Содержание к диссертации
Введение
Глава І. Кодирование изображений. цель и задачи работ 9
I.I. Роль задачи кодирования в машинной обработке видеоинформации 9
1.2. Анализ цифровых методов кодирования изображений ..* 17
1.3. Цель и задачи работы 22
Выводы по главе 1 25
Глава 2. Выбор способа представления и разработка методов кодирования изображений 26
2.1. Обоснование выбора способа представления изображений в АСОИЗ 26
2.2. Представление изображения пирамидально-рекурсивной структурой и его свойства 33
2.3. Разработка методов кодирования изображений на пирамидально-рекурсивной структуре 45
2.3.1. Разностное представление изображения 46
2.3.2. Усечение пирамидально-рекурсивной структуры. Комбинированный метод кодирования 55
2.4. Поэтапное восстановление изображения 61
Выводы по главе 2 71
Глава 3. Исследование разработанных методов и алгоритмы кодирования изображений 72
3.1. Исследование разработанных методов кодирования изображений 72
3.2. Анализ процесса поэтапного восстановления изображений на основе преобразования Адамара 89
3.3. Алгоритмы кодирования изображений 97
Выводы по главе 3 III
Глава 4. Практическая реализация разработанных алгоритмов кодирования изображений ИЗ
4.1. Физические структуры данных для хранения закодированной информации ИЗ
4.2. Программные реализации разработанных алгоритмов 127
Выводы по главе 4 143
Заключение 144
Литература 146
Приложение 155
- Анализ цифровых методов кодирования изображений
- Представление изображения пирамидально-рекурсивной структурой и его свойства
- Поэтапное восстановление изображения
- Анализ процесса поэтапного восстановления изображений на основе преобразования Адамара
Введение к работе
Решения ХХУІ съезда КПСС предусматривают опережающее развитие средств автоматизации производства, проектно-конструкторски-ми и научно-исследовательскими работами. Директивами съезда намечено "повышение эффективности использования математической теории в прикладных целях, совершенствование математического обеспечения, средств и систем обработки и передачи информации". Одним из важных направлений автоматизации научных исследований является создание автоматизированных систем обработки изображений (АСОИЗ). В настоящее время такие системы находят все более широкое применение в различных областях народного хозяйства, где требуется переработка больших объемов видеоинформации. Это обусловлено развитием дистанционных методов обнаружения природных ресурсов, методов аэрокосмических исследований, средств и систем дальней связи, необходимостью создания выскоэффективных систем автоматизации проектирования, систем технического зрения и т.д.
Резервом повышения эффективности работы АСОИЗ является разработка таких форм внутреннего представления обрабатываемой видеоинформации в системе, которые бы позволили на основе устране-
ния избыточности сократить объем хранимых, передаваемых и перерабатываемых данных без ухудшения качества функционирования системы. Один из возможных путей решения этой задачи - разработка новых методов кодирования и сжатия видеоданных, обеспечивающих наряду с высокими характеристиками сжатия, удобство обмена данными между отдельными функциональными подсистемами и алгоритмическими модулями, а также дающими возможность обработки изображений без необходимости предварительной декомпрессии. Однако, практически все существующие методы кодирования и сжатия предполагают предварительную декомпрессию изображений перед вводом их в обработку. Это приводит к тому, что сложность обработки в АСОИЗ определяется не объемом сжатых, неизбыточных данных, а восстановленным исходным объемом информации. В этой связи представляется актуальной разработка новых методов кодирования изображений в АСОИЗ, обеспечивающих возможность обработки сжатых видеоданных и удобный обмен информацией между отдельными алгоритмическими модулями и функциональными подсистемами АСОИЗ.
