточно быстро", т.е. что длина рассматриваемого интервала времени 9 достаточно мала.
Использование числовых значений показателей надежности подсистем
Основной проблемой, возникающей при расчете надежности сложных систем, являтся его высокая трудоемкость. Одним из способов ее снижения является декомпозиция систем. Суть декомпозиции состоит в разбиении системы на несколько подсистем, для каждой из которых более просто могут быть вычислены свои частные показатели, а затем в вычислении результирующих показателей системы на основании полученных частных показателей.
Идея применения декомпозиции при расчете надежности и эффективности и целый ряд результатов в этой области принадлежат И.А. Ушакову [92, 93]. В частности, им были сформулированы и доказаны теоремы о декомпозиции аддитивных и мультипликативных систем, в которых предполагается, что выходной эффект всей системы является суммой или произведением значений выходного эффекта подсистем, причем различные подсистемы не имеют общих элементов.
Дальнейшее развитие это направление получило в работах [44, 48, 52, 54, 75, 851.
Ниже доказываются теоремы о декомпозиции, которые имеют достаточно общий характер. При этом зависимость выходного эффекта всей системы от значений выходного эффекта подсистем может выражаться произвольной аналитической функцией, кроме того допускается возможность наличия у различных подсистем общих элементов.
Дадим общую постановку задачи декомпозиции [92, 933. Пусть в системе выделено к подсистем G. (J=1,..,&), при этом для каждой реализации процесса функционирования системы имеет место равенство є = /(s1f..., єА), (2.1.1) выражающее функциональную зависимость выходного эффекта всей системы є от значений выходного эффекта ее подсистем є . На основании этой зависимости требуется получить соотношения для расчета или оценки показателя надежности или эффективности системы.
В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что значения выходного эффекта для подсистем, не имеющих общих элементов, независимы.
Снижению трудоемкости расчетов при декомпозиции можно дать следующую примерную оценку. Пусть в системе, имеющей п элементов, выделено к подсистем, причем J-я подсистема состоит из п элементов. Считаем, что трудоемкость расчета пропорциональна числу возможных состояний системы. При прямом подходе к системе проходится рассматривать 2п возможных состояний. В случае же декомпозиции сначала отдельно рассматриваются к подсистем, причем J-я подсистема имеет 2 J состояний, а затем рассматривается система с 2 состояниями, в качестве элементов которой берутся уже целые подсистемы. Таким образом, в качестве оценки снижения трудоемкости расчетов можно взять отношение 2 7(2 + J 2nj]. Например, если тг=30, й=5, 7 = ...=7 =7, то достигается выигрыш в 230/(25+5.2т) 1,5.106 раз.
Наиболее простой и удобный случай декомпозиции, когда значение эффективности всей системы может быть получено исходя из числовых значений эффективности подсистем подстановкой в (2.1.1) вместо є соответствующих значений Е. Задача состоит в определении условий, которые должны быть наложены на функцию /, чтобы из равенства (2.1.1) вытекало бы равенство Е — f(E ,..., Е. ), (2.2.1 ) где показатели эффективности системы и подсистем определяются как математические ожидания выходного эффекта, т.е. Я=Мє, Заметим, что для произвольных систем не может существовать никакая другая функция g, отличная от /, для которой из равенства (2.1.1) вытекало бы равенство Е = #(2 ,..., Ек). (2.2.2)
Действительно, пусть равенство (2.2.2) имеет место. Возьмем произвольные числа ,..., . В частном случае, когда є принимают постоянные значения и , в силу (2.1.1) Е = Ms = = M/(u1f ...,и ) = /(i ,..., ); с другой стороны, при этом Е = = Ms, = и,, откуда из (2.2.2) вытекает Е = ( ,...,1 ). Таким образом, функции / и g совпадают.
Доказанная ниже теорема обобщает теоремы о декомпозиции аддитивных и мультипликативных систем [92, 93] и дает ответ на поставленный в [18] вопрос: когда можно использовать коэффициенты сохранения эффективности подсистем при расчете коэффициента сохранения эффективности системы.
