Содержание к диссертации
Введение
1 Динамика шайбы в нелинейной динамически совместной модели контактных напряжений 13
1.1 Постановка задачи 13
1.2 Модель распределения нормального давления 18
1.3 Свойства функции плотности нормального давления 22
1.4 Силы и момент трения. Уравнения движения шайбы 25
1.5 Динамика шайбы при к 1 28
1.6 Предельное движение шайбы 32
1.7 Численное исследование предельных движений шайбы 37
2 Динамика шайбы в линейной динамически совместной модели трения 42
2.1 Постановка задачи. Описание модели 42
2.2 Уравнения движения 46
2.3 Динамика шайбы при к 1 47
2.4 Предельные движения шайбы в случае
3 Динамика диска на наклонной плоскости с трением 56
3.1 Уравнения движения диска и их свойства 56
3.2 Динамика диска при к 1 59
3.3 Динамика диска при к = 1 63
3.4 Динамика диска при к 1 65
3.5 Исследование траекторий центра масс
диска 68
Заключение 73
Литература
- Свойства функции плотности нормального давления
- Предельное движение шайбы
- Динамика шайбы при к 1
- Динамика диска при к = 1
Введение к работе
Актуальность темы. Задача о движении твердого тела с плоским основанием по шероховатой плоскости является одной из фундаментальных задач механики. При определении сил и моментов, действующих на тело, предполагается, что для каждой элементарной площадки области контакта верна гипотеза Кулона. Так как сила сухого трения Кулона зависит от распределения нормального давления по пятну контакта, то принципиальным моментом при решении данной задачи является построение модели контактных напряжений.
Н.Е. Жуковский изучал условия равновесия тела на горизонтальной плоскости с трением при наличии внешних сил в случае произвольного статического распределения нормального давления. Позднее эти исследования продолжил Мак-Миллан. Впервые качественный анализ динамики плоского диска на горизонтальной плоскости с сухим трением был выполнен в совместной работе А.Ю. Ишлинского, Б.Н. Соколова и Ф.Л. Черноусько в 1981 году. Движение однородного диска было описано в случае равномерного распределения нормального давления. Позднее исследования в данном направлении продолжили В.Ф. Журавлев, А.А. Киреенков, А.П. Иванов, Д.В. Трещев и другие.
В 2009 году А.П. Иванов предложил динамически совместную модель трения, согласно которой нормальное давление есть линейная функция координат точек пятна контакта и зависит от трех независимых параметров. В рамках этой модели в статье Д.В. Трещева с соавторами было выполнено качественно-аналитическое исследование динамики шайбы на горизонтальной плоскости. В современных работах, посвященных задаче о движении осесимметричного тела по плоскости, приводятся не только теоретические и численные результаты, но также данные проведенных экспериментов. Эти данные, а также сравнение экспериментальных зависимостей с теоретическими кривыми можно найти в работах З. Фаркаша с соавторами, П.Д. Вайд-мана, Ч. Мальотра.
Таким образом, исследование динамики шайбы на наклонной плоскости при наличии трения представляется весьма актуальным.
Цель работы. Диссертация посвящена качественному и аналитическому исследованию динамики шайбы на наклонной плоскости при наличии трения в рамках
моделей контактных напряжений, удовлетворяющих условию динамической совместности.
Методы исследования. В работе используются методы аналитической механики, качественной теории дифференциальных уравнений, а также теории устойчивости.
Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы обоснованы с помощью методов аналитической механики и методов качественной теории дифференциальных уравнений. Некоторые вспомогательные гипотезы проиллюстрированы и подтверждены с помощью численного анализа.
Научная новизна. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми, ранее неизвестными. Впервые рассмотрена динамика шайбы ненулевой высоты на наклонной плоскости в рамках динамически совместных моделей трения и исследованы ее предельные движения в случае, когда отношение коэффициент трения больше, чем тангенс угла наклона плоскости, а также проведен глобальный качественный анализ динамики шайбы нулевой высоты (тонкого диска) на шероховатой наклонной плоскости при равномерном распределении давления при всех соотношениях между коэффициентом трения скольжения и тангенсом угла наклона плоскости движения.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, полученные результаты могут быть использованы в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Институте проблем механики имени А. Ю. Ишлинского РАН, Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, Московском физико-техническом институте (Государственный Университет) и других научно-исследовательских центрах.
