Введение к работе
Актуальность темы. Среди большого многообразия проблем еории управления, несмотря на значительное число существующих етодов, проблема синтеза регуляторов остается в центра внима-ия исследований. Подтверждением этого обстоятельства является аличие большого числа публикаций по вопросам, связанным с син-езом управляющих устройств.
В процессе управления некоторыми объектами необходимо за-;ать переходные процессы замкнутой системы. Эта заданная динамка обусловлена необходимостью разработки наиболее эффективных [етодов синтеза оптимального регулятора, обеспечивающего желаемо переходные процессы (эталон).
Синтез регуляторов систем автоматического управления с ис-юльзованием метода аналитического конструирования регуляторов АКР), обеспечивающих заданные динамические и статические свой-;тва замкнутой системы для достаточно общего случая описания ібьекта управления (ОУ), остается до конца нерешенной. Наибо-іее простую ситуацию можно иллюстрировать на примере выбора юсовых коэффициентов функционала качества в задаче аналитического конструирования регуляторов при квадратичном критерии ка-іества. Если не иметь в виду некоторые достаточно известные гастные случаи, связь между коэффициентом функционала качества t характером переходного процесса вплоть до последнего времени )ставалась, казалось бы, неразрешимой проблемой. Кроме этого летод АКР основан на решении матричного уравнения Риккати, которое имеет вычислительные сложности. Поэтому необходимо найти зпособ вычисления коэффициентов функционала качества и избо-кать вычислительные сложности уравнения Риккати.
В работе синтез регуляторов осуществляется на основании минимизации функционала невязки. Метод разработан под руководством Раженкова Є.Т. с участием Лаврова Н.А.
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка способов синтеза регуляторов систем автоматического управления на основе минигазации функционала невязки между исходной динамикой объекта и желаемой динзі/гічо? зачк«уточ системы (эталон).
Методы исследования. При решении поставленных задач в работе применяются методы устойчивости Ляпунова, АКР, матричной алгебры, дифференциальные уравнения, а также численного модели рования на ЭВМ.
Новые научные результаты. В процессе решения поставленных задач получены следующие основные результаты:
-
Разработан асимптотический метод достижения эталонной динамики через выбор особого параметра в функционале качества в задаче АКР.
-
Разработаны конкретные формулы вычисления весовых коэффициентов функционала качества в задаче АКР, в результате переходный процесс приобретает вид эталона.
-
Разработаны алгебраические процедуры определения параметров регулятора, не требующие решения уравнения Риккати.
Практическая ценность результатов работы состоит в следующем.
На основе минимизации квадрата функционала от невязки предложены новые процедуры в задаче АКР во временной области, которые обеспечивают желаемый переходный процесс для одномерного и многомерного объекта управления.
Алгебраические процедуры определения параметров регулятора, не требующие АКР в классе уравнения Риккати, причем решаются ничейные уравнения и число неизвестных меньше, чем число неизвестных в уравнении Риккати.
Реализация работы. Результаты работы применены при синтезе регулятора двухсекционного зеркала, который стабилизирует форму поверхности.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались н» всесоюзной конференции в Ашхабаде 4-G октября 1990 г. "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление''.
Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертации опубликовано в 2 печатных работах.
Структура и объем работл. Диссертация состоит из введения ^етнрб-х глав с выводами, заключения, списка литературы, вклгоча-таегэ 93 нсименованиЯ. Основнач часть работы изложена на 106 fTiV.Ti'v.sx магглнэпнснэро теггта. Работа содержит 13 рисунков.
КРАТКОЕ СОДЕШНИЕ РАБОТЫ'
Во введении обоснована актуальность темы и сформулированы ;ель и задача исследования, а также приводится краткое изложе-ие работы по главам.
В первой главе предложены модели линейных систем. Одна из их описывает объект управления (ОУ) в виде систем стационарных инейных дифференциальных уравнений в форме вход-выход. Вторая юдель связана с описанием поведения системы в абстрактном ли-ейном пространстве состояний. Для каждой модели ОУ существует годель регулятора.
