Содержание к диссертации
Введение
1 Применение метода локально-марковской аппроксимации при анализе алгоритмов обработки информационных сигналов с неизвестными разрывными параметрами 16
1.1 Постановка задачи 16
1.2 Определение характеристик обнаружения и оценки разрывного параметра сигнала методом локально-марковской аппроксимации 17
1.3 Прием квазидетерминированного видеоимпульса с неизвестным временем прихода 35
1.4 Прием случайного радиоимпульса с неизвестным временем прихода 42
1.5 Выводы 50
2 Применение метода локально-марковской аппроксимации при анализе алгоритмов обработки информационных сигналов с неизвестными разрывными параметрами в случае нарушениясвойства состоятельности их оценок 52
2.1 Постановка задачи 52
2.2 Определение характеристик обнаружения и оценки разрывного параметра сигнала методом локально-марковской аппроксимации
при нарушении условия состоятельности 53
2.3 Прием квазидетерминированного видеоимпульса с неизвестным временем прихода и неточно известной длительностью 74
2.4 Прием случайного радиоимпульса с неизвестным временем прихода и неточно известной длительностью 79
2.5 Выводы 86
3 Разладка математического ожидания низкочастотного гауссовского процесса с неизвестной интенсивностью 87
3.1 Постановка задачи 87
3.2 Обнаружение разладки математического ожидания случайного процесса с неизвестной интенсивностью 88
3.3 Оценка момента разладки и энергетических параметров случайного процесса 96
3.4 Результаты статистического моделирования 102
3.5 Выводы 105
4 Разладка дисперсии высокочастотного гауссовского процесса 107
4.1 Постановка задачи 107
4.2 Обнаружение разладки дисперсии случайного процесса 108
4.3 Оценка момента разладки и дисперсии случайного процесса 118
4.4 Результаты статистического моделирования 123
4.5 Выводы 128
Заключение 129
Список сокращений 132
Список литературы
- Определение характеристик обнаружения и оценки разрывного параметра сигнала методом локально-марковской аппроксимации
- Прием случайного радиоимпульса с неизвестным временем прихода и неточно известной длительностью
- Обнаружение разладки математического ожидания случайного процесса с неизвестной интенсивностью
- Оценка момента разладки и дисперсии случайного процесса
Введение к работе
Актуальность темы. Одним из наиболее интенсивно развивающихся в настоящее время научных направлений является разработка методов оптимальной и субоптимальной обработки информационных процессов, наблюдаемых на фоне помех в условиях параметрической априорной неопределенности. Одной из задач, ставшей уже классической, является задача обнаружения и измерения зашумленного сигнала (или последовательности сигналов) с неизвестным временем прихода, представляющая собой частный случай задачи анализа скачкообразного изменения (разладки) статистических характеристик реализации наблюдаемых данных. Ситуации, когда время прихода (момент скачкообразного изменения) сигнала априори неизвестно, часто возникают в системах связи (прием стартстопных комбинаций, появляющихся в произвольный момент времени), в радиолокации (обнаружение импульсов, отраженных от объекта с неизвестным местонахождением), в системах телесигнализации и телеуправления (спорадическая передача управляющих сигналов в виде одиночных импульсов или кодовых групп) и т.д.
Ряд задач статистического анализа информационных процессов со скачкообразным изменением характеристик рассматривалась и ранее в работах Бассвиль М., Виллски А.С., Пейджа Е.С., Хинклея Д.В., Воробейчикова С.Э., Жиглявского А.А., Клигене Л.И., Конева В.В., Красковского А.Е., Мальцева А.А., Никифорова И.В., Силаева А.М., Тель-ксниса Л.А., Трифонова А.П., Ширяева А.Н. и др. При этом, как правило, помимо предположения о гауссовском характере реализации наблюдаемых данных накладывались некоторые дополнительные ограничения, связанные с некоррелированностью обрабатываемых отсчетов, классом математических моделей информационного сигнала и пр. Кроме того, достаточно часто синтез алгоритмов обнаружения и измерения момента разладки проводился в условиях полной априорной определенности относительно неинформативных параметров анализируемого случайного процесса и его случайных искажений. Во многих случаях остается открытым вопрос о характеристиках синтезированных алгоритмов обработки, позволяющих аналитически оценить качество их функционирования.
Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью развить новые подходы к решению задачи статистического анализа случайных процессов с неизвестными разрывными параметрами, в том числе не только найти структуру оптимальных (квазиоптимальных) алгоритмов обнаружения и измерения таких сигналов, превосходящих в том или ином смысле известные аналоги, но и получить аналитические выражения для определения качества их функционирования в каждой конкретной ситуации.
Цель и задачи диссертационной работы. Целью работы является предложить технически более простые и универсальные по сравнению с существующими способы обнаружения и измерения скачкообразного изменения характеристик информационных процессов с неизвестными параметрами на фоне помех и разработать методики аналитического расчета характеристик синтезированных на их основе обнаружителей и измерителей.
Для реализации этой цели в работе поставлены и решены следующие основные задачи:
-
Развита единая методика статистического анализа разрывных квазидетермини-рованных и случайных сигналов с неизвестными параметрами, в том числе при нарушении свойства состоятельности оценки разрывного информационного параметра.
-
Предложены способы получения технически более простых по сравнению с известными аналогами алгоритмов обнаружения и измерения разладки информационных процессов с неизвестными параметрами в предположении лишь их гауссовости и быстроты флуктуаций, без дополнительных ограничений на свойства стохастической модели процесса.
-
На основе предложенных подходов синтезированы новые обнаружители и измерители низкочастотных и высокочастотных быстрофлуктуирующих гауссовских сигналов со скачкообразным изменением статистических характеристик на фоне помех в условиях параметрической априорной неопределенности.
-
С помощью представленной методики найдены аналитические выражения для характеристик эффективности функционирования синтезированных обнаружителей и измерителей.
-
Методами статистического моделирования установлена работоспособность синтезированных обнаружителей и измерителей и определены границы применимости полученных теоретических результатов.
Методы проведения исследования. При решении поставленных в диссертации задач использовались современные методы статистической теории информации, а именно, теории статистических решений, математического анализа, теории вероятностей, теории случайных процессов и полей. Экспериментальные исследования выполнялись методами статистического имитационного моделирования на ЭВМ с привлечением современных численных методов.
Научная новизна. В работе впервые получены или впервые подробно развиты следующие результаты.
-
Новые методики синтеза алгоритмов обнаружения и измерения разладки статистических характеристик случайных процессов в условиях параметрической априорной неопределенности, основанные на пренебрежении величинами порядка и менее времени корреляции анализируемого информационного процесса. Использование данных методик позволяет получить одноканальные алгоритмы обработки, более универсальные и технически существенно более простые по сравнению с известными многоканальными вариантами (при наличии последних).
-
Обобщение методов статистического анализа алгоритмов обнаружения и измерения разрывных квазидетерминированных и случайных сигналов с неизвестными параметрами, позволяющих теоретически определять их точностные характеристики, в том числе при нарушении состоятельности оценки разрывного параметра и с учетом аномальных эффектов.
-
Новая методика аналитического определения закона распределения и моментов оценки разрывного параметра информационного процесса при произвольных выходных
отношениях сигнал/шум (ОСШ) в случае, когда сигнальная составляющая решающей статистики является строго монотонной (во всей области задания) функцией.
4. Полученные с помощью развитых подходов новые алгоритмы обработки слу
чайных процессов со скачкообразным изменением статистических характеристик, а
именно:
максимально-правдоподобный алгоритм обнаружения разладки неизвестного математического ожидания низкочастотного случайного процесса с неизвестной интенсивностью,
максимально-правдоподобный алгоритм измерения момента разладки математического ожидания низкочастотного случайного процесса и его неизвестных энергетических параметров (интенсивности и математического ожидания до и после разладки),
- максимально-правдоподобный алгоритм обнаружения разладки неизвестной
дисперсии высокочастотного случайного процесса,
- максимально-правдоподобный алгоритм измерения момента разладки и диспер
сии до и после разладки высокочастотного случайного процесса,
а также характеристики эффективности этих алгоритмов.
5. Методы статистического моделирования на ЭВМ алгоритмов обработки слу
чайных процессов со скачкообразным изменением статистических характеристик, позво
ляющие существенно экономить машинное время, а также повысить быстродействие
проектируемых информационных систем.