Личный вклад. В совместной работе А.В.Карапетяну принадлежат постановка задачи и общее научное руководство. Все результаты получены лично автором.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:
Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. А.В. Карапетяна, 2011 - 2015 гг.
Научная конференция “Ломоносовские чтения” МГУ, 2012, 2013 г.
Всероссийский Семинар “Аналитическая механика, устойчивость и управление движением”, Ульяновск, 2011 г.
Международная конференция “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления”, Москва, ИПУ РАН, 2012 г.
Международная научная конференция по механике “Шестые Поляховские чтения”, Санкт-Петербург, 2012 г.
8th European Solid Mechanics Conference, Грац, Австрия, 2012 г.
V International Conference on Computational Methods for Coupled Problems in Science and Engineering, Ибица, Испания, 2013 г.
XLI Summer School - Conference “Advanced problems in mechanics”, Санкт-Петербург, 2013 г.
XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Казань, 2015 г.
Конференция молодых ученых Института механики МГУ, 2015г.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в пяти печатных работах, которые опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК. Одна из работ выполнена в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежит постановка задачи. Список работ приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации — 79 страниц текста. Список литературы содержит 39 наименований. В диссертации приведено 18 рисунков.
Свойства функции плотности нормального давления
Как видно из равенств (1.11, 1.12), при поступательном движении шайбы распределение нормального давления по основанию шайбы имеет такой же вид, как распределение нормального давления по основанию плоского штампа, внедряемого в упругую полуплоскость [6]. В случае вращательного движения, а также для тонкого диска (шайбы нулевой высоты) в рассматриваемой модели функция плотности нормального давления совпадает с законом Галина распределения нормального давления по границе между твердым штампом с плоским основанием и упругой полуплоскостью при отсутствии сил трения [4].
Так как п(А) — плотность нормального давления в точке А пятна контакта, для всех точек основания шайбы должно быть выполнено неравенство п(А) 0. Учитывая, что в случае поступательного движения функция п(А) имеет вид (1.11), 6 Є [0,1] — необходимое условие неотрицательности плотности давления во всех точках пятна контакта. При произвольном движении шайбы выполнено следующее неравенство: при всех значениях (5 Є [0,1]. Таким образом, для неотрицательности плотности нормального давления в каждой точке основания шайбы необходимо и достаточно, чтобы 5 Є [0,1].
Результирующая сила трения, действующая на шайбу, и главный момент внешних сил, вычисленный относительно ее центра, определяются по фор F = -Fiei - F2e2, M = -Me3
Численный анализ показывает, что качественное поведение этих функций не зависит от параметра д. На рис. 1.5 приведены графики /і, /2 и /з при фиксированом значении = 0.6.
Будем предполагать, что плоскость движения не является горизонтальной, то есть а О. Тогда без уменьшения общности выберем единицы измерения массы, длины и времени так, что Из данного представления видно, что при замене Q на — Q функция ац меняется на — 2ц. Аналогичное свойство выполнено и для 5,22. В отличие от этих двух функций, 5,20 при замене Q на — Q не меняет своего значения. Поэтому, согласно равенствам (1.10), коэффициент Л2 меняется на противоположный