В общем случае синтез регулятора обеспечивает следующие войства замкнутой системы:
а) стабилизация системы;
б) минимизация (подавление) возмущений в переходных режи-
іах;
в) реализация размещения собственных чисел в заданной об-
іасти или достижение желаемой динамики;
г) повышения грубости системы.
В обзоре даются существующие современные методы синтеза іегулятора с заданными динамическими характеристиками. Кроме ітого изучены разные способы синтеза регулятора на основе ана-(итического конструирования регулятора (АКР).
При АКР систем управления большое внимание уделяется понижению желаемых динамических характеристик системы (время іереходного процесса, величина перерегулирования и т.п.). Разіне публикации по проблеме АКР изучали выбор квадратичных іункционалов качества и синтез регуляторов, обеспечивающих до-ітижєниє желаемых характеристик переходных процессов.
Существующие работы по методам синтеза линейных систем штоматического регулирования САР позволяют сделать следующие шводы.
I. Методы синтеза САР рассматриваемого класса систем, как іравило, направлены на нахожцение обратной связи, такой, чтобы і замкнутой системе обеспечивалось бы заданное место или об-тасть расположения полюсов, причем в методах АКР рпглюрноэ расположение полюсов не всегда гарінтирова-ю.
2. При синтезе регулятора многомерных систем, используя АКР, до сих пор нет конкретной процедуры для выбора весовых коэффициентов, обеспечивающих заданные динамические свойства замкнутой системы. Обычно для достижения желаемых переходных процессов весовые коэффициенты выбираются методом проб и ошибок.
Из вышеизложенного следует необходимость создания методов синтеза систем, соединяющих в себе все достоинство методов АКР, но в то не время лишенных главного недостатка АКР - сложности (иногда неопределенности) выбора параметров коэффициентов функционала качества, как функции желательных характеристик переходных процессов синтезируемой системы управления. Решению такой задачи посвящены последующие главы диссертации.
Во второй главе рассматривается одномерный объект управления (ОУ) в форме вход-выход, описываемый обыкновенным дифференциальным уравнением
Zco;y c-o = Fcd;> u.co, m
заиление,
где - управляемая переменная, - ynpa
fc - время ( -Со |о} )» 0= -ft; символ производно!
п-1
ZCO)=D\Z«-iD» + +Z.,
F CD;s-FmDrn+fm-lDm"1+.— +fo .
- дифференциальные операторы соответственно порядков ft и от ( Іті^.П ) Предполагается, что ОУ полностью управляем и наблюдаем.
Наряду с уравнением (I) зададим эталонное дифференциальное уравнение с постоянными параметрами
ъсо)ка)=о , tee,*»), (2)
^ZCD) = D + Zn*.fD + .— +JU .
- устойчивый оператор поряцка г\э» т.е. оператор, собственные числа которого лежат в левой полуплоскости. Движение y?Cf) будем называть эталонным движением (переходный процесс), а оператор Z CDJ - эталонным оператором.
В случае,' когда Пэ= И синтезируется регулятор для ОУ в виде
PCO)u.C)=RCD)Ka), (3)
такой, что замкнутая система (I), (3) при выполнении условий совпадения начальных данных с эталоном (2) У%Со}=.Уч С<0 ,
' Dxo}= Dx3Ca5 D ~XCcO=D AC») является
устойчивой и обладает движениями %Ct) , возможно близкими к движениям У* Сі)
Невязка определяется в виде
lC0/X,uci))=zaCD;.ZCD)3xCi)+.PC0)aCO- (4)
Задача синтеза регулятора заключается в.том, чтобы минимизировать невязки или квадратичный функционал в виде
В этом случае задача построения управления (S- = ЛГ формально сводится к задаче аналитического конструирования регуляторов і АКР).
