Введение к работе
Актуальность проблемы. В теоретических и прикладных исследованиях, связанных с задачами автоматического управления и регулирования, идентификации и фильтрации, с корреляционным и спектральным анализом временных рядов, большое внимание уделяется проблеме оценивания параметров стохастических систем, описываемых стохастическими разностными и стохастическими дифференциальными уравнениями. Интерес к таким моделям объясняется тем, что они являются достаточно адекватными для широкого круга реальных явлений в технике, экономике, медицине, финансовой математике и т.д.
Во многих задачах, связанных с обработкой информации широко используются регрессионные модели. Наиболее полное исследование регрессионных моделей с непрерывным временем проводилось в предположении, что помеха представляет собой белый гауссовский шум. Однако в последние годы в статистике случайных процессов стали применяться более сложные модели для описания шумов, действующих на систему, которые позволяют, в частности, описать и импульсные помехи.
В данной диссертации рассматриваются задачи оценивания параметров в регрессионных моделях с дискретным и непрерывным временем, являющихся условно-гауссовскими относительно ненаблюдаемого шумового процесса. Предполагается, что случайное возмущение в моделях является процессом импульсного типа, который моделируется семимартингальным процессом. При этом импульсные воздействия происходят в случайные моменты времени и имеют случайную амплитуду. Семимартингальный процесс позволяет описать широкий класс шумов импульсного типа, включая негауссовские процессы Леви и Орнштейна — Уленбека.
При наличии импульсной составляющей в шуме траектории процесса наблюдений являются, вообще говоря, разрывными. Действие импульсных помех приходится учитывать в статистике случайных процессов, поскольку они могут неконтролируемым образом изменить качество фильтрации, управления и обработки информации. Иными словами, наличие импульсных воздействий в динамической системе может привести к тому, что методы идентификации ее параметров, разработанные для случая белого шума, могут оказаться недостаточно эффективными и не обладать устойчивостью к таким шумам. Поэтому в случае, когда шумовые воздействия имеют сложную природу, необходимо дополнительное изучение процедур оценивания параметров системы с целью выяснить их зависимость от неучтенных факторов. Чтобы сохранить качество оценивания в условиях действия импульсных помех, необходимо изыскивать дополнительные возможности повышения точности процедур оценивания.
Проблема повышения качества решающих процедур является важной в статистике. Во многих прикладных задачах, кроме результатов наблюдений, исследователь обладает определенной информацией о распределении наблюдаемого процесса. При этом возникает проблема рационального учета имеющихся сведений с целью повышения качества оценок или уменьшения объема данных, требуемых для достижения заданной точности. Можно выделить несколько подходов к построению улучшенных оценок. Одним из подходов является метод параметрической оптимизации, при котором рассматривается класс процедур оценивания, задаваемый с точностью до параметров. Задача оптимизации состоит в выборе наилучшего значения параметра в смысле заданного критерия качества. Так, при использовании ядерных оценок плотности в схеме независимых наблюдений, для повышения скорости сходимости оценок выбирается оптимальное значение коэффициента размытости. Важным ресурсом повышения качества идентификации стохастических систем является учет дополнительной априорной информации с целью построения более адекватной модели для описания данных. Во многих статистических задачах, связанных со схемой независимых наблюдений оказалась плодотворной идея использования ортогонального проектирования для учета априорной информации о моментах, симметрии, квантилях и пр. при оценивании функций распределений. Развитие этого направления улучшенного оценивания связано с работами Ю.Н. Тюрина, Б.Я. Левита , Ф.П. Тарасенко, Ю.Г. Дмитриева, Г.М. Кошкина и др. Интересный подход к построению улучшенных адаптивных оценок был предложен в работе О.В. Лепского , основная идея которой заключается в том, чтобы использовать априорную информацию для уточнения структуры модели с целью повышения скорости сходимости оценок к истинным значениям неизвестных параметров.
Учет априорной информации в непараметрической статистике является важным, поскольку непараметрическая точность оценивания обычно очень низка. Однако и в задачах параметрического оценивания использование дополнительной априорной информации о структуре модели может приводить к повышению точности оценок.
В данной работе для решения задачи повышения качества оценивания используется подход, начало которому было положено в работах Ч. Стейна и В. Джеймса и Ч. Стейна. Суть этого подхода заключается в использовании специальной процедуры сжатия оценок.
Для рассматриваемой в работе модели с импульсными шумами наблюдаемый процесс является условно-гауссовским относительно некоторого ненаблюдаемого шумового процесса. Можно ожидать, что подход Стейна к построению улучшенных оценок для гауссовских моделей может быть обобщен и на условно-гауссовские модели. Здесь, по-видимому, можно провести определенную аналогию с решением задач фильтрации, интерполяции и экстраполяции в моделях с непрерывным временем, для которых, как установили Р.Ш. Липцер и А.Н. Ширяев, в случае условно-гауссовской модели получаются замкнутые уравнения фильтрации. Следует, однако, заметить, что между условно-гауссовскими моделями, изучаемыми в теории фильтрации и моделями, рассматриваемыми в данной работе, имеется принципиальное различие: в теории фильтрации условная гауссовость выполняется относительно наблюдаемого процесса, а в изучаемых ниже моделях условная гауссовость выполняется относительно процесса, недоступного прямому наблюдению. Поэтому рассматриваемая в данной работе тематика построения улучшенных оценок в условно-гауссовских моделях является актуальной.