Перспективной формой представления видеоданных в АСОИЗ, в рамках которой целесообразно вести разработку новых методов кодирования, являются пирамидально-рекурсивные структуры. Применение этих структур для решения различных задач обработки изображений было обосновано и исследовано в работах А.Клингера, С.Та-нимото, А.Розенфельда, В.В.Александрова, К.Д.Горского. Помимо эффективной обработки, такие структуры обеспечивают возможность поэтапной передачи информации, уточняющей на каждом шаге решение или данные, полученные на предыдущем этапе, что дает дополнительные возможности для ускорения выполнения различных операций над изображениями в АСОИЗ.
Исходя из вышеизложенного, целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов кодирования полутоновых изображений для автоматизированных систем обработки изображений, позволяющих повысить эффективность функционирования АСОИЗ на основе изменения объема хранимых данных, сокращения времени обмена данными, ускорения процессов обработки.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие основные задачи:
Обоснование выбора способа представления видеоданных в АСОИЗ.
Разработка методов и алгоритмов кодирования изображений в рамках выбранного способа представления видеоинформации.
Разработка алгоритма декодирования изображений с поэтапным воспроизведением.
Создание на основе разработанных алгоритмов комплекса программ для систем обработки изображений.
Научная новизна. В процессе решения поставленных задач получены следующие новые научные результаты, которые выносятся автором на защиту:
предложен метод кодирования полутоновых изображений, основанный на усечении пирамидально-рекурсивной структуры данных, представляющей изображение ;
предложен комбинированный метод кодирования, основанный на представлении полутонового изображения разностной пирамидально-рекурсивной структурой с одновременным усечением последней ;
показана взаимосвязь ошибки восстановления изображения
при поэтапном его декодировании с зональным декодированием изображения по коэффициентам двумерного преобразования Адамара ;
- разработаны алгоритмы кодирования и поэтапного декодиро
вания изображения, представленного пирамидально-рекурсив
ной структурой.
Практическая ценность полученных результатов заключается в следующем:
разработаны физические структуры данных для представления закодированных полутоновых изображений в памяти ЭВМ;
создано программное обеспечение разработанных методов кодирования и поэтапного восстановления закодированных изображений.
Разработанные программы позволили достичь высоких коэффициентов сжатия видеоданных при обеспечении их экономного хранения и возможности поэтапной передачи и восстановления.
Реализация и внедрение. Результаты диссертационной работы являются составной частью выполняемой ЛНИВЦ АН СССР темы "Разработка и внедрение автоматизированной системы обработки изображений на основе рекурсивной организации вычислительных процессов"-задание 06.07 Общесоюзной целевой комплексной программы 0Ц.027 ГКНТ и АН СССР (Постановление 474/250/132 от 12.12.80). Разработанное программное обеспечение внедрено и использовалось в практике работ Харьковского авиационного института, НИИ Прикладной математики и кибернетики (г.Горький). Разработанные методы кодирования использовались в работах ВНИИ Телевидения (г.Ленинград). Экономический эффект от внедрения результатов работы составил 27 тыс.рублей.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку на:
П Всесоюзном семинаре "Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях на основе ортогональных базисов" (г.Пущино, 1981 г.);
VI конференции "Автоматизация научных исследований на основе применения ЭВМ" (г.Новосибирск, 1981 г.) ;
Всесоюзной конференции "Теория адаптивных систем и ее применения" (г.Ленинград, 1983 г.) ;
Всесоюзной научно-технической конференции "Обработка изображений и дистанционные исследования" (г.Новосибирск, 1984 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ.
Объем и структура работы. Диссертация содержит 125 страниц машинописного текста, 30 рисунков и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы 92 наименований и приложения.
Анализ цифровых методов кодирования изображений
Исходя из поставленных в предыдущем параграфе требований к методам кодирования в системах машинной обработки, рассмотрим наиболее эффективные из них и оценим целесообразность их использования при решении задач упомянутых направлений машинной обработки изображений.
