Введение к работе
Актуальность темы. При синтезе высококачественных автоматических систем (например, систем управления с переменной структурой, систем экстремального регулирования, систем динамического контроля, прогнозирующих систем и т. д.) одной из важнейших задач является получение информации о высших производных выходного сигнала объекта управления или входного воздействия. Иногда производные можно непосредственно измерять, по значительно чаще наблюдению доступсп только сам полезный сигнал (входное воздействие или выходной сигнал объекта управления). В таких случаях по наблюдаемым значепиям полезного сигнала необходимо восстановить его производные. Получение значений производных обычно затруднено из-за наличия высокочастотных помех измерения полезного сигнала. Известные методы решения задачи многократпого дифференцирования широкого класса сигналов в этом случае оказываются малоэффективными. Действительно, для решения задачи дифференцирования в настоящее время, как правило, используются реальные (неидеальные) дифференциаторы и дифференцирующие фильтры Калмана.
Реальный дифференциатор, обладающий простой структурой и являющийся физически реализуемым устройством, в некоторой полосе частот, определяемой инерционностью [постоянной времени] дифференциатора, можно рассматривать как идеальное дифференцирующее устройство. При этом известно, что неидеальный дифференциатор подчеркивает высокочастотные помехи. Это обстоятельство не позволяет осуществлять качественное многократное дифференцирование, так как измерение сигналов, как правило, сопровождается высокочастотными помехами. Далее отметим, что класс сигналов, которые реальное дифференцирующее звено будет дифференцировать на полубесконечном интервале времени, является очень узким. Так, ошибка дифференцирования сигнала f(t) = t3 будет неограничено расти при t — -fee. Следует заметить, что на конечном отрезке времени путем уменьшения инерционности реального дифференциатора можно добиться любой наперед заданной точности дифференцирования непрерывно дифференцируемых сигналов. Однако уменьшение постоянной времени неидеального дифференциатора приведет к снижению его помехозащищенности.
Дифференцирующий фильтр, впервые предложенный Р. Калманом, позволяет осуществлять асимптотически точное многократное диффе-
ренцирование полиномиальных сигналов. Отметим, что заданная точность дифференцирования достигается, в отличие от реального дифференцирующего устройства, при любых коэффициентах усиления, обеспечивающих выполнение лишь условия отрицательности вещественных частей полюсов дифференциатора. Следует добавить, что дифференцирующий фильтр Калмана является помехозащищенным по отношению к высокочастотным помехам.
Таким образом, весьма актуальной является проблема построения дифференциаторов, свободпых от указанных выше недостатков.
Рассмотрим основные подходы к решению задачи фильтрации сигналов. В том случае, если известны статистические характеристики полезного сигнала и помехи, то решение задачи фильтрации может быть получено с помощью методов, разработапных А. Н. Колмогоровым, Н. Винером, Р. Калманом. Если же статистические характеристики полезного сигнала неизвестпы, то решение задачи фильтрации может быть получено с помощью адаптивных фильтров. Однако для осуществления процедур адаптивной фильтрации приходится решать некоторую экстремальную задачу, что затрудняет реализацию адаптивных фильтров. Следует отметить, что новый класс адаптивных регуляторов, разработанный А. А. Красовским, позволяет с помощью наблюдателей Калмана решать задачу фильтрации в случае, когда полезный сигнал заранее неизвестен. Главное отличие новых адаптивных регуляторов от традиционных заключается в том, что оптимизация осуществляется на коротком интервале времени (оптимизация па очередной малый цикл или несколько таких циклов). Принцип построения таких регуляторов основан на аппроксимации сигналов функциями более простой природы (например, алгебраическими полиномами), для которых может быть синтезирован наблюдатель состояния. Теоретически рассмотрен наблюдатель с переменным временем интерполирования, построенный для полиномиальной функции. В настоящей диссертационной работе в качестве аппроксимирующих функций использовались квазиполиномы. При этом показано, что увеличение точности аппроксимации, т. е. повышение степени квазиполинома, а значит и размерности наблюдателя, позволяет существенно улучшить качество фильтрации без каких-либо процедур оптимизации. Такой подход дает возможность сочетать достоинства наблюдателей Калмана и волнового описания сигналов, предложенного С. Джонсоном для более полного использования известной информации о сигнале.
К задаче фильтрации примыкает задача восстановления сигнала, искаженного динамикой. Подобная задача является достаточно типичной и часто возникает при получении информации о состоянии объекта. Как правило, эта информация получается с помощью инерционных датчиков, инерционность которых плохо влияет на устойчивость замкнутой системы. Поэтому уменьшение инерционности датчиков в пекоторых случаях может иметь первостепенное значение.
