Содержание к диссертации
Введение
1 Задачи управляемости динамических систем с непрерывным временем 20
1.1 Разрешимость функционального уравнения Персидского 20
1.2 Необходимые и достаточные условия с ВФЛ для экви-управляемости, управляемости до диссипативности, эк-виуправляемости и инвариантности терминального множества 48
1.3 Оценки скорости приближения к нулю обобщенно-однородных многозначныхполупотоков и теоремы о динамических свойствах с ВФЛ 68
1.4 Алгоритмы построения функций Ляпунова и управления для управляемости в ноль 102
2 Некоторые задачи гармонизации интересов сторон 143
2.1 Математическая постановка задачи гармонизации интересов сторон 143
2.2 Достаточные условия разрешимости задачи сильной гармонизации и гармонизации по Нэшу для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями 147
2.3 Гармонизация интересов сторон при платежах предприятий за загрязнение 156
3 Анализ достижимости в цифровых схемах 171
3.1 Логико-динамическая модель процессов в цифровых схемах 171
3.2 Существование, единственность, продолжимость решений уравнения (1.2) 176
3.3 Существование и единственность переключательных процессов 181
3.4 Квазимонотонные системы 187
3.5 Метод сравнения 193
3.6 Случай элементарных дизъюнкций 199
3.7 Обращение теоремы сравнения для достижимости 213
3.8 Исследование свойства достижимости для монотонных систем с постоянными задержками 220
4 Метод сравнения для управляемых систем с дискретным временем и вычислительная сложность вспомогательных задач 236
4.1 Достижимость в дискретной динамической системе с параметрическими управлением и возмущением 236
4.2 Общие системы линейных алгебраических систем уравнений с неопределенностью 242
4.3 Обобщенные множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений 273
4.4 Алгебраические уравнения в интервальной арифметике Каухера и уравнения с модулями 293
Заключение 337
Литература 339
- Разрешимость функционального уравнения Персидского
- Математическая постановка задачи гармонизации интересов сторон
- Логико-динамическая модель процессов в цифровых схемах
- Достижимость в дискретной динамической системе с параметрическими управлением и возмущением
Введение к работе
Современная жизнь характеризуется резким возрастанием сложности систем, создаваемых или исследуемых человеком, и расширением разнообразия их изучаемых свойств. Эта сложность математически проявляется в том, что модель может состоять из ряда взаимосвязанных, но разнородных по своему описанию подсистем (в форме, например, дифференциальных, разностных, логических, функциональных и других уравнений), причем эти подсистемы могут содержать управления и разного сорта неопределенности и возмущения (координатные, параметрические, структурные).
Развитие методов исследования для сложных (нелинейных, гибридных) систем с управлением и неопределенностями является актуальной задачей, которой и посвящена настоящая работа.
Основные общепризнанные методы исследования систем с управлением, описываемых дифференциальными или разностными уравнениями, основаны на использовании принципа максимума Понтрягина или функций Беллмана-Кротова. Однако с помощью этих методов исследуются в основном свойства, связанные с оптимизацией некоторого критерия. В то же время для исследования различных качественных свойств динамических систем широко используется метод функций Ляпунова (Н.Г.Четаев, Б.А.Барбашин, В.И.Зубов, Г.В.Каменков, Н.Н.Красовский, И.Г.Малкин, В.М.Матросов, К.П.Персидский, В.В.Румянцев и др.), разработанный в его развитие метод сравнения и, в частности, метод векторных функций Ляпунова (ВФЛ) (Матросов-Беллман, 1962).
Метод функций Ляпунова применялся для исследования свойств нелинейных управляемых систем, с распределенными параметрами, запаздыванием и др. также в работах И.М.Ананьевского, Н.А.Бобылева, Р.Е.Калмана, В.И.Коробова, С.К.Коровина, В.М.Кунцевича, А.Б.Кур-жанского, П.К.Кузнецова, М.М.Лычака, Ю.С.Осипова, К.П.Персидского, С. К. Перейде кого, Е.С.Пятницкого, Т.К.Сиразетдинова, С.Я.Степанова, А.Л.Фрадкова,
В.Хана, Д.Я.Хусаинова, Ф.Л.Черноусько, В.А.Якубовича и многих других.
Метод ВФЛ в задачах динамики управления развивался и использо- вался Л.Ю.Анапольским, С.Н.Васильевым, А.С.Земляковым, Т.Йоши-завой, В.Б.Колмановским, Р.И.Козловым, К.Кордуняну, В.Лакшмикан-тамом, А.И.Маликовым, А.А.Мартынюком, А.И.Москаленко, В.Р.Носовым, К.Пейффером, Е.А.Суменковым, В.Д.Фурасовым, П.Хабетсом и др.
Дадим небольшой исторический обзор развития идей метода ВФЛ и метода сравнения.
В конце XIX века великими математиками и механиками А.Пуанкаре [156] и А.М.Ляпуновым [120] были заложены основы качественных методов исследования проблем классической механики и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В классической работе [120] А.М.Ляпуновым с помощью введения некоторой вспомогательной функции (названной в последствии функцией Ляпунова) были даны критерии наличия в изучаемой системе наиболее важных динамических свойств: устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости.
Дальнейшее развитие метода функций Ляпунова было дано в 30-х годах в работах казанских математиков и механиков Н.Г.Четаева [182], И.Г.Малкина [123, 124], К.П.Персидского [148, 149], получивших обобщение основных теорем Ляпунова с ослаблением некоторых требований к функциям Ляпунова. Это расширило класс функций, решающих задачу устойчивости, что привело к продвижению в проблеме их построения и позволило решить ряд конкретных вопросов механики, а также получить критерии устойчивости в критических случаях (Г.В.Каменков [65]). Затем в ряде работ советских и зарубежных математиков метод функций Ляпунова был распространен на разрывные системы (А.И.Лурье [119], А.М.Летов [118], Н.Н.Красовский [90]), на счетные и другие бесконечномерные системы (К.П.Персидский [151]), на дифференциальные уравнения с последействием (Н.Н.Красовский [89, 90]), на интегродифференциальные уравнения (Е.А.Барбашин [11], Т.К.Сиразетдинов [165]), на эволюционные дифференциальные уравнения с частными производными (В.И.Зубов [57], В.В.Румянцев [162], А.А.Мовчан [143, 144], Т.К.Сиразетдинов [164, 165], Р.К.C.Wang [281, 282]), на стохастические системы (И.Я.Кац, Н.Н.Красовский [68]).