Наиболее широко используемым среди методов кодирования с предсказанием является дифференциально-импульсно кодовая модуляция (ДИКМ) [29,30,33,54]. Как и большинство других этот метод получил свое развитие в системах передачи изображений и первые сообщения о нем относятся к концу 50-х годов [2L9,30,5Ц \ Сущность метода ДИКМ заключается в организации предсказания значения яркости каждого последующего элемента при сканировании изображения на основе линейной комбинации значений яркости ранее просмотренных элементов. Разница между истинным и предсказанным значениями яркости каждого элемента квантуется с небольшим числом уровней квантования, за счет чего и достигается сокращение объема данных. При этом может использоваться различный порядок предсказания (количество элементов изображения, участвующих в предсказании) [ 33,34,35] , различные конфигурации расположения элементов изображения, по которым выполняется оценка [і,54,35] Б большинстве случаев такой метод кодирования позволяет сжать исходное изображение в 2 3 раза Г 1,34,35"] , при среднеквадратической ошибке восстановления в пределах 1-2%. Это позволяет эффективно использовать ДИКМ для решения задач первого направления - сжатия видеоинформации с целью ускорения передачи данных внутри системы. Следует отметить, однако, что поэлементный характер обработки при кодировании, декодировании в большинстве случаев не позволяет начинать анализ получаемого закодированного изображения до полного окончания процесса его восстановления из-за пространственного характера обработки и анализа. Б то же время, получаемое в результате использования ДИКМ представление данных в памяти позволяет успешно выполнять ряд операций, предварительной обработки, таких, как: контрастирование, выделение контуров, обнаружение характеристик перепадов яркости, поиск отдельных фрагментов изображения и др. Однако, в целом, для выполнения большинства операций задач улучшения качества, реставрации, анализа и синтеза изображений этот метод не отвечает требованию возможности выполнения обработки без восстановления исходного изображения и, несмотря на простоту реализации, не обладает достаточной скоростью восстановления исходного изображения для его использования в универсальных АСОИЗ, в частности, из-за трудностей распараллеливания.
Этот метод кодирования возможно эффективно использовать в специализированных системах (например, пороговое обнаружение дефектов в радиографических системах, некоторые промышленные установки [36 }44] ).
Существенным недостатком ДИКМ является отсутствие интегральных характеритик у закодированных данных, что заставляет при решении задач всех направлений одинаково проводить обработку всех элементов, независимо от детальности рассматриваемого фрагмента изображения, хотя в такой подробности обработки часто нет необходимости (например, при поиске большого однородного участка).
В отличие от ДИКМ методы кодирования на основе двумерных ортогональных преобразований [ 0,ki,kZ, 43] позволяют использовать интегральные характеристики спектральных коэффициентов, получаемых в результате преобразования. Идея замены изображения как непосредственного объекта кодирования коэффициентами его двумерного преобразования (Фурье, Адамара, Хаара и т.д.) была выдвинута в конце 60-х годов [з974о] и обязана своим возникновением, в первую очередь, появлению ЭВМ и разработке алгоритмов быстрых преобразований Фурье, Адамара и др. [397 43] Кодирование посредством преобразования основано на том, что для большинства изображений естественного происхождения значения многих коэффициентов преобразования сравнительно малы. Такие коэффициенты можно часто вообще отбросить (зональный отбор коэффициентов, пороговое кодирование [4,40,42] ), или отвести на их кодирование небольшое число двоичных разрядов (зональное кодирование [4,40] ). Проведенные различными авторами работы[4,2,40,40,4 указывают на то, что для большинства изображений естественного происхождения получаемый коэффициент сжатия достигает 6 8 при среднеквадратической ошибке восстановленного изображения в пределах 0,5-1$. Высокий достигаемый коэффициент сокращения избыточности позволяет эффективно использовать этот метод при решении задач эффективного сжатия видеоинформации в АСОИЗ 141,44] Представление изображения спектральными коэффициентами дает возможность решения большой части задач улучшения качества и реставрации без восстановления исходного изображения [8,15,46,2.0 \ Интегральный характер коэффициентов преобразования в принципе позволяет выполнять часть операций задач анализа изображений и поиска их в базах видеоданных на усеченном множестве этих коэффициентов для определенных классов изображений, таких как текстуры. Однако организация анализа, хранения и поиска изображений по коэффициентам преобразования для изображений естественного происхождения практически не эффективна, поскольку реальные изображения представляют собой сугубо нестационарные сигналы и решения упомянутых задач требует дорогого по вычислительной стоимости восстановления исходного изображения. Представление изображения спектральными коэффициентами может оказаться полезным лишь для специализированных систем обработки с заранее выделенным классом изображений [ 3 $, 44 J.