Значит, при замене Q на — Q функция f\ остается прежней. Аналогично можно показать, что функции /2 и /з меняются на противоположные. Следовательно, замена (и, ії,ф) — (и, — Г2, — ) переводит систему (1.15) в себя.И Также нужно отметить, что в силу того, что /зп=о = 0, множество Q = 0 инвариантно относительно рассматриваемой системы уравнений, поэтому знак угловой скорости шайбы не меняется в процессе движения. Данный факт в совокупности с утверждением 1.1 позволяет рассматривать движение шайбы только для случая Qo 0. Поэтому в дальнейшем без ограничения общности будем предполагать, что Qo 0 (а значит, и в процессе всего движения Q(t) 0). поэтому второе слагаемое в правой части соотношения (1.16) неположительно. В случае, когда коэффициент трения больше тангенса угла наклона плоскости (к 1), из соотношения (1.16) следует, что
При фиксированном значении 6 = 6 можно численно построить графи ки коэффициентов (q(z, о ) + zqz(z, d )), g (z, о ) и определить их знаки. На рис. 1.8 приведен качественный вид графиков указанных функций. График функции (q(z, 6 ) + zq z(z, 6 )) пересекает ось Oz в точке zz(6 ), а g z(z, 6 ) — в точках zi(6 ) и Z2(6 ). Численный анализ показывает, что для всех 6 Є [0,1] выполнено неравенство Z\{6) Zs(6) Z2{6). Следовательно, положение равновесия (Z I/J ) системы (1.20) асимптотически устойчиво, если z 2 , и 3 + 262 неустойчиво, если z Z2. Значит, при Х\[6) х система имеет од 9 но асимтотически устойчивое положение равновесия, при Х2{6) х Х\{6) — одно асимтотически устойчивое положение равновесия и два неустойчивых, при х Х2{6) — одно неустойчивое. 1.50 л
Удобно проиллюстрировать результаты на плоскости параметров х Є (0,1) и 5 Є [0,1] (см. рис. 1.9). Плоскость параметров разбивается на четыре области: в области I нет положений равновесия
Проиллюстрируем результаты, полученные при качественно-аналитическом исследовании предельных движений шайбы, при помощи численного интегрирования уравнений движения (1.20). Так как функции fn (п = 1,2,3), стоящие в правой части системы (1.20), имеют очень громоздкий вид, для численного интегрирования заменим их соответствующими аппроксимациями Паде. Для функций f\ и /з будем использовать разложения Паде второго порядка, а для /2 четвертого порядка.
Предельное движение шайбы
Нахождение положений равновесия системы (2.7) и исследование их устойчивости проводится тем же способом, что и в параграфе 1.6. В рассматриваемом случае поведение функции g(z, 6) качественно не меняется. Следовательно, при фиксированном значении 6 = 6 функция g(z,6 ) возрастает на промежутках (0, zi(6 )), (z2( ), +00) и убывает на промежутке (zi(6 ), Z2(6 )). Таким образом, система (2.7) в зависимости от параметра к имеет одно, два или три положения равновесия, либо не имеет их вовсе.
Для исследования положений равновесия (z , ) рассмотрим систему первого приближения для (2.7), которая имеет вид (1.22), и ее характериси-ческий многочлен (1.23). В отличие от задачи, рассмотренной в параграфе 1.6, возможны две качественно различные ситуации:
То есть при Х\(о) х система имеет одно асимтотически устойчивое положение равновесия, при X2(S) х Х\(8) — одно асимтотически устойчивое положение равновесия и два неустойчивых, при x3() x2() x1() Удобно проиллюстрировать все результаты на плоскости параметров х Є (0,1) и 6 Є [0,1] (см. рис. 2.4). В области I нет положений равновесия, II — одно асимптотически устойчивое, III — одно асимптотически устойчивое и два неустойчивых, IV — два асимптотически устойчивых и одно неустойчивое, V — одно асимптотически устойчивое, VI— одно неустойчивое.
Так как в случае, когда параметры х и 6 принадлежат области IV, система (2.7) имеет два различных асимптотически устойчивых положения равновесия, то в зависимости от начальных условий щ = 0, o = 0, фо воз-можны два различных предельных значения z для —. Это обстоятельство является существенным отличием данной задачи от рассмотренной ранее в главе 1, а также от задачи о движении шайбы по горизонтальной плоскости [22].
