Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Особенности задач оптимального управления состоянием плазмы в Токамаке II
1.1. Физические процессы в плазме токамака 12
1.2. Математические модели процессов в плазме токамака 27
1.3. Методы решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами 34
ГЛАВА 2. Оптимальное управление нагревом плазмы 42
2.1. Постановка задачи оптимального управления . 42
2.2. Дискретизация задачи 48
2.3. Алгоритм оптимизации 53
2.4. Результаты оптимизации управления разрядным током 57
2.5. Управление охлаждением периферии плазменного шнура 60
2.6. Краткие выводы 73
ГЛАВА 3. Снижение МГД-активности плазмы путем управления величиной разрядного тока 75
3.1. Постановка задачи 76
3.2. Алгоритм решения задачи 82
3.3. Результаты вычислений 93
3.4. Выводы 103
ГЛАВА 4. Эволщия распределения тока в регулируемом магнитном поле 107
4.1. Вывод уравнений эволюции 108
4.2. Результаты численного моделирования ИЗ
4.3* Возможности регулирования 116
4.4. Оптимизация режимов управления 120
4.5. Краткие выводы 125
ГЛАВА 5. Оптимальная идентификация распределений параметров плазмы 126
5.1. Особенности задач идентификации распределений параметров плазмы 126
5.2. Оценка качества диагностики 130
5.3. Оптимизация по параметру регуляризации 140
5.4. Программы обработки диагностических данных . 164
5.5. Выводы 174
Заключение 176
Литература 179
- Методы решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами
- Результаты оптимизации управления разрядным током
- Результаты численного моделирования
- Оптимизация по параметру регуляризации
Введение к работе
Предмет исследования и его актуальность. В настоящее время наиболее значительные успехи в практическом осуществлении управляемой термоядерной реакции достигнуты на установках токамак [44,11?], представляющих собой тороидальную камеру,плазменный виток в которой разогревается, в основном, протекающим по нему продольным током. Эксперименты на этих установках способствовали существенному развитию теории процессов, протекающих в высокотемпературной плазме, и позволили вплотную приблизиться к необходимым для зажигания реакции условиям. Последние задаются известным критерием Лоусона, накладывающим ограничения снизу на температуру плазмы и так называемый параметр удержания а ТЕ /п -плотность плазмы, ТЕ - энергетическое время жизни разряда/. В настоящее время как в СССР, так и за рубежом ведется проектирование и строительство токамаков, ориентированных на достижение зажигания и превосходящих существующие по размерам, параметрам электромагнитной системы, мощности источников дополнительного /неомического/ нагрева и др. параметрам. Эти разработки требуют значительных материальных затрат и решения сложных технических проблем. Ввиду этого строительство установки, предназначенной для демонстрации технологической реализуемости управляемой термоядерной реакции, предполагалось осуществлять кооперативно с участием нескольких стран /проект INTO Л [121,122]/.
В последнее время на ряде установок были получены экспериментальные результаты [15,42,119,126] показывающие,что распределение параметров плазмы по сечению шнура заметно влияет как на перенос в плазме, так и на взаимодействие плазмы со стенкой камеры. Помимо этого, от профилей различных параметров, в первую очередь, продольного тока и газокинетического давления, зависит
МГД - активность плазмы [5,42,61,62,110,133]. Известно, что МГД-неустойчивости играют заметную роль в протекании разряда в тока-маке, ухудшая удержание энергии и частиц и способствуя проникновению примесей во внутреннюю область шнура. Наиболее неблагоприятной с этой точки зрения является начальная /нестационарная/ стадия разряда, когда профили температуры и плотности тока имеют тенденцию к образованию скин-слоя у поверхности плазмы, а МГД -активность весьма высока. В результате регулирование состояния плазмы на нестационарной стадии может оказывать сильное благоприятное воздействие на основные параметры разряда,такие как достигаемая температура плазмы и параметр удержания п ТЕ .При этом улучшение параметров разряда достигается не только на начальной стадии разряда, но и в конечном, квазистационарном состоянии.Исследования в этом направлении представляются весьма перспективными, так как, возможно, позволят достигнуть и поддержать условия, необходимые для зажигания, при меньших размерах и энергооснащенности установки. Таким образом удастся понизить стоимость и техническую сложность разработки термоядерного реактора.