Представление изображения пирамидально-рекурсивной структурой и его свойства
Удобной математической абстракцией для описания пирамидально-рекурсивного представления является аппарат дискретных пространств, предложенный в [К]. При этом считается, что изображение нормировано к многомерному, в частности приЬ=2, к двумерному, гиперкубу J) ,b 2 (Ь=2 - полутоновое черно-белое изображение). Дискретные пространства на D ет-роятся следующим образом. \P Квант 1 -го разбиения р -мерного единичного гиперкуба D определяется как гиперкуб с ребром 1/К", полученный разбиением Ъ на К равных частей гиперплоскостями, параллельными т\Р координатным и делящими каждое ребро D на К равных частей. р Для того, чтобы каждая точка Ю принадлежала только одному кванту, последний будем полагать многомерным полуинтервалом, т.е. из каждой пары противолежащих граней кванту принадлежит лишь имеющая меньшую координату. Каждому кванту поставим в соот h ветствие некоторый номер ti,0 li K K . При необходимости вслед за буквой с индексами, обозначающими квант, будем в скобках указывать его номер, например d (3) - квант первого разбиения с номером 3. Множество квантов первого разбиения с заданным законом нумерации называется дискретным пространством первого разбиения. Обозначим это пространство Ю : ]) = U Мк) Ш(\1[]) = Ф при Щ Квантом til - го разбиения fl -мерного единичного гиперкуба D называется гиперкуб с ребром 1/К , полученный разбиени ем некоторого кванта -го разбиения на равных частей гиперплоскостями, параллельными координатным и делящими каждое ребро а на К равных частей. Кванты Ш -го разбиения, полученные из одного кванта (т - {) -го разбиения, занумеруем индексом 6т 0 1Ш К , причем, потребуем, чтобы эта нумерация велась по тому же самому закону, что и нумерация квантов первого разбиения. Выражение "по тому же самому закону" означает, что преобразованием растяжения и параллельного переноса множество квантов tn -го разбиения, полученное дроблением одного кванта (ni-i)-ro разбиения, может быть совмещено с дискретным пространством первого разбиения так, чтобы индексы квантов, которые могут быть совмещены, были равны.
Теперь для идентификации некоторого кванта ИХ -го разбие-ния а необходимо указать индексы ijLl la . t „ т-і. всех квантов разбиений , 2, .,-, пг-1 , в которые входит cL , и также его собственный номер im . Набор индексов iL, Ьг } у тп однозначно определяет К -ичный номер кванта 0І , который можно записать P(tn-j) или иначе a = i±iz...bm о сккр1П % где Ц выполняет роль j - й .К -ичной цифры числа Q. . При необходимости будем указывать этот номер в скобках после обозначения кванта: cL (if l2 . . lm) Дискретным пространством TTL -го разбиения называется множество квантов Уґі -го разбиения. Обозначим это пространство Т)р = И сі(чЦ -«lm ) ( г- 1т)[] { " }т) 0 при ..- /ija-jm, . Таким образом, общая нумерация квантов дискретного пространства D определяется рекурсивно. Отметим, что по построению р Основные свойства многомерного пространства П), можно сформулировать следующим образом: 1) все точки кванта сЦц ... lm) считаются неразличимыми до тех пор пока неизвестны номера квантов более старших разбиений, которым эти точки принадлежат. 2) любой точке х =(зс3 г..?Хр)9хЄІ) однозначно соответствует последовательность вложенных квантов в каждый из которых входит X . Номер кванта m . t=i m _- определяет его позиционную координату Q =2-1 К I. , которую можно также записать как Q = . 1 .,, t , где С. " X-Я PC -ичная цифра Q или G Отметим, что область Т) может быть самой разнообразной формы, в принципе кванты различных разбиений могут быть даже не подобны [ 6d,66,#OJ. Для представления и анализа изображений наиболее удобным является вариант, когда область 3) есть единичный гиперкуб, т.е. 3) = іРЛ) , при этом кванты всех разбиений подобны друг другу и исходной области и являются гиперкубами размерности р (рис.2. с. ). Мы рассматриваем именно этот случай. Если 1С - это число частей на которые делится сторона гиперкуба при каждом очередном разбиении, то К = V; и позиционную координату кванта можно записать следующим образом 9 = 4 = .1-1-.. , С - ) u t=l где Ц по-прежнему t -я 1с -ичная а . Важным свойством позиционной координаты (2.2.) является то, что она одновременно указывает и положение кванта в многомерном пространстве и его размер. Пусть исходное изображение нормировано к р -мерному единичному гиперкубу. Построим на нем динамическое дискретное прост-ранство как совокупность дискретных пространств D1 } ... D . Структурой данных при таком представлении изображения будет ре-гулярное К -ичное дерево, вершины которого поставлены во взаимнооднозначное соответствие с квантом дискретных пространств D1 . «« t А)ш . Каждой вершине присвоим номер соответствующего кванта, тогда вершину можно идентифицировать либо по этому номеру [2..1) » либо по позиционной координате кванта ( у , которая однозначно связана с номером.
Поэтапное восстановление изображения
В I.I было указано на важную особенность процесса обработки изображений в современных АСОИЗ, заключающейся в том, что в этом процессе, при обработке одного и того же изображения, участвуют алгоритмы различных функциональных подсистем, при этом результаты передаются последовательно от одного обрабатывающего модуля (алгоритма) к другому, как внутри одной, так и между различными подсистемами. Решение поставленной задачи можно было бы ускорить, если бы каждый алгоритм в этой последовательности мог начинать работу, имея в качестве входных данных только часть результатов, полученных к данному моменту времени предыдущим алгоритмом и продолжать ее, получая затем очередные части результатов. Это дало бы возможность организовать "конвейерный" способ обработки изображений внутри системы, что в конечном счете сократило бы время принятия решения и сделало бы более удобным режим отображения результатов для пользователя Возникает вопрос: какие данные и в какой последовательности должны передаваться между алгоритмами, или отображаться пользователю при такой организации обработки? Если априорная информация о передаваемом изображении и характере решаемой задачи отсутствует, то, пожалуй, единственным критерием ценности выбираемых данных является их влияние на возможность приближенного восстановления (воспроизведения) передаваемого изображения, в предположении, что для принятия решения такого приближения окажется достаточно, или, по крайней мере, - что принятое решение при поступлении новой порции данных будет только уточняться.
Представление изображения пирамидально-рекурсивной структурой с этой точки зрения имеет то преимущество, что верхние уровни пирамиды, являясь приближенным описанием исходного изображения, сохраняют определенную часть семантической информации, занимая в то же время небольшую часть общего объема данных. Организовав передачу (выборку из памяти) "сверху-вниз" по уровням структуры, так, чтобы каждая очередная порция данных уточняла предыдущую, постепенно "проявляя" изображение на приемном конце (а это может быть следующий обрабатывающий модуль, устройство отображения и т.д.), можно достигнуть высокого эквивалентного коэффициента сжатия, или существенно сократить время передачи
Б настоящем разделе оценим сжимающую способность поэтапной передачи (выборки) изображения, представленного пирамидально-рекурсивной структурой. Рассмотрим два случая - передача информации об исходной структуре и передача усеченной разностной структуры, т.е. закодированного изображения.
Выберем в качестве формального критерия эффективности способа выборки (передачи) время, которое необходимо для получения приближенного описания изображения с заданной точностью. В каждом конкретном случае понятие "точность" должно основываться на априорной информации о классе обрабатываемых изображений; в данном случае, не располагая такой информацией, ограничимся ошибкой воспроизведения изображения на приемном конце некоего абстрактного канала связи (без помех). Поставим задачу следующим образом: требуется передать р -мерное изображение из jvJ Kr элементов. Необходимо определить порядок передачи элементов яркости для наилучшего (в смысле заданного критерия) воспроизведения изображения на приемном конце при ограничении времени передачи. В качестве критерия качества воспроизведения рассмотрим традиционное среднеквадратическое отклонение принятого изображения от оригинала: и(т)-- Г(н;1Т)-5-)У1 \ (а. з) где Si і - Ы есть яркость L -го передаваемого отсчета
яркости оригинала, а 2,;(Т) - соответствующая яркость принятого изображения на момент Т . Пусть также дТ есть элементарные затраты времени на передачу одного элемента изображения. Заметим, что оптимальным способом передачи согласно (2.15) будет такой, при котором элементы изображения передаются в порядке уменьшения их вклада в значение ошибки, однако при этом будет утеряна их неявная схема нумерации. Это вызовет дополнительные затраты на передачу информации о "координатах" элементов и резко ухудшит значение критерия. Поэтому следует использовать схемы передачи, сочетающие неявную нумерацию с выбором наиболее значимых (для критерия) элементов изображения. Рассмотрим две схемы. Примем, что до начала передачи яркость всех элементов изображения на приемной стороне равна нулю, т.е. %с(о)=0 , і - jW . Тогда значение критерия в момент Т= 0 равно Ы (0) = 1 .
1. Традиционный способ состоит в построчной развертке изоб ражения и последовательной передаче элементов изображения каж дой строки. Б этом случае снижение значения иСТ) после пере дачи очередного элемента изображения 5/ равно 51 / N и, поскольку порядок элементов никак не связан с их абсолютными значениями, зависимость U(T) будет в среднем линейной (кри вая 4 на рис. 2. і О ). Если время передачи ограничено вели чиной Т0 = КдТ , К N t то ошибка воспроизведения в сред нем окажется равной причем часть изображения будет передана точно, а часть не передана вообще.
Анализ процесса поэтапного восстановления изображений на основе преобразования Адамара
В 2.4. было показано, что поэтапное восстановление изображений может быть использовано как механизм обмена данными между различными обрабатывающими модулями системы обработки видеоинформации, являясь эффективным средством ускорения процессов обработки и. анализа изображений.
В данном разделе демонстрируется взаимосвязь пирамидально-рекурсивного представления изображений с представлением на основе ортогонального преобразования Адамара. Цель такого исследования двояка. Во-первых, рассмотрение этой взаимосвязи определяет возможность преобразования одной формы представления изображения в другую, что имеет важное значение для использования уже разработанных алгоритмов обработки изображений. Во-вторых, установление взаимосвязи пирамидально-рекурсивного представления и представления на основе ортогональных преобразований позволяет сравнить ошибку восстановления изображения при его поэтапной передаче (выборке) с зональньм кодированием на основе преобразования Адамара, которое является в настоящее время одним из широко используемых средств сжатия видеоданных.
Преобразование Адамара и пирамида изображений.