Начиная с работ К.П.Персидского [151], М.Г.Крейна [93], Х.Л. Мас-сера [248], метод функций Ляпунова распространяется на дифференциальные уравнения в банаховом пространстве (см. также Н.А.Бобылев,
С.В.Емельянов, С.К.Коровин [23]), а в работах Е.А.Барбашина [15, 16], В,И.Зубова [57], А.А.Мовчана [143, 144] - также на динамические, обобщенные динамические и общие системы или процессы в метрическом пространстве. С другой стороны, метод функций Ляпунова стал применяться для изучения многих других проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Так, в работах Т.Йошидзавы [284], Дж.П. Ла-Салля, С.Лефшеца [117], В.А.Плисса [155], Г.В.Каменкова [66] и др. методом функций Ляпунова изучается асимптотическое поведение решений (ограниченность, диссипативность, колебания, конвергенция), а в работах Н.П.Еругина [55], М.А.Красносельского и С.Г.Крейна [82], Р.Конти [208], О.Борувка [204] и многих других авторов на основе идеи метода Ляпунова даны доказательства основных теорем общей теории нелинейных дифференциальных уравнений (о существовании, нелокальной продолжимости, единственности, аппроксимации решений, непрерывной зависимости от начальных данных и параметров).
Дальнейшее обобщение метода функций Ляпунова было дано, с одной стороны, в работах Г.И.Мельникова [141], М.Г.Красносельского, С.Г.Крейна [82, 83], К.Кордуняну [78, 209], Г.А.Антосевича [200], в которых условие знакопостоянства производной функции Ляпунова в силу системы заменено на дифференциальное неравенство типа Чаплыгина и, таким образом, появляется некоторая вспомогательная скалярная система (система сравнения), свойства которой переносятся на исходную систему, а, с другой стороны, в работах Н.Г.Четаева [182], К.П.Персидского [150], Е.А.Барбашина и Н.Н.Красовского [17, 18], П.А.Кузьмина [95], В. М. Матросов а [129, 130], Э.Дальберга [53] и др. предлагалось использовать две или несколько функций Ляпунова, каждая из которых удовлетворяет условиям менее жестким, чем соответствующая функция Ляпунова.
Наконец, в работах Р.Беллмана [203] и В.М.Матросова [129, 130] эти два направления были объединены на основе векторных дифференциальных неравенств типа Чаплыгина-Важевского, Применяемые при этом теоремы о дифференциальных неравенствах были распространены В.М.Матросовым [132] на случай разрывных правых частей и обобщенных решений. При этом, как и в скалярном случае, появляется вспомогательная конечномерная система сравнения, свойства решений которой переносятся на решения исходной системы, а теоремы такого сорта по- лучили название теорем сравнения. В работах В.М.Матросова [132, 134, 133], Р.З.Абдуллина [2, 3], Л.Ю.Анапольского [10], С.Н.Васильева [32, 33], Т.Йошизавы [63], В.Б.Колмановского, В.Р.Носова [74], Р.И.Козлова [69, 70], В.Лакшмикантама [242], А.А.Мартынюка [126], Н.Н.Максим-кина [121, 122], А.Е.Суменкова [167, 168], П.Хабетса, К.Пейффера [215] и других авторов метод сравнения с вектор-функцией Ляпунова был распространен на различные динамические свойства и виды математического описания систем и стал объединять несколько сотен теорем.
Значительное расширение области приложения метода сравнения было достигнуто на основе введения концепции системы процессов (В.М.Матросов, Л.Ю.Анапольский [11]), охватывающей большую часть аксиоматических конструкций динамических и общих систем, вычислительных, случайных и абстрактных процессов, уравнений различных классов (Л.Ю.Анапольский, В.М.Матросов [12, 137]). Дальнейшее продвижение связано с выявлением и единым представлением структуры доказательства в методе сравнения (для конечномерных обыкновенных дифференциальных уравнений это сделано П.Хабетсом и К.Пейффером [215]), при этом принцип сравнения приобретает доказательность.
В работах В.Н.Матросова [135, 136] принцип сравнения в динамике систем представлен с обоснованием в общем виде как схема лемм и теорем сравнения о динамических свойствах систем. Здесь условия на функцию сравнения формулируются по виду формулы динамического свойства и получаются разными для различных динамических свойств. Тем самым получен алгоритм вывода лемм и теорем сравнения о различных динамических свойствах по задаваемым их определениям.
Модификация этого принципа сравнения и его распространение на абстрактные управляемые системы и динамические свойства, описываемые конъюнкциями " квазипренексных" формул, даны в работе Л.Ю.Анапольского, В.М.Матросова [12], В.М.Матросова, Л.Ю.Анапольского, С.Н.Васильева [139].
Существенное развитие принципа сравнения в направлении освобождения от специфики собственных аксиом исследуемой системы и ограничений на свойства было выполнено С.Н.Васильевым [26, 27, 28, 31, 33, 138, 280]. В указанных работах принцип сравнения предложен и обоснован в математической теории систем и сформулирован как эффективное производное правило вывода теорем исчисления предика- тов, содержащее в себе алгоритмы формирования формулировок и доказательств лемм и теорем сравнения для различных свойств систем. При этом достигается принципиальная применимость метода сравнения для любых математических моделей систем и их свойств, расширяется класс привлекаемых вектор-функций и систем сравнения, а также допускается использование в качестве свойств систем сравнения таких свойств, которые могут не наследовать смысл изучаемого свойства исходной системы. В работах С.Н.Васильева [26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35] была показана применимость развитого принципа сравнения к изучению различных нетрадиционных свойств, определения которых могут не иметь вида конъюнкции "квазипренексных" формул, а также для получения критериев сохранения свойств при морфизмах алгебраических систем и структур Бурбаки, сохранения устойчивости при гомоморфизмах динамических систем и т.д.
Метод функций Ляпунова для исследования свойств управляемых систем применялся Н.Н.Красовским [91, 92], В.И.Зубовым [57, 58], В.Д.Фурасовым [171, 172] и другими для исследования задачи стабилизации, Е.С.Пятницким [158,159,160], И.М.Ананьевским, Ф.Л.Черноусько [8, 9] - для задачи управляемости и стабилизации механических систем, А.И.Лурье [119], М.А.Айзерманом и Ф.Г.Гантмахером [5, 48], Ж.Ла-Саллем и С.Лефшецом [117], А.М.Летовым [118], В.А.Якубовичем [197] и другими - для получения условий абсолютной устойчивости систем автоматического регулирования. В.И. Зубовым [57, 58] функции Ляпунова применялись для исследования задач оптимальности управления по некоторому критерию качества (быстродействие, интегральный и другие). При этом управление выбиралось оптимальным по отношению к демпфированию функции Ляпунова. Там же получен критерий равновесия стратегии в дифференциальной игре двух лиц с интегральным критерием. Применение функций типа функций Ляпунова к дифференциальным играм нескольких лиц имеется в работах В.И.Жуковского и Э.М.ВаЙсборда [25].
В одной из первых работ по аксиоматической (общей) теории управления (начало которой было заложено в работах Р.Калмана [222, 223], Л.А.Заде [285], Д.Башо [205]) Е.Роксин обратил внимание на возможность построения абстрактного варианта метода функций Ляпунова для изучения инвариантности и устойчивости систем управления.