Практическая ценность результатов работы состоит в том, что они позволяют внедрять в практические разработки информационных систем (связи, радиолокации, мониторинга и др.) технически более простые и универсальные по сравнению с имеющимися аналогами алгоритмы статистического анализа информационных процессов со скачкообразным изменением характеристик. Найденные в работе теоретические зависимости для количественного определения эффективности предлагаемых алгоритмов позволяют сделать обоснованный выбор между этими и другими алгоритмами в зависимости от имеющейся априорной информации и в соответствии с требованиями, предъявляемыми к качеству алгоритма обработки и к степени простоты его технической реализации. Результаты работы могут быть использованы при исследовании и анализе
физических и статистических свойств природных и искусственных объектов по их спонтанным и вынужденным импульсным откликам,
обработке радио-, гидролокационных и оптических сигналов,
систем связи с импульсными поднесущими, работающими в сложной помеховой обстановке, характеризуемой наличием как аддитивных, так и мультипликативных искажений,
- перспективных локационных и связных систем, использующих в качестве ин
формационных сигналов импульсы с шумовой несущей,
систем мониторинга сложных радиосигналов,
систем телесигнализации и телеуправления,
сигналов в технической и медицинской диагностике,
аппаратурного анализа случайных процессов.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на
1. XX, XXI, XXII Международной научно-технической конференции студентов и
аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика", г. Москва, 2014 г., 2015 г.,
2016 г.
2. Международной конференции "Радиоэлектронные устройства и системы для
инфокоммуникационных технологий – РЭУС-2014", г. Москва, 2014 г.
3. 10-й Международной конференции "ELEKTRO2014", г. Раецке Теплице, Слова
кия, 2014 г.
4. Международных научно-технических семинарах с элементами научной школы
для молодых ученых "Методы и алгоритмы обработки квазидетерминированных и стоха
стических сигналов и изображений в условиях различной априорной неопределенности"
(2014 г.), "Разрывные модели сигналов и изображений и оценка их параметров" (2015 г.),
"Методы статистического синтеза, анализа и моделирования алгоритмов обработки сиг
налов, изображений и полей" (2016 г.), г. Москва.
5. Международной научной конференции "Робастная статистика и финансовая ма
тематика", г. Томск, 2016 г.
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1-9]. Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
- оригинальные методы синтеза алгоритмов обработки быстрофлуктуирующих
случайных процессов со скачкообразным изменением характеристик в условиях пара
метрической априорной неопределенности, допускающих практическую реализацию в
виде одноканальных устройств, в отличие от получаемых с помощью известных подхо
дов многоканальных аналогов;
усовершенствованные методы статистического анализа алгоритмов обнаружения и измерения разрывных квазидетерминированных и случайных сигналов с неизвестными параметрами, позволяющие аналитически находить количественные характеристики качества их функционирования, в том числе при нарушении состоятельности оценки разрывного параметра и с учетом аномальных решений;
представленные новые оптимальные обнаружители и измерители разладки низкочастотных и высокочастотных случайных процессов с неизвестными параметрами, технически более простые по сравнению с существующими прототипами;
найденные асимптотические выражения для характеристик эффективности синтезированных обнаружителей и измерителей разладки низкочастотных и высокочастотных случайных процессов, позволяющие сделать обоснованный выбор между предложенными, а также другими приемными устройствами в зависимости от требований, предъявляемых к качеству функционирования алгоритма обработки и степени простоты его аппаратурной реализации;
- методики статистического моделирования синтезированных алгоритмов обра
ботки случайных процессов со скачкообразным изменением характеристик, позволяю-
6
щие минимизировать временные и вычислительные затраты при их программной и аппаратной реализации, и полученные на их основе результаты подтверждающие корректность и достоверность сформулированных в работе теоретических выводов и рекомендаций.
Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, 4 разделов, заключения, списка литературы, состоящего из 74 наименований. Объем диссертации составляет 140 страниц.
