Введение к работе
Диссертационная работа содержит результаты исследования проблемы существования и построения интегральных многообразий (ИМ) динамических систем (ДС) управляемых механических объектов изменяемой конфигурации и состава, называемых сложными механическими системами (CMC). Элементами интегрального многообразия ДС могут быть ее первые интегралы, инвариантные соотношения, частные решения. Анализ динамических свойств систем переменного состава и изменяемой конфигурации (структурно изменяемых систем) выполняется как исследование ДС, обладающей некоторым интегральным многообразием.
Предмет исследования - интегральные многообразия ДС, описывающих вращение носителя CMC, находящейся в однородном параллельном поле силы тяжести, при свободном движении и при движении вокруг неподвижной точки носителя. В работе найдены критериальные условия существования линейных и квадратичных интегралов, явный вид этих интегралов. Предметом исследования являются также динамические свойства систем, обладающих интегралами (интегрируемых систем), приводимость к автономным системам.
Актуальность проблемы. Механические объекты с изменяемой конфигурацией и переменным составом широко представлены как в природе (например, естественные космические тела), так и. в технике (объекты авиационной и ракетно-космической техники, роботизированные системы и т. д.). Возрастающую роль в настоящее время играют задачи динамики и управления такими объектами, в частности, задачи динамики и управления движением систем связанных тел с заданными внутренними перемещениями, задачи небесной механики структурно изменяемых объектов, задачи динамики космических аппаратов.
Построение интегральных многообразий позволяет аналитически исследовать динамические свойства управляемых объектов переменного состава.
Механические системы, имеющие интегралы движения, в некотором смысле выделены среди других и обладают характерными свойствами, исследование которых является актуальной задачей. Например, возможность поставить в соответствие системе переменного состава некоторый эквивалентный гиростат тесно связана с наличием у исходной системы квадратичных интегралов.
Движение CMC с интегралами обладает свободными (не связанными ограничениями) параметрами управления, что дает возможность регулировать состояние этих систем, оставаясь в классе движений, изученных аналитически.
При применении приближенных аналитических или численных методов для оценки и контроля результатов необходимо иметь некоторые точные соотношения, которые можно получить, используя точные частные решения или решения с интегралами.
Наличие первых интегралов открывав т путь к применению качественных методов исследования - например, на основе первых интегралов методом Четаева строится функция Ляпунова.
Широкое распространение в природе и технике механических объектов, важные свойства которых описываются используемой механической моделью и наличие многих принципиальных не решенных задач механики для соответствующей математической модели, вызывают необходимость проведения фундаментальных исследований в области динамики структурно изменяемых механических объектов на основе точных аналитических методов.
Целью работы является решение проблемы прямого аналитического конструирования (проблемы существования и построения) интегральных многообразий уравнений движения определенного класса управляемых объектов переменной структуры, называемых сложными механическими системами.
При этом ставятся задачи:
определение условий существования ИМ широкого класса механических систем переменного состава, включающих в себя как случай, когда заданы квазиреактивные силы, так и случай, когда заданы собственно реактивные силы;
получение критериальных условий существования интегралов и самих интегралов в явном виде и в инвариантной форме;
анализ динамики CMC при наличии интегралов, определение ориентации носителя при существовании системы интегралов;
получение условий проводимости ДС к автономной "системе, установление связи между приводимостью и наличием интегралов.
Общая методика исследований. Основным методом исследования сформулированной проблемы является метод интегральных многообразий, разработанный А. Пуанкаре, A.M. Ляпуновым и развитый Н.Н. Боголюбовым и Ю.А. Митропольским. Идеи метода решения обратных задач динамики твердого тела, основанного С.А. Чаплыги-
ным, Д.Н. Горячевым и развитым А.С. Галиуллиным, использовались при построении интегральных многообразий. Для получения инвариантной формы интегралов уравнения записаны в операторной (тензорной) форме, анализ свойств уравнений широко использует методы линейной алгебры. Описание всего класса, например, квадратичных интегралов требует введения достаточно большого числа заранее не известных параметров - функций времени и их исключение, то есть получение явной формы интегралов (и условий их существования) достигается за счет введения специальной подвижной системы отсчета.
