Введение к работе
Актуальность темы. При проектировании систем автоматического управления часто возникает необходимость оптимизации системы по .тем или иным критериям исходя из специфики решаемой задачи. Особое место среди задач оптимального управления занимают задачи синтеза управления оптимального по быстродействию. Время регулирования входит в число основных характеристик систем автоматического регулирования. Для многих технических систем уменьшение вдемени регулирования, т.е. повышение быстродействия системы, имеет исключительно.важное практическое значение.
Математическая теория оптимального управления возникла и сформировалась в конце 50-х годов. Особенно интенсивно она стала развиваться после того, как было сформулировано и доказано необходимое условие оптимальности управления, известное как принцип максимума Л.С. Понтрягина, появление которого повлекло за собой большое число теоретических исследований в области оптимального управления. В частности, были сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности, теорема о числе переключений и другие являющиеся теооетической основой решения задач оптимального утгозвле-
Но, несмотря на обилие теоретических работ по синтезу оптимального по быстродействию управления, если оценивать приведенные в них результаты с практической точки зрения, то их, к сожалению, следует признать весьма скромными. Это объясняется серьезными затруднениями теоретического и технического порядка, которые возникают при построении и последующей реализации оптимального закона управления. Эти трудности обусловлены, прежде всего, высоким порядком дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта, и нелинейностью реальных технических объектов. Задачей настоящей работы является преодоление указанных трудностей. Рассмотрим их более подробно.
Первая и наиболее серьезная из этих трудностей связана с тем, что при увеличении порядка математической модели системы управления объем вычислений, необходимых для решения задачи синтеза оптимальной системы, стремительно нарастает. Известный американский ученый, крупный специалист в области оптимального управления Ричард Беллман назвал это явление «проклятием размерности». Поэтому в литературе, посвященной синтезу оптимальных по быстродействию систем автоматического управления, как правило, рассматриваются примеры синтеза систем невысокого (второго - третьего) порядка, в то время как реачьные технические системы обычно имеют более высокий порядок.
Однако следует отмстить, что точное решение задачи имеет скорее чисто научный, нежели прикладной интерес. Поэтому приближенное решение задачи,
выполненное с необходимой точностью, вполне удовлетворяет практическь нужды. Значительное увеличение возможностей современных ЭВМ, их шир< кос внедрение в научно-исследовательскую и инженерную практику способе вуют применению численных методов для решения задач оптимального упраї ления.
Анализ литературы, посвященной указанной теме, показал, что сущее вующие методы синтеза оптимальных по быстродействию систем не позволяй: успешно бороться с проблемой, порожденной высокой размерностью матем! тической модели объекта управления.
В связи с вышеизложенным, разработка достаточно простого и надежног метода, который успешно позволяет решить задачу синтеза оптимальной по 6ь стродеиствгао системы для объекта управления высокого порядка, является ш туальной задачей.
С достаточно серьезными трудностями приходится сталкиваться и на зп пе реализации оптимальной системы. Эго связано с тем, что после соответс вующих расчетов поверхность переключения (или ее часть, как будет рассма риваться ниже), как правило, задается в виде некоторого дискретного иабог чисел. Это предполагает либо получение соответствующих аппрокснмирующ* зависимостей, либо табличное задание поверхности переключения в вщ большого массива чисел который необходимо хранить в памяти управляющег устройства, и применение соответствующей интерполяции, выполняемой п( стоянно в ходе процесса управления. Поэтому разработка способа реализацн оптимальных систем также является актуальной задачей.
На практике часто встречаются системы, содержащие различного ро; нелинейности. К наиболее важным из них относятся нелинейности, порожде! ные различного рода ограничителями. Примером указанных ограничителей м( гут служить механические упоры, схемы отсечки тока, зоны насыщения и т.] Следует отметить, что объекты с ограничителями в теории оптимальног управления рассматривались весьма слабо. Это относится как к необходимым достаточным условиям оптимальности, так и к методам синтеза оптимальної управления для таких объектов. Исходя из сказанного, актуальными проблем; ми являются развитие теории оптимального управления объектами с огранич! телями и разработка соответствующего метода синтеза.