Определение характеристик обнаружения и оценки разрывного параметра сигнала методом локально-марковской аппроксимации
Оптимальное (по методу МП) приемное устройство сигнала s(t,l0) с неизвестным параметром /0 по принятой реализации наблюдаемых данных образует выходной эффект, пропорциональный ФОП или его логарифму [21,22,31,38,51,64]. При этом логарифм ФОП M(l) является функцией те кущего значения / параметра /0 и формируется на всем априорном интер вале Г его определения. В результате можно решить задачу обна ружения сигнала s(t, /0 ) на фоне шума, сравнив максимум логарифма ФОП с порогом с, выбранным в соответствии с принятым критерием оптималь ности: і supMdfc (1.1) О либо задачу измерения информационного параметра сигнала /0, приняв в качестве его оценки положение наибольшего максимума lm=mgsupM(l) (1.2) решающей статистики М(і).
Однако возможность использования того или иного алгоритма обработки в практических приложениях определяется не только степенью его оптимальности, но и численными показателями эффективности его функционирования. Другими словами, качество работы алгоритмов обработки (и, как следствие, их работоспособность и применимость) может быть оценено только при проведении количественного анализа алгоритмов.
Если неизвестный параметр /0 является непрерывным [51] (т.е. логарифм ФОП является дифференцируемым хотя бы дважды в среднеквадра-тическом смысле), то характеристики алгоритма обработки могут быть найдены с помощью метода малого параметра [21]. Однако во многих случаях более адекватное описание реальных физических сигналов может быть задано посредством разрывных моделей [32,51]. В этом случае реализации логарифма ФОП будут недифференцируемы по текущему значению неизвестного параметра ни в каком вероятностном смысле. Как следствие, вычислить при этом хотя бы потенциальную точность алгоритма обработки (например, границу Крамера-Рао) не представляется возможным.
Ниже иллюстрируется методика статистического анализа алгоритмов обработки информационных сигналов с неизвестными разрывными параметрами на фоне помех [69].
При приеме квазидетерминированного [21,51,64] или случайного (гауссовского) [32,47] сигнала с неизвестным разрывным параметром на фоне гауссовских помех логарифм ФОП м(і) является гауссовским или асимптотически гауссовским (с увеличением выходного ОСШ) случайным процессом [47,51]. Обозначим S(I) = {M(I)) - сигнальная, а N(l) = M(l)-(M(l)) - шумовая функции логарифма ФОП [21,51], так что M(l)=S(l) + N(l). (1.3) Здесь ( ) означают усреднение по всем возможным реализациям наблюдаемых данных. Согласно [47,51] для сигнальной функции справедлива аппроксимация S(l) = S0max(o,l-\l-l0\) + SN, (1.4) где составляющие S0 и SN характеризуют накопленную (выходную) энергию полезного сигнала и шума соответственно. Шумовая функция N(l), как и м(/), является гауссовским или асимптотически гауссовским центрированным случайным процессом c корреляционной функцией 4,/2) = (4W2)) вида [17,47,51] В(1ъ12)=а%max(0,l-\l, -l2\)+(a2s -a2N)x хтахІОД + пгЦОЛ -/0,/2 -/0)-тах(0,/1 -/0,/2 -/0)]= (1.5) Jl-/1-/2-gmin /1-/0,/2-/0), (/1-/0)(/2-/0) 0 , = СТ5І1-/1-/2І» (/і-/о)(/2-/о) 0 , если/г-/0 1, / = 1,2 и S(/1,/2) = ai,max(0,l-/1-/2), (1.6) если тах( \lx - /01, /2 - /01) 1. Здесь g = (cy2s- G2N )/а J. Величины GS , oN описывают дисперсии процесса N(l) в сигнальной leTs и шумовой IGTN=T\TS областях интервала возможных значений параметра /0 соответственно. Под сигнальной и шумовой областями будем понимать подынтервалы Г5 s [/0 -1,/0 +1 ], TN= [ц,10 -l)u(/0 +1,L2], (1.7) на которых сигнальная функция (1.4) зависит (отлична от SN) и не зависит (равна SN) от истинного значения неизвестного параметра /0.