Необходимо отметить, что на границах между областями III и IV, а также V и VI характеристический многочлен х(Л) имеет пару чисто мнимых корней. Значит, при этих значениях параметров ж, 5 в системе (2.7) имеет место бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа и рождение периодических решений в переменных z,r. Данный факт был численно подтвержден в работе [3]. Все остальные границы соответствуют случаю, когда один из корней многочлена х(А) нулевой. При этом в случае одного нулевого корня характеристического многочлена новые положения появлются не в точке уже существующего равновесия. Это проиллюстрировано на бифуркационной диаграмме (рис. 2.5), построенной при фиксированном
Рассмотрим шайбу нулевой высоты и радиуса а (в дальнейшем — диск) на шероховатой наклонной плоскости в рамках динамически совместной модели трения А.П. Иванова. Подставляя h = 0 в выражения для коэффициентов Лі и \2 (2.3), получим А4=о = 0, Л2Л=0 = 0 (3.1) Следовательно, нормальное давление распределено равномерно по диску, и функция плотности постоянна:
Выбирая единицы измерения массы, длины и времени так, что m = 1, а = 1, gsina = 1, преобразуем уравнения (1.4) к виду
Последнее соотношение (3.6) означает, что система (3.3) допускает инвариантное множество Q = 0, т.е. если начальная угловая скорость диска равна нулю (Г2о = 0), то диск движется поступательно. В этом случае динамика диска совпадает с динамикой материальной точки на наклонной плоскости с сухим трением (см. [5]). Также система (3.3) инвариантна относительно замены (и,1,ф — (it, — Г2, — ф) (см. утверждение 1.1), поэтому в дальнейшем будем полагать без уменьшения общности, что Qo 0 (тогда в процессе всего движения Q(t) 0). Кроме того, система (3.3) допускает инвариантные множества ф = 0 и ф = тт.
Для анализа уравнений движения (3.3) удобно сделать замену 7 = сояф и переписать уравнения (3.3) в новых переменных it, Г2, 7:
Первое слагаемое в правой части соотношения (3.8) неположительно. Этим же свойством обладает и второе слагаемое, поскольку после несложных пре образований его можно представить в виде
n s n v W - 2,u\ Is sin о + і 2zsz - it apas =
7TJ0 0 VV Г
Как было показано в главе 2, в случае к 1 диск останавливается за конечное время, причем при Qo ф 0 его скольжение и верчение прекращаются одновременно. Воспользуемся равенством (3.8) для оценки времени остановки t .
Как видно из второго соотношения, для значения z = z (x) выполняется предельный переход к случаю горизонтальной плоскости, где z « 0, 65 [14, 33, 22].
Аналогично можно показать, что если 70 7 - 1, то при 1 2 существует lim (Q(t)/u(i)) = 0 . Определим в этом случае порядок малости Q(i) по отношению к u{t) при t — t - 0. Для этого найдем v (у 1), при котором предел с = lim (Г2()/г ()) конечен и отличен от нуля. Применяя правило Лопиталя для нахождения предела отношения двух бесконечно малых функций, имеем
Динамика шайбы при к 1
Таким образом, если отношение коэффициента трения к тангенсу угла наклона плоскости больше единицы, но не больше двух, то при 7о ф - 1 предельное движение диска — поступательное. В случае к 2 предельное движение — мгновенно вращательное, причем мгновенный центр скоростей находится на расстоянии az (x) от центра диска.
Пусть коэффициент трения скольжения равен тангенсу угла наклона плоскости. Из соотношения (3.8) следует, что Т 0,т.е.
Это означает, что, как и в случае к 1, u(t) и Q(t) — ограниченные функции времени. Сформулируем основные свойства динамики диска в виде теоремы. Теорема 3.1 При х=1 в случае общего положения 7о ф - 1 движение диска продолжается бесконечно долго, при этом
Значит, функция u(t)j(t) неограниченна, что противоречит ограниченности функций u(t) и 7(0- Таким образом, 7 = 1 Так как функция u(t)(l + 7(0) не убывает и ограниченна сверху, то существует lim u(t)(l + 7(0) 0 при +оо. При этом, как уже было
Теперь рассмотрим функцию Г2(0, полагая без ограничения общности, что Qo 0 (случай Qo 0 рассматривается аналогично). В силу системы (3.7), Q(t) не возрастает. При этом Q(t) 0. Значит, существует lim Q(t) = Г2 0. Предположим, что Г2 0. Тогда функции u(t) и Q(t) ограниченны и отделены от нуля. Поэтому функция /з() тоже отделена от нуля, т.е. /з() Ь 0 при всех Є [0, оо). Но тогда Q(t) — — оо при — оо (см. третье уравнение системы (3.7)),что противоречит неравенству
Таким образом, если 7о ф 1, то при к =\ движение диска происходит на бесконечном интервале времени и стремится при t — +оо к равномерному скольжению без верчения вдоль линии наибольшего ската наклонной плоскости:
Пусть коэффициент трения скольжения меньше тангенса угла наклона плоскости. Прежде всