Введение к работе
Актуальность темы. Одним из фундаментальных понятий теории управления является область достижимости управляемой системы. Областью достижимости К(Т) управляемой динамической системы в момент времени Т называют множество возможных состояний системы {х(Т)}, в которые можно попасть из стартового множества {х(0)}, используя допустимые управления u(t), t [О, Т]. Область достижимости Kit) как функция времени может, рассматриваться как решение управляемой системы, и в этом смысле является аналогом решения задачи Коти в дифференциальных уравнениях. Она описывает поведение всей совокупности возможных траекторий управляемой системы. Эволюция областей достижимости характеризует для управляемых систем ~ возможности управления, а для возмущенных систем - отклонения от невозмущенного движения. Еще В.В. Булгаковым была поставлена и решена для линейных стационарных систем "задача о накоплении возмущений", где была, по существу, описана эволюция их областей достижимости. Полное или частичное знание эволюции областей достижимости позволяет решать многие задачи теории управления, оптимального управления, дифференциальных игр и другие задачи. Задачам двусторонних оценок областей достижимости и описания их качественного поведения посвящены многие работы. Широкое распространение получил метод аппроксимации областей достижимости эллипсоидами1.
'Чсрноусько Ф. Л. Оценивание состояния динамических систем. - М:, Наука, 1988.
В частности, он был применен для асимптотических оценок областей достижимости при стремлении времени в бесконечность. Асимптотика самих областей достижимости была ранее описана в случае линейных стационарных систем2. Кроме того, ранее была изучена асимптотика областей достижимости сингулярно-возмущенных, устойчивых по быстрым переменным линейных систем при стремлении малого параметра к пулю3.
Цель работы состоит в продолжении исследования асимптотики областей достижимости упрапляемых систем и ос описании для следующих важных классов линейных систем. Во-первых, это распространение описания асимптотики линейных систем на больших временах от случая стационарных на случай периодических систем. Во-вторых, это описание асимптотики областей достижимости сингулярно-возмущенных линейных систем, неустойчивых по быстрым переменным.
Основные результаты, их научная новизна. 1) Для линейных периодических управляемых систем: -- построена матричная функция от времени такая, что ее произведение на области достижимости имеет пределы по последовательностям времен с одинаковым вычетом но модулю периода системы, - показано, что предельные множества но этим последовательностям различны и, более того, неириводимы друг к другу линейными преобразованиями; таким образом, показано существенное изме-
2Ovseevich АЛ. Limit behavior of attainable and supeiattainable sets //Proc. Conf. on Modeling, Estimation and Control of Systems with Uncertainty, Sopron, Hungary, 1990, Birkhausor, Basel, p.324-333, 1991.
3Dontchev A.L., Veliov V.M. Singular perturbation in Mayer's problem for linear systems// SIAM J. Control and Optiniiz. V.21,№4,P. 566-581, 1983.
иеїшс поведения областей достижимости по сравнению со случаем стационарных управляемых систем,
-- подучена декомпозиция предельных множеств (и облаете!! достижимости на больших временах) в прямое произведение своих проекции (явно заданных) в соответствии с временными интернатами, на которых действует управление.
2) Для сингулярно-возмущенных систем:
построена матричная функция от малого параметра и времени такая, что ее произведение на области достижимости сходится к предельному множеству (зависящему от времени) при стремлении малого параметра к нулю /г лесх значениях времени из конечного отрезка,
доказана декомпозиция предельных множеств (и областей достижимости) в прямое произведение явно заданных множеств, зависящих от управлений на различных временных интервалах; показано отделение быстрых устойчивых и экспоненциально неустойчивых движентій и существенная связь между быстрыми колебательными и медленными движениями.
3) Построены области достижимости нескольких механических уп
равляемых систем с малым параметром.
Практическая ценность диссертационной работы состоит в возможности применять полученное описание асимптотики областей достижимости для построения приближенных решений различных задач управления
периодическими системами на больших временах,
сингулярно-возмущенными системами.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинаре Института проблем механики РАН "Теория управления и динамика систем" под руководством академика РАН Ф.Л.Черкоусько; международной конференции "Coafcrol of Oscillation and Chaos", Санкт-Петербург. 1997; научном семинаре по прикладном механике, и управлению под руководством академика РАН А.Ю.Ишлииского.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 67 наименований и содержит 75 страниц.