Целью работы является разработка и обоснование метода построения фильтров и дифференциаторов для класса сигналов, определяемого решениями обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения с ограниченной правой частью. Синтезированные дифференциаторы должны осуществлять для сигналов рассматриваемого класса асимптотически точное многократное дифференцирование или многократное дифференцирование с наперед заданной точностью, обладать помехоустойчивостью по отношению к высокочастотным помехам в канале измерения. На фильтры накладывается требование асимптотически точного оценивания или оценивания с наперед заданной точностью полезных сигналов при наличии аддитивных помех, принадлежащих достаточно широкому классу сигналов. Кроме того, фильтры и дифференциаторы должны допускать достаточно простую техническую реализацию.
Методы исследования. В диссертационной работе систематически используются понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры, функционального и математического анализа, теории устойчивости, теории приближения функций действительного переменного, операционного исчисления, теории автоматического управления.
Научная новизна. Среди полученных в диссертации результатов отметим следующие:
-
Получены оценки точности восстановления наблюдателем состояния части фазовых координат дипамической системы с неизвестным входом.
-
Решена задача многократного дифференцирования на полу бесконечном интервале времени широкого класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами. Первые производные полезного сигнала получаются одновременно. Построенный дифференциатор помехозащитен. Заданная точность дифференцирования может быть достигнута за счет увеличения размерности дифференциатора.
-
Разработан алгоритм построения модальных дифференциаторов широкого класса сигналов. Синтез дифференциаторов сводится к построению следящей системы с модальным регулятором объекта, представляющего собой цепочку интегрирующих звеньев. Показано, что ошибка дифференцирования сигналов рассматриваемого класса может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения порядка передаточной функции дифференциатора. Дифференциаторы, синтезированные на основе предлагаемого подхода, являются помехоустойчивыми но отношению к высокочастотным помехам.
-
Решена задача фильтрации на полубесконечном интервале времени широкого класса сигналов в присутствии аддитивной помехи измерений того же класса.
-
Доказан критерий полной наблюдаемости расширенной динамической системы, выражаемый через собственные числа матриц подсистем.
-
Решена задача восстановления сигнала, искаженного динамикой. Класс сигналов и динамических объектов достаточно широк.
-
Решена задача многократного дифференцирования на отрезке времени класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами. Первые производные полезного сигпала получаются одновременно. Заданная точность дифференцирования может быть обеспечена увеличением размерности и степени устойчивости дифференциатора. Синтезированный дифференциатор является помехоустойчивым.
8. Решена задача фильтрации на отрезке времени класса сигналов,
определяемого дифференциальными неравенствами, в присутствии ад
дитивной помехи измерений того же класса. Заданная точность филь
трации может быть достигнута за счет увеличения размерности и степени
устойчивости фильтра.
Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность работы. Методы построения фильтров и дифференциаторов широкого класса сигналов, разработанные в диссертационной работе, позволяют решать актуальпые проблемы теории автоматического управления, связанные с задачей фильтрации и многократного дифференцирования сигналов. Развиваемый в диссертации подход к синтезу дифференциаторов может найти широкое применение в различных разделах теории управления: в системах с переменной структурой, в оптимальном управлении, а также для синтеза
известных линейных законов управления, в которых используются производные. Разработанный метод построения фильтров позволяет существенно улучшить качество процессов регулирования и управления в реальных автоматических системах. Предлагаемые в диссертации способы синтеза фильтров и дифференциаторов ориентированы на практическое применение при решении конкретных задач и позволяют автоматизировать процесс создания и исследования фильтров и дифференциаторов с помощью ЭВМ. Полученные в диссертационной работе результаты применены для расчета Д-составляющей ПИД-регулятора температуры в реакторе полимеризации изопрена. Синтезированный регулятор был реализован и показал хорошие результаты по сравнению с существующими регуляторами. Кроме того, разработанные в диссертации алгоритмы построения фильтров и дифференциаторов внедрены в программной системе анализа и оптимизации электронных схем САНОС, использованной при проектировании целого ряда устройств аппаратуры средств связи для серийно выпускаемых изделий.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских семинарах "Нейроинформатика и ее приложения" (Красноярск, 1996, 1997), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1997), Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 1998), научных семинарах Института системного анализа РАН и кафедры технической кибернетики и автоматического регулирования Воронежского госуниверситета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы и работах [1-9].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключепия, списка литературы из 77 наименований и приложения. Основная часть работы содержит 1G4 страницы машинописного текста и 34 рисунка.