Рассмотрим вначале характеристики измерителя (1.2). Согласно [21,22,31,37,51,64] оценка 1т, как случайная величина, статистически полностью может быть описана условной (при фиксированном /0) плотностью вероятности w(x\l0). В самом общем виде плотность вероятности W(JC/0) может быть представлена следующим образом [21,51] w(x\l0)=P0W0(X\l0)+ - a(40). (1.8) Здесь Р0=Р[ітєГ3] (1.9) - вероятность надежной оценки, - условные плотности вероятности надежной и аномальной оценки 1т соответственно. Под надежной понимается оценка 1т, находящаяся в пределах интервала Ts (1.7). Если же Іт еГдг, то, следуя [21,51], такую оценку и соответствующую ей ошибку оценивания будем называть аномальными. Учет аномальных ошибок необходим, если интервал Ts надежной оценки значительно меньше длины m = L2-L1 априорного интервала Г возможных значений параметра /0 [21,51], т.е. имеет место неравенство т»1. (1.10) Выходное ОСШ z2 для алгоритма (1.2) полагаем достаточно большим, так что выполняется условие z2 = [S(10)-SN]2/(N2(10)) = S2/G2S »1. (1.11) Как известно [51], с ростом ОСШ z оценка 1т сходится в среднеквадра-тическом смысле к истинному значению оцениваемого параметра /0. Тогда при выполнении (1.11) характеристики надежной оценки 1т будут определяться поведением решающей статистики м(/) в некоторой малой 8-окрестности L5 точки / = /0 [47,51]: L5=[/0-,/0+], 5«1, (1.12) поскольку lmeL3 с вероятностью, стремящейся к 1. Обозначим (!)=\м(1)-М(х)Уа3, /,ІЄІ (1.13) и выразим функцию распределения FJX\L)= \Х wJx \L)dx надежной оценки 1т следующим образом
Прием случайного радиоимпульса с неизвестным временем прихода и неточно известной длительностью
При обнаружении сигнала (1.91) в соответствии с (1.1), (1.93) обнаружитель должен сравнивать максимум функционала МТ(к) (1.94) с порогом с, определяемым на основе принятого критерия оптимальности. Нетрудно видеть, что в этом случае вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала могут быть найдены из (1.69), (1.71), где U = (C-SN)/GN, (1.100) а SN,aN, z, , , т определяются из (1.96), (1.97), (1.99). Экспериментальные характеристики измерителя и обнаружителя случайного импульса (1.91) с неизвестным временем прихода определялись с помощью статистического моделирования на ЭВМ. Для уменьшения затрат машинного времени при формировании отсчетов достаточной статистики МТ(х) полагалось, что для процесса Щ) выполняется условие узкополосности вида S » r21. Это позволило использовать представление отклика фильтра y1yt) (1.94) через его низкочастотные квадратуры [4,17] и формировать достаточную статистику Мт(х) (1.94) как сумму двух независимых случайных процессов:
В процессе моделирования на интервале [Ц,Ь2] с шагом дискрети зации At = 0,05/JLLJ в нормированном времени 7 = tjx формировались от счеты уjn = yXj (/0 + пА7) реализаций нормированных случайных процес сов yij(t) = yij(t)ylz/N0, 7 = 1,2 (1.101) (обладающих коэффициентом корреляции Ryj\ )=sm.\n\x{t)/ n\x{t), так что согласно (1.84) среднеквадра тические погрешности ступенчатых аппроксимаций У\ІУ) = \У in lo+А7 7 10+(П + \)А7\ не превышали 10 %. С учетом (1.101) это позволило получить реализацию нормированной достаточной статистики MT(l) = MT(X)/N0 (1.94) в виде ЛГ тах-1/ „ „ ч \Уы+У2п). (1.102) 2 «=Л тіп Здесь 7Vmin = int {(/ - /0 -1/2)/ At}, Nmax = int {(/ - /0 + У 2)/At}.
