Содержание к диссертации
Введение
1 Известные факты, понятия и результаты 9
1.1 Случайный процесс 10
1.2 Модель линейного фильтра 11
1.3 Процессы авторегрессии
1.3.1 Процесс авторегрессии первого порядка (марковский процесс) 13
1.3.2 Процесс авторегрессии второго порядка (процесс Юла) 14
1.3.3 Разложение Вольда
1.4 Метод Алмон 16
1.5 Модель Койка 16
1.6 Модели, основанные на процессах AR(p) 16
1.7 Числа Фибоначчи 17
1.7.1 Числа Трибоначчи 19
2 Моделирование авторегрессионных процессов на основе числовых рядов (МЧР) 21
2.1 Метод числовых рядов 21
2.1.1 Пример использования базы при прогнозировании на основе МЧР 27
2.2 Математические свойства прогнозов по МЧР 31
2.2.1 Авторегрессия 2-го порядка 32
2.2.2 Авторегрессия 3-го порядка 45
2.2.3 Рекомендации для МЧР 52
3 Анализ полученных результатов 54
3.1 Данные для обработки 55
3.2 Анализ данных 60
Компьютерный алгоритм реализации МЧР 69
Заключение 73
Список литературы
- Процесс авторегрессии первого порядка (марковский процесс)
- Модели, основанные на процессах AR(p)
- Пример использования базы при прогнозировании на основе МЧР
- Анализ данных
Введение к работе
Актуальность работы. В современных условиях развития технологий и общества признаки системности проявляются в той или иной степени во всех областях, поэтому использование системного анализа позволяет лицу, принимающему решения (ЛПР), анализировать и грамотно управлять. При этом главными факторами, определяющими качество принимаемого управленческого решения ЛПР, являются обработка данных и прогнозирование.
К настоящему времени разработано большое количество методов прогнозирования, цель которых - определить возможные варианты развития события. В то же время, существующий математический аппарат не может дать точного ответа о возможном поведении объекта, поскольку всегда присутствует вероятностная составляющая данного прогноза. В большинстве случаев проблема прогнозирования решается при помощи моделирования случайных процессов.
Случайный процесс - это функция непрерывного или дискретного времени {Xt}tT> значение которой в каждый момент является случайной величиной, характеризующей динамику развития изучаемого явления.
Значительное число работ, посвященных проблеме моделирования, основывается на принципах саморегулирования и самоподобия. В практических задачах прогнозирования процессов часто применяется модель авторегрессии р-го порядка (AR(p)). Вопросам моделирования, прогнозирования и обработки данных посвящены труды С.А. Айвазяна, С. Алмон, Т. Андерсона, Дж. Бокса, Р.Г. Брауна, Вольда, В.К. Голикова, Г.М. Джен-кинса, Л.М. Койка, Я.Р. Магнуса, А.С. Маркова, В.И. Новосельцева, А.И. Орлова, В.И. Суслова, П.Р. Уинтерса, С. Хольта, А.А. Цыплакова и многих других.
В моделях АЩр) одними из самых актуальных вопросов являются приведение динамического процесса к стационарному виду, определение р - длины предыстории, а также выбор метода подбора параметров авто-
регрессии. Указанные проблемы предопределили цель и задачи диссертационного исследования.
Цель диссертационного исследования состоит в разработке специального математического обеспечения для обработки данных при принятии управленческих решений на основе использования числовых рядов.
Поставленная в диссертации цель достигается путем решения следующих задач:
проведение анализа методов, используемых для моделирования случайных процессов;
обобщение методов подбора параметров в моделях прогнозирования на основе использования числовых рядов (МЧР - метод числовых рядов);
разработка алгоритма обобщенного метода подбора параметров в моделях прогнозирования на основе МЧР и его компьютерная реализация;
формирование базы данных по числовым рядам, эффективно используемым при прогнозировании случайных процессов;
изучение математических свойств прогнозов на основе МЧР;
сравнительный анализ результатов прогнозирования предложенного метода с классическими.
Методы исследования. Основные теоретические и прикладные результаты работы получены на основе методологии системного анализа, теории случайных процессов, а также информационных технологий и методов фундаментальной и прикладной математики.
Научная новизна работы:
1. Разработан обобщенный метод прогнозирования на основе МЧР, эффективный для анализа коротких нестационарных динамических процессов.
-
Установлена и доказана взаимосвязь прогнозов в моделях AR(2) по МЧР с треугольником Паскаля и рядом Фибоначчи.
