Введение к работе
з
Актуальность темы и степень разработанности. Линейные системы с управляемыми коэффициентами широко распространены на практике. Особенно ярко это подтверждается активно ведущимися в настоящее время исследованиями квантовых систем и поисками для них решений задач оптимизации (Caneva Т. Optimal control at the quantum speed limit/ T. Caneva, M. Murphy, T. Calarco and others // Phys. Rev. Lett. 103. 240501. 2009. URL: ; Кротов В.Ф. Управление квантовыми системами и некоторые идеи теории оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2009. №3. С. 15-23; Гурман В.И. Магистральные решения в задачах оптимального управления квантомеханическими системами // Автоматика и телемеханика. 2011. №6. С. 115-126). Успешное решение такого рода задач позволит сделать следующий шаг в проблеме создания квантовых компьютеров. При решении такого вида задач активно используется метод глобального улучшения управления Кротова. Очевидно, что развитие метода, его модификации позволят строить более эффективные итерационные процедуры. Анализ исследуемых задач показывает, что многие из них обладают свойством вырожденности: наличием в системе пассивных дифференциальных связей. Переход к производной задаче, предложенный в работах В.И. Гурмана, позволяет уменьшить размерность исследуемой задачи. В свою очередь решение производной задачи носит магистральный характер и, следовательно, обладает неоднородной структурой. Этот фактор позволяет представлять искомое решение в виде дискретно-непрерывного процесса и применять для него модификации глобального метода с целью максимального учета специфики задачи и использования наиболее эффективных вариантов итерационных процедур. Актуальность выбранной темы подтверждает и тот факт, что указанные вопросы рассматривались на международной конференции по периодическим системам (5th IFAC International Workshop on Periodic Control Systems (PSYCO'2013), Кан, Франция, июнь 2013).
В работе систематически развивается метод глобального улучшения управления, рассматриваются его модификации, в том числе и для дискретно-непрерывных систем, а также практические приложения для задач оптимизации квантовых систем. Основой для этого служат достаточные условия оптимальности Кротова, принципы расширения и локализации, минимаксный принцип, глобальный метод улучшения управления, теория вырожденных задач оптимального управления Гурмана, математическая модель и достаточные условия оптимальности дискретно-непрерывных систем
(Дне).
Целью работы является исследование, развитие и применение в итерационных процедурах метода Кротова глобального улучшения управления
для линейных по состоянию систем.
Основные задачи исследования.
-
Экспериментальное исследование глобального метода применительно к га-мильтоновым системам, линейным по состоянию, разработка его модификаций и расширение областей применения.
-
Получение достаточных условий оптимальности и улучшения для линейных по состоянию ДНС и построение для них аналога метода глобального улучшения.
-
Модификация метода применительно к вырожденным задачам с неограниченным линейным управлением.
-
Разработка вычислительных процедур для решения модельных и прикладных задач.
Научная новизна. Новыми результатами являются достаточные условия оптимальности и улучшения для линейных по состоянию ДНС и метод глобального улучшения для этого же класса систем, схема исследования вырожденной задачи оптимального управления для билинейной системы и представление ее магистрального решения в форме ДНС. Полученные результаты расширяют область применения метода глобального улучшения управления.
Теоретическая ценность заключается в реализации поставленной цели — исследовании, развитии и применении в итерационных процедурах метода Кротова глобального улучшения управления для линейных по состоянию систем.
Практическая ценность состоит в расширении круга приложений метода глобального улучшения управления, что позволяет решать с его помощью задачи оптимального управления для линейных ДНС и вырожденных задач в билинейных системах.
Положения, выносимые на защиту.
-
Результаты исследования линейных систем с управляемыми коэффициентами и квадратичным критерием качества методом глобального улучшения управления, в том числе гамильтоновых систем, включая вопросы построения приближенно-оптимального синтеза управления.
-
Достаточные условия оптимальности и улучшения для линейных по состоянию ДНС. Построение метода глобального улучшения управления для линейных ДНС и его модификации для нелинейных ДНС. Теорема об улуч-шаемости начального приближения для линейных ДНС.
-
Результаты исследования билинейных систем на основе теории вырожденных задач. Представление магистральных решений билинейных систем в форме ДНС и модификация метода для этого случая.
-
Апробация предложенных схем и модификаций метода глобального улучшения управления на серии тестовых и содержательных примеров из кван-
товой механики.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных результатов подтверждена доказательствами соответствующих теорем и содержательной интерпретацией решений задач.
Результаты работы были представлены в докладах на следующих научных конференциях: "Методы оптимизации и их приложения". Северобай-кальск, 2008. III Всероссийская молодежная научная конференция по проблемам управления. Москва, 2008. 32-я конференция молодых ученых и специалистов ИППИ РАН "Информационные технологии и системы". Москва, 2009. Молодежный симпозиум с международным участием "Теория управления: новые методы и приложения". Переславль-Залесский, 2009. VI школа-семинар молодых ученых "Управление большими системами". Ижевск, 2009. XI Международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "(конференция Пятницкого). Москва, 2010. VII Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Управление большими системами". Пермь, 2010. Всероссийская конференция "Устойчивость и процессы управления". Санкт-Петербург, 2010. Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения - XXI" Современные методы теории краевых задач. Воронеж, 2010. III Международная конференция "Инфо-коммуниционные и вычислительные технологии и системы". Улан-Удэ, 2010. Modeling and Simulation on Systems. Улан-Батор, 2010. XV Байкальская Международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 2011. Российско-монгольская конференция молодых ученых по математическому моделированию, вычислительно-информационным технологиям и управлению. Иркутск - Ханх, 2011. VIII Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Управление большими системами". Магнитогорск, 2011. Школа-семинар "Модели, оптимизация и приложения импульсных и гибридных систем". Геленджик, 2011. VI Международный научный семинар GSSCP-2012 "Обобщенные постановки и решения задач управления". Геленджик, 2012. Всероссийская конференция "Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах". Санкт-Петербург, 2012. Российско-китайский семинар "Теория оптимального управления и научные вычисления". Шанхай, 2012. X Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Управление большими системами". Уфа, 2013. Numerical Computations: Theory and Algorithms. International Conference and Summer School. Фалерна, Италия, 2013. 5th IFAC International Workshop on Periodic Control Systems. Кан, Франция, 2013. Семинар Лаборатории 45 ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН (рук. проф. В.Ф. Кротов). Семинар ИПС им. А.К. Айламазяна РАН "Модели и методы теории управления "(рук. проф. В.И. Гурман).