Чтобы избежать проблеми, связанной с отсутствием у ф;/нк:ши
.1 -б-
iL в общем случае положительной определенности и исключить из рассмотрения неограниченные по амплитуде управления, целесообразно вместе с (5) ввести функционал
о ^
где О - весовая константа.
На основе представления ОУ в форме пространства состояния в вице
. ПК
где вектор матрица Л , 2>
(7)
>5stfu. и
А=
Y.
т-1
П-У
где ЬК-1 - единичная матрица размера k.xkCl<* V\,Yrt) ,
ОЬ - нулевые матрицы, ф - нулевые столбцы и строки,
"Z^CXEcvZ-l/ ,«-2.n-l3,F«Lf/l/ fm.lj/ .
L-sX.— Іл,Л.л, ,-TLn-lJ
разработана асимптотическая форма синтеза регулятора, где- функционал качества (б) приведен к форме, не содержащей перекрес ных членов видаХ'(\Э ( ' = I, 2, ...,\r\-vm ). Функционал качества не содержит перекрестных членов потому, что.введено управление vA) , связанное с управлением "О соотношением \9 = VAJ + vjUn , где \У> называется постпегулятором,\^п -
предрегулятором. Из решения уравнения Риккати находится \А) m
= ^К* .
На последующем этапе определяются параметры регулятора в форме вход-выхид (3) путем выбора константы *& , обеспечивающей заданную эталонную динамику замкнутой системы или достаточно близкую к ней в смысле нормы, индуцируемой функционалом (5).
В неасимптотической форме синтез регулятора для ОУ (I)
выполняется ка основе минимизации функционала от невязки..В
этом случае функционал качества (5) приведен в следующую фор
му '
0 к«і
Здесь так же, как в случае асимптотической формы, управление| \5 представляется.в виде суммы предрегулятора V&r» и пострегулятора \л) с использованием представления ОУ в форме пространства состояния (7).
Коэффициент Ч j4_i вычисляется по формулам как функция параметров уравнения эталона.
\ I
Из решения уравнения Риккати вычисляется ЧК) = _\С/* Для функционала качества (8). В окончательном шаге определяются параметры регулятора в форме вход-выход, обеспечиващего зталоннуї динамику замкнутой системы.
' Оптимальная система, спроектированная на основе минимизации функционала (б) и (8), обладает
I) запасом устойчивости по фазе VQ_"7/ йо ; ' 2)'запасом устойчивости по амплитуде |_"7/2. ;
3) показателем колебательности m^l. .
В алгебраической форме для синтеза регулятора рассматрива ются объект управления в форме вход-выход (I) и регулятор в форме вход-выход (3). После очевидных преобразований получает ся уравнение замкнутой системы в следующей форме
lpca)zcd)_Fco;rcd>1xc««o- (9)
С учетом того факта, что оператор C.P2--FRj- имеет при старшей производной единичный коэффициент, можно представить априори оператор замкнутой оптимальной системы в виде следующего разложения
PCO)XCT)D_PCD^RC0^FCO^Z3CO), . (ю
_ _Э
где оператор FCD} , с. СО) разложен в виде произведений
_- «-»1 ~ +
где Vf - нули 0У в левой полуплоскости, V^ - значения нулей 0У, отраженных на левой части полуплоскости, ^е. - корні характеристического эталонного оператора ~2~ -0)
Приравнивал коэффициенты при одинаковых степенях прои&вої ни:; L^k в правой и левой частях равенства (10), получаем си-
зтему y-j^wi линейных уравнений относительно неизвестных параметров регулятора р,- ( = О, I, . ,.,m-1 ), г^ ('^ = = О, I, ..., w-1 ).
На основі иасщепления операторов оптимального регулятора оказывается, что можно осуществить дальнейшее упрощение процедуры синтеза оптимального регулятора и уменьшить размерность системы алгебраических уравнений
Тогда оптимальный регулятор., минимизирующий функционал невязки, тлеет следующую конструкцию.