Отсчеты процессов yjn, j = 1,2 формировались на основе последовательностей независимых гауссовских случайных чисел методом скользящего суммирования [4], как описано в [17,69]: Ятах-1 ,л д п+р-1 (r+\)Al/A2-\f а, \ , (1.103) А2 у]п= I , н+ Z я« х JS У-SJ Z J r= min 1 г=п-р 5=М1/Л2 2p -l ijr = A2 f Ін ]т+Г , v;, я& (1.104) m=0 Здесь Лтіп=тах(-Л,«-/;), Дтах = mm(R,n + p), R = mt 2Al}, Z jr = j(h + r \), Vjs = Vj(h + 2), ь A 2 – интервалы дискретизации нормированных процессов ,, (Г) = 2,, (t) x/NQ и v, (Г) = v, (t Jx/NQ соответственно, а / и, р / и, х jm – независимые гауссовские случайные числа с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями, HJj)p = SmfoMm-p)VHm-p), Пг =тП,/2тг, / = 1,2. Интервалы дискретизации Аь А2 в (1.103) выбирались, исходя из условия (1.84), при подстановке вместо Rv(7) коэффициента корреляции xt или RVj(t} = sm{nii2t}l7V2t процесса L,At) или v,(F) соответственно. Тогда, аналогично (1.85), величины At, і = 1,2 могут быть приняты равными А, = 0,05/JLX . Число слагаемых в суммах (1.104) соответствовало значению р = р = 103. При этом, как следует из соотношения, аналогичного (1.87), относительное отклонение дисперсий сформированных отсчетов ,/r, v jS от дисперсий моделируемых процессов, как и в (1.88), не превышало 5 %. Формирование независимых гауссовских чисел с параметрами (0,1) осуществлялось согласно (1.89). В итоге средне-квадратическая погрешность полученной на основе (1.102)-(1.104) ступенчатой аппроксимации непрерывной реализации функционала MT(l) при шаге дискретизации А/ = 0,01 не превышала 10 %.
Некоторые результаты статистического моделирования представлены на рис. 1.4-1.6. Для сопоставления здесь же приведены соответствующие теоретические зависимости. При получении каждого экспериментального значения было обработано не менее 104 реализаций MT(l) (1.102) в случае /0=(L1+L2)/2, Lx=\j2, L2=m+ 1/2, Q1=Q2, qv=0,5. Таким образом, с вероятностью 0,9 границы доверительных интервалов отклоняются от экспериментальных данных не более чем на 15 %.
Обнаружение разладки математического ожидания случайного процесса с неизвестной интенсивностью
Рассмотрим поведение F0 (JC/0) (2.38), (2.39), (2.41) при z2 - oo, когда оценка L с вероятностью, стремящейся к 1, находится в интервале Г0 (2.7) либо малых окрестностях его граничных точек. Используем в (2.38), (2.39), (2.41) асимптотическое выражением для интеграла вероятности (1.41) и пренебрежем членами более высокого порядка малости по z. Тогда после соответствующих преобразований с учетом результатов [8] для Гф(/0-8/2-Д JC /0-8/2 , [ф(л-/0-8/2), JC /0+8/2 . функции распределения F0 (х/0) надежной оценки L получаем следующую аппроксимацию [70]
На основе (2.42), (2.43) аналогично (1.45), (1.46) можно записать общее выражение для центральных моментов [23] « = 1, 2,... распределения надежной оценки lq. Выполняя операцию интегрирования функции (X-IQY в бесконечных пределах с весом dFQ(x\l0)/dx (2.42), в результате имеем [70]:
Здесь обозначено: Я(х) = ф(-х)ехр(х2/2), r = 4Z2DJDJ, Скп = пЩ{п-к)\ - число сочетаний из и по , Г() - гамма-функция [12]. Константы Q в (2.44) могут быть найдены с использованием следующего тождества: Q п exp(- Az) дхп exp(- ) /=1 z Приравнивая здесь в левой и правой частях члены при одинаковых степенях А , для различных п получаем: п = \ - =1/2; п = 2 - =1/4, С2=1/4; п = Ъ - Сі =3/8, С2=3/8, C3=V8; п = 4 – Сі =15/16, 2 =15/16, С3=3/8, С4 =1/16 и т.д.