Во многих проектируемых ныне установках предусматривается возможность регулирования продольного тока, продольного магнитного поля, большого и малого радиусов шнура, концентрации нейтральных атомов в пристеночной области,мощности источников дополнительного нагрева и других параметров, влияющих на протекание разряда. Поэтому проблема выбора режимов управления,оптимизирующих достигаемые параметры плазмы, является в настоящее время крайне актуальной. Эмпирический выбор таких режимов представляется затруднительным как ввиду сложности процессов,протекающих в высокотемпературной плазме, так и ввиду большого количества имеющихся в распоряжении управляющих воздействий.
Диссертация посвящена постановке и исследованию различных - б - задач оптимального управления эволюцией распределений параметров плазмы в токамаке, а также решению этих задач методами, разработанными в теории оптимального управления.
Математическая теория управления к настоящему времени нашла широкое применение в экспериментальных исследованиях на установках токамак. Большое число работ посвящено стабилизации обратными связями различных неустойчивостей, прежде всего магнитогидро-динамических [1,2,3,20,49,53,54,64,116,124,129 и др.] . Автоматическое регулирование применяется также в электромагнитной системе токамака для задания режимов изменения токов и компонент магнитного поля во времени, для поддержания равновесия шнура по большому радиусу, в системе напуска газа для задания режима изменения концентрации плазмы и т.д. [ ЮЗ, 115,119 и др.] . Рассматривались также некоторые задачи оптимизации экспериментов на установках токамак, в частности, оптимизация токов, поддерживающих равновесие плазмы [22,80,104,106] , оптимизация распределения тока по сечению шнура с точки зрения устойчивости к определенным видам МГД - возмущений [5,112,118,133 и др.] . Однако задачи оптимального программного управления состоянием плазмы на нестационарной стадии разряда с учетом как временной эволюции параметров плазмы, так и их пространственного распределения до настоящего времени не рассматривались.
В одной из глав работы рассматривается задача оптимальной идентификации пространственных распределений параметров плазмы по данным интегральных измерений. В настоящее время экспериментальные данные, получаемые при диагностике плазмы в термоядерных установках, обычно представляют собой результат объемного или хордового усреднения интересующих параметров плазмы [51] . Восстановление по этим данным пространственных распределений параметров, как известно, является некорректной по Адамару задачей [51,52,73 J , для решения которой применяются различные методы регущяризации. Достоверность и содержательность полученной таким образом информации существенно зависит от удачного выбора алгоритма регуляризации и правильного назначения входящих в алгоритм параметров, в связи с чем возникает проблема оптимальной регуляризации некорректных задач математической физики [4,18,37,73,88,135] . При диагностике термоядерной плазмы из-за технических сложностей информация, получаемая при измерениях, довольно бедна. Оптимизация регуляризационных алгоритмов в такой ситуации особенно важна,так как, возможно, позволит как повысить достоверность и информативность результатов диагностики, так и снизить стоимость диагностической аппаратуры. Кроме того, разработка алгоритмов идентификации состояния плазмы, сочетающих эффективность с вычислительной экономичностью, необходима для создания систем автоматического регулирования термоядерных установок.
В рамках метода А.Н.Тихонова, принятого за основу в настоящей работе, для выбора параметра регуляризации, от которого существенно зависит качество получаемого решения, чаще всего применяются метод определения по невязке и его обобщения [87,88,89] , методы выбора квазиоптимального значения и выбора по отношению норм [37,88] и некоторые другие. Общим недостатком перечисленных методов является громоздкость вычислений, требуемых для назначения параметра регуляризации, причем для каждого набора экспериментальных данных последний должен вычисляться заново. При массовой обработке однотипных наборов данных, что имеет место как в системах автоматизированной обработки экспериментальных данных, так и системах автоматического регулирования плазменных установок, более естественно осуществлять выбор параметра регуляризации априорно, независимо от конкретного набора данных. Для этого выбор должен производиться исходя из некоторых априорно вычисляемых кри- териев качества регуляризации, как это делается, например, в работах [4,18,135 J . в настоящей работе в качестве критериев качества регуляризации принимаются, с одной стороны, чувствительность результата к случайным возмущениям данных, а с другой -разрешающая способность диагностики. Аналогичные критерии применялись в работе Г135 J , однако их математическая формализация производится в настоящей работе иным способом.
Цель работы. Используя сравнительно простые модели эволюции плазмы, изучить некоторые возможные математические постановки задач оптимального управления, возникающих из проблемы выбора оптимальных режимов разряда в токамаке. Оценить возможности различных управляющих воздействий, величину полезного эффекта, достигаемого при оптимизации, и выделить на качественном уровне основные эффекты, определяющие оптимальные режимы протекания нестационарной стадии разряда. Выбрать методы, пригодные для решения нелинейных задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, возникающими в физике высокотемпературной плазмы. Разработать алгоритмы восстановления пространственных распределений параметров плазмы по данным интегральных измерений, удовлетворяющие требованиям вычислительной экономичности и максимально полного использования полученной в эксперименте информации.