С.Н.Васильевым [28] (см. также [32, 33, 34, 35]) на основе сделанного им обобщения принципа сравнения был получен ряд теорем сравнения для различных свойств абстрактных управляемых систем (разрешимость задачи сближения процессов с целевым множеством до фиксированного момента времени с фазовыми ограничениями; задача управляемости), а также даны интерпретации этих теорем для управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Далее, В.И.Коробовым [80, 81] для исследования свойства управляемости в ноль решений автономной системы были использованы гладкая скалярная функция Ляпунова и фиксированная система сравнения. А.И.Москаленко [145, 146] были получены теоремы сравнения об инвариантности, управляемости и технической устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с использованием функций, которые вдоль решений изучаемой системы равны решениям вспомогательной системы, а также "обратных" функций (как показано в [50, 145]), частным случаем первой из названных функций является функция В.Ф.Кротова [94]). С.Н.Васильевым [28, 31, 280] показано, что эти и некоторые новые теоремы можно получить с единых позиций принципа сравнения.
Общая схема получения теорем сравнения о динамических свойствах систем состоит в следующем [139, 140]. Для заданной системы и ее некоторого свойства 7-* выбираются система сравнения (СС) и вектор-функция сравнения (ВФС) v, удовлетворяющая некоторому условию связи М между исходной системой и СС (как правило, это условие типа мажорирования значений функции v вдоль процессов исходной системы соответствующими процессами в системе сравнения). После этого достаточно алгоритмически [139, 140] выписываются дополнительные условия на функцию v, исходную систему и СС, при выполнении которых из наличия в СС свойства сравнения Vc следует выполнимость свойства V в исходной системе.
Однако для эффективного применения получаемых теорем сравнения необходимо, во-первых, выяснить вопрос о существовании нужных СС и ВФС при условии наличия в исходной системе свойства V (задача обращения теорем сравнения), во-вторых, иметь конструктивные способы и алгоритмы построения СС и ВФС, а в-третьих, желатель- но иметь эффективно проверяемые достаточные условия выполнения условия связи Л4. и свойства сравнения Vc в СС.
Этим вопросам, а также распространению метода сравнения на новые математические модели и свойства посвящены главы 1-3 данной работы.
Остановимся вначале на задаче обращения теорем сравнения. Первый результат в этом направлении был получен самим А.М.Ляпуновым [120], показавшим, что для автономной линейной системы, нулевое решение которой асимптотически устойчиво, всегда найдется соответствующая функция Ляпунова в виде квадратичной формы. Следующий существенный шаг в этом направлении был сделан К.П.Персидским [149], доказавшим обратимость теоремы Ляпунова об устойчивости для систем с гладкой правой частью.
Затем в работах Х.Л.Массера [247, 248], И.Г.Малкина [125], Е.А. Барбашина и Н.К.Красовского [18, 84, 85, 87, 88, 89, 90], Я.Курцвейля и Й.Вркоча [45, 99,100], В.И.Зубова [59, 60, 61], А.Халаная [219], Т.Йоши-завы [63, 284], Л.Вейса [283] были получены обращения теорем Ляпунова об асимптотической устойчивости, равномерной асимптотической устойчивости, асимптотической устойчивости в целом, теорем об устойчивости и неустойчивости, теорем типа Ляпунова для абстрактных динамических систем, теорем об ограниченности и предельной ограниченности, устойчивости на конечном интервале времени, устойчивости по части переменных. Алгоритмизация обращения некоторых теорем о свойствах с абстрактными аналогами функций Ляпунова выполнена в работе С.Н.Васильева [30],
Обращение теорем сравнения со скалярной функцией сравнения для некоторых динамических свойств было дано в работах К.Кордуняну [210], А.Куанде [226], В.Лакшмикантама и СЛиилы [241, 242], Л.Вейса [283] и др.
При этом в большинстве работ доказывалось, что, если в изучаемой системе имеет место нужное динамическое свойство, то найдутся система сравнения и функция сравнения, удовлетворяющие всем условиям соответствующей теоремы сравнения.
В более сильной постановке задача обращения теорем сравнения рассмотрена в работах Е.А.Суменкова [167, 168]. Здесь показано, что для ряда динамических свойств можно достаточно просто и эффективно описать класс систем сравнения (вообще говоря, зависящий от изучаемого динамического свойства) такой, что для любой исходной системы, в которой выполнено изучаемое свойство, и для любой системы сравнения из этого класса существует вектор-функция сравнения с нужными свойствами, связывающая исходную систему и систему сравнения. Заметим, что в неявном виде именно в такой постановке обращались некоторые теоремы сравнения в работах К.Кордуняну [209], В.Лакшмикантама и С.Лиилы [241, 242, 243].
Дадим краткое описание содержания работы.
В начале первой главы исследуется вопрос разрешимости задачи Коши для функционального уравнения (относительно v) tt(t + AM + At/(t,x))-v(t,x) _ 1 At -Mt>4t>x)h (o.i) и(0,х) = oj(x) в классе локалы-ю-липшицевых по х функций. Уравнению (0.1) удовлетворяет вектор-функция сравнения, если она вдоль решений системы х=Д,х) (0.2) равна решениям системы сравнения kc = fc(t^). (0.3)
Впервые уравнение (0.1) было рассмотрено К.П.Персидским в работе [152]. Им была доказана разрешимость этого уравнения в классе функций, удовлетворяющих условию Коши (т.е. |Щі,х) — w(i,y)|j < A;(t)||x — у||, где к - некоторая непрерывная функция), если условию Коши удовлетворяют функции /, /с,ш.
В терминах решений системы (0.2), (0.3) даны необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (0.1).
Из этих условий, в частности, следует, что уравнение (0.1) разрешимо при локально-липшицевых /, /с,ш и некоторых условиях продолжимости решений систем (0.2) и (0.3), что обобщает результат К.П.Персидского.
В случае конечномерных систем (0.2) и (0.3) приводится критерий разрешимости уравнения (0.1), основанный на понятии L-липшицевых функций, введенный Ф.Хартманом. В отличие от Ф.Хартмана, это понятие сформулировано без использования дифференциальных форм и приведены эффективные достаточные условия -липшицевости, которым у в частности, удовлетворяют все локально-липшицевы функции.
Приводится несколько примеров, показывающих существенность некоторых условий доказанных теорем и несовпадение класса L-липши-цевых функций с классом локально лишпицевых функций.
Эти результаты используются в дальнейшем для обращения теорем сравнения. Отметим, что полученные обобщения теоремы К.П.Персидского о разрешимости уравнения (0.1) на более широкий класс функций J,/c,w позволяют переносить на этот класс известные, например, из [226, 241] обращения теорем сравнения, практически не меняя доказательства.
Во втором разделе главы 1 получены теоремы сравнения для различных свойств систем с управлением, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями в банаховых или конечномерных пространствах, и обращение этих теорем в смысле [167, 168].
Рассмотрены следующие свойства управляемых систем: эквиуправ-ляемостъ. т.е. существование управления такого, что решения системы при этом управлении попадают в целевое множество за время, ограниченное некоторым постоянной, зависящей от начального оценочного множества; эквиуправляемость и инвариантность целевого множества, т.е. к предыдущему свойству добавляется условие, что решение, попав в целевое множество, уже не выходит из него; управляемость до диссипа-тивности, т.е. существование управления, при котором имеется область диссипативности, причем время попадания в эту область равномерно ограничено на каждом начальном оценочном множестве.
Третий параграф главы 1 посвящен получению теорем о динамических свойствах с вектор-функцией Ляпунова. При этом в качестве систем сравнения используются системы, инвариантные относительно некоторых групп преобразований. Возможность успешно использовать такие системы в качестве систем сравнения объясняется тем, что, во-первых, из равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения можно получить оценки скорости приближения решений к нулю, и, во-вторых, для этих систем выполняются дополнительные условия, возникающие при обращении теорем сравнения.
Вводено понятие (^,^)-инвариантного многозначного полупотока, являющееся обобщением понятия однородных и обобщенно однородных систем, и получены оценки скорости приближения равномерно сжимающего полупотока к нулю. Эти результаты обобщают на более широкий класс систем оценки, полученные Н.Н. Красовским [86], А.А. Шеста-ковым [192, 193, 194, 195, 196], В.Ханом [216, 217], К.Колеманом [207] для однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также оценки А.Ф.Филиппова [173] для однородных дифференциальных включений.
На основе полученных оценок и результатов Р.И.Козлова [71, 140] доказан ряд теорем о свойствах для систем сравнения (т.е. для систем, удовлетворяющих условию Важевского) и теоремы о свойствах с ВФЛ эквиуправляемости и управляемости по диссипативности.
В четвертом параграфе главы 1 приводятся два способа построения функции Ляпунова и управлений в форме синтеза, удовлетворяющих теореме об управляемости в ноль. В первом способе используется приведение линейной вполне управляемой системы к каноническому виду и затем построение идет индуктивно по размерности системы. При этом, в отличие от способа, предложенного В.й.Коробовым [80, 81], функция Ляпунова и управление описываются в явном виде. Показано, что в некотором частном случае получаемые по алгоритму функция Ляпунова и управление будут обобщенно однородными, что позволяет использовать их для квазилинейных систем, то есть для систем вида: линейная часть плюс нелинейность, имеющая порядок малости больше единицы. Второй способ является некоторой модификацией способа В.И.Коробова, но, в отличие от него, ищется функция Ляпунова, удовлетворяющая уравнению (0.1), и управление выбирается оптимальным по принуждению (см. В.Д.Фурасов [171]). Это позволяет использовать найденное управление для нелинейных систем вида: линейная часть плюс нелинейность, лежащая в секторе.
Во второй главе рассматривается игровая задача гармонизации интересов сторон. Эта задача возникает при наличии двух или более сторон, преследующих каждая свою цель. Решение этой задачи нацелено на устранение конфликтов через некоторый компромисс. Исследование гармонизируемости или нахождение условий, при которых гармонизи-руемость интересов возможна, является в настоящее время весьма акту- альной задачей. В тоже время интуитивное понятие гармонизируемос-ти, будучи неформальным, содержит в себе много различных аспектов. Поэтому возможно множество математических определений гармонизи-руемости, каждое из которых отражает лишь некоторые черты задачи гармонизируемости.
Некоторые известные постановки задач можно рассматривать как подходы к задаче гармонизации. Например, понятие координируемости М.Месаровича [142] для иерархической двухуровневой системы, равновесие по Нэшу для бескоалиционных игр нескольких игроков [25], максимальное расширение коалиций и динамически устойчивый дележ (Л.Петросян [154]), задача согласования планов регионов и отраслей (К.Багриновский [14]). Различные постановки задачи гармонизации (как статические, так и динамические) рассматривались школой Моисеева— Гермейера, в частности задача нахождения условий устойчивости по Нэшу (Ю.Гермейер, И.Ватель, А.Кононенко, Е.Конурбаев).
Мы рассматриваем несколько новых постановок задачи гармонизации для двухуровневых динамических систем типа "центр - производитель", "центр - регионы", которые интересны с практической точки зрения и отражают некоторые другие аспекты интуитивного свойства гармонизации.
Используя сочетание функций типа Ляпунова-Беллмана и некоторого вспомогательного уравнения (СС), доказаны некоторые критерии наличия этих свойств.
Кроме того, в этой главе рассматривается модель функционирования предприятия с формализованным в ней механизмом штрафования за нарушение экологической обстановки, при этом время t изменяется дискретно (t = 0,1,...).
Функционирование предприятия описывается динамикой изменения основных производственных фондов и основных фондов очистных сооружений. В качестве управления верхнего уровня берется функция штрафа за загрязнение, которая считается кусочно линейной.
На каждом дискретном шаге времени от t к t + 1 решается задача гармонизации интересов предприятия и местных органов власти в предположении, что предприятие стремится максимизировать свою остаточную прибыль, а местные органы стараются максимизировать некоторую линейную комбинацию выпуска и загрязнения.
Показано, что для того, чтобы существовала функция штрафов, решающая задачу гармонизации для данной модели, необходимо и достаточно выполнения условия рентабельности.
Кроме того, выписаны в явном виде соотношения на параметры функционирования предприятия и параметры функции штрафов, необходимые и достаточные для того, чтобы выполнялось требуемое свойство.
В главе 3 исследуется гибридная логико-динамическая модель процессов в цифровых схемах. Известно, что многие важные динамические свойства переключательных схем (логических, цифровых и других) трудно адекватно описать и исследовать с помощью моделей теории автоматов [4]. В связи с этим большое внимание в литературе уделяется так называемым логико-динамическим моделям с двоичным пространством состояний и непрерывным временем (А.К.Чеботарев [181], R.Mathews, J.M.Acher [249], M.M.Afghani, C.Srensson [199]). Вместе с тем, известные логико-динамические модели недостаточно полно отражают процессы, происходящие в реальных переключательных схемах.
В данной работе в развитие работ П.К.Кузнецова [97] предлагается феноменологическое описание этих процессов с помощью гибридной системы интегро-логико-операторных уравнений специального вида, которую также можно представить в виде системы дифференциально-логико-операторных уравнений. Вычислительные эксперименты с такой моделью хорошо согласуются по результатам с физическими (П.К.Кузнецов [97], С.П.Ткаченко [170]).
Итак, изучаемая модель состоит из трех взаимосвязанных подсистем: системы дифференцильных уравнений в конечномерном векторном пространстве с разрывной по состояниям правой частью, описывающей динамику внутренних состояний элементов схемы; системы логических уравнений в дискретном пространстве состояний, описывающих логику функционирования внешних выходов элементов схемы; функционального соотношения между внутренними состояниями и внешними выходами элементов схемы.
Используя специфический вид правой части дифференциальной подсистемы, показано, что для нее (если фиксированы внешние выходы системы) множества решений Каратеодори [174], решений ъ смысле А.Ф.Филиппова [174] и обобщенных решений II рода (OII-реідений) в смысле В.М.Матросова [134, 139] совпадают.
Показано также, что при естественных для этой модели предположениях эти решения единственны вправо и нелокально продолжимы.
Используя эти утверждения, доказаны существование, единственность и продолжимость решений всей гибридной системы. Тем самым обоснована математическая корректность этой модели.
Эти результаты составляют содржание первых трех параграфов главы 3.
В четвертом параграфе введено понятие квазимонотонности для такого сорта систем и доказан аналог теоремы о дифференциальных неравенствах, что позволяет в пятом параграфе дать эффективно проверяемые достаточные условия выполнимости формулы связи.
Пятый и шестой параграфы третьей главы посвящены применению метода сравнения для исследования динамических свойств рассматриваемых гибридных систем. В отличие от стандартного подхода, для этих систем приходится рассматривать ВФЛ, состоящую из двух компонент: непрерывной и логической, что является отличием от более ранних работ П.К.Кузнецова (в которых явно присутствовала только логическая чать ВФЛ). В частности, получена теорема сравнения для свойства достижимости (некоторого аналога свойства управляемости).
В седьмом параграфе доказано обращение этой теоремы в случае постоянных и равных задержек, при этом используется алгоритм построения логической части ВФЛ, предложенный впервые П.К.Кузнецовым.
В восьмом параграфе изучается свойство достижимости в СС, более точно, в системах с постоянными задержками и монотонной логической частью.
Используя конъюнктивную нормальную форму для функций, определяющих логическую часть этой модели, строится некоторый ориентированный граф G (граф связей между логическими переменными).
Показано, что, если некоторое начальное состояние модели принадлежит области достижимости, то в графе G существует цепь, связывающая множество нулей этого состояния и целевое множество (необходи- мое условие принадлежности множеству достижимости). Обратно, если в графе G существует соответствующая цепь и, кроме того, вдоль этой цепи выполняются некоторые (выписанные в явном виде) ограничения на параметры задержек, то начальное состояние будет принадлежать области достижимости (достаточное условие принадлежности множеству достижимости).
В первом параграфе 4 главы рассмотривается система с дискретным временем и непрерывным множеством состояний при наличии параметрических управлений и возмущений. Для этой системы также получены теоремы сравнения для одного динамического свойства типа управляемости при возмущениях (в том числе и с эффективно проверяемым условием связи) и с помощью переходной матрицы состояний, задача оценки (а в некоторых случаях - и точного определения) множества достижимости сведена к задаче нахождения так называемого обобщенного множества решений для линейной алгебраической системы с параметрами.
Как известно, решение многих других задач с неопределенностями (в том числе и задач для управляемых систем) сводится к аналогичным задачам для линейных алгебраических систем с неопределенностью (см., например, обзор А.Б.Куржанского [98] и работы Н.А.Хлебали-на, Ю.И.Шокина [179], А.В.Захарова, Ю.И.Шокина [56], Н.К.Пылаева, И.Б.Ядыкина [157], Е.К.Корноушенко [79], Е.М. Смагиной, И.В.Дугаро-вой [166], С.П.Шарого [190]). При этом подавляющее большинство работ по исследованию таких систем посвящено системам с наиболее простой и возникающей естественным образом интервальной неопределенностью и попадает, таким образом, в область интервального анализа. Интервальный анализ - это сравнительно молодая и интенсивно развивающаяся в настоящее время область знаний, значительный вклад в развитие которой внесли Р.Е.Мур [251, 252], Ю.И.Шокин, С.А.Калмыков, З.Х.Юлдашев [64], Г.Алефельд, Ю.Херцбергер [7], А.Ноймайер [255], В.В.Шайдуров, Б.С.Добронец [54], Г.Майер [250], И.Рон [260, 261], С.П.Шарый [186, 187, 188, 189], Е.Каухер [225, 224], С.Марков [245], В.Крейнович [229] и др. Однако, несмотря на то, что были разработаны многочисленные алгоритмы, в общем случае не удавалось найти "быстрый" алгоритм решения многих интервальных задач. Поэтому возникла проблема выяснения их принципиальной вычислительной сложности, которой посвящены, в основном, второй, третий и четвертый параграфы.
Во втором параграфе рассмотрены в основном задачи выяснения вычислительной сложности (в смысле [51]) для определения непустоты объединенного множества решений (то есть множества всех решений точечных задач) для линейных алгебраических систем с неопределенностями и оценки этого множества.
В третьем параграфе рассматриваются обобщенные множества решений линейных алгебраических систем с интервальными неопределенностями как в конечномерных, так и в бесконечномерных упорядоченных векторных пространствах. Отметим, что впервые на большое число различных понятий множеств решений для интервальных систем обратил внимание А.А.Ватолин [44], хотя отдельные множества встречались и до него [254, 166, 262, 263]. Однако систематическое исследование различных таких множеств (описание, применение, оценки) появилось в работах С.П.Шарого [189, 188, 186, 191, 190].
В данной работе получено описание обобщенных множеств решений, немного отличающихся от введенных С.П.Шарым в упорядоченных векторных пространствах, и в конечномерном случае исследована высилительная сложность для этих множеств задач непустоты и оценки.
В связи с тем, что обобщенное множество решений (в частности, объединенное множество решений) для интервальных систем может быть устроено достаточно сложно (может быть невыпуклым, а если число уравнений больше числа переменных, то может быть и несвязным, конечным и т.д.), естественно желание получить некоторые простые, например, интервальные, оценки этих множеств.
Для получения этих оценок оказалось удобно и плодотворно использовать алгебраические уравнения в расширенной интервальной арифметике, созданной Е.Каухером [224, 225]. Первые результаты такого сорта были получены в работах С.П.Шарого [268] и Л.Куприяновой [231] для внешней оценки объединенного множества решений и затем в работах С.П.Шарого [271, 272, 273] распространены для оценок (как внешних, так и внутренних) обобщенных множеств решений.
Поэтому возникла задача исследования алгебраических уравнений в интервальной арифметике Каухера, которой в основном посвящен чет- вертый параграф главы 4. Получены необходимые условия единственности решений таких уравнений и выделены случаи, когда эти условия будут и достаточными. Показано, что в общем случае задача разрешимости этих уравнений NP-полна,
Оказалось, что в ряде случаев алгебраические уравнения в арифметике Каухера сводятся к линейным уравнениям с модулями [255, 260]. Также показано, что в общем случае задача разрешимости таких уравнений NP-полна и выделены три интересных с точки зрения приложений класса этих систем, для которых построены полиномиальные алгоритмы.
В связи с исследованием линейных систем с модулями появился класс нерасширяющих матриц [255, 260]. Доказано, что эти матрицы и только они получаются как вещественное преобразование Кэли из хорошо известных Р-матриц (матриц с положительными главными минорами). Используя это соответствие, доказано, что задача выяснения, будет ли матрица нерасширяющей, co-NP-полна, а также получены неулучшае-мые оценки спектрального радиуса этих матриц и коэффициентов их характеристических полиномов.
Автор выражает благодарность В.М.Матросову, Р.И.Козлову, Ю.Е.Бояринцеву, Е.А.Суменкову, С.П.Шарому за плодотворные научные дискуссии, а также С.Н.Васильеву за консультации и поддержку в процессе работы.
Разрешимость функционального уравнения Персидского
Вводено понятие ( , )-инвариантного многозначного полупотока, являющееся обобщением понятия однородных и обобщенно однородных систем, и получены оценки скорости приближения равномерно сжимающего полупотока к нулю. Эти результаты обобщают на более широкий класс систем оценки, полученные Н.Н. Красовским [86], А.А. Шеста-ковым [192, 193, 194, 195, 196], В.Ханом [216, 217], К.Колеманом [207] для однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также оценки А.Ф.Филиппова [173] для однородных дифференциальных включений.
На основе полученных оценок и результатов Р.И.Козлова [71, 140] доказан ряд теорем о свойствах для систем сравнения (т.е. для систем, удовлетворяющих условию Важевского) и теоремы о свойствах с ВФЛ эквиуправляемости и управляемости по диссипативности.
В четвертом параграфе главы 1 приводятся два способа построения функции Ляпунова и управлений в форме синтеза, удовлетворяющих теореме об управляемости в ноль. В первом способе используется приведение линейной вполне управляемой системы к каноническому виду и затем построение идет индуктивно по размерности системы. При этом, в отличие от способа, предложенного В.й.Коробовым [80, 81], функция Ляпунова и управление описываются в явном виде. Показано, что в некотором частном случае получаемые по алгоритму функция Ляпунова и управление будут обобщенно однородными, что позволяет использовать их для квазилинейных систем, то есть для систем вида: линейная часть плюс нелинейность, имеющая порядок малости больше единицы. Второй способ является некоторой модификацией способа В.И.Коробова, но, в отличие от него, ищется функция Ляпунова, удовлетворяющая уравнению (0.1), и управление выбирается оптимальным по принуждению (см. В.Д.Фурасов [171]). Это позволяет использовать найденное управление для нелинейных систем вида: линейная часть плюс нелинейность, лежащая в секторе.
Во второй главе рассматривается игровая задача гармонизации интересов сторон. Эта задача возникает при наличии двух или более сторон, преследующих каждая свою цель. Решение этой задачи нацелено на устранение конфликтов через некоторый компромисс. Исследование гармонизируемости или нахождение условий, при которых гармонизи-руемость интересов возможна, является в настоящее время весьма акту альной задачей. В тоже время интуитивное понятие гармонизируемос-ти, будучи неформальным, содержит в себе много различных аспектов. Поэтому возможно множество математических определений гармонизи-руемости, каждое из которых отражает лишь некоторые черты задачи гармонизируемости.
Некоторые известные постановки задач можно рассматривать как подходы к задаче гармонизации. Например, понятие координируемости М.Месаровича [142] для иерархической двухуровневой системы, равновесие по Нэшу для бескоалиционных игр нескольких игроков [25], максимальное расширение коалиций и динамически устойчивый дележ (Л.Петросян [154]), задача согласования планов регионов и отраслей (К.Багриновский [14]). Различные постановки задачи гармонизации (как статические, так и динамические) рассматривались школой Моисеева— Гермейера, в частности задача нахождения условий устойчивости по Нэшу (Ю.Гермейер, И.Ватель, А.Кононенко, Е.Конурбаев).
Мы рассматриваем несколько новых постановок задачи гармонизации для двухуровневых динамических систем типа "центр - производитель", "центр - регионы", которые интересны с практической точки зрения и отражают некоторые другие аспекты интуитивного свойства гармонизации. Используя сочетание функций типа Ляпунова-Беллмана и некоторого вспомогательного уравнения (СС), доказаны некоторые критерии наличия этих свойств.
Кроме того, в этой главе рассматривается модель функционирования предприятия с формализованным в ней механизмом штрафования за нарушение экологической обстановки, при этом время t изменяется дискретно (t = 0,1,...).
Функционирование предприятия описывается динамикой изменения основных производственных фондов и основных фондов очистных сооружений. В качестве управления верхнего уровня берется функция штрафа за загрязнение, которая считается кусочно линейной.
На каждом дискретном шаге времени от t к t + 1 решается задача гармонизации интересов предприятия и местных органов власти в предположении, что предприятие стремится максимизировать свою остаточную прибыль, а местные органы стараются максимизировать некоторую линейную комбинацию выпуска и загрязнения. Показано, что для того, чтобы существовала функция штрафов, решающая задачу гармонизации для данной модели, необходимо и достаточно выполнения условия рентабельности.
Кроме того, выписаны в явном виде соотношения на параметры функционирования предприятия и параметры функции штрафов, необходимые и достаточные для того, чтобы выполнялось требуемое свойство.
В главе 3 исследуется гибридная логико-динамическая модель процессов в цифровых схемах. Известно, что многие важные динамические свойства переключательных схем (логических, цифровых и других) трудно адекватно описать и исследовать с помощью моделей теории автоматов [4]. В связи с этим большое внимание в литературе уделяется так называемым логико-динамическим моделям с двоичным пространством состояний и непрерывным временем (А.К.Чеботарев [181], R.Mathews, J.M.Acher [249], M.M.Afghani, C.Srensson [199]). Вместе с тем, известные логико-динамические модели недостаточно полно отражают процессы, происходящие в реальных переключательных схемах.
В данной работе в развитие работ П.К.Кузнецова [97] предлагается феноменологическое описание этих процессов с помощью гибридной системы интегро-логико-операторных уравнений специального вида, которую также можно представить в виде системы дифференциально-логико-операторных уравнений. Вычислительные эксперименты с такой моделью хорошо согласуются по результатам с физическими (П.К.Кузнецов [97], С.П.Ткаченко [170]).
Математическая постановка задачи гармонизации интересов сторон
Задача гармонизации интересов сторон возникает при наличии двух или более сторон, преследующих каждая свою цель. Решение этой задачи нацелено на устранение конфликтов через некоторый компромисс. Исследование гармонизируемости или нахождение условий, при которых гармонизируемость интересов возможна, является в настоящее время весьма актуальной задачей. В тоже время интуитивное понятие гармонизируемости, будучи неформальным, содержит в себе много различных аспектов. Поэтому возможно множество математических определений гармонизируемости, каждое из которых отражает лишь некоторые черты задачи гармонизируемости.
Отметим некоторые известные постановки задач, которые можно рассматривать как подходы к задаче гармонизации.
Одним из них является понятие координируемости для иерархической двухуровневой системы, состоящей из координирующего центра и нескольких подсистем второго уровня (М.Месарович [142]). Такая система называется координируемой, если существует управление центра, сообщаемое им подсистемам, при котором локальные управления подсистем, максимизирующие свои критерии качества, в совокупности максимизируют глобальный критерий качества для центра.
Некоторые элементы интуитивного понятия гармонизируемости содержатся в определении равновесия по Нэыгу для бескоалиционных игр нескольких игроков. Для кооперативных игр гармонизация интересов может пониматься как максимальное расширение коалиций и динамически устойчивый дележ (Л.Петросян [154]). В математическом программировании постановка, аналогичная понятию координирумости по Месаровичу, рассматривалась К.Багриновским [14] для задачи согласования планов регионов и отраслей. Различные постановки задачи гармонизации (как статические, так и динамические) рассматривались школой Моисеева-Гермейера, в частности задача нахождения условий устойчивости по Нэшу (Ю.Гермейер, И.Ватель [49], А.Кононенко [76], Е.Конурбаев [77]).
В данной главе мы рассматриваем несколько новых постановок задачи гармонизации для двухуровневых динамических систем типа "центр - производитель", "центр - регионы", которые интересны с практической точки зрения и отражают некоторые другие аспекты интуитивного свойства гармонизации.
Перейдем к точным формулировкам. Рассмотрим динамическую управляемую систему, описываемую обыкновенным дифференциальным (или разностным) уравнением, то есть имеется два игрока , каждый из которых распоряжается своим конечномерным управлением: первый управлением и, второй - w. Будем считать, что первый игрок имеет некоторое преимущество перед вторым, которое выражается в том, что он может выбирать свое управление и в зависимости от управления w второго игрока (законы, нормы, правила налогообложения, штрафования, кредитования и т.д. допускают варьирование с целью более гибкого влияния на деловую активность, чистоту технологий и т.д.), то есть управление и будем считать функцией и : Т х IVі xW—tlf, принадлежащей некоторому классу U допустимых функций (например, непрерывных, кусочно-непрерывных и т.д.).
Управление второго игрока будем считать программным (зависящим только от времени), то есть w : Т — W из некоторого класса W. В дальнейшем также считаем, что фиксированы начальный момент времени to и начальное состояние хо, а правая часть Ф уравнения (1.1) и классы функций U и W выбраны так, что для любых и Є W, w Є W существует единственное, продолжимое на Т ЙГ-решение (реніение в смысле Каратеодори) задачи Коши
Логико-динамическая модель процессов в цифровых схемах
Современная жизнь характеризуется резким возрастанием сложности систем, создаваемых или исследуемых человеком, и расширением разнообразия их изучаемых свойств. Эта сложность математически проявляется в том, что модель может состоять из ряда взаимосвязанных, но разнородных по своему описанию подсистем (в форме, например, дифференциальных, разностных, логических, функциональных и других уравнений), причем эти подсистемы могут содержать управления и разного сорта неопределенности и возмущения (координатные, параметрические, структурные).
Развитие методов исследования для сложных (нелинейных, гибридных) систем с управлением и неопределенностями является актуальной задачей, которой и посвящена настоящая работа.
Основные общепризнанные методы исследования систем с управлением, описываемых дифференциальными или разностными уравнениями, основаны на использовании принципа максимума Понтрягина или функций Беллмана-Кротова. Однако с помощью этих методов исследуются в основном свойства, связанные с оптимизацией некоторого критерия. В то же время для исследования различных качественных свойств динамических систем широко используется метод функций Ляпунова (Н.Г.Четаев, Б.А.Барбашин, В.И.Зубов, Г.В.Каменков, Н.Н.Красовский, И.Г.Малкин, В.М.Матросов, К.П.Персидский, В.В.Румянцев и др.), разработанный в его развитие метод сравнения и, в частности, метод векторных функций Ляпунова (ВФЛ) (Матросов-Беллман, 1962).
Метод функций Ляпунова применялся для исследования свойств нелинейных управляемых систем, с распределенными параметрами, запаздыванием и др. также в работах И.М.Ананьевского, Н.А.Бобылева, Р.Е.Калмана, В.И.Коробова, С.К.Коровина, В.М.Кунцевича, А.Б.Кур-жанского, П.К.Кузнецова, М.М.Лычака, Ю.С.Осипова, К.П.Персидского, С. К. Перейде кого, Е.С.Пятницкого, Т.К.Сиразетдинова, С.Я.Степанова, А.Л.Фрадкова,
В.Хана, Д.Я.Хусаинова, Ф.Л.Черноусько, В.А.Якубовича и многих других. Метод ВФЛ в задачах динамики управления развивался и использо вался Л.Ю.Анапольским, С.Н.Васильевым, А.С.Земляковым, Т.Йоши-завой, В.Б.Колмановским, Р.И.Козловым, К.Кордуняну, В.Лакшмикан-тамом, А.И.Маликовым, А.А.Мартынюком, А.И.Москаленко, В.Р.Носовым, К.Пейффером, Е.А.Суменковым, В.Д.Фурасовым, П.Хабетсом и др.
Дадим небольшой исторический обзор развития идей метода ВФЛ и метода сравнения.
В конце XIX века великими математиками и механиками А.Пуанкаре [156] и А.М.Ляпуновым [120] были заложены основы качественных методов исследования проблем классической механики и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В классической работе [120] А.М.Ляпуновым с помощью введения некоторой вспомогательной функции (названной в последствии функцией Ляпунова) были даны критерии наличия в изучаемой системе наиболее важных динамических свойств: устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости.
Дальнейшее развитие метода функций Ляпунова было дано в 30-х годах в работах казанских математиков и механиков Н.Г.Четаева [182], И.Г.Малкина [123, 124], К.П.Персидского [148, 149], получивших обобщение основных теорем Ляпунова с ослаблением некоторых требований к функциям Ляпунова. Это расширило класс функций, решающих задачу устойчивости, что привело к продвижению в проблеме их построения и позволило решить ряд конкретных вопросов механики, а также получить критерии устойчивости в критических случаях (Г.В.Каменков [65]). Затем в ряде работ советских и зарубежных математиков метод функций Ляпунова был распространен на разрывные системы (А.И.Лурье [119], А.М.Летов [118], Н.Н.Красовский [90]), на счетные и другие бесконечномерные системы (К.П.Персидский [151]), на дифференциальные уравнения с последействием (Н.Н.Красовский [89, 90]), на интегродифференциальные уравнения (Е.А.Барбашин [11], Т.К.Сиразетдинов [165]), на эволюционные дифференциальные уравнения с частными производными (В.И.Зубов [57], В.В.Румянцев [162], А.А.Мовчан [143, 144], Т.К.Сиразетдинов [164, 165], Р.К.C.Wang [281, 282]), на стохастические системы (И.Я.Кац, Н.Н.Красовский [68]).
Начиная с работ К.П.Персидского [151], М.Г.Крейна [93], Х.Л. Мас-сера [248], метод функций Ляпунова распространяется на дифференциальные уравнения в банаховом пространстве (см. также Н.А.Бобылев, С.В.Емельянов, С.К.Коровин [23]), а в работах Е.А.Барбашина [15, 16], В,И.Зубова [57], А.А.Мовчана [143, 144] - также на динамические, обобщенные динамические и общие системы или процессы в метрическом пространстве. С другой стороны, метод функций Ляпунова стал применяться для изучения многих других проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Так, в работах Т.Йошидзавы [284], Дж.П. Ла-Салля, С.Лефшеца [117], В.А.Плисса [155], Г.В.Каменкова [66] и др. методом функций Ляпунова изучается асимптотическое поведение решений (ограниченность, диссипативность, колебания, конвергенция), а в работах Н.П.Еругина [55], М.А.Красносельского и С.Г.Крейна [82], Р.Конти [208], О.Борувка [204] и многих других авторов на основе идеи метода Ляпунова даны доказательства основных теорем общей теории нелинейных дифференциальных уравнений (о существовании, нелокальной продолжимости, единственности, аппроксимации решений, непрерывной зависимости от начальных данных и параметров).
Дальнейшее обобщение метода функций Ляпунова было дано, с одной стороны, в работах Г.И.Мельникова [141], М.Г.Красносельского, С.Г.Крейна [82, 83], К.Кордуняну [78, 209], Г.А.Антосевича [200], в которых условие знакопостоянства производной функции Ляпунова в силу системы заменено на дифференциальное неравенство типа Чаплыгина и, таким образом, появляется некоторая вспомогательная скалярная система (система сравнения), свойства которой переносятся на исходную систему, а, с другой стороны, в работах Н.Г.Четаева [182], К.П.Персидского [150], Е.А.Барбашина и Н.Н.Красовского [17, 18], П.А.Кузьмина [95], В. М. Матросов а [129, 130], Э.Дальберга [53] и др. предлагалось использовать две или несколько функций Ляпунова, каждая из которых удовлетворяет условиям менее жестким, чем соответствующая функция Ляпунова.
Достижимость в дискретной динамической системе с параметрическими управлением и возмущением
Вводено понятие ( , )-инвариантного многозначного полупотока, являющееся обобщением понятия однородных и обобщенно однородных систем, и получены оценки скорости приближения равномерно сжимающего полупотока к нулю. Эти результаты обобщают на более широкий класс систем оценки, полученные Н.Н. Красовским [86], А.А. Шеста-ковым [192, 193, 194, 195, 196], В.Ханом [216, 217], К.Колеманом [207] для однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также оценки А.Ф.Филиппова [173] для однородных дифференциальных включений.
На основе полученных оценок и результатов Р.И.Козлова [71, 140] доказан ряд теорем о свойствах для систем сравнения (т.е. для систем, удовлетворяющих условию Важевского) и теоремы о свойствах с ВФЛ эквиуправляемости и управляемости по диссипативности.
В четвертом параграфе главы 1 приводятся два способа построения функции Ляпунова и управлений в форме синтеза, удовлетворяющих теореме об управляемости в ноль. В первом способе используется приведение линейной вполне управляемой системы к каноническому виду и затем построение идет индуктивно по размерности системы. При этом, в отличие от способа, предложенного В.й.Коробовым [80, 81], функция Ляпунова и управление описываются в явном виде. Показано, что в некотором частном случае получаемые по алгоритму функция Ляпунова и управление будут обобщенно однородными, что позволяет использовать их для квазилинейных систем, то есть для систем вида: линейная часть плюс нелинейность, имеющая порядок малости больше единицы. Второй способ является некоторой модификацией способа В.И.Коробова, но, в отличие от него, ищется функция Ляпунова, удовлетворяющая уравнению (0.1), и управление выбирается оптимальным по принуждению (см. В.Д.Фурасов [171]). Это позволяет использовать найденное управление для нелинейных систем вида: линейная часть плюс нелинейность, лежащая в секторе.
Во второй главе рассматривается игровая задача гармонизации интересов сторон. Эта задача возникает при наличии двух или более сторон, преследующих каждая свою цель. Решение этой задачи нацелено на устранение конфликтов через некоторый компромисс. Исследование гармонизируемости или нахождение условий, при которых гармонизи-руемость интересов возможна, является в настоящее время весьма актуальной задачей. В тоже время интуитивное понятие гармонизируемос-ти, будучи неформальным, содержит в себе много различных аспектов. Поэтому возможно множество математических определений гармонизи-руемости, каждое из которых отражает лишь некоторые черты задачи гармонизируемости.
Некоторые известные постановки задач можно рассматривать как подходы к задаче гармонизации. Например, понятие координируемости М.Месаровича [142] для иерархической двухуровневой системы, равновесие по Нэшу для бескоалиционных игр нескольких игроков [25], максимальное расширение коалиций и динамически устойчивый дележ (Л.Петросян [154]), задача согласования планов регионов и отраслей (К.Багриновский [14]). Различные постановки задачи гармонизации (как статические, так и динамические) рассматривались школой Моисеева— Гермейера, в частности задача нахождения условий устойчивости по Нэшу (Ю.Гермейер, И.Ватель, А.Кононенко, Е.Конурбаев).
Мы рассматриваем несколько новых постановок задачи гармонизации для двухуровневых динамических систем типа "центр - производитель", "центр - регионы", которые интересны с практической точки зрения и отражают некоторые другие аспекты интуитивного свойства гармонизации.
Используя сочетание функций типа Ляпунова-Беллмана и некоторого вспомогательного уравнения (СС), доказаны некоторые критерии наличия этих свойств.
Кроме того, в этой главе рассматривается модель функционирования предприятия с формализованным в ней механизмом штрафования за нарушение экологической обстановки, при этом время t изменяется дискретно (t = 0,1,...).
Функционирование предприятия описывается динамикой изменения основных производственных фондов и основных фондов очистных сооружений. В качестве управления верхнего уровня берется функция штрафа за загрязнение, которая считается кусочно линейной.
На каждом дискретном шаге времени от t к t + 1 решается задача гармонизации интересов предприятия и местных органов власти в предположении, что предприятие стремится максимизировать свою остаточную прибыль, а местные органы стараются максимизировать некоторую линейную комбинацию выпуска и загрязнения. Показано, что для того, чтобы существовала функция штрафов, решающая задачу гармонизации для данной модели, необходимо и достаточно выполнения условия рентабельности.
Кроме того, выписаны в явном виде соотношения на параметры функционирования предприятия и параметры функции штрафов, необходимые и достаточные для того, чтобы выполнялось требуемое свойство.
В главе 3 исследуется гибридная логико-динамическая модель процессов в цифровых схемах. Известно, что многие важные динамические свойства переключательных схем (логических, цифровых и других) трудно адекватно описать и исследовать с помощью моделей теории автоматов [4]. В связи с этим большое внимание в литературе уделяется так называемым логико-динамическим моделям с двоичным пространством состояний и непрерывным временем (А.К.Чеботарев [181], R.Mathews, J.M.Acher [249], M.M.Afghani, C.Srensson [199]). Вместе с тем, известные логико-динамические модели недостаточно полно отражают процессы, происходящие в реальных переключательных схемах.
В данной работе в развитие работ П.К.Кузнецова [97] предлагается феноменологическое описание этих процессов с помощью гибридной системы интегро-логико-операторных уравнений специального вида, которую также можно представить в виде системы дифференциально-логико-операторных уравнений. Вычислительные эксперименты с такой моделью хорошо согласуются по результатам с физическими (П.К.Кузнецов [97], С.П.Ткаченко [170]).
