Содержание к диссертации
Введение
1. Задача восстановления разностного уравнения 12
1.1. Формулировка задачи восстановления разностного уравнения 12
1.2. Базовый алгоритм восстановления разностного уравнения 16
1.3. Постановка задачи восстановления параметров левой части. разностного уравнения 20
2. Методы параметрической идентификации линейных дискретных динамических объектов 24
2.1. Задача параметрической идентификации 24
2.2. Метод наименьших квадратов... 26
2.3. Подход на основе ошибки предсказания 28
2.4. Корреляционный подход 36
2.5. Компенсационный подход 39
2.6. Заключение 42
3. Алгоритмы восстановления на основе ошибки предсказания ... 45
3.1. Алгоритмы на основе ОМНК 45
3.2. Машинный анализ алгоритмов ОМНК 56
3.3. Алгоритмы на основе ММП 87
3.4. Машинный анализ алгоритмов ММП 90
3.5. Заключение ...102
4. Алгоритмы восстановления на основе корреляционного подхода 105
4.1. Исходные положения 105
4.2. Алгоритмы на основе МИЛ 105
4.3. Машинный анализ алгоритмов на основе МИП 107
4.4. Заключение 122
Заключение ...124
Литература 127
Приложение 1. Общие положения машинного анализа 136
Приложение 2. Программное обеспечение алгоритмов восстановления 149
Приложение 3. Сведения о внедрении 157
- Формулировка задачи восстановления разностного уравнения
- Базовый алгоритм восстановления разностного уравнения
- Задача параметрической идентификации
- Алгоритмы на основе ОМНК
Введение к работе
Актуальность темы. Формализованные постановки многих задач науки и техники сводятся к задаче идентификации математической модели объектов и явлений. В зависимости от конкретной задачи возникает необходимость построения математической модели в той или иной форме. При решении линейных задач управления и контроля техническими динамическими объектами наиболее приемлемыми математическими моделями являются дифференциальные и разностные уравнения или соответствующие им непрерывные и дискретные передаточные функции (ПФ). Эти модели непосредственно ориентированы на современные методы синтеза автоматических систем [1-4] и позволяют сравнительно просто перейти к другим линейным математическим моделям, например, таким, как импульсная (ИХ) или амплитудно-фазовая (АФХ) характеристики.
Вопросам разработки методов и алгоритмов пассивной параметрической идентификации моделей в форме дифференциальных или разностных уравнений по измеряемым с помехами реализациям входных и выходных сигналов идентифицируемого объекта посвящена обширная литература [5-13]. Однако известные методы и алгоритмы такого рода требуют сравнительно большой априорной информации об объекте и помехах. Особенно важной является априорная информация о порядках старших производных (разностей) входного и выходного сигналов в дифференциальном (разностном) уравнении объекта. Во многих практических случаях эта информация отсутствует, а ее получение предполагает проведение дополнительных экспериментальных исследований. Улучшение точности может быть достигнуто в рамках активной идентификации при специальных входных тестовых сигналах [14, 15], однако и в этом случае по-прежнему требуется большая априорная информация об объекте и помехах и возникают значительные трудности практической реализации тестовых сигналов.
Отсутствие достаточной априорной информации об идентифицируемом объекте и помехах, искажающих измеряемые реализации входного и выходного сигналов объекта, заставляет обратиться к идентификации интегрального уравнения объекта, описывающегося ИХ.
При идентификации ИХ имеют место следующие достоинства: отсутствует необходимость в априорной информации о порядках старших производных (разностей) входного и выходного сигналов в дифференциальном (разностном) уравнении объекта; отсутствует необходимость использования производных входного и выходного сигналов идентифицируемого объекта; в настоящее время существуют алгоритмы идентификации ИХ [16-21], которые требуют минимальной априорной информации об идентифицируемом объекте и помехах (искажающих измеряемые реализации входного и выходного сигналов объекта), оказываются слабочувствительными к степени колебательности ИХ объекта и достаточно эффективно функционируют в условиях различного характера {низкочастотная {НЧ), широкополосная (ШП), высокочастотная (ВЧ)) и высокого уровня помех, причем при необходимости дополнительная априорная информация может быть вообще исключена [16, 22]; помехи высокого уровня, искажающие реализации входного и выходного сигналов объекта, трансформируются в помеху значительно более низкого уровня, искажающую идентифицированную оценку ИХ.