Структура и содержание. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и двух приложений. Объем основного материала составляет 126 страниц машинописного текста и 52 рисунка.
В главе I обсуждаются математические модели, применяемые для описания плазмы, и методы решения задач оптимального управления объектами с распределенными параметрами.
Методы решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами
Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, в особенности, системами, описываемыми уравнениями с частными производными, разрабатывалась в работах А.Г.Бутковско-го, А.И.Егорова, Ж.-Л.Лионса, К.А.Лурье, Т.К.Сиразетдинова и многих других авторов. В настоящее время литература по этой теме настолько обширна, что дать сколько-нибудь полный обзор было бы затруднительно. Основные результаты можно найти в монографиях [9}Ю?11}ЗЧ)5Т-,&$\852 . Целью настоящего раздела является обсуждение применимости различных методов к нелинейным задачам, возникающим в физике высокотемпературной плазмы.
Методы решения задач оптимизации часто подразделяют на прямые и непрямые. В первых поиск минимума функционала, заданного на некотором множестве, производится путем построения минимизирующей последовательности элементов множества. Непрямыми называют методы, в которых оптимальный элемент находится из решения уравнений,представляющих собой необходимые или достаточные условия экстремума. При оптимизации систем с распределенными параметрами наибольшее распространение получили непрямые методы /использование принципа максимума Л.С.Понтрягина, метод динамического программирования, метод моментов/. Достоинствами этих методов является высокая степень математической обоснованности, возможность теоретического исследования свойств оптимального управления. Однако применение этих методов к задачам управления нелинейными системами, а также к задачам с фазовыми ограничениями, наталкивается на серьезные затруднения.
Основные трудности, связанные с применением метода динамического программирования, заключаются в решении уравнения Беллмана, которое оказывается уравнением с частными производными, даже если объект управления описывается конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Для линейных систем с квадратичным критерием качества функция Беллмана допускает простую параметризацию, что позволяет свести уравнение Беллмана к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Если же объект описывается нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, решение уравнения Беллмана оказывается возможным лишь при малой размерности системы І933.
Успешное применение принципа максимума для решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами также имело место в основном в случае линейных задач с квадратичным критерием качества, а также линейных задач на быстродействие. Хотя получение необходимых условий экстремума в форме принципа максимума возможно и для задач управления нелинейными системами , решение возникающей при этом краевой задачи является весьма сложной проблемой. Опыт решения задач оптимального управления конечномерными системами показывает, что непосредственное применение принципа максимума в задачах управления нелинейными объектами связано с серьезными вычислительными трудностями [79,93 J Затруднения возникают также при применении принципа максимума к задачам с фазовыми ограничениями. Метод моментов в силу своей специфики применим только после сведения задачи к линейной.
Одним из возможных подходов к решению задач оптимального управления нелинейными системами является линеаризация описывающих систему уравнений. Точность получаемых решений может быть повышена путем итераций. Поскольку подобные итерационные схемы могут сходиться в основном при слабой нелинейности, такой подход будет далеко не всегда применим к задачам управления разрядом в токамаке.
Результаты оптимизации управления разрядным током
В настоящей главе рассматривалась задача оптимизации нагрева плазменного шнура. Для ее решения применялся метод градиентного спуска, причем вычисление градиента производилось путем решения сопряженной системы уравнений.
Оказалось, что повышение эффективности нагрева, достигаемое при управлении продольным током шнура, невелико /около 10%/. Анализ решений сопряженной системы уравнений показал, что охлаждение периферии шнура на начальном этапе должно приводить к повышению температуры в конце разряда за счет ускорения диффузии тока магнитной оси. Ввиду этого в модель плазмы был введен управляемый источник тепла, описывающий охлаждениеплазмы при инжекции холодного газа. Как показало решение модифицированной таким образом задачи оптимального управления, температура может быть при этом повышена в несколько раз, что в определенной мере согласуется с результатами экспериментов на PL7 (H9]. Весьма интересным было бы включение в модель плазмы аномального переноса, а также более реалистичное описание процессов в электромагнитной системе тока-мака.
Примененная здесь методика решения задач оптимального управления оказалась довольно эффективной. Особенно важными кажутся следующие ее достоинства.
1. Методика нечувствительна к нелинейности задачи.
2. Вычислительная схема легко перестраивается при изменении коэффициентов, добавлении новых членов в уравнения эволюции, новых переменных и уравнений и т.д.
3. Сопряженные переменные /множители Лагранжа/ сами по себе несут довольно существенную информацию о задаче. Они могут в какой-то степени характеризовать эффективность тех или иных управляющих воздействий, что может быть использовано для модификации задачи. Последнее представляется весьма важным, так как при решении прикладной задачи выбор управляющих параметров, критериев и модели процесса часто представляет собой более сложную часть, чем собственно решение задачи.
Результаты численного моделирования
Если бы в уравнении /4.1.13/ отсутствовал конвективный член, класс достижимых профилей ju не расширялся бы при введении продольного магнитного поля в качестве дополнительного управления. Поэтому основной целью численного моделирования системы /4ЛЛЗ/-/4Л.І4/ являлось выяснение зависимости ее решений /в особенности квазистационарных/ от конвективного члена уравнения /4.1. 13/. Для этого уравнение /4.1.16/ было численно проинтегрировано для различных распределений проводимости по сечению шнура, имеющих вид J 2(fr) [(4 x) (l-Xj + ftJ . Результаты представлены на рис. 4.2.1. Как видно, профиль J - начинает заметно меняться только при Л 50, Оценим значения /I , достижимые в реальной установке. Для токамака с d = 5 см и характерной температурой электронов I кэВ, предполагая t0 = 10 мсек и 1 Щ? 4 ; имеем Л& 5. Поэтому можно считать, что при достаточно медленных, чтобы удовлетворять принятым допущениям, изменениях продольного магнитного поля конвективный член уравнения АЛ. 16/ слабо влияет на квазистационарный профиль М , вследствие чего условие /4.1.18/ можно считать несущественным. Аналогичные результаты были получены и при других распределениях температуры. Как видно из других кривых на рис. 4.2 Л чувствительность величины JA к профилю температуры на квазистационарном режиме также не слишком велика. Поэтому не обязательно требовать представления р(х?і) в виде /4.1.15/.
В дальнейших расчетах проводилась оценка влияния конвекции на поведение величины и в нестационарных режимах. Поскольку воздействие конвекции должно наиболее сильно сказываться при немонотонном профиле fM , в качестве примера была выбрана ре лаксация скицированного профиля JA , возникающего после достаточно быстрого наращивания тока, моделируемая при различных значениях А Как показывает пример, приведенный на рис. 4.2.2 влияние конвекции можно и в этом случае считать несущественным. Судя по результатам вычислений, эволюция профиля J - определяется в основном изменениями граничного условия Jla-Ui/Uz ПРИ наращивании и & профиль тока проявлял тенденцию к скинированию, при снижении - к обострению.
Как свидетельствуют результаты расчетов, в случае не слишком быстрых изменений продольного магнитного поля одним из членов уравнения /4.1.8/ можно пренебречь, после чего пара уравнений Ш и 002 (t) при заданном профиле температуры заменяется одним - граничным значением НаШ-ОО ООг., Это однако, не означает, что применение продольного магнитного поля для управления профилем J неэффективно. Во-первых, в данной модели не рассматривается косвенное влияние изменений продольного магнитного поля, осуществляющееся за счет воздействия на профиль электронной температуры. Во-вторых, что более важно, управление продольным полем дает возможность независимо изменять и продольный ток. В частности, одной из возможных причин улучшения МГД - устойчивости плазмы в опытах на установке "TyMaH-2"[V2j, являлось быстрое уменьшение Ма. при поджатии плазмы продольным полем и создание, таким образом, обостренного профиля М При этом снижение На осуществлялось без понижения продольного тока и мощности омического нагрева.
Особенный интерес представляет возникновение при согласован - 11.7 -ном изменении продольного тока и продольного магнитного поля квазистационарного распределения J по сечению шнура, определяемого уравнениями A. I.I6/-/4.1.I7/. Это дает возможность уже на стадии увеличения тока получать монотонно убывающие по малому радиусу профили и и снизить таким образом МГД - активность плазмы. Для реализации такой возможности можно предложить специальный двухэтапный режим наращивания внешнего электромагнитного поля, представленный на рис. 4.3.1. До момента / при сравнительно небольшом продольном магнитном поле вг осуществляется подъем тока X вплоть до достижения желаемой величины J a Затем на интервале ti t tz ток и продольное поле стабилизируются и возникает промежуточное квазистационарное состояние. На следующем этапе (ti t t$) 0 а параметра синхронно наращиваются до стационарных значений Хст бег с сохранением М а В соответствии с результатами моделирования, которые описаны в предыдущем разделе, форма кривых Ш и B.(t) слабо влияет на профиль тока при условии сохранения постоянного значения JI на границе и может определяться из других соображений /например, по влиянию на профиль плотности и температуры/. В данных режимах скиновые явления возможны только на этапе, когда энергия плазмы невелика, вследствие чего неблагоприятные последствия развития МГД - неустойчивостей и взаимодействия плазмы со стенкой должны уменьшаться. При этом можно ожидать снижения потока примесей в плазменный шнур, что в конечном итоге позволяет улучшить параметры плазмы в квазистационарном состоянии. Кроме того, на участке г t t$ возможны и другие положительные эффекты, в частности, разогрев и сжатие плазмы нарастающим магнитным полем, однако количественный вклад этих эффектов трудно оценить теоретически.
Оптимизация по параметру регуляризации
Описанный в настоящей главе алгоритм реализован в виде комплекса программ на языке ФОРТРАН. Программы ориентированы на восстановление распределения интенсивности излучения плазмы по известным хордовым интегралам в случае, когда известна структура магнитных поверхностей. В качестве базисных были выбраны ступенчатые функции, являющиеся характеристическими функциями системы ячеек /конечных элементов/, на которые разбивалась область, занимаемая плазмой. Границами ячеек служили магнитные поверхности, так что ячейки имели малую протяженность только в поперечном к магнитным поверхностям направлении, В результате, если оправдывается исходное предположение о совпадении поверхностей равной светимости с магнитными поверхностями, хорошая разрешающая способность может быть достигнута при сравнительно малой размерности задачи.
Авторами программ являются И.К.Рубин и Ю.В.Яковенко. Программы были внедрены в Харьковском физико-техническом институте /акт о внедрении и справка об экономическом эффекте приведены в приложении I/. Отладка программ, а также вычисления производились на ЭВМ БЭСЕ-б, однако приходилось учитывать, что в дальнейшем может потребоваться использование программ в автоматических системах диагностики плазмы, созданных на базе ЭВМ других типов. Это обусловило наложение на язык программирования соответствующих ограничений. Подробное описание программ содержится в приложении 2. Можно кратко отметить, что комплекс программ выполняет следующие функции:
1. Построение системы ячеек заданной степени мелкости по нескольким таблично заданным магнитным поверхностям путем интерполяции.
2. Построение матрицы А , входящей в соотношение /5.2.1/, и матрицы W вида /5.3.5/, входящей в стабилизатор /5.3.3/ по заданной системе ячеек и заданному множеству хорд интегрирования.
3. Построение решения f- в соответствии с /5.2.8/, /5.3;6/.
4. Оценка точности решения по критериям /5.2.13/, /5.3.7/, /5.3.8/.
Программы были использованы для обработки диагностических данных, полученных на установке "Ураган-3". Восстанавливалось распределение интенсивности излучения плазмы в некотором сечении разрядной камеры /двумерная задача/. Измерения производились для длин волн Д = 4267 А и Л = 4647 А. Предполагалось, что изолинии светимости совпадают с магнитными поверхностями конфигурации, изображенной на рис. 5.4.1 и рассчитанной теоретически для стеллараторных обмоток в отсутствие плазмы. Измерения производились вдоль пучка хорд, имевших различный угол наклона и пересекавшихся в точке /133,6 см; О/.
Рассчитанная интенсивность излучения приведена на рис. 5.4.2 - 5.4.3. На рис. 5.4.4 - 5.4.5 изображены хордовые интегралы й[ вдоль различных хорд, соответствующие вычисленным распределениям /то есть S А{ /. Для сравнения на тех же гра-фиках приводятся измеренный сигнал а і , использовавшийся как исходные данные для вычислений. Хорошо видно, что при малых значениях параметра регуляризации / fii = р (-10) / сглаживание вносит слабые искажения в результат. Если считать а и о функции угла наклона хорды к оси абсцисс $ , то как показывают 5.4.4 - 5.4.5 с хорошей точностью Q
При более высоком параметре регуляризации / L=exp max {-7; -№+0,5і] / графики несколько сглаживаются.
Для рассчитанной интенсивности излучения /рис. 5.4.2-5.4.3/ характерны отрицательные значения в центральной части шнура. Представленные на рис. 5.4.6 - 5.4.7 графики, характеризующие уровень погрешностей, показывают, что полученные результаты следует считать вполне достоверными, если изолинии интенсивности излучения совпадают с магнитными поверхностями, изображенными на рис. 5.4.1. Все кривые на рис. 5.4.4 - 5.4.5 имеют провал или же уплощение при малых углах $ , что может быть интерпретировано в рамках принятой модели только как отрицательная интенсивность излучения внутренних слоев плазмы.