Начнем рассмотрение с одномерного случая. Основание разбиения К; выберем равным 2, что определяется схемой преобразования Адамара. Представим одномерное полутоновое поле -последовательность отсчетов яркости S{ , ..., Stf » КІ = 2 - рекурсивной структурой в виде бинарного дерева. Элемент яркости S: Тп, -го уровня равен S/ , J= 1,Ы , а элемент яркости S; t-ro уровня (0 "t Иг ) будем определять со-гласно ( ? 6) , т.е. в данном случае, как полусумму элементов ( t + 1)-то уровня.
LfjJCjf , jCbJ - 1-й разряд двоичного представления чисел
И и І соответственно. Найдем зависимость между элементами рекурсивной структуры, представляющей исходную последовательность, и спектральными коэффициентами одномерного преобразования Адамара той же последовательности. Для этого определим минимальное число последовательных отсчетов функции с одинаковыми знаками в выражении
( .- ) . Для всех И , таких, что 2 U 2 , U iJ = О, где l t-I, t= 1, 1 При вычислении (33 «у старшие разряды двоичного представления Li умножаются на младшие разряды \ . При этом, для каждого фиксированного U- , Г изменяет свое значение от 0 до 2 - I. Поэтому минимальное число последовательных значений, для которого выражение (-І)т J » не изменяет своего знака, определяется как L = 2 и для u=o, L= 2,т\ Тогда для 2 U 2 выражение (З.Зу можно представить в следующем виде: где М = 2і , LM = Ч/ . Учитывая ( - 0 получим Р(и).я:?. н) чм. ) и в частности Таким образом, каждый X -ый уровень структуры позволяет определить 2 начальных коэффициентов преобразования Адамара с номерами Ц= 0,2 - I. Поскольку на предыдущем ( "t-D-м уровне структуры могут быть определзны коэффициенты преобразования Адамара с номерами 11 = 0,2-1, то переход от ( "t" —I)—го + т к t -Щ уровню дает возможность определения 2 коэффициентов 4- _Т + с номерами U= 2 ,2 -I. Для первых 2 коэффициентов F ( и,), элементы яркости S; , \ = 0,2 П являются, как это видно из ( « ) , исходным сигналом. В соответствии с теоремой Парсеваля i:(F№)f-i:(s?)-, следовательно энергия, приходящаяся на "t-й уровень рекурсив-ной структуры, равна энергии, передаваемой при помощи 2 первых коэффициентов преобразования Адамара или, что то же самое, сред-неквадратическая ошибка аппроксимации числовой последовательности (одномерного изображения) изображением "t-ro уровня из пирамиды равна среднеквадратической ошибке восстановления с исполь 4 зованием 2 первых коэффициентов преобразования Адамара. Обратное одномерное преобразование Адамара может быть записано в виде: N или, с учетом Количество слагаемых выражения Z— t (U Д-1; равно 2 При вычислении этого выражения W-(Tn-"t) = "t старших разрядов в двоичном представлении числа Ъ остаются неизменными, а старшие разряды представления U- такие, что U/ 2 равны 0. Для It У/ 2 количество положительных и отрицательных слагаемых в выражении одинаково. Это свидетельствует о том, что для определения элемента структуры \ необходимо знать только 2 начальных коэффициентов одномерного преобразования Адама ра. С учетом сказанного, выражение (3. hj может быть пред ставлено в следующем виде: sr?rSF(u)H) . L=2 . М Выражения ( 3,4J t t / определяют коэффициенты прямого преобразования Адамара исходной последовательности, выраженные через элементы яркости t -го уровня рекурсивной структуры и обратно, элементы яркости t -го уровня рекурсивной структуры через коэффициенты преобразования Адамара исходной последовательности. Обратимся теперь к многомерному случаю. Пусть р -мерное РІП Р информационное поле из N = 2 элементов представлено 2Г ичной рекурсивной структурой. Поскольку многомерное преобразова ние Адамара разделимо и может быть проведено как р последо вательных одномерных преобразований по каждой из декартовых ко ординат поля, соотношения легко обобщаются на р -мерный случай.