Наличие эффективных алгоритмов идентификации ШТдает возможность предложить новый подход к решению общей проблемы полной идентификации линейного динамического объекта (построение любой математической модели - дифференциального или разностного уравнения, ИХ, АФХ по измеряемым реализациям входного и выходного сигналов (рис.Бі)) посредством последовательного решения трех задач [23], а именно: - задачи идентификации й^по измеряемым зашумленным реализациям входного и выходного сигналов объекта;
x(t) bx(t) e> we JC*(/) y*(t)
Алгоритм идентификации
Алгоритм восстановления
Алгоритмы трансформации uW(s) |Я((0) |Ф(со) Рис. В1.. Структурная схема алгоритма полной идентификации задачи восстановления дискретной ПФ по найденной оценке ИХ (не требующей использования производных ИХ); задачи трансформации (при необходимости) оценки дискретной ПФ в требуемую математическую модель.
Целесообразность восстановления по оценке ИХ именно дискретной ПФ объясняется тем, что задача идентификации разностного уравнения по сравнению с задачей идентификации дифференциального уравнения априори обладает существенными преимуществами, так как не требует использования производных (в том числе и высоких порядков) измеряемых реализаций входного и выходного сигналов объекта.
Поскольку имеются качественные алгоритмы перехода от дифференциального или разностного уравнения к другим математическим моделям [24, 25] и в этом плане принципиальных трудностей не возникает, то реализация указанного подхода к решению общей проблемы полной идентификации линейного динамического объекта сводится к проблеме восстановления линейного разностного уравнения (дискретной ПФ) объекта по оценке его ИХ.
В рамках обсуждения необходимо особо подчеркнуть, что до сих пор проблема восстановления дифференциального и разностного уравнения по оценке ИХ систематически и всесторонне не обсуждалась, и в литературе данной проблеме уделяется крайне незначительное внимание — имеются сравнительно немногочисленные статьи и полностью отсутствует фундаментальная научная литература. Это обстоятельство во многом определяется следующими положениями: задачи восстановления дискретной ПФ по оценке ИХ, идентификации дискретной ПФ по измеряемым реализациям входного и выходного сигналов объекта и построения статистических динамических моделей авторегрессии (^-модель), скользящего среднего (СС-модель), аеторегрессии-скользящего среднего (АРСС-моАрпь) измеряемой реализации сигнала в плане конечного результата являются адекватными; задачи идентификации дискретной ПФ и построения статистических динамических моделей дискретных сигналов детально изучались [8, 11—13, 26-66] в течение длительного времени; задачи идентификации дискретной ПФ и построения статистических динамических моделей в качестве исходных данных используют непосредственно измеренные реализации сигналов, а задача восстановления дискретной ПФ предполагает предварительную идентификацию ИХ по измеряемым реализациям сигналов, в результате чего, на первый взгляд, представляется неестественной и заведомо характеризующейся неоправданно повышенной сложностью; формализованные постановки задач восстановления дискретной ПФ, идентификации дискретной ПФ и построения статистических динамических моделей оказываются близкими, и при поверхностном рассмотрении необходимость специального изучения задачи восстановления представляется нецелесообразной.
Цель работы. Разработка и исследование помехоустойчивых алгоритмов восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта по дискретной реализации оценки его ИХ с использованием статистических подходов.
Методы исследования. Математический аппарат линейной алгебры, теории дифференциальных и разностных уравнений, спектрального и статистического анализа, численные методы, а также машинное моделирование.
Научная новизна.
Разработаны и исследованы новые статистические алгоритмы уточнения оценок (полученных базовым алгоритмом восстановления) параметров левой части разностного уравнения объекта, построенные на основе обобщенного МНК (ОМНК), метода максимального правдоподобия (ММП) и метода инструментальной переменной (МИП).
В результате исследований разработанных статистических алгоритмов, используемых в условиях обработки коротких реализаций ИХ, было показано, что алгоритмы на основе ОМНК и ММП чувствительны к порядку ^/"-модели формирующего фильтра. Однако, при надлежащем выборе порядка ^Р-модели данные алгоритмы позволяют обеспечить существенное (в среднем в 5, а в ряде случаев до 10 раз) уточнение оценок параметров левой части разностного уравнения. Алгоритмы на основе МИП являются малоэффективными и не позволяют должным образом уточнить оценки параметров левой части разностного уравнения.
