Содержание к диссертации
Введение
1. Необходимые условия экстремума 7
1.1 Теория принципа максимума и схема Дубовицкого-Милютина 7
1.2 Задача Понтрягина 7
1.3 Задача Блисса-Больца 9
1.4 Необходимые условия оптимальности 10
1.5 Канонические задачи Дубовицкого-Милютина 12
1.6 Структура смешанных ограничений 12
1.7 Интегральный принцип максимума в регулярном случае 14
1.8 О и - стационарности 15
1.9 Интегральный принцип максимума /70 16
1.10 Класс задач оптимального управления, сводящихся к задаче (1.9)... 17
2 Анализ существующих математических моделей банка 20
2.1 Вводные замечания 20
2.2 Особенности имитационного моделирования банковских процессов .. 25
2.3 Модель оценки банковских рисков 37
2.4 Анализ методов оценки финансового положения банка 44
3 Вопросы выбора критерия в задачах оптимального управления банковскими операциями 57
3.1 Природа экономической ценности 59
3.2 Максимальная ожидаемая прибыль как критерий 62
3.3 Психологическая теория ценности 64
4. Модель функционирования банка 69
4.1 Теорема существования и единственности 82
4.2 Сингулярные уравнения 90
5. Задача Понтрягина и схема Дубовицкого-Милютина (качественные методы) 93
5.1 Особые режимы 95
5.2 Применение методов теории управления в жестких системах 98
5.3 Теорема о среднем 112
5.4 Редукция смешанных ограничений к ограничениям на управление... 113
6. Модель банка 114
6.1 Вычисление 118
6.2 Результаты вычислений 123
Заключение 129
Список литературы 130
- Необходимые условия оптимальности
- Особенности имитационного моделирования банковских процессов
- Природа экономической ценности
- Теорема существования и единственности
Введение к работе
Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта. Большую роль при проектировании систем управления играют программные траектории. Из известных методов решения указанных задач являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений); метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; принцип максимума.
В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения ряда принципиальных проблем, которые могут быть успешно преодолены по мере накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления. Указанное обстоятельство связано с одной стороны со сложной формулировкой принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.
Сложность математического аппарата не позволяет надеяться в ближайшее время на упрощение формулировки принципа максимума. С другой стороны известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задач к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в таких задачах существует дополнительные алгебраические связи типа равенств и неравенств.
В свою очередь краевая задача требует решения трех основных проблем: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: решение в каждой расчетной точке t задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций. Очень часто в принципе максимума возникает неединственность множителей Лагранжа, появляется вырожденный принцип максимума, а также возникает проблема момента схода с ограничения типа неравенств. Совокупность указанных условий определяет геометрию оптимальной траектории или другими словами множество активных индексов для ограничений типа неравенств. Еще одна проблема связана с
нерегулярностью принципа максимума. Это приводит к появлению меры, что означает, появление обобщенной функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений. Отсюда следует актуальность разработки методики решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.
Как известно, принцип максимума (ПМ) для простейшей нелинейной задачи оптимального управления был сформулирован Л.С. Понтрягиньм и доказан В.Г. Болтянским уже более 40 лет назад. С тех пор появилось огромное количество работ, посвященное ПМ в различных задачах оптимального управления. Наиболее глубокие и серьезные исследования были проведены в работах А.А. Милютина и А.Я. Дубовицкого. В этих работах теория ПМ была продвинута на широкий класс задач с фазовыми и смешанными ограничениями (в том числе и нерегулярными). По существу проблема получения необходимых условий первого порядка, для указанных задач в этих работах полностью решена.
Опыт численного решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) привел к выделению так называемых жестких уравнений, которые требуют применения специальных методов. Жесткость задачи является отражением того факта, что в рассматриваемом объекте протекают разнотемповые процессы. Участок быстрого начального изменения фазовой координаты называется пограничным слоем.
Выделение жестких систем уравнения в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что малый шаг интегрирования, используемый в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производная становится существенно меньше. Для устранения указанного ограничения были предложены различные методы, однако и в настоящее время проблема численного решения жестких систем остается актуальной. Это связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их постановки и разнообразием численных методов.
Работы по созданию численных методов ведутся в двух направлениях. Первое направление связано с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федоренко Р.П. и др.). Другое направление связано с расширением границ применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др.) Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Исследования этого явления показали, что трудности связанные с жесткостью системы ОДУ, описывающих траекторию наискорейшего спуска (Ракитский Ю.В., Устинов СМ., Черноруцкий И.Г. и др.).
Для предварительной оценки определения геометрии оптимальной траектории очень часто используют дискретизацию исходной непрерывной задачи. В результате получается задача нелинейного программирования (НП) большой размерности. Важным частным случаем такой задачи является задача линейного программирования (ЛП) Задачам ЛП посвящено огромное количество исследований Первоначально исследования касались в основном симплекс-метода. В 1979 году появилась работа Л.Г. Хачияна, в которой к задачам ЛП применен принципиально новый алгоритм (так называемый метод эллипсоидов). Метод эллипсоидов был разработан А.С. Немировским, Н.З. Шором и Д.Б. Юдиным. На базе предложенного алгоритма Л.Г. Хачиян доказал полиномиальную сложность ЛП.
В 1984 году Н.К. Кармаркар предложил полиномиальный алгоритм, не только превосходящий метод эллипсоидов по эффективности теоретической оценки числа арифметических операций, но и конкурентоспособный с симплекс-методом на практике. Вскоре было обнаружено, что метод Кармаркара тесно связан с методом логарифмических барьеров Фиакко и Маккормика (метод внутренней точки). Ю.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадан распространили идеи проектирования градиента и метода барьерных функций на общие задачи НП.
«
Несколько вариантов метода было реализовано программно и включено в
библиотеку ДИСО. Следует отметить, что метод внутренней точки для
задач ЛП следует из работ Ю.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадана как частный случай, что подтверждается публикацией вышеупомянутых авторов в 1973 году. Отметим, что при решении задач оптимального управления методы дискредитации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые как правило, плохо обусловлены. Для такого рода задач применяют специальные методы регуляризации (А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский, Ф.П. Васильев) и др. В работах Мангасарьяна и его сотрудников (США) основное внимание уделялось нахождению нормальных решений в задачах ЛП.
Поиску нормальных решений также посвящена работа Голикова А.И. и Евтушенко Ю.Г. А.Е. Умнов сводил задачу ЛП к задаче негладкой оптимизации, зависящей от параметра. Для задач квадратичного программирования (КП) применяются конечные и итеративные методы. (Поляк Б.Т., Дикусар В.В., и др.). Основные трудности решения указанных задач связаны с их плохой обусловленностью.
Отметим, что при решении ряда задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями принцип максимума вырождается, т.е. становится тривиальным. Последнее означает, что для исследования задачи необходимо применять высшие порядки. Многие авторы рассматривали этот вопрос в плане расширения границ применимости принципа максимума в вырожденных задачах (Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А., Третьяков А.А., Измайлов А.Р., Арутюнов А.В. и др.). Их результаты в основном связаны с теоремами существования принципа максимума для вырожденного случая. Следует указать работы ДикусараВ.В., который применил методы регуляризации структуры ограничений, что позволило распространить принцип максимума П0 на невырожденные задачи.
«
Необходимые условия оптимальности
Как известно, принцип максимума (ПМ) для простейшей нелинейной задачи оптимального управления был сформулирован Л.С. Понтрягиньм и доказан В.Г. Болтянским уже более 40 лет назад. С тех пор появилось огромное количество работ, посвященное ПМ в различных задачах оптимального управления. Наиболее глубокие и серьезные исследования были проведены в работах А.А. Милютина и А.Я. Дубовицкого. В этих работах теория ПМ была продвинута на широкий класс задач с фазовыми и смешанными ограничениями (в том числе и нерегулярными). По существу проблема получения необходимых условий первого порядка, для указанных задач в этих работах полностью решена.