-
Доказана взаимосвязь прогнозов в моделях AR(3) с рядом чисел Три-боначчи.
-
В рамках предложенного метода даны рекомендации, позволяющие сократить процедуру подбора числового ряда.
Практическая ценность. Разработанный в диссертации метод, основанный на числовых рядах, позволяет лицу, принимающему решение, анализировать состояния сложных организационно-технических систем и производить прогноз на будущее.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы прошли всестороннюю апробацию на международных и всероссийских научных, научно-практических и научно-технических конференциях, в том числе V Международной научно-практической конференции молодых ученых Сибирского федерального округа (2007 г., Красноярск); XLV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (2007 г., Новосибирск); XII Международной конференции "Ре-шетневские чтения" (2009 г., Красноярск); XLVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", посвященной 50-летию НГУ (2009 г., Новосибирск); XIV Международной конференции "Решетневские чтения" (2011 г., Красноярск).
Диссертационная работа неоднократно обсуждалась на научных семинарах Сибирского государственного аэрокосмического университета.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ (3 из них - по перечню ВАК). Список наиболее значимых публикаций представлен в конце автореферата.
Общая характеристика диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 145 наименований.
Процесс авторегрессии первого порядка (марковский процесс)
В случае, когда в момент t известна полная предыстория процесса, представленную выше теорию для прогнозирования можно определить как предел прогнозов, полученных на основе конечных процессов [12,64,68,110,127].
Такой метод называется разложением Вольда или модель прогноза по полной предыстории (в работе [107] приводится доказательство теоремы Вольда). Если в момент t делается прогноз на к шагов вперед, т.е. прогноз величины xt+k на основе предыстории, то формулу разложения Вольда на к периодов вперед можно представить в следующем виде: yt+к = фіХі+к-і + at+k (1.3) г=0 Ошибка прогноза при этом будет равна fe-i УІФіХі+к-і- (1-4) z=0 С точки зрения практики неформальный вывод из теоремы Вольда состоит в том, что любые стационарные временные ряды можно моделировать при помощи моделей линейного фильтра с добавлением констант и гармонических трендов.
Далее рассмотрим модели распределительного лага, позволяющие уменьшить число оцениваемых параметров: полиномиальных лагов (метод Алмон [120]) и геометрических лагов (модель Койка [124]). Более подробно об этом можно прочитать в работах [5,57,64,107,109, ПО].
В этом случае коэффициенты в модели зависят от полинома степени г, где г q. Это модель, содержащая только г + 2 неизвестных параметров и имеющая вид: Уг = Ъ т + Jr rt + a t+k, t = l,...,q, (1.5) где переменные X{yt,...,xrt, являются линейными комбинациями переменных Xt, . . . ,Xt-q. 1.5 Модель Койка В этой модели предполагается, что влияние переменной х не заканчивается через время q, а продолжается бесконечно, убывая на один и тот же процент с каждым шагом по времени. Такая модель представляется достаточно правдоподобной в примере с выпуском и инвестициями в оборудование. Модель имеет вид: yt = S + (3xt + (3\xt-i + /?A2rrt-2 + єи i = l,...,n, (1.6) где Yl /ЗАг - убывающие геометрические прогрессии. В главе 2 будет приведен метод, использующий числовые ряды, который представляет собой обобщение вышесказанного. 1.6 Модели, основанные на процессах AR(p) Можно выделить некоторые из наиболее распространенных моделей, основанных на процессах AR(p): модели авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС-модели) [2,3,12,15,20,33,109]; адаптивные модели экспоненциального сглаживания [109,110,122, 125,126]; нейронные сети [16,78,113].
Первый тип модели особого пояснения не требует, необходимая литература для всестороннего ознакомления широко представлена. Взаимосвязь процессов авторегрессии и моделей экспоненциального сглаживания представлена в главе 2 данной работы.
Использование процессов авторегрессии в нейронных сетях обусловлено многими факторами, в частности на необходимости построения линейных моделей регрессии. Существует достаточно много программных продуктов, реализующих построение нейронных сетей на процессах авторегрессии.
В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем, бывает очень трудно установить, в каком именно сборнике появилась впервые та или иная задача. Такой теорией является и теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой "задачи о кроликах", имеющей почти семисот пятидесятилетнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики. Далее рассмотрим числа Фибоначчи. [23,93-95] Определение 3. Ряд Фибоначчи - это последовательность чисел, заданная рекурсией F2(k) = F2(k - 1) + F2(k - 2), где F2(0) = О, F2(l) = 1, г(2) = 1.