На решение перечисленных выше задач и направлена настоящая работа.
Целью работы является разработка метода синтеза оптимальных по бь стродеиствию систем автоматического управления и решение на его основе з; дач синтеза различных систем.
Ha защиту выносятся:
метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию систем позиционного управления (для случаев как неосциллирующего, так и осциллирующего объектов управления);
метод малых приращений дм синтеза оптимальных по быстродействию следящих систем управления;
достаточные условия оптимальности для объектов с ограничителями типа «насыщение», теорема единственности и теорема о числе переключспин для таких объектов;
метод малых приращений для синтеза оптимальных по быстродействию систем для объектов с ограничителями типа «насыщение»;
способы формирования оптимальных по быстродействию законов управления, использующие информацию, полученную с помощью метода малых приращений.
Методы исследования. Для вывода основных теоретических результатов были использованы методы математической теории оптимального управления, методы теории дифференщгалышх уравнений, методы линейной и нелинейной теории автоматического регулирования. При рассмотрении конкретных систем широко использовалось цифровое моделирование.
Научная новизна работы состоит в разработке метода синтеза оптимального по быстродействию управления, получившего название «метод малых приращений», который позволяет проводить синтез оптимальных систем для различных объектов как неосциллирующих, так и осциллирующих. Данный метод дает возможность преодолеть одну из наиболее серьезных проблем, возникающих при решении задач синтеза оптимальных систем - проблему, обусловленную высоким порядком объекта управления. Также в работе получены достаточные условия оптимальности по быстродействию для объектов с ограничителями в форме насыщения, сформулирована и доказана теорема о числе перекчючеиий для таких объектов. Основываясь на этих, теоремах, метод малых приращений был распространен на объекты с ограничителями в форме насыщения.
Практическая ценность работы состоит в том, предложенный метод синтеза открывает широкие возможности для проектирования оптимальных по быстродействию систем управлеиия реальными техническими объектами, так как он позволяет преодолеть одно из самых серьезных затруднений, порожденное высоким порядком математических моделей объектов управления. Именно это затруднение являлось основным препятствием для широкого использования оптимальных по быстродействию систем управления на практике. Данный ме-
тод позволяет решать соответствующие задачи для объектов различных классов, в том числе осциллирующих объектов (т.е. для случая невыполнения теоремы о числе переключений) и объектов с ограничителями в форме насыщения.
Результаты НИР внедрены на ГУП КБ приборостроения (г. Тула) и используются в разработке алгоритмов управления электроприводами.
Работа выполнена в рамках гранда государственного комитета РФ по высшему образованию на 1996-97 гг. по фундаментальным исследованиям в области автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, мстрологии и связи: «Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем авгоматического управления».
Реализация результатов работы. Работоспособность и эффективность предложенного в работе метода подтверждена синтезом оптимальных по быстродействию ПозиционноГ0 пневмопривода и следящего электропривода постоянного тока, которые были промоделированы на ЭВМ, а также синтезом оптимальных по быстродействию систем для ряда модельных объектов. Методика синтеза оптимального по быстродействию следящего электропривода была также проверена экспериментально в лабораторных условиях.
Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее разделы докладывались:
на научно-технической конференции, посвященной 40-летнему юбилею кафедры «Систем автоматического управления», г. Тула (1997 г.);
на 6-ой международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (Балтийской Олимпиаде), г. Санкт-Петербург (1998 г.);
на 2-й международной научно-технической конференции «Управление в технических системах», г. Ковров (1998 г.);
на 12-ой международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях», г. Великий Новгород (1999 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех разделов и заключения, изложенных на 130 страницах печатного текста, списка литературы из 79 наименований и приложения. Работа содержит 47 рисунков и 1 таблицу.