Целями работы являются:
разработка методов улучшенного оценивания параметров линейных стохастических систем с непрерывным и дискретным временем с помехами импульсного типа, описываемыми семимартингальными процессами;
нахождение общих условий на моменты распределения помех, при которых предлагаемые оценки неизвестных параметров превосходят по средне- квадратической точности классические оценки наименьших квадратов;
нахождение нижних границ для минимального выигрыша в среднеквад- ратической точности оценивания при использовании улучшенных оценок вместо оценок МНК;
исследование свойств улучшенных оценок параметров регрессионных моделей с шумами Леви, являющимися смесью белого гауссовского шума и составного пуассоновского процесса, а также с негауссовскими шумами, описываемыми процессом Орнштейна — Уленбека, динамика которого задается процессом Леви;
доказательство эффективности предлагаемых оценок в смысле робаст- ного риска с увеличением числа периодов наблюдений;
экспериментальное исследование свойств предлагаемых процедур оценивания условно-гауссовской регрессии в зависимости от уровня импульсных помех и других мешающих параметров.
Методы исследования. В работе используются методы теории вероятностей, статистики случайных процессов, стохастического анализа, анализа временных рядов, статистического анализа, математического анализа, линейной алгебры, методы обработки информации и численного моделирования.
Научная новизна. В работе впервые построены улучшенные оценки параметров регрессии с непрерывным и дискретным временем с зависимыми условно-гауссовскими шумами с неизвестным распределением, превосходящие по среднеквадратической точности классические оценки МНК. В рассматриваемой модели регрессии с непрерывным временем помеха описывается общим условно-гауссовским семимартингалом, что позволяет с единых позиций решать задачу улучшенного оценивания при различных воздействиях импульсного типа. Для периодической регрессии с шумами Леви и негауссовскими шумами Орнштейна — Уленбека получены явные формулы для минимального выигрыша в точности при использовании предлагаемых оценок вместо оценок МНК. Предлагаемый метод оценивания обобщает подход Стейна на регрессионные модели с условно- гауссовскими шумами, имеющими неизвестное распределение.
Основные результаты диссертационного исследования, полученные автором, являются новыми и определяются следующими положениями, выносимыми на защиту:
-
Предложена процедура построения улучшенных оценок параметров модели регрессии с непрерывным временем и с условно-гауссовскими шумами импульсного типа по полным наблюдениям процесса.
-
Предложена процедура построения улучшенных оценок параметров модели регрессии с непрерывным временем и с условно-гауссовскими шумами импульсного типа по дискретным наблюдениям процесса.
-
Для регрессии с шумами Леви и негауссовскими шумами Орнштейна — Уленбека с неизвестными параметрами получены явные формулы для минимального выигрыша в точности при использовании улучшенных оценок.
Установлена асимптотическая минимаксность предлагаемых процедур и оценки MHK в смысле робастного риска для регрессии с негауссов- ским шумом Орнштейна — Уленбека.
Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы в различных отраслях науки и техники: финансовой математике, радиофизике, медицине, а также в прикладных задачах, связанных с идентификацией систем, прогнозированием, управлением, статистической обработкой данных. Кроме того, полученные теоретические результаты могут быть использованы в научных исследованиях и в спецкурсах для студентов и аспирантов математических факультетов университетов.
Достоверность и обоснованность всех полученных результатов. Все полученные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование в форме теорем. Качество построенных оценок подтверждено проведенным имитационным моделированием.
Реализация и внедрение результатов работы. Рассмотренные в диссертации модели и методы оценивания их параметров входят в спецкурсы "Многомерный статистический анализ" и "Идентификация", читаемые на старших курсах механико-математического факультета и факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.
Апробация работы. Работа частично выполнялась в рамках НИР по теме "Неасимптотические робастные статистические методы идентификации динамических систем, описываемых стохастическими разностными и стохастическими дифференциальными уравнениями" при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, государственный контракт № 02.740.11.5026, ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы".
Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа ММФ ТГУ (руководитель профессор И.А. Александров) и кафедры высшей математики и математического моделирования ФПМК ТГУ (руководитель профессор В.В. Конев), на научном семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Институте математики им. С.Л. Соболева (руководитель академик А.А. Боровков), на научном семинаре по статистике в Лаборатории математики Руанского университета (Франция) (руководитель профессор С.М. Перга- менщиков), а также докладывались на научных конференциях:
-
-
XVIII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам, Казань, 1-8 мая 2011.
-
XII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Осенняя открытая сессия, Сочи, 1-8 октября 2011.
Публикации. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в четырех работах, в том числе две работы в журнале из перечня ВАК [1, 2].
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Работа изложена на 139 страницах, содержит 19 рисунков и 29 таблиц. Список литературы включает 75 наименований, в том числе 4 работы автора по теме диссертации.
Похожие диссертации на Улучшенное оценивание параметров регрессии с импульсными помехами
-