Простейшие свойства чисел Фибоначчи: 1. Сумма первых к чисел Фибоначчи F2(l) + F2(2) + ... + F2{k) = F2(k + 2) - 1. 2. Сумма чисел Фибоначчи с нечетными номерами F2{1) + F2(3) + F2(5) + ... + F2{2k - 1) = F2(2k). 3. Сумма чисел Фибоначчи с четными номерами F2(2) + F2(4) + ... + F2(2k) = F2(2k + 1) - 1. 4. Биномиальными коэффициентами называются коэффициенты при степенях х в разложениях степене (1 + х)п: (1 + х)п = С + С\х + СУ + ... + Сппхп. 5. Следующая таблица называется треугольником Паскаля:
Паскаля Строки треугольника Паскаля принято нумеровать сверху вниз, причем верхняя строка, состоящая из единственной единицы, считается нулевой.
Из этого вытекает, что крайние члены в каждой строчке треугольника Паскаля равны единице, а каждый из остальных членов таблицы получается путем сложения двух других, стоящих непосредственно над ним.
Соотношения, связывающие биномиальные коэффициенты, состов-ляющие одну строку треугольника Паскаля. o = c-cJ + c + ... + (-i)nc; гчк , s ik+l sk+1 7. Любое число Фибоначчи можно определить как функцию от к (формула Бине): ед = М_ь)!, (1.т) где 7i = —2 72 = 2 имеет место для любого целого к. 1.7.1 Числа Трибоначчи Определение 4. Ряд Трибоначчи - это последовательность чисел, заданная рекурсией F3(k) = F3(k - 1) + F3(k - 2) + F3(k - 3), где з(0) = О, F3(l) = 1, F3(2) = 1, F3(3) = 2.
Определение 5. Модифицированный ряд Трибоначчи - это ряд Трибоначчи с условием, что F z(ti) = 0, F 3(l) = 0, і (2) = 1, Fg(3) = 2. Как и для ряда Фибоначчи, для данного ряда имеется функция, позволяющая определять значения от номера к: ад = з/з ((7i+72 + l)V /32-2/3 + (1-8) где ті = \/19 + 3\/33, 72 = \/19 - 3 /33, /3 = \/б86 + 102 /33. "Если практически все в нашем мире базируется на коэффициентах Фибоначчи, почему бы не использовать их в техническом анализе движения цен на биржах." Впервые это предложил Ральф Нельсон Эллиотт [119]. Во второй главе покажем, что для процессов авторегрессии это утверждение не беспочвенно.
Модели, основанные на процессах AR(p)
Отметим, что в этом случае прогнозное значение yt+\ заключено в интервале: min{xi, ..,xt} yt+i max-fxi, ..,xt}. Действительно, пусть с = тіп{ті,.., xt}, h = maxjxi,.., xt}. Тогда с = min{a:i,.., xt} — с 1 = C[OL + 1 — a) = ca + c(l — a) xta + т/$(1 — a). Аналогично, h = maxj i, ..,х } = h 1 = /i(o?+ 1 — a) = ha + h{\ — a) xt& + yt(l — a). Следовательно, с yt+i h. Можно сделать вывод, что при использовании данного метода прогнозное значение yt+i в своей вариации лежит в границах от min до max значения случайного процесса, а само прогнозное значение является конечной суммой предыстории с весовыми коэффициентами а, а(1 — а), а{\ — а)2, а(1 — а)3,..., а(1 — а)ь 1, являющиеся элементами нормированного числового ряда.
Замечание 1. Формула (2.4) представляет собой авторегрессию аналогичную разложению по полной предыстории с коэффициентами, подобранными по модифицированному методу Койка.
Рассмотрим следующее обобщение этой ситуации. Подберем нор ОО 00 мированный числовой ряд такой, что 5 Ьг = Х а(1 — а)г = 1. г=0 г=0 При этом текущее значение ряда xt будет представлено следующим образом: Xt = boXt-i + hxt-2 + bp_ixt p + EU где &Ojbi5 )ЬР_! - первые p члены нормированного числового ряда, выступающие в качестве весовых коэффициентов предыстории рассматриваемого процесса. Прогнозное значение yt+\ в этом случае вычисляются следующим образом: Vt+i — % xt + b\ a?t_i + ...+ Ор_! t-p+i, или З/Й = fc V , (2-5) г=0 где m - номер нормированного числового ряда из некоторой базы рядов (см. приложение В), обладающих вышеуказанными свойствами, р -порядок модели, верхний индекс (т;р) - указывает на номер ряда и на порядок модели.
Замечание 2. Использование нормированных числовых рядов удовлетворяет условию стационарности процесса. Но для моделирования нестационарных процессов не обязательно использовать условие нормированности для числовых рядов.
Замечание 3. Если р = Т, то формула (2.5) представляет собой модель прогнозирования по полной предыстории (разложение Воль-да), с условием, что прогнозное значение y f будет представлять собой сумму предыстории процесса с весовыми коэффициентами, являющимися элементами числового ряда (аналогично методам Альмон и Койка).
Погрешность в модели будем оценивать по формуле: _ (т;р) \ 2 ДКР) = J2 \ — 1 100%. (2.6) г=р+1 \ 1=р+1 Если xi = 0 для некоторых г, то необходимо использовать новую систему координат х\ = Xi + xQ, в которой все х\ 0, где XQ =const. Для определения оптимального порядока модели р, а также вида Y;bi, будем использовать функцию: Є(т{6оА,A-iM = , mi ( {ДКР)}) (2-7) 1 т М 1 р ро J где ро _ граница порядка модели.
Замечание 4. Функция (2.1.1) позволяет не только подобрать оптимальные коэффициенты, но и определять порядок авторегрессии.
Дополнительным параметром при оценке качества модели будет являться ретроспективный прогноз на к последних значений случайного процесса.
Ошибку ретроспективного прогноза вычислим по формуле: А = Е( д. ) 100% 2-8) где к\ - порядок ретроспективного прогноза. Далее приведен фрагмент базы числовых рядов, используемых при прогнозировании (табл. 2.1). Таблица 2.1 - Фрагмент базы числовых рядов, используемых при прогнозировании m Вид ряда Сумма ряда 1 оо г=0 [І9І 1] 2 оо (а + ir)qlг=0 [kl i] 3 ооЕ(-і)г+1т S=ln(l+x) [-1 а: 1] ir (—1) COSZ г=1 ? — 1 І ЛІ Л - i 3 Представленные в таблице ряды входят в общую базу нормированных числовых рядов (см. приложение В). Дальнейшие расчеты основывались на базе, состоящей из числовых рядов [27,30,31,39,87,114]. 2.1.1 Пример использования базы при прогнозировании на основе МЧР Рассмотрим процесс X со следующими характеристиками: 38 значений, тенденция среднего, присутствует не ярко выраженная цикличность равная 4,75 и 6,33, ряд слабо стационарен.
Математические свойства прогнозов по МЧР Перейдем к описанию математических свойств прогнозов в моделях AR(p) различного порядка. В большинстве задач прогнозирования необходимо делать прогноз на к значений вперед из х%. Как указывалось выше, прогноз на одно значение вперед, согласно методу числовых рядов будет рассчитываться по формуле 2.5. Произведем некоторое упрощение данной формулы: р-1 Щ+1 = },ЬІХІ-І, (2.9) г=0 где ЬІ - члены числового ряда из базы рядов (см. приложение В). Тогда прогноз на к значений вперед из xt, согласно (2.9), будет вычисляться для авторегресси р-го порядка: Vt+2 = ЬоУі+і +22bjXt-j+l, г=1 p-1 yt+з = boyt+2 + hyt+i + 2 biXt-i+2i г=2 p-1 p—1 p—1 г/t+fc = bo2/t+fc-i+biyt+fc-2+- + 2 biXt-i+k-i = 22Ьгуі+к-г+ 2_, M -n-fc-i г=к-1 г=0 г=к—1 Необходимо заметить, что использование авторегресси р-го порядка не всегда целесообразно, поэтому рассмотрим свойства авторегресси различного порядка по отдельности. 2.2.1 Авторегрессия 2-го порядка
Пример использования базы при прогнозировании на основе МЧР
В качестве статистического материала были использованы следующие данные: 1. Группа данных - потребление электроэнергии на промышленных предприятиях (ОАО ПО "Красноярский завод комбайнов", ООО "Сибиряк", 000 Тляденское хлебоприемное") - 9 рядов (приложение А). 2. Группа данных - объемы производства и брака железобетонных изделий (000 "Сибиряк") - 3 ряда (приложение А). 3. Группа данных - отказы деталей, сборочных и составных частей комбайнов "Енисей-1200" и его модификаций по обследованию на конец уборочной ("КЗК") - 13 рядов (приложение А). 4. Группа данных - курсы валют (значения установлены ЦБ РФ ) - 4 ряда. 5. Группа данных - цены на драгоценные металлы (ЦБ РФ) - 4 ряда. 6. Группа данных - показатели годового сводного консолидированного баланса Центрального Банка Российской Федерации (ЦБ РФ) - 5 рядов. 7. Группа данных - основные экономические показатели по России (данные Федеральной службы государственной статистики) - 16 рядов. 8. Группа данных - показатели производства сельскохозяйствен ной продукции и цены их реализации (данные Министрства сельского хозяйства РФ, Федеральной службы государственной статистики) - 8 рядов. В связи с большим объемом данных в приложение А приведены данные только по первым 3-м группам. Ведем обозначения данных процессов. Первая группа: Х\ - потребление электроэнергии на ООО "Гляденское хлебоприемное" (активная) - (t = 63, январь 2004г. - март 2009г.). Х2 - потребление электроэнергии на ООО "Гляденское хлебоприемное" (реактивная) - (t = 63, январь 2004г. - март 2009г.). Х3 - потребление электроэнергии на ООО "Гляденское хлебоприемное" (поселок) - (t = 63, январь 2004г. - март 2009г.). Х4 - потребление электроэнергии на ООО "Сибиряк" (формовочный цех) - ( = 24, январь 2008г. - июль 20011г.). Х5 - потребление электроэнергии на ООО "Сибиряк" (арматурный цех) - (t = 24, январь 2008г. - июль 20011г.). XQ - потребление электроэнергии на ООО "Сибиряк" (бетоно-смесительный) - (t = 24, январь 2008г. - июль 20011г.). Х7 - потребление электроэнергии на ООО "Сибиряк" (автотранспортный цех) - (t = 24, январь 2008г. - июль 20011г.). Х8 - потребление электроэнергии на ООО "Сибиряк" (всего) -(t = 24, январь 2008г. - июль 20011г.). Хд - потребление электроэнергии на ОАО ПО "Красноярский завод комбайнов" (всего) - (t = 30, ноябрь 2008г. - апрель 20011г.). Вторая группа: Хю - объемы производства железобетонных изделий (ООО "Сибиряк") - (t = 20, январь 2010г. - август 20011г.). Хц - объемы брака железобетонных изделий (ООО "Сибиряк") -(і = 20, январь 2010г. - август 20011г.). Х\2 - отношение брака к общему производству железобетонных изделий (ООО "Сибиряк") - (і = 20, январь 2010г. - август 20011г.). Третья группа: Xiz - изгиб, излом цапфы, излом посадочного места под цапфу, скручивание спирали колосового шнека КДМ2-19-2-01 - (t = 14, 1992г. - 2005г.). Хи - протирание, излом, разрушение по сварке кожуха колосового шнека КДМ2-19-1Б/Т - (t = 14, 1992г. - 2005г.). Xi5 - отсутствие смазки, попадания пыли, грязи и влаги, разрушение сепаратора подшибника 1680206 зернового и колосового шнеков -(t = 14, 1992г. - 2005г.). XIQ - разрыв, вытяжка цепи, изгиб, износ скребков, деформация жесткостей скребков транспортера 08.140.000-01 колосового элеватора КДМ2-23-1 - (t = 14, 1992г. - 2005г.). Х17 - излом звездочки КДМ2-21-4А - (t = 14, 1992г. - 2005г.). Х18 - изгиб вала 6011 - (t = 14, 1992г. - 2005г.). XIQ - расслоение, вытягивания и разрыв ремня С(В)-3750 - (t = 14, 1992г. - 2005г.). Х2о - клиение рейки, плунжеров, валика регулятора, течь топлива в поддон топливного насоса 444-16с1-25 - (t = 14, 1992г. - 2005г.). X2i - отказ двигателя Д442-50 - (t = 14, 1992г. - 2005г.). Х22 - отсутствие искры магнето М-124 - (t = 14, 1992г. - 2005г.). Х23 - течь масла из насоса НШ-32М-4 - (t = 14, 1992г. - 2005г.). Х24 - выброс масла из турбокомпрессора ТКР 7Н-1 - (t = 14, 1992г. - 2005г.). Х25 - засорение, отказ в работе блока разгрузочно-предохранительного МКРН 306577.024-01 - (t = 14, 1992г. - 2005г.). Четвертая группа: Х26 - значения курса доллара сша - (t = 720, с 10.06.2008г. по 30.04.2011г.).
