Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ подходов к моделированию оптимального управления линейных многомерных объектов 10
1.1. Математические модели линейных динамических систем 11
1.2 Математические модели замкнутых многомерных систем 14
1.3 Свойства моделей линейных динамических систем 17
1.4 Проблема моделирования синтеза оптимальной стабилизации.20
1.5 Моделирование синтеза систем оптимальной стабилизации 27
Выводы и задачи диссертационного исследования 32
2. Моделирование оптимальных стабилизации многомерных линейных систем 34
2.1 Моделирование оптимальной стабилизации с применением алгебраического уравнения Риккати 34
2.2 Моделирование оптимальной стабилизации с применением дифференциального уравнения Риккати 41
2.3 Моделирование оптимальной стабилизации дискретных систем 43
Выводы 49
3. Численное моделирование оптимальной стабилизации многомерных линейных систем 50
3.1 Описание применения методики численного моделирование синтеза оптимальной стабилизации 50
3.2 Численное моделирование оптимальной стабилизации многомерных линейных систем с применением системы MathCAD12 56
Выводы 62
4. Применение разработанной методики и решение задач моделирования оптимальной стабилизации многомерных линейных систем на примере модельных систем 63
4.1 Моделирование оптимальной стабилизации на примере процесса полимеризации 63
4.2 Моделирование оптимальной стабилизации на примере процесса ректификации 82
Выводы 92
Заключение 93
Библиографический список 95
Приложение 107
- Свойства моделей линейных динамических систем
- Моделирование оптимальной стабилизации с применением алгебраического уравнения Риккати
- Описание применения методики численного моделирование синтеза оптимальной стабилизации
- Моделирование оптимальной стабилизации на примере процесса полимеризации
Введение к работе
Актуальность темы. Современный уровень информационных и управляющих систем в значительной мере определяется эффективностью методов и средств информационного и математического обеспечения, среди которых важное значение отводится методам синтеза оптимальных систем управления.
Интенсивное развитие методов синтеза оптимальных систем управления обусловлено с одной стороны возрастающими возможностями средств вычислительной техники, с другой стороны системным подходом к решению этой проблемы, включающим методологические, информационные и математические аспекты.
Применение в системах управления современной микропроцессорной техники открывает широкие возможности на новом качественном уровне решать задачи стабилизации режимных параметров, используя оптимизационные подходы и новые информационные технологии. Проведенный анализ показывает, что задачи оптимальной стабилизации технологического режима для многомерных объектов, в окрестности заданной регламентом, являются первоочередными, в связи с повышением требований к качеству выпускаемой продукции. Для повышения качественного уровня управления недостаточно применять универсальные пропорционально - интегрально - дифференциальные регуляторы, так как необходимо учитывать дополнительно
«индивидуальные» характеристики объекта управления,
технологические ограничения, чувствительность, то есть необходимый объем информации, содержащийся в математической модели. Отсюда следует, что задача синтеза оптимальной стабилизации технологического режима многомерных линейных объектов можно рассматривать как актуальную задачу моделирования синтеза управления для выделенного класса объектов на основе системного подхода с использованием современных методов оптимизации. В теории систем современные методы оптимизации основаны на применении принципа максимума, вследствие этого, использование принципа максимума является актуальным и перспективным направлением.
В работе исследуются математические модели линейных многомерных объектов управления с постоянными параметрами, но полученные результаты можно использовать и для объектов с медленно изменяющимися параметрами, которые с допустимой погрешностью можно считать постоянными на заданном интервале времени.
Предполагается, что математические модели удовлетворяют условиям управляемости и наблюдаемости. В качестве критерия оценки качества стабилизации используется интегральный квадратичный критерий. Постановка задачи разработки методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации основана на применении принципа максимума, имеет практическую направленность вследствие
общепромышленного применения, ее разработка является актуальным исследованием.
Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка и обоснование методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации состояния многомерных линейных динамических систем на основе принципа максимума, разработка алгоритмического и программного обеспечения.
Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи исследования:
на основе принципа максимума поставить задачу оптимальной стабилизации для замкнутых обратной связью линейных многомерных динамических объектов;
исследовать свойства блочной матрицы оптимальной замкнутой гамильтоновой системы и корней ее характеристического уравнения, разработать методику выделения и упорядочения устойчивых корней и их расположения в блоках определяющих единственное устойчивое решение матричного уравнения Риккати, получить решение матричного уравнения Риккати, определяющего структуру обратной связи управления;
на основе полученных результатов разработать методику моделирования синтеза оптимальной стабилизации системы;
разработать алгоритмы и программы для реализации методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации линейных динамических объектов;
произвести апробацию полученных результатов на примерах синтеза модельных систем различных порядков.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы применялись: теория автоматического управления, теория оптимальных систем, алгебра матриц, методы математического моделирования, инструментальные средства интегрированных программных систем компьютерной математики.