Показаны: - эффективность разработанных алгоритмов на основе ОМНК и ММП; — возможность улучшения результатов уточнения, например, путем применения ЛРСС-модели.
4. Впервые дана формальная постановка задачи уточнения оценок пара метров левой части разностного уравнения линейного динамического объек та, полученных посредством базового алгоритма восстановления этих пара метров на основе МНК по заданным дискретным отсчетам реализации оцен ки ИХ.
5. Разработано программное обеспечение предложенных алгоритмов уточнения, включенное в пакет прикладных программ «JRESDEQ», исполь зуемый для восстановления разностного уравнения.
Основные положения, выносимые на защиту:
Новые помехоустойчивые алгоритмы восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного динамического объекта по оценке его ИХ, реализуемые на основе статистических методов уточнения оценок искомых параметров.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается аналитическими методами исследования и решением характерных модельных задач.
Практическая ценность. Проведенные исследования показали, что при аддитивных помехах различного характера и высокого (до 50%) уровня, искажающих ИХ, удается обеспечить эффективное восстановление параметров левой части разностного уравнения объекта. В результате оказывается возможным снять повышенные требования к помехоустойчивости используемых алгоритмов идентификации ИХ. Синтезированные алгоритмы восстановления параметров левой части разностного уравнения по оценке ИХ в совокупности с известными алгоритмами восстановления разностного уравнения и идентификации ИХ позволяют решить задачу идентификации дифференциального или разностного уравнения объекта в условиях минимальной априорной информации об объекте и помехах при сильном зашумлении измеряемых реализаций его входного и выходного сигналов. Такое положение позволило существенно расширить область практически идентифицируемых объектов за счет значительного снижения требований к метрологическим характеристикам измерительной и регистрирующей аппаратуры и резкого снижения объема экспериментальных исследований объекта, а тем самым временных и материальных затрат.
Реализация результатов. Результаты исследований использовались при ведении шкал времени вторичного эталона СНИИМ, где внедрение разработанного алгоритмического и программного обеспечения дало возможность повысить точность расчетов моментов шкалы времени вторичного эталона, а также в учебном процессе на кафедре автоматики НГТУ в рамках изучения дисциплин «Идентификация динамических объектов» и «Алгоритмы преобразования математических моделей» при подготовке бакалавров по -направлению 220200 «Автоматизция и управление», дипломированных инженеров по специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах» и магистров по программе 220201 «Управление в технических системах».
Сведения о достигнутых технических показателях приведены в акте о внедрении и в справке об использовании полученных результатов в учебном процессе.
Результаты диссертационного исследования связаны с выполнением НИР «Исследование робастных свойств алгоритма идентификации импульсной характеристики на основе прямого МНК» (2000 г.).
Апробация работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 4-ом Русско-Корейском Меэюду- . народном симпозиуме по науке и технологии (KORUS—2000, Ulsan, Republic of Korea, 2000 г.), 5-ой Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (АПЭП—2000, г. Новосибирск, 2000 г.), Международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии» (ИСТ'2000, Новосибирск, 2000 г., ИСТ'2003, Новосибирск, 2003 г.), 4-ом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000, г. Новосибирск, 2000 г.), Региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации» (НТИ-2001, г. Новосибирск, 2001 г.), Международной конференции IASTED «Автоматизация, управление и информаъ^ионные технологии» (АСЇТ-2002, г. Новосибирск, 2002 г.), а также регулярно на научных семинарах кафедры автоматики НГТУ.
Публикации. По тематике диссертации имеется 13 публикаций [21, 67— 78], в том числе патент на изобретение [71] и отчет по НИР [21], выполненный при участии автора.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы из 92 наименований и приложений. Общий объем диссертации - 160 с, она содержит 78 рисунков и 44 таблицы.
Во Введении дается общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы, определяются цель и задачи исследования, приводятся основные положения, выносимые на защиту.
В первом разделе производится постановка задачи восстановления и ее краткое обсуждение, приводится базовый алгоритм восстановления, рассматриваются алгоритмы восстановления коэффициентов полинома знаменателя ПФ на основе МНК.
Во втором разделе приведен критический обзор современного состояния проблемы параметрической идентификации динамических моделей, описывающих линейные дискретные динамические объекты. Рассмотренные методы объединены в три группы — подход на основе ошибки предсказания, корреляционный и компенсационный подходы. Делается заключение о достоинствах и недостатках указанных подходов и методов. Для исследований выбраны первые два подхода.
В третьем разделе исследованы возможности улучшения получаемых базовым алгоритмом оценок МНК коэффициентов полинома знаменателя ПФ посредством алгоритмов на основе ошибки предсказания, в число которых вошли три модификации ОМНК и алгоритм на основе ММП. Здесь же приведены и обсуждаются результаты машинных экспериментов в виде таблиц и графиков, исследующих возможности улучшения получаемых оценок.
В четвертом разделе исследованы возможности улучшения получаемых базовым алгоритмом оценок МНК коэффициентов полинома знаменателя ПФ посредством алгоритмов на основе корреляционного подхода - двух модификаций МИЛ. Приведены и обсуждаются результаты машинных экспериментов в виде таблиц и графиков, исследующих возможности улучшения получаемых оценок.
В заключении формулируются основные положения и результаты исследования.
В приложении 1 приведены общие положения машинного анализа, а также рассматриваются используемые алгоритмы фильтрации коротких реализаций сигналов. В приложении 2 дано описание пакета прикладных программ RESDEQ и программных модулей, реализующих рассмотренные алгоритмы восстановления. В приложении 3 представлены сведения о внедрении результатов работы.
Автор не может не отметить большой вклад профессора |А.С. АнисимоваІ, предложившего тематику исследований и под руководством которого была выполнена основная часть работы. Автор также выражает искреннюю признательность профессору В.Т. Кононову за помощь на завершающем этапе. За постоянное внимание к работе, систематическое обсуждение результатов в личных беседах и за оказанную помощь в отладке пакета программ RESDEQ хочется отдельно поблагодарить доцента Г.П. Чикильдина, без участия которого работа не могла быть завершена.
Формулировка задачи восстановления разностного уравнения
Сформулируем основные положения по параметрической идентификации ДОД-объекта.
1. В исходной постановке задача параметрической идентификации ПФ W{z) ЛДЦ-объекта, сводится к решению переопределенной линейной алгебраической системы, вектор правой части которой представляется суммой измеримой и неизмеримой слагаемых, причем неизмеримая слагаемая определяется отсчетами неизмеримой обобщенной помехи dvk.
2. Из-за неизмеримой слагаемой решение алгебраической системы МНК порождает смещенность оценок искомых коэффициентов ПФ W(z).
3. Можно выделить три подхода к повышению точности идентификации: на основе ошибки предсказания, корреляционный и компенсационный.
4. Наиболее распространенными методами подхода на основе ошибки предсказания являются ОМНК и ММП.
5. Прямое применение ОМНК предполагает наличие матрицы ковариации обобщенной помехи bvk, причем известные алгоритмы построения приближенной матрицы ковариации (или левой и правой весовых матриц в GTLS- и СП -методе) являются недостаточно эффективными.
6. Косвенное применение ОМНК основано на использовании модели обобщенной помехи bvk - формирующего фильтра с ПФ W (z), преобразующего порождающий белый шум 5к в обобщенную помеху bvk.
7. При использовании формирующего фильтра основная ошибка идентификации обуславливается неэффективным выбором структуры ПФ W(z)
формирующего фильтра, в результате чего порождающий шум не является хорошим приближением к белому шуму. 8. В данном случае возникает необходимость решения нелинейной алгебраической системы относительно оценок коэффициентов ПФ объекта и формирующего фильтра, что принципиально требует использования итерационной процедуры решения и порождает слагаемую дополнительной ошибки идентификации. Вторая слагаемая этой ошибки обуславливается ограниченностью интервала наблюдения.
9. Применение ММП предполагает использование модели обобщенной помехи bvk и наличие аналитического выражения функции правдоподобия порождающего белого шума Ък, что накладывает дополнительные ограничения на его характер. Как правило, шум 8к принимается гауссовеким, и в этом случае оценки ММП совпадают с оценками ОМНК и не зависят от длительности интервала наблюдения.
10. В случае ММП основная ошибка идентификации обуславливается неэффективным выбором структуры ПФ ЇГф(г) формирующего фильтра, причем из-за необходимости обеспечения не только белизны, но и гауссово-сти порождающего шума усиливается зависимость оценок ММП по сравнению с оценками ОМНК от структуры ПФ формирующего фильтра.
11. При порождающем белом гауссовском шуме &к максимизация функции правдоподобия приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно оценок коэффициентов ПФ объекта и формирующего фильтра, что, как и в случае ОМНК, принципиально требует использования итерационной процедуры решения и порождает дополнительную ошибку идентификации.
12. Недостатки ОМНК и ММП обусловлены отсутствием методов выбора структуры ПФ W {z) формирующего фильтра и обоснованием сходимо сти итерационного алгоритма решения нелинейной алгебраической системы, в том числе отсутствием рекомендаций по выбору начальных значений оце нок коэффициентов ПФ Wfo{z). существенно влияющих на сходимость алго ритма решения. 13. Наиболее распространенным методом корреляционного подхода яв ляется МИП. В рамках МИП не используется-модель обобщенной помехи 8vk, а искомые коэффициенты определяются из линейной алгебраической системы. Однако при этом возникает проблема выбора инструментальной переменной, не коррелирующей с обобщенной помехой dvk.
14. Основная ошибка идентификации обуславливается неэффективным выбором инструментальной переменной, в результате чего между инстру ментальной переменной и обобщенной помехой Sv сохраняется заметная корреляция. Дополнительная ошибка обуславливается ограниченностью интервала наблюдения.
15. Недостаток МИП обусловлен отсутствием эффективных универсальных методов выбора надлежащей инструментальной переменной.
16. Методы компенсационного подхода не используют модель обобщенной помехи bvk, а уменьшение смещенности оценок МНК достигается учетом оценки неизмеримого слагаемого вектора правой части решаемой линейной алгебраической системы. Такая оценка находится путем решения надлежащей линейной алгебраической системы. Методы компенсационного подхода могут трактоваться как частные случаи взвешенного МИП.
Базовый алгоритм восстановления разностного уравнения
Предложенная процедура решения нелинейной системы (3.21) оказывается близкой к методу трансформации переменных [11], сходимость которого не доказана, однако отмечается [11], что метод трансформации переменных хорошо зарекомендовал себя на практике.
Недостатком исходной системы (1.12) является наличие в правой части отсчетов bvrk неизмеримой обобщенной помехи. В алгоритмах уточнения на основе ОМНК1 и ОМНК2 данный недостаток сохраняется (формирование компонент матрицы Wn/. и векторов w , 5V,. сг требует наличия отсчетов ), и оказывается принципиально невозможным получить оценку ОМНК аог. Эти алгоритмы можно реализовать только приближенно через итерационные процессы, причем вопрос сходимости оценок ягі к оценке ОМНК &ог (так же как в соответствующих алгоритмах параметрической идентификации) остается открытым.
Указанный недостаток алгоритмов на основе ОМНК1 и ОМНК2 преодолевается в алгоритмах на основе ОМНКЗ. Здесь формирование системы (3.20) не встречает трудностей, однако возникает необходимость решения нелинейной системы (3.21).
Помимо отмеченного, во всех алгоритмах уточнения на основе ОМНК переход от систем (3.7), (3.15) и (3.19), записанных относительно искомых коэффициентов а, и dr, к решаемым системам (3.8), (3.16) и (3.20), записанным относительно оценок ОМНК яог и d0 , оказывается возможным только при выполнении надлежащих условий - центрированности и белизны порождающего шума Ъг1к и достаточно большого значения параметра К0. На практике эти условия могут не выполняться, в частности, из-за ограниченности параметра К0.
В приведенных алгоритмах уточнения отличие оценок ОМНК яог и dor от коэффициентов а,, и dr порождается двумя факторами:
— нарушением основополагающей гипотезы из-за достаточно произ вольного выбора порядка р, в результате чего порождающий шум Ьк может не являться реализацией центрированного белого шума;
- принципиальной ограниченностью величины параметра К0.
В алгоритмах уточнения на основе ОМНК1 и ОМНК2 отличие оценок af/ и аог порождается теми же факторами. При этом в случае ОМНК1 отличие обобщенной помехи brlk от белого шума обуславливается нарушением гипотезы белизны и центрированности шума и отличием оценок с от коэффициентов сг, а в случае ОМНК2 обобщенная помеха orik принципиально не является реализацией белого шума. В алгоритмах ОМНКЗ определяется оценка ОМНК d№, а оценки аг1 и а№ отличаются из-за процедуры решения нелинейной системы, сходимость которой (также как и сходимость других известных процедур такого рода) в данном случае не обоснована.
Очевидно, что потенциально алгоритмы уточнения на основе ОМНКЗ позволяют обеспечить наибольшую, а алгоритмы уточнения на основе ОМНК2 наименьшую степень приближения получаемых оценок к искомым оценкам ОМНК.
Задача параметрической идентификации
В целом по алгоритму ОМНК1 можно отметить, что при отсутствии помехи ошибка восстановления составляет менее 10 Л При отсутствии НЧ-фильтрации ошибки восстановления при воздействии ЯЧ-помехи принимают весьма малые значения при значительных уточнениях на высоких уровнях помехи, при воздействии ШП- и ЯЧ-помех ошибки принимают большие зна чения, поскольку уточнения либо вообще не наблюдаются, либо являются незначительными. При #Ч"-фильтрации на основе БПФ при воздействии ИЧ-и ШП-помех ошибки восстановления принимают достаточно малые значения при заметных уточнениях, кроме случая 5 =0,10, когда уточнений не наблюдалось, при воздействии В -помехи ошибки восстановления принимают весьма малые значения, при этом наблюдаются очень существенные уточнения. При применении нерекурсивной // -фильтрации ошибки восстановления при воздействии помех принимают малые значения при значительных уточнениях, в особенности при действии Я -помехи.
Также следует отметить, что минимальные ошибки восстановления наблюдались в основном либо. на первой, либо на последней, пятой итерации уточнения, что отражает соответственно расходящийся или сходящийся характер процесса уточнения. При этом в последнем случае дополнительные машинные эксперименты показали, что изменение ошибки носит, как правило, экспоненциальный характер, т.е. на дальнейших итерациях существенных уточнений не происходит, и их количество достаточно ограничить пятью. В отношении порядка фильтрар можно отметить следующее: 1 -w При отсутствии ЯЧ-фильтрации оптимальные значения порядка р наиболее часто принимали значение 3 при большом разбросе от 1 до 9. В силу того, что при отсутствии фильтрации уточнений практически не наблюдалось, можно сделать вывод, что данный алгоритм в таких условиях работает неэффективно, и задавать высокие порядкир не имеет смысла.
2. При применении #-фильтрации на основе БПФ оптимальные значения порядка р принимали только четные значения 2, 4, 6 при заметных уточнениях, причем, по-видимому, прослеживается некоторая зависимость порядка от характера помехи: для НЧ-помехи. предпочтительны более высокие порядки, в данном случае — 4, 6. Стоит отметить, что указанные значения порядка р получены для модельного обьеісга четвертого порядка, т.е. зачастую оказываются близкими к порядку идентифицируемого объекта или же совпадают с ним.
3. При IF=\ оптимальные значения порядка/? принимали значения 1-10 при заметных уточнениях, причем прослеживается зависимость порядка от характера помехи: для ВУ-помехи предпочтительны высокие порядки (6-10).
4. Как показывают полученные результаты, зачастую при р=\ ошибки принимают большие значения, уточнений, как правило, не происходит. Исходя из этого, имеет смысл задавать значения порядка/?, начиная с 2.
5. Исследования показали также, в общем, экспоненциальный характер достигаемых уточнений - основное улучшение оценок происходит при порядках р до 6 включительно. По-видимому, этим значением и стоит в большинстве случаев ограничить выбор р.
В заключение можно отметить, что применение ЯЯ-фильтрации позволяет достичь существенных уточнений и значительно снизить ошибку восстановления. При этом при воздействии ШП- и ВЧ-поыех. применение нерекурсивной #-фильтрации дает несколько лучшие результаты, чем применение НЧ-фильтрации на основе БПФ. При воздействии же НЧ-помехи применение НЧ-фильтрации в силу ее теоретической неэффективности для данного типа помехи и появления дополнительной методической погрешности фильтрации не дает эффекта и в основном несколько снижает точность восстановления, из чего естественным образом следует, что применение // фильтрации в данном случае нецелесообразно.
В общем, проведенный машинный анализ свидетельствует об эффективности алгоритма уточнения ОМНК1 при наличии фильтрации (IF=l, 2), однако применение данного алгоритма затруднено отсутствием процедуры выбора надлежащего порядка р.
Результаты машинного анализа алгоритма уточнения ОМНК2 для того же объекта и при условиях, описанных в приложении 1, приведены в табл. ЗЛО -ЗЛ8. В случаях, когда на высоких порядкахр уточнений не происходило, в целях экономии места таблицы сокращались до р=6.. По данным каждой из таблиц на рис. 3.10-ЗЛ8 приведены графики зависимостей ошибок erfmin при оптимальном порядке р и еа0 от уровня помехи.
Алгоритмы на основе ОМНК
Также следует отметить, что минимальные ошибки восстановления наблюдались в основном либо на первой, либо на последней, пятой итерации уточнения, что отражает соответственно расходящийся или сходящийся характер процесса уточнения. При этом в последнем случае машинные эксперименты показали, что изменение ошибки носит, как правило, экспоненциальный характер, т.е. на дальнейших итерациях существенных уточнений не происходит, и их количество достаточно ограничить пятью.
В отношении порядка фильтра;? можно отметить следующее: 1. При отсутствии #Ч"-фильтрации оптимальные значения порядка р наиболее часто принимали значение 4 при разбросе от 2 до 6. В силу того, что при отсутствии фильтрации значительных уточнений практически не наблюдалось, можно сделать вывод, что данный алгоритм в таких условиях работает неэффективно, и задавать высокие порядки/? не имеет смысла.
2. При Я-фильтрации на основе БПФ оптимальные значения порядка р наиболее часто принимали четные значения 2, 6, 8, 10 при заметных уточнениях, причем, по-видимому, прослеживается некоторая зависимость порядка от характера помехи - для ЛЧ-помехи предпочтительны более высокие порядки, в данном случае 8,10.
3. При нерекурсивной ЯЧ-фильтрации оптимальные значения порядка р наиболее часто принимали значение 4 при небольшом разбросе 3-6. Стоит отметить, что значения порядка р получены для модельного объекта четвертого порядка, т.е. оказываются близкими к порядку исследуемого объекта.
4. Как показывают полученные результаты, зачастую прир=1 ошибки принимают большие значения, уточнений, как правило, не происходит. Исходя из этого, имеет смысл задавать значения порядка начиная с 2.
В заключение можно сказать, что применение #-фильтрации позволяет значительно снизить ошибку восстановления. При этом при воздействии ВЧ-помехи нерекурсивная #-фильтрация дает несколько лучшие результаты, чем #Ч-фильтрация на основе БЇЇФ. При воздействии же НЧ-поыеха НЧ-фильтрация в силу ее теоретической неэффективности для данного типа помехи и появления дополнительной методической погрешности фильтрации не дает эффекта и существенно снижает точность восстановления, из чего следует, что применение #Ч"-фильтрации в данном случае нецелесообразно.
Результаты исследований показали сходимость предложенной процедуры решения нелинейной системы (3.21).
Таким образом, анализ установил следующие основные положения: - существенным недостатком ОМНК является его зависимость от априори значительно ограниченной величины параметра К0;
- эффективность алгоритмов уточнения ОМНК сильно зависит от выбранной структуры ПФ формирующего фильтра, в частности, при выборе АР-модели обобщенной помехи - от порядка ;
- основная ошибка восстановления коэффициентов порождается принципиальной ограниченностью эффективной длительности ИХ и произвольным выбором структуры ПФ формирующего фильтра, в результате чего порождающий шум Ьк не является хорошим приближением к белому шуму, в частности, в экспериментах из-за ограниченности параметра К0 и выбора упрощенной АР модели эффективное «выбеливание» обобщенной помехи наблюдается лишь в отдельных случаях;
- алгоритмы уточнения ОМНК могут быть реализованы только итерационно, что порождает дополнительную ошибку восстановления;
- алгоритмы уточнения на основе ОМНКЗ приводят к нелинейной системе, решение которой можно осуществить путем специального итерационного процесса, что требует анализа условий его сходимости;
- наличие указанных ошибок восстановления приводит к необходимости организации контроля эффективности получаемых оценок.
Алгоритмы уточнения ОМНК1 и ОМНК2 обеспечивают схожие результаты и заметные уточнения, ОМНКЗ обеспечивает худшие результаты при незначительных эпизодических уточнениях. В целом анализ свидетельствует о потенциальной эффективности алгоритмов уточнения ОМНК1, ОМНКЗ и позволяет надеяться на достижение лучших результатов при использовании более качественной -модели обобщенной помехи.
Похожие диссертации на Разработка и исследование статистических алгоритмов восстановления параметров левой части разностного уравнения линейного дискретного динамического объекта