Анализ данных
Рассмотрим процесс Х54 и результаты прогнозирования представленные далее (рис. 3.5-3.8). Данный процесс, в отличии от разобранных ранее, достаточно продолжительный по времени (t = 85), содержит тренд и небольшой период.
В реальности для принятия решения ЛПР необходим не один, а несколько возможных вариантов развития процесса. МЧР позволяет это сделать, не только показав границы варьирования прогноза, как например АРПСС, а предоставив варианты развития процесса и ошибки моде
Подведем итог. Сравнительный анализ результатов моделирования показал, что при использовании МЧР, эффективность построения модели АЩр) и точность ретропрогноза в большинстве случаев аналогична тестируемым моделям. Значительно лучшие результаты предложенный метод дает при анализе коротких нестационарных динамических процессов.
В данной главе приведены фрагменты работы с программой, написанной в среде Microsoft Visual Studio с использованием языка С#. Текст программы приводится в приложении С.
На рисунке 4.1 представлена вкладка "Параметры расчета", позволяющая изменять необходимые опции при моделировании случайного процесса. Так, опция ki - это количество последних значений процесса, используемое при ретроспективном прогнозе, ki - это прогноз вперед на необходимое число периодов. Так же имеется дополнительная опция по приведению числовых рядов к нормированному виду.
Для удобства работы с программой по МЧР созданы вкладки по управлению базами (рисунок 4.2).
При работе со вкладкой "Управление сходящимися рядами" можно редактировать (рисунок 4.3), добавлять или удалять числовые ряды (формулы вводятся на языке С#).
Алгоритм реализации МЧР На рисунке 4.5 представлены итоговые значения погрешностей в моделях AR(p) различных порядков для всей базы числовых рядов по процессу
Применение числовых рядов в качестве весовых коэффициентов в моделях AR(p) целесообразно и дает наилучшие результаты при анализе и прогнозировании коротких нестационарных динамических процессов. Так в случае нестационарности процесса, можно попытаться привести его к стационарному виду, разложив его на составляющие. Однако использование данных методик, приводит к сокращению динамического процесса на соответствующее число показателей. При этом, как было сказано ранее, в большинстве случаев не удается привести исходный процесс к стационарному (см. главу 1). Помимо этого, при разложении процесса на составляющие происходит потеря целостности изучаемого явления, в ряде случаев это обусловлено наличием коррелированности тренда и цикличности. Разложение же коротких динамических процессов, путем их сокращения, в большинстве случаев вообще недопустимо. Поэтому, при анализе случайных динамических процессов необходимо использовать такие методики обработки данных, которые позволяют сократить потерю информации, время обработки, и вследствие этого, время на принятие решений ЛПР. На практике для ЛПР простота и доступность использования методов и быстрота получения возможных вариантов изменений процессов в будущем будут решающими факторами при выборе прогнозной модели. МЧР отвечает всем этим требованиям. Созданное программное обеспечение позволяет использовать МЧР управляющим персоналом независимо от их математической подготовки.
Предложенный метод подбора параметров в моделях AR(p) позволяет повысить эффективность использования данных моделей при подстроении и прогнозировании динамических процессов. А сама модель, основанная на числовых рядах, учитывает колебания рассматриваемого процесса и структуру числового ряда, что дает возможность более точно описывать исходный процесс. Поскольку МЧР не требует вычленять трендовую составляющую (выделение которой, подчас, приводит к невозможности дальнейшего пронозирования) из рассматриваемого явления.
МЧР позволяет дать несколько возможных вариантов развития процесса, не только показав границы варьирования прогноза, как например АРПСС, а предоставив варианты развития процесса и ошибки моделей, дающих эти варианты.
Выявление математических свойств прогнозов по МЧР дало возможность доказать взаимосвязь с треугольником Паскаля, числами Фибоначчи и Трибоначчи, а также золотым сечением.
На основе доказанных теорем и практических расчетов были предложены рекомендации по применению числовых рядов при подборе параметров в авторегрессиях малых порядков для прогнозирования случайных процессов, позволяющие сократить процедуру выбора из сформированной базы необходимый числовой ряд.