Опыт численного решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) привел к выделению так называемых жестких уравнений, которые требуют применения специальных методов. Жесткость задачи является отражением того факта, что в рассматриваемом объекте протекают разнотемповые процессы. Участок быстрого начального изменения фазовой координаты называется пограничным слоем.
Выделение жестких систем уравнения в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что малый шаг интегрирования, используемый в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производная становится существенно меньше. Для устранения указанного ограничения были предложены различные методы, однако и в настоящее время проблема численного решения жестких систем остается актуальной. Это связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их постановки и разнообразием численных методов. Работы по созданию численных методов ведутся в двух направлениях. Первое направление связано с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федоренко Р.П. и др.). Другое направление связано с расширением границ применимости явных схем (Лебедев В.И., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дикусар В.В. и др.) Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровней. Исследования этого явления показали, что трудности связанные с жесткостью системы ОДУ, описывающих траекторию наискорейшего спуска (Ракитский Ю.В., Устинов СМ., Черноруцкий И.Г. и др.).
Для предварительной оценки определения геометрии оптимальной траектории очень часто используют дискретизацию исходной непрерывной задачи. В результате получается задача нелинейного программирования (НП) большой размерности. Важным частным случаем такой задачи является задача линейного программирования (ЛП) Задачам ЛП посвящено огромное количество исследований Первоначально исследования касались в основном симплекс-метода. В 1979 году появилась работа Л.Г. Хачияна, в которой к задачам ЛП применен принципиально новый алгоритм (так называемый метод эллипсоидов). Метод эллипсоидов был разработан А.С. Немировским, Н.З. Шором и Д.Б. Юдиным. На базе предложенного алгоритма Л.Г. Хачиян доказал полиномиальную сложность ЛП.
В 1984 году Н.К. Кармаркар предложил полиномиальный алгоритм, не только превосходящий метод эллипсоидов по эффективности теоретической оценки числа арифметических операций, но и конкурентоспособный с симплекс-методом на практике. Вскоре было обнаружено, что метод Кармаркара тесно связан с методом логарифмических барьеров Фиакко и Маккормика (метод внутренней точки). Ю.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадан распространили идеи проектирования градиента и метода барьерных функций на общие задачи НП. «
Несколько вариантов метода было реализовано программно и включено в библиотеку ДИСО. Следует отметить, что метод внутренней точки для задач ЛП следует из работ Ю.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадана как частный случай, что подтверждается публикацией вышеупомянутых авторов в 1973 году. Отметим, что при решении задач оптимального управления методы дискредитации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые как правило, плохо обусловлены. Для такого рода задач применяют специальные методы регуляризации (А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский, Ф.П. Васильев) и др. В работах Мангасарьяна и его сотрудников (США) основное внимание уделялось нахождению нормальных решений в задачах ЛП.
Поиску нормальных решений также посвящена работа Голикова А.И. и Евтушенко Ю.Г. А.Е. Умнов сводил задачу ЛП к задаче негладкой оптимизации, зависящей от параметра. Для задач квадратичного программирования (КП) применяются конечные и итеративные методы. (Поляк Б.Т., Дикусар В.В., и др.). Основные трудности решения указанных задач связаны с их плохой обусловленностью.
Особенности имитационного моделирования банковских процессов
Экономико-математическое моделирование находится сейчас на таком этапе, когда назрел качественный скачок. Во всем мире накопилось огромное количество разнообразных моделей. Какую бы область экономики мы не взяли, всегда найдется целый спектр математических, компьютерных, словесносодержательных моделей, так или иначе к ней относящихся. Сотни научных журналов ежемесячно публикуют описания новых моделей, либо модификации и развитие старых.
Все они, хотя и называются моделями экономики, на самом деле являются моделями какой-то одной ее области, объясняют что-то одно. Каждая из них вносит свой вклад в систему знаний об экономике. Особенность процесса понимания, познания человеком сложных явлений состоит в их упрощении, сведении к простому образу. Поэтому, коль познание бесконечно, создание моделей, также, по-видимому, не имеет предела.
Реальная экономическая система представляет собой причудливое сочетание простых экономических механизмов. В рамках математической экономики с помощью формальных средств изучение сложных экономических механизмов уже встречает значительные трудности. Модели перестают быть столь красивыми и законченными, как в классических случаях, хотя и рассматривают наиболее распространенные или наиболее экономически обоснованные сочетания простых механизмов.
Откуда же берутся модели и почему их практически нет в банковских системах управления? С практической точки зрения любое, даже очень большое количество информации само по себе не имеет никакой ценности. Данные в чистом виде не являются тем знанием, которое называют «силой». Информация становится силой, когда она позволяет предвидеть будущее, т.е. ответить на главный вопрос при выборе решения: «Что будет, если?» Для ответа на этот вопрос, кроме данных, необходимо иметь модель реального мира.
В банковском бизнесе процесс создания адекватных моделей осложняется двумя объективно существующими факторами. Первый заключается в том, что с точки зрения управления банк представляет собой чрезвычайно сложный объект, состоящий из множества различных подсистем, между которыми существует большое количество разнородных связей. Деятельность банка складывается из ряда бизнес-процессов, которые существенно зависят от множества внешних факторов: законодательных, экономических, социальных, политических.
В кибернетике такие объекты, как банк, получили название сложных систем, а методы их изучения — системного анализа. Наиболее значимые результаты в этой области связаны с исследованием операций — подхода, основанного на применении количественных математических методов для оценки принимаемых решений. Однако применение количественных методов возможно лишь в случае, когда исследователь располагает адекватными математическими моделями, которые как раз и отсутствуют в банковской деятельности.
Второй фактор проявляется в том, что в банковской деятельности (особенно в условиях перехода к рынку) нельзя провести целенаправленные эксперименты, предшествующие формированию гипотезы и позволяющие проверить ее на практике. Накоплению же у аналитиков личного опыта препятствует динамичное изменение ситуации, типичной для современной России. Более всего финансовая наука связана с анализом прибыльности инвестиционной деятельности. Цель инвестиций — увеличение благосостояния инвестора. Это увеличение называется доходом, а при выражении в процентах от стоимости инвестиций — ставкой дохода. Кроме измерения доходности банковские аналитики имеют дело также с неопределенностью получения дохода; с этой неопределенностью связан анализ риска. В данной главе мы рассмотрим модели, так или иначе связанные с измерением доходности банковских операций, и существующую модель оценки банковских рисков, а в следующих главах рассмотрим различные виды и аспекты рисков, а также модель размещения средств банком. При переходе к рыночной экономике особенно актуальной становится проблема банковского менеджмента — управления кредитным риском, изучения кредитоспособности заемщиков, прогнозирования сомнительных кредитов и т.д. Неразработанность данных вопросов в нашей практике объясняет необходимость изучения зарубежного опыта в аспекте его применения в России. Совокупность используемых при этом показателей, методов и моделей расчетов является предметом новых, динамично развивающихся научных направлений — финансовой математики и финансового анализа, сформировавшихся на стыке современной теории финансов и ряда математических дисциплин, таких как: эконометрика, теория вероятностей, математическая статистика, исследование операций, теория случайных процессов.
Природа экономической ценности
В банковских системах риск — обычное явление, чтобы получить «хорошую» прибыль — нужно рисковать. Управление риском — один из ключевых факторов, определяющих деятельность банка. Большинство банков получают существенную часть своих доходов от кредитной и инвестиционной деятельности. Главная задача заключается в том, чтобы оценить риск невозврата кредитов клиентом. На «содержательном уровне» кредитный риск определяется как «риск того, что партнер по финансовой сделке окажется неспособным выполнить условия контракта, и держатель актива понесет финансовые потери»1).
Кредитный риск присутствует во всех балансовых активах, которыми владеет банк, и в забалансовых операциях, в которых банк участвует (деятельность на денежном рынке инвестиции, финансирование торговли, кредитные операции и различные операции, осуществляемые за комиссию).
Риск потенциальных убытков распространяется также на предоставление обязательств и гарантий, акцептирование, операции с ценными бумагами, а также на различные виды деятельности на рынке капиталов: обмен валют, заключение фьючерсных контрактов, выпуск ценных бумаг, операции с драгоценными металлами.
При кредитовании учитываются следующие факторы возникновения риска: — невозврат кредитов при оценке кредитных заявок; — невозврат кредитов при контроле за кредитами в заданное время; — взыскание кредита в случае их невозврата за счет обеспечений. Немаловажную роль здесь играет и мошенничество. По видам мошенничество можно подразделить на: — мошенничество наемных работников; — сетевое мошенничество; — мошенничество по правительственным ссудам; — мошенничество по кредитным картам; — мошенничество по счетам за услуги (здравоохранение, коммунальные и т.п.); — мошенничество «белых воротничков»; — уклонение от уплаты налогов и т. п. Ущерб от мошенничества возрастает в тяжелые экономические периоды, в периоды роста финансовых затруднений и слияния фирм, во время существования рискованных проектов. Вообще понятие «риск» в бизнесе определяется неоднозначно и часто зависит от контекста его использования. Во-первых, с точки зрения получения будущих доходов или наступления иных последствий от принятия того или того решения, под риском понимают колеблемость или неоднозначную определенность доходов или иных полезных будущих результатов бизнеса под влиянием только одного выделенного фактора — так называемого факторного риска. Во-вторых, под риском понимают меру опасности. Измерение риска опирается на анализ ситуации риска, в условиях которой принимается рисковое решение. В-третьих, под риском можно понимать разницу между доходом, который можно получить, обладая конкретной информацией о точном будущем состоянии экономики, и доходом, который получен без этой информации, то есть величина риска — это размер платы за отсутствие информации о состоянии экономики. В ситуации риска, например, когда каждому финансовому инструменту соответствует не единственное значение дохода, а определенное распределение этих доходов и, соответственно, шансов их получения, это распределение осуществляется по будущим состояниям экономики или окружающей предпринимательской среды. Неопределенность здесь связана с тем, что неизвестно, какое именно состояние экономики наступит. Под мерой риска понимают оценку распределения будущих доходов с ф учетом шансов их получения, которая учитывает отклонение, как в сторону сокращения доходов, так и в сторону их повышения. То есть под мерой риска понимается мера изменчивости будущих доходов или иных результатов бизнеса, определяемых конкретным фактором или группой факторов. Например, кредитоспособность компании невозможно определить без учета уровня рискованности ее операций. При оценке предметных заявок проводится анализ бизнес-риска и обращается внимание на следующие факторы появления риска: — внешняя среда; — качество управления; — характер взаимоотношений с клиентом; — характеристики кредита (детали операции, цена кредита, обеспечение и т.д.)
Теорема существования и единственности
С другой стороны, положим, что большинство жаждет получить «свою справедливую долю» и готово даже взяться за оружие. Положим, далее, что это большинство живет при такой политической системе, в которой центральным понятием ценности считается законный порядок разрешения споров. Возьмет ли политическая ценность верх над ценностями психологическими? Можно представить себе различные комплексы условий, при которых ответ будет либо «да», либо «нет».
Из этого примера можно извлечь несколько уроков. Во-первых, решитель неизбежно сделает ошибки в суждении, если будет считать, что существует только одна система ценностей. Во-вторых, он столь же неизбежно ошибется, если, признавая разные системы ценностей будет требовать упорядочения их всегда тем же способом, чтобы одна система неизменно стояла над другой. В третьих, ожидать, что. система ценности сама, без знания местных фактов, будет санкционировать любые вещи, от узкого решения до широкой политики, значит хотеть от нее слишком многого. Это все равно, что выносить суждения, не зная альтернатив. В этом смысле мудрость состоит в применении к обстоятельствам. Прагматический взгляд на психологические ценности приводит к рассмотрению их как фактов. Нельзя отрицать, что психологические факты о желаниях потребителя или о реакциях пользователя на новую систему представляют не менее определенные факты, нежели технические характеристики системы. Но читатель, проникшийся необходимостью % разыскания психологических фактов, может не отдавать себе отчета в том, что многие отнюдь не осознают психологических фактов как фактов. Слыша то и дело такие термины, как техническая психология, анализ потребительских предпочтений, опрос общественного мнения и исследование побуждений, „ некоторые склонны заключить, что интересы и желания всех и во всем постоянно измеряются и учитываются ради общего блага. Между тем это отнюдь не так. Психологические ценности учитываются еще весьма слабо как в жизни вообще, даже среди физиков и математиков, так и при планировании систем. Пусть читатель спросит себя: часто ли ваши интересы и желания (как их понимаете вы) бывают известны тем, кто принимает решения, касающиеся вас? и часто ли вы беспокоитесь о том, чтобы установить интересы и желания других людей, которых касаются ваши решения? Или ближе к делу: много ли вы знаете системотехнических проектов, в которых цели были бы выбраны с учетом интересов всех тех, кого система будет касаться? Неумение искать и использовать психологические факты может происходить от ценностной слепоты, от боязни, что факты будут не со ответствовать нашим предвзятым убеждениям, от позиции высшего руководства или от других причин. В любом случае возникает этический вопрос: должны ли желания данного индивида или класса учитываться при планировании действия? Вопреки старинному изречению, факты не говорят сами за себя, особенно психологические факты. Поэтому, если признано, что в решении должны быть представлены все интересы, необходимо задать второй этический вопрос: для каких применений предназначаются психологические факты? Вот несколько применений такой информации: а) Ее можно хранить в архиве на случай, когда понадобится доказать, что такие факты рассматривались. б) Ее можно использовать для разработки стратегии убеждения затронутых лиц, что они получили то, что желали, или — если не получили — что их желания были чем-то плохи, т. е. для пропаганды. в) Ее можно использовать для согласования плана с желаниями большинства. г) При неудаче пункта в) ее можно использовать для достижения приемлемого компромисса с экономическими или с другими ценностями.
Если первый этический вопрос задан и получил утвердительный ответ, то вслед за ним встает фактический вопрос: каким путем лучше всего находить психологические факты? Для нахождения психологических фактов научным путем существует много методов. Например, обсуждались субъективные полезности — род психологической ценности — и выведение их из функций индивидуального спроса. Излагались различные практические подходы к выявлению и истолкованию человеческих потребностей и желаний, подходы, простирающиеся от бездействия (полное отбрасывание психологических ценностей) до сложных научных экспериментов.
Математическое рассмотрение решений потребителя было основано на измерении полезности при помощи шкалы порядка. Шкалы порядка были главным инструментом психологических измерений (области, которая, между прочим, носит название психометрии). Это ограничение не будет казаться столь стеснительным, если вспомнить, какие статистические операции допустимы на таких шкалах. Но представим себе, что можно было бы сделать, если бы психологические ценности измерялись по шкале отношений. Можно было бы, например, применить критерий прибыли для суждения о психологической прибыли таким же образом, как ныне мы применяем его для суждения об экономической прибыли. Можно было бы решить массу новых задач на построение сложных систем целей, если бы эта единственная координата получила высший уровень измерения.
Это лишь мечты, но они были мечтами многих глубоких умов в течение весьма долгого времени. Ниже мы рассмотрим и критически разберем некоторые опыты в этом направлении.