Научная новизна работы: В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:
Методика упорядочения устойчивых корней характеристического уравнения гамильтоновой матрицы и их расположения в заданных блоках, отличающаяся отсутствием ее промежуточных преобразований к треугольной структуре, без использования операций ортогонализации, отражения и вращения, обеспечивающая устойчивость синтеза апериодического управления.
Методика моделирования синтеза оптимальной стабилизации многомерных линейных систем, отличающаяся отсутствием сложной операции развязывания перекрестных связей.
Алгоритмы реализации разработанной методики, особенностью
которых является решение характеристического уравнения
многомерной системы без явного обращения системной матрицы,
вычисление коэффициентов характеристического полинома,
используя операции вычисления следа присоединенных матриц.
Практическая значимость. Результаты работы (теоретические
положения, методика синтеза стабилизирующих управлений и
алгоритмы и программы) могут быть использованы при разработке
апериодических систем управления линейными многомерными
объектами. Практическое значение имеют результаты, позволяющие
путем моделирования процесса синтеза разрабатывать оптимальные,
устойчивые алгоритмы управления многомерными объектами, применяя
разработанные алгоритмы и комплексы программ. Комплекс алгоритмов
и программ можно рекомендовать проектным организациям для
разработки оптимальных замкнутых систем управления многомерными
процессами, а также использование их в системах управления на
предприятиях химической и пищевой промышленности.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы доложены на 17 международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», том 2, Кострома, 2004., в международной школе-семинаре "Современные проблемы механики и прикладной математики" Воронеж 2004, а также
на научных конференциях профессорско-преподавательского состава и научных работников ВГТА, 2003 - 2005 г.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 работ, в том числе 5 статей и зарегистрированы 2 программных продукта.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 122 страницах; состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 94 наименований и приложений.
Диссертация выполнена на кафедре информационных и
управляющих систем Воронежской государственной технологической
академии в соответствии с планом госбюджетных научно-
исследовательских работ по теме: по теме «Разработка и
совершенствование математических моделей, средств и систем
автоматического управления технологических процессов»
№г.р. 01960007315.
Свойства моделей линейных динамических систем
Прежде чем ставить задачи моделирования синтеза любой системы регулирования или управления, необходимо выяснить, обладает ли модель свойством быть управляемой, достаточна ли имеющаяся информация о доступных наблюдению переменных, чтобы поставленная задача имела смысл. Формулировка и содержательный смысл этих понятий были основными задачами, поставленными при решении проблем управления в пространстве состояния, решение которых в значительной мере способствовало развитию информационных технологий и моделирования.
По Калману [90] линейная система (1.4) является полностью управляемой, если она может быть переведена из нулевого состояния в момент /0 в любое конечное состояние x(tl) = xl за конечное время t{0. При этом имеется ввиду, что существует кусочно-непрерывная входная переменная u(t), t0 t t{, которая осуществляет такой переход. Проверить обладает или нет этим свойством математическая модель системы, можно следующим образом. Из характеристических матриц системы (1.4) составляется матрица управляемости: Q = (B\AB\-A"-XB). (1.26) Если ранг этой матрицы равен п, т.е. рангу системной матрицы А, то модель обладает свойством управляемости. Необходимо отметить, что подпространство управляемых состояний является линейным подпространством, порожденным столбцами матрицы Q. Однако, в пространстве состояния, модель может иметь как устойчивые, так и неустойчивые компоненты вектора состояния. Таким образом, пространство состояния можно разделить на подпространство устойчивых и неустойчивых состояний. В [38,78] вводится определение: линейная система с постоянными параметрами является стабилизируемой, если подпространство неустойчивых состояний содержится в подпространстве управляемых состояний. Пара [А, В) будет стабилизируемой, если модель (1.4) стабилизируема. При анализе задачи моделирования системы по измеряемому выходу, рассматривается модель в подпространстве выходных переменных пространства состояния, т.е. система уравнений (1.4), (1.5). В этом случае важно знать, обладает ли данная система свойством, позволяющим определит ее состояние по поведению выходного сигнала. Для этого вводится понятие наблюдаемости. По Калману [90] линейная система является полностью наблюдаемой, если для всех значений /, существует начальное значение t0 -со t0 t{ , что из равенства: y(t,t0,x0,u) = y(t,t0x 0,u) . (1-27) для всех u(t), t0 t t{ следует равенство х0 = х 0. Аналогично управляемости система является полностью наблюдаемой, если матрица наблюдаемости: Р = {С\СА---СА"-ХУ (1.28) имеет ранг п. Отсюда следует, что если система является полностью наблюдаемой, и выходная переменная наблюдается до произвольного момента tx, то всегда существует момент t0 /, при котором состояние системы может быть определено единственным образом. По аналогии с понятием стабилизируемой системы вводится понятие детектируемой пары {С, А). Пара {С, А} называется детектируемой, если ее неустойчивые собственные значения наблюдаемы. Из изложенного можно сделать важный вывод относительно стабилизируемых систем. Пара {А, В} называется стабилизируемой, если существует матрица К такая, что матрица замкнутой системы А + ВК является устойчивой. Пара {С, А) называется детектируемой, если существует такая матрица L, что матрица Ал-LC устойчива. Обоснование условий, обеспечивающих устойчивость этих матриц, является одной из основных задач моделирования синтеза систем стабилизации в пространстве состояния.
Синтез оптимальных систем стабилизации имеет длинную историю, начиная с изобретения регулирующих устройств. Выбор структуры и параметров автоматической системы определяет ее динамические свойства. Устойчивость системы, как правило, является необходимым, но не достаточным условием, для того, чтобы система выполняла удовлетворительно свои функции. Так возникли дополнительные требования, которые можно назвать требованиями к качеству системы, которые в настоящее время можно назвать требованиями оптимального качества.
Моделирование оптимальной стабилизации с применением алгебраического уравнения Риккати
Получение изопрена в настоящее время в промышленности проводится экономически выгодным способом-дегидрированием изопентана. Сущность данного процесса состоит в последовательном превращении изопентана в изоамилены и в изопрен. В качестве сырья для процесса используется изопентан, выделяемый из бензиновых дистиллятов после стабилизации нефти.
Значительное место в производстве изопрена занимают процессы разделения, в частности процесс экстрактивной ректификации изопентан - изоамиленовой фракции.
Изопентан - изоамиленовую фракцию разделить методом обычной ректификации не представляется возможным, так как температуры кипения отдельных компонентов близки между собой. Подобные смеси подвергаются разделению методом экстрактивной ректификации.
Основной особенностью процесса экстрактивной ректификации является наличие растворителя. Растворителем обычно берется вещество, образующее с компонентами иррегулярные смеси. Техническая эффективность селективного растворителя определяется двумя факторами [37]: 1) его растворяющей способностью в отношении к менее растворимому компоненту разделяемой смеси; 2) обеспечением достаточного изменения летучести разделяемых компонентов смеси относительно друг друга. Под летучестью понимается отношение молярной доли компонента смеси в парах к его молярной доле в жидкости, находящейся в равновесии с парами. Если температура растворителя ниже температуры на контрольной тарелке, то значительное количество ключевых продуктов растворяется в растворителе (увеличивается количество внутренней флегмы), поэтому для поддержания постоянной концентрации углеводородов в растворителе количество внешней флегмы должно быть уменьшено. На основе анализа этих факторов можно сделать вывод, что в процессе экстрактивной ректификации существует оптимальный расход флегмы, при котором четкость разделения максимальна, а потери целевого продукта с дистиллятом минимальны. Необходимо отметить, что при экстрактивной ректификации температура в кубе оказывает значительное влияние на процесс разделения и не является однозначной функцией и ее необходимо регулировать [83]. Повышение температуры в кубе относительно нормы ухудшает качество дистиллята при практически постоянном качестве кубового остатка и, наоборот, при понижении температуры качество кубового остатка значительно ухудшается при практически постоянном качестве дистиллята, т.е. существует верхний предел чистоты получаемых продуктов.