Из общей формулы (2.44) следует, что центральные моменты М-02ЛГ-1 kq \lo ),к = 1, 2,- нечетного порядка надежной оценки lq обращаются в нуль (таким образом, надежная оценка L является, в частности, условно несмещенной), а ее условное рассеяние V0(lq /0) запишется в виде [70] f2z2ASn 4z52A D2 Точность формул (2.42), (2.44), (2.45) возрастает с увеличением z (2.20). Нетрудно видеть, что при z — оо предельное значение рассеяния надежной оценки / сходится к конечной величине 8 /8, так что при ЪФО оценка lq не является состоятельной. Если 8 = 0, то из (2.42), (2.44), (2.45) получаем выражения для условных функции распределения (1.43), центральных моментов (1.46) и рассеяния (1.48) состоятельной надежной оценки 1т. Определим теперь вероятность PQ (2.13) надежной оценки lq. Обозначим tf; = sup М (/), tf;=supM (/), /єГдг leFs (2.46) - величины абсолютных максимумов функционала М (/) в шумовой Г (2.6) и сигнальной Г (2.6) соответственно. Тогда вероятность Р0 (2.13) аналогично (1.50) можно представить следующим образом (2.47) При выполнении (1.10) Р\ sup М (/) sup M (l) [le[l0 -2-35/2,/Q -1-5/2)U(/O +l+5/2,/0 +2+35/2] [Zj ,/0 -2-35/2)и(/0 +2+35/2,Z2 ] «1, т.е., случайная величина HN асимптотически (при m—»oo) эквивалентна случайной величине НІ = sup M (/). /e[Zb/0 -2-38/2)u(/0 +2+35/2,Z2 ] Поскольку время корреляции случайного процесса M (l) определяется величиной тс (2.10), то значения М (і) на интервалах [Lb/0-2-35/2)Lj(/0+2 + 35/2,L2] и [/0-1-5/2,/0+1 + 5/2] (случайные величины HN, Hs) являются некоррелированными и в силу их гауссово-сти (асимптотической гауссовости) статистически независимыми. Следовательно, случайные величины H N, H s (2.46), можно считать приближенно статистически независимыми. Введем в рассмотрение функции распределения F (,)=P[H N ,\ FS»= U] случайных величин HN, Hs соответственно и аналогично (2.22) представим вероятность PQ (2.47) надежной оценки lq с учетом статистической независимости HN и Hs в виде р = j (и) dFs (и). (2.48)
Здесь интегрирование выполняется по всем возможным значениям и. Найдем вероятности F (u), F (u). Согласно (2.4), (2.5), если /єІ , то сигнальная функция решающей статистики постоянна: S (l) = SN, а шумовая функция N (l) является гауссовским (асимптотически гауссов-ским) стационарным центрированным случайным процессом с корреляци имеем онной функцией ( fiKfe fe, ).
Оценка момента разладки и дисперсии случайного процесса
Случайная величина к0 в (4.32) является асимптотически (при ц- оо) гауссовской с математическим ожиданием z (4.28) и единичной дисперсией. Тогда вероятность (4.35) аналогично (1.58) определится как Ps( )=)= ] (к-у)Р2(к-у)ехр\-(у-2)2/2]с1у. (4.36) А/2ТГ J L J —оо Вероятности (к), F2(K) могут быть найдены на основе марковских свойств процесса д/()(/), следуя методике, изложенной в п. 1.1. После выполнения соответствующих выкладок и преобразований получаем ?1(к) = ф[(а15 + а,к)Д/ ]-еХр(- )ф[(а,5-ахк)/М (4.37) где аъ а2, \, Ъ2 определяются из (4.34).
Подставим (4.37) в (4.36), воспользуемся для функции ф(х) асимптотическим (при z oo) представлением (1.41) и пренебрежем членами более высоких порядков малости по z. Выполняя далее аналитически операцию интегрирования, для вероятности пропуска сигнала (4.32) находим z)-exp[ z2/2 + V/_ z(z )]o[c/o5-z(i/_+l)] -exp z2 + V/+ z{z )]o[c/cs -z(V+ +1)] + + z(v/_ +\\f+)(z-c/as )}ф[с/ 5S (4.38) Здесь \\f_=2asa1/zb1, y+=2GSa2/zb2 . Точность формулы (4.38) возрастает с увеличением и Z. 4.3 Оценка момента разладки и дисперсии случайного процесса Положим теперь, что разладка дисперсии случайного процесса (ґ) (4.1) реализуется на интервале [0,7і] с вероятностью 1. При этом необходимо измерить момент разладки Х0 и значения энергетических параметров а 2, а"2. Синтез алгоритма совместного оценивания будем проводить на основе метода МП. Используя (4.5), для ОМП Хт, а%, & неизвестных величин Х0, а 2, а"2 получаем [68] Хт= argsup М(Х), ЩАЪА2] (4.39) a m=Ml(lm)-EN, з"т=М2(1т)-Ем, где М(Х), Mj(X), і = 1,2 и EN определяются из (4.9) и (4.11) соответственно.
Измеритель (4.31) можно реализовать в виде структурной схемы, показанной на рис. 4.1, откуда нужно исключить пиковый детектор 11 и по 119 роговое устройство 12. Остальные обозначения: 13 - устройство поиска положения наибольшего максимума входного сигнала (экстрематор), 14 -стробирующее устройство, формирующее на выходе отсчет входного сигнала в момент времени, определяемый величиной Хт.
Определим характеристики оценок (4.39). Предположим, что выполняется условие z»\ (4.28), так что нормированная оценка Іт=ХтІТ находится в малой -окрестности Л (4.31) точки /0 с вероятностью, стремящейся к 1. Тогда условную функцию распределения F0(x\l0) оценки lm можно представить в виде F0(x\l0)=P[lm x]=P maxqx(/) maxqx(/) 1 х 1 х 1,хеА5, (4.40) где qx(l) - марковский случайный процесс (4.31) с коэффициентами сноса и диффузии (4.33). Используя представление (4.40), на основе результатов п.1.1 и [6] для условных плотности вероятности w0(//0), смещения и рассеяния VQ{lm%)=tym-k?) оценки 1т (4.39) в условиях высокой апостериорной точности имеем: / ч [ \2af/bl)x[2af(l - /0)/ ,1/я), / - /0 0 , \ аІІЬ2)ц \іа22{і-10)ІЬ2л\ /-/0 0 , (4.41) ЬоШ= Ub2R(R + 2)-4bl(2R + ay2(R + lf, Уо(Ш= Ub2R{2R2 +6R + 5)+ a42b?(5R2+6R + 2)}/2ay2(R + l)3 . Здесь ЧЬ,У) = 4№) Ы2У + l)exp[H + l)][l - ФІ2У + Х)Щ)\ R = alb2/a2bl , ааиа2,ЬъЬ2 определяются из (4.34). Отсюда, в частности, следует, что оценка момента разладки 1т при конечных ОСШ являет 120 ся, вообще говоря, условно смещенной. Точность формул (4.41) возрастает с увеличением jumin (4.4) и z (4.28). При малых значениях z (z—»0) решающая статистика м(Х) (4.7) может быть приближенно представлена в виде (4.18). Выполним в (4.18) замену переменных (4.19) и перейдем от нормированной оценки 1т (4.39) к оценке Qm= argmaxX2(e). (4.42) Єє[ь2] Здесь Х(Є) определяется также, как в (4.20).
Согласно [51] положение максимума стационарного случайного процесса описывается равномерной плотностью вероятности. Тогда для условной плотности вероятности w(e90) случайной величины Qm (4.42), где е0=1п[/0/(1-/о)], может быть записано: м ЄЄ0)= 1/(2 -,), Є є [0Ь02]. Отсюда с учетом (4.19) для плотности вероятности wa(l\l0) и условных смещения ba(lm\l0) и рассеяния Va(lm\l0) нормированной ОМП 1т (4.39) при малых z (4.28) находим (//0)=l//(l-/)lnm, /Є[ЛЬЛ2], wa (4.43) t/o)=l-/o-ln(X2/A1)/lnm, ао)=/о2 + [(і-2/оМ(і-Л1У(і-Л2))+Л1-Л2]/іп/Я, где т определяется из (4.23). При произвольных значениях z распределение оценки 1т аналогично (1.8), (3.36) будем искать в виде w(l\l0)= P0w0(l\l0)+(\-P0)wa(l\l0l (4.44) где w0(l\l0), wa(l\l0) определяются из (4.41), (4.43), P0=P[HS HN], а HN, Нs - случайные величины, характеризующие максимум функционала М(Х) (4.7), когда нормированная ОМП 1т (нормированное положение