Достоверность результатов основана на получении строгих доказательств методами математического анализа и линейной алгебры и на сравнении, в некоторых частных случаях, с известными решениями. Кроме того, достоверность обусловлена применением структурно-динамических моделей, адекватных исследуемым объектам.
Научная новизна. Она заключается в полном решении проблемы существования линейных и квадратичных интегралов движения систем переменного состава в однородном поле силы тяжести для случаев задания как квазиреактивных, так и собственно реактивных сил, в получении критериальных условий существования интегралов, в нахождении явной формы интегралов и условий их существования. Найдена структура кинетического момента CMC, обладающей линейным инвариантным соотношением. Получена связь между существованием квадратичных интегралов и приводимостью исходной неавтономной ДС к автономной ДС гиростата с постоянным гиростатическим моментом. Показано, что при наличии системы интегралов в квадратурах решается задача определения ориентации носителя для случая Лагранжа-Пуассона. Все результаты, выносимые на защиту, получены впервые диссертантом.
Выносятся на зашиту следующие положения:
1. Динамическая система, единая для нескольких исследуемых механических моделей движения CMC в однородном параллельном поле силы тяжести, при найденных критериальных структурно-динамических условиях имеет:
линейный частный интеграл, задающий проекцию кинетического момента системы на направление ее барицентрического вектора;
квадратичный интеграл, выражающий тот факт, что сумма кинетической энергии системы в определенном переносном движении и потенциальной энергии прямо пропорциональна модулю статического момента системы относительно неподвижной точки;
один или два независимых квадратичных по компонентам кинетического момента интеграла свободного движения;
интеграл проекции кинетического момента на вертикаль.
-
Динамическая система свободного движения приводима к автономной ДС гиростата в том и только в том случае, когда она имеет два независимых квадратичных интеграла.
-
При наличии у CMC в случае Лагранжа-Пуассона системы интегралов (линейного и квадратичного по компонентам кинетического момента и интеграла проекции кинетического момента на вертикаль) задача определения ориентации носителя разрешима в квадратурах.
Теоретическое и прикладное значение результатов работы. Ана-лиз динамических свойств механических объектов, конфигурация и массовый состав которых изменяются заданным образом (таких как кометы, планеты малые и большие, роботизированные системы с учетом инерционности звеньев, твердое тело с горящей поверхностью, ракета с интенсивным массоизменением, твердое тело с системой маховиков и т.д.) имеет определяющее значение как для теории нелинейных неавтономных систем, так и для прикладных задач оптимизации и управления движением. Приведенные примеры движений с интегралами показывают реальность применения полученных результатов для решения практических задач.
Применение результатов, полученных в работе, возможно при:
- редукции неавтономных ДС;
построении функций Ляпунова, в том числе методом связки первых интегралов по Четаеву, исследовании устойчивости движения объектов на многообразиях, порождаемых первыми интегралами ДС;
нахождении точных частных решений уравнений движения, тестировании приближенных аналитических и численных методов;
решении обратных задач динамики объектов изменяемой конфигурации;
решении задач оптимизации движений управляемых CMC;
анализе динамики и прогнозе движения космических тел переменного состава;
изучение свойств движения по промежуточным орбитам космических аппаратов.
. Вклад автора в разработку проблемы. Все научные результаты, приведенные в диссертации, получены без соавторов.
Апробация работы. Основные результаты, приведенные в дис-
сертации, обсуждались:
- на семинаре по аналитической механике механико-
математического факультета МГУ (Москва) -1994, 1995г.г.;
. - на семинаре по теоретической механике имени Н.Н. Поляхова при Санкт-Петербургском Доме ученых -1994,1995 г.г.;
на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского университета -1996 г.;
на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН, секция теоретической механики (Москва) -1993-1996 г.г.;
на объединенном семинаре по теоретической и прикладной механике кафедры прикладной механики механико-математического факультета МГУ и отдела Института механики МГУ -1996 г.;
на семинаре по теоретической механике Саратовского филиала Института машиноведения РАН им. А.А.Благонравова (Саратов) -1993-1995 г.г.;
на семинаре по теоретической механике Института проблем точной механики и управления РАН (Саратов) -1996 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 15].
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа содержит 204 страницы и состоит из введения, восьми глав, заключения и списка используемой литературы. Библиография содержит 127 источников.