Системы длительного действия, невосстанавливаемые в рабочем режиме
Наиболее общим методом расчета эффективности сложных систем длительного действия является усреднение по траекториям С18, 41, 863. Однако трудоемкость его весьма значительна и на практике его удавалось применять только для систем, состоящих из небольшого числа невосстанавливаемых независимо отказывающих элементов. Соответствующие формулы и примеры приведены в С18, 41]. При этом предполагалось, что в момент начала выполнения системой своих функций все ее элементы работоспособны.
В действительности некоторые системы могут иметь режим ожидания, т.е. работать какое-то время без выполнения основных функций в номинальном или облегченном режимах. Таким образом, возможны отказы элементов системы еще до начала выполнения ей своих функций.
В данном разделе даются формулы для расчета эффективности сложных систем длительного действия, имеющих режим ожидания [20, 58, 613. При этом элементы в режиме ожидания могут как восстанавливаться после отказов, так и не восстанавливаться, однако в рабочем режиме они должны быть невосстанавливаемыми.
Пусть система начинает свою работу в момент времени t=Q в режиме ожидания и в момент переходит в режим выполнения основных функций (рабочий режим), который длится время 8. Введем следующие обозначения: п - число элементов системы; Я(ОІО) - вероятность того, что в момент і перехода в рабочий режим все элементы будут работоспособны, и ни один из них не откажет в рабочем режиме; Ф - номинальное значение показателя эффективности системы, определенное при условии работоспособности всех элементов; і ,...,1 - номера элементов, неработоспособных в момент перехода tQ; R(i ,..., 10) - вероятность того, что в момент tQ будут неработоспособны элементы і ,...,1 , а остальные элементы проработают в рабочем режиме безотказно; Ф. , , - показатель эффективности системы при уело 1 b вий, что элементы і ,...,1 неработоспособны, а остальные рабо-тали безотказно; J.,...,/ - номера элементов, отказавших в рабочем режиме в моменты ,..., t г соответственно; i?(0!J Jz) - вероятность того, что в момент tQ все элементы работоспособны, и в рабочем режиме не откажут элементы, отличные от J1,...,Jl; Ф_. . , (tif...,t7) - показатель эффективности системы при условии, что в момент tQ все элементы работоспособны, и в рабочем режиме элементы J ,...,Jг отказали в моменты t1 tz; Щіл ,...,ih\j ,...,Jl) - вероятность того, что в момент tQ будут неработоспособны элементы I ,...,( , и в рабочем режиме не откажут элементы, отличные от J.,,...,/,; Ф, , ,1 , ( ,...,t ) - показатель эффективности системы при условии, что в момент tQ элементы t1t...,i неработоспособны, и в рабочем режиме элементы J1,...,Jl отказали в моменты , ...,г; /{(t) - плотность распределения наработки до отказа і-го элемента в рабочем режиме.
При отсутствии режима ожидания Uo=0) (3.1.1) переходит в известную формулу, приведенную в [413.
Если длительность работы системы 9 настолько мала, что вероятностью отказов элементов за это время можно пренебречь, в (3.1.1) остаются только первые два слагаемых, в результате чего получается известная формула метода усреднения по состояниям [18, 413.
В большинстве практически важных случаев выходной эффект системы при реализации траектории с отказами некоторых элементов в рабочем режиме не менее, чем при реализации траектории без отказов элементов во время работы, но с неработоспособностью этих же элементов в момент перехода в рабочий режим [18], т.е. для любых Пример 1. Рассмотрим описанную в [41 ] систему накопления информации, состоящую из двух одинаковых приемников. В случае работоспособности обоих приемников пропукная способность системы равна А, в случае отказа одного из них она падает до величины В = о А, при отказе двух приемников сбор информации прекращается. Система должна функционировать в течение времени 0. Время безотказной работы приемников в рабочем режиме распределено по экспоненциальному закону с параметром X. Отказы приемников предполагаются независимыми. Выходной эффект системы определяется как доля накопленной информации (отношение произведения пропускной способности на время функционирования к максимальному накопленному объему А9). В [41] при о = 0,3 и 8 = 0,1 А- получено значение Е = 0,932. В отличии от [41] предположим, что до начала выполнения функций система работает в режиме ожидания. В соответствии с формулой (3.1.1)
Использование арифметического представления
Разработанные в главах 1 и 2 методы расчета надежности и эффективности, использующие арифметическое представление функции эффективности и декомпозицию систем, применимы ко многим системам, имеющим иерархическую ветвящуюся структуру [42-45, 48].
Пусть в системе имеется т исполнительных элементов, причем і-й исполнительный элемент в случае нормального функционирования вносит вклад а{ в общую эффективность системы. Когда все исполнительные элементы равноценны, ai = 1/. Обозначим через J множество элементов, состоящее из 1-го исполнительного элемента и всех управляющих элементов, которым он подчинен.
Если выходной эффект системы аддитивен, т.е. равен сумме вкладов, вносимых всеми нормально функционирующими исполнительными элементами, функция эффективности будет иметь вид (1.2.3). Из этого представления сразу вытекают формулы для математического ожидания и дисперсии эффективности системы, совпадающие в этом случае с общими формулами (1.2.6)-(1.2.8).
В ряде случаев, когда выходной эффект является некоторой функцией /(2) от числа нормально функционирующих исполнительных элементов 2, для получения арифметического представления удается применить операторный метод. Действительно при этом
Ниже приведено несколько примеров использования описанных методов. Пример 1. Если выходной эффект пропорционален квадрату числа числа нормально функционирущих исполнительных элементов [41], то Пример 2. Рассмотрим систему, состоящую из тг элементов, один из которых управляющий, а остальные тг-1 - исполнительные (рис. 4.2.1). Выходной эффект системы экпоненциально зависит от числа нормально функционирующих исполнительных элементов. Это означает, что функция эффективности системы имеет вид нормировочная константа; единица вычитается для того, чтобы выходной эффект в случае неработоспособности всех исполнительных элементов равнялся нулю).
Описанные выше методы расчета справедливы для систем с независимыми элементами. На практике у некоторых групп исполнительных элементов может существовать зависимость между их состояниями, связанная с наличием у элементов группы общего резерва, ЗИПа, восстановлением их одним ремонтным органом и т.п. В этом разделе дается метод расчета показателей эффективности ветвящихся систем с учетом подобной зависимости [563. При этом используется модифицированное арифметическое представление функции эффективности.
Пусть в системе имеется т групп исполнительных элементов, причем все элементы одной группы подчинены одним и тем же управляющим элементам. Состояния исполнительных элементов не зависят от состояний управляющих элементов и от состояний исполнительных элементов других групп (т.е. зависимость может быть только между состояниями исполнительных элементов внутри одной и той же группы). Состояния всех управляющих элементов независимы.
Для каждой группы известны значения математического ожидания и дисперсии числа работоспособных элементов в группе Et и D (і = 1,...,тя) и для каждого управляющего элемента - вероятность его работоспособности р.. Требуется рассчитать математическое ожидание Е и дисперсию D числа нормально функционирующих исполнительных элементов.
Таким образом имеет место модифицированное арифметическое представления для выходного эффекта системы (см. выше 1.3). Воспользовавшись формулами (1.3.2), (1.3.3), получим из (4.3.1) соотношения для Е и D:
Пример. Рассмотрим изображенную на рис. 4.3.1 информационно-управляющую систему, состоящую из ЭВМ (элемент 1) и трех групп терминалов. Каждая группа состоит из 8 основных терминалов и одного резервного, находящегося в нагруженном резерве, который может заменить любой отказавший терминал той же группы. Все терминалы каждой группы подключены к ЭВМ посредством одного устройства сопряжения (элементы 2-4). Значения коэффициентов готовности ЭВМ, устройств сопряжения и терминалов равны, например, 0,995, 0,99 и 0,99 соответственно.
Расчет математического ожидания и дисперсии числа работающих терминалов в группе (с учетом резерва) производится известными методами теории вероятностей [41] и дает Et = 7,9964, D. = 0,0038 (і = 1,2,3).
Похожие диссертации на Математические методы анализа надежности сложных информационно-управляющих систем