Описание применения методики численного моделирование синтеза оптимальной стабилизации
В данной главе проведена апробация методики моделирования оптимальной стабилизации многомерных линейных систем. В качестве объектов экспериментальной апробации выбраны: 1. Процесс полимеризации в растворе в присутствии катализаторов Циглера, Натта. 2. Процесс экстрактивной ректификации. Разработан пакет прикладных программ, реализующий процесс синтеза систем оптимальной стабилизации на примере процесса экстрактивной ректификации[49,50] Разработан пакет прикладных программ, реализующий процесс синтеза систем оптимальной стабилизации на примере процесса полимеризации[49,50] Пакет прикладных программ, реализующий процесс синтеза систем оптимальной стабилизации, зарегистрирован в Государственный фонд алгоритмов и программ. Регистрационный номер 50200501615. В диссертационной работе решена актуальная задача разработки методики моделирования синтеза оптимальной стабилизации многомерных линейных систем на основе принципа максимума и её апробация. Основные результаты теоретических и экспериментальных исследований: 1. Разработана методика моделирования синтеза оптимальной стабилизации переменных состояния линейных многомерных объектов с постоянными параметрами на основе принципа максимума, обеспечивающая устойчивое апериодическое управление. 2. На основе исследования блочной матрицы предложена и обоснована методика решения нелинейного матричного уравнения Риккати при помощи выделения субматриц из упорядоченной гамильтоновой матрицы системы, обладающих свойством инвариантности по отношению к отрицательным вещественным корням. 3. Получено явное решение для оптимальных управлений и оптимальных траекторий в пространстве состояний, с использованием полученного решения уравнения Риккати без введения компенсаторов перекрестных связей. 4. На основе проведенных исследований разработана методика-синтеза оптимального управления, реализованная в среде MathCAD 12 Professional, реализация которой демонстрируется на модельном численном эксперименте. 5. Разработан комплекс алгоритмов и программ моделирования синтеза систем оптимальной стабилизации, позволяющий осуществлять вычислительные эксперименты в процессе модельного проектирования систем управления. 6. Проведена апробация разработанной методики моделирования на примерах оптимальной стабилизации процесса полимеризации и процесса ректификации.
Моделирование оптимальной стабилизации на примере процесса полимеризации
Данная глава посвящена описанию применения методики численного решения задачи оптимальной стабилизации, которая иллюстрируется численным примером моделирования системы оптимальной стабилизации.
Разработанная методика позволяет: Выполнять синтез системы оптимального апериодического управления обеспечивающего оптимальную стабилизацию многомерной линейной системы, используя пакеты вычислительной математики . Проводить вычисления, используя средства вещественной дискретной математики. Поэтапная процедура расчета даёт возможность на каждом этапе осуществлять контроль и при необходимости вносить изменения и устранять ошибки. Осуществлять проектирование систем оптимальной стабилизации и использоваться в проектных организациях и на предприятиях для расчета оптимальных настроек регуляторов. Исключить процедуру компенсации перекрестных связей при синтезе многомерных систем управления. Производства синтетических каучуков [2,] общего назначения организованы полимеризацией в растворе в присутствии катализаторов Циглера, Натта или литий алкилов. Наиболее важной стадией производства является стадия полимеризации, в процессе которой формируются основные физико-механические характеристики полимера. В процессах синтеза, как правило возникают ситуации приводящие к возникновению сложных динамических режимов химико-технологической системы в целом (ХТС) [29]. Качество полимера определяется такими показателями как вязкость по Муни (Mh) и пластичность по Карреру (Р1), которые в свою очередь являются интегральными характеристиками параметров молекулярно-массового распределения (ММР), средней молекулярной массы (ММ), коэффициента полидисперсности (Кп) и разветвленности полимера (g). В настоящее время, в связи с повышением требований к качеству выпускаемых полимерных материалов широкое развитие получили работы по созданию автоматизированных систем управления ХТС. Трудность в разработке таких систем связана с отсутствием автоматических приборов контроля качественных показателей. Разработки, осуществляемые в этом направлении, в основном, основаны на использовании: гельпроникающей хроматографии (ГПХ); регрессионных зависимостей, связывающих показатели качества полимера с температурой, токовой нагрузкой на двигатели перемешивающих устройств и т. д. Однако вышеперечисленные методы не нашли должного применения в производстве синтетического каучука, в связи с длительностью цикла-анализа, соизмеримого со средним временем пребывания реакционной смеси в каскаде аппаратов в первом случае, и возникновением неидентифицируемых ошибок во втором. Рассмотрен способ управления непрерывным процессом растворимой полимеризации в батарее воздействием на расход катализатора в первый и второй реакторы батареи при стабилизированных значениях температуры и расходов мономеров и растворителя, а также температуры полимеризации в первом и втором реакторе батареи.