:еГ\Pm.*-1 Dm"s"V —- +P.TJT CO.VO uCO-
і ' Из (II) следует сделать еывод, что для определения регулятора
необходимо найти только п+гп-'^ коэффициентов, Т.Є.?уп-Ч.-1,
-—>9о-
Синтезируемый регулятор, реализующий минимальный функцио-нал от невязки, обеспечивает в замкнутой системе (ЗС) следующее распределение собственных чисел:
VI собственных чисел замкнутой системы совпадают с собственными числами ^ ,'V.j. , ..., **1>>л эталона ( 2- );
"Ь собственных чисел ЗС совпадают с нулями "5Л, >5*^
..., v3s исходного 0У ( і ), лежащие в левой полуплоскости
и на мнимой оси: '
- Уп—% собственных чисел ЗС V5s,*i t ^3+'- , ...,\у?*і
являются нулями 0У, отраженными в левую полуплоскость относи
тельно мнимой оси. '
В третьей главе рассматривается обобщение схемы невязок применительно к задачам стабилизации многомерных линейных стационарных объектов управления. Как и для одномерных САР, в . случае задач синтеза многомерных систем автоматического регулирования (J.5CAP) на основе'процедуры мичи?я»зации функционала невязки удается сформулировать задачи АКР, решение которых обеспечивает близость свойств синтезированной ЖАР гс сэ-эйстрк?
системы эталона.
Объект управления, описываемый системой стационарных линейных уравнений, представляется в виде:
где х = -^....,^3 , u-Cu^u.1,.... ,^,
векторы регулируемых переменных и управляющих переменных и
гсо)=
1 !
ZhCQ)—Zrrco)
, РСО):
Я. со).—гСа>
I I
Для многомерного объекта управления (полностью управляемый и наблюдаемый) синтезируется регулятор в виде следующего уравнения:
?сьь ua> ^Rcw * Ш t do ,ool
^
(13)
?CQ>-
РпСЮ Pv-CD)
R-.CD)-....|irCO)
,Rcc^=
R,Xd) R,^cd;
і і
і і
Параметры регулятора определяются на основе минимизации следующего функционала от невязки.
SXb ,Х, ьО = СТ. С^^-7-СО^)^ + FCCUU
(14)
и ~2- - прямоуголььая матрица эталона размера Y"Y>Y" скалярных цаЭДеречцнальных операторов с постоянными ко'эффициентами.
В ^етвротоП глпье ь качестве примера рассматривается син-
- II -
тез регулятора двухсекционного зеркала. Регулятор стабилизиру
ет форму поверхности зеркала. Зеркало как объект управления
конструктивно имеет две одинаковые секции (подсистемы) по три
степени свободы на каждую секцию. Подвижка секций осуществля
ется толкателями (приводами). Однозначное положение системы
задается вектором линейных перемещений секций в точках крепле
ния приводов, _Х=С.Х\,"%г, /Х^З по ТРИ компонента на
каждую секцию и шестью управляющими входами U. ={_ \ц , 0.. ,
...» ^б\> .
Из схемы расположения точек приложения внешних усилий на секции двухэлементного зеркала и центра масс представлена динамика секции зеркала. Используя уравнение усилий, раэвиваемьк приводами, записана модель системы секция-призода как объект управления в форме пространства состояний.
Синтез регуляторов систем управления является сложной задачей из-за большого числа управляемых переменных. Поэтому для решения задачи используются методы точной декомпозиции.
В результате уравнение декомпозиционной формы для секции зеркала написано в виде двух независимых подсистем второго и первого порядка:
Динамика системы секции в разомкнутом виде показывает высокую колебательность и большое перерегулирование. Для того чтобы реализовать желаемые требования, необходимо синтезировать многомерный регулятор. Регулятор секции выполнен в рамках процедуры АКР. В результате время переходного процесса в замкнутой системе составляет 0,3-0,35 сек, а перерегулирование не превышает 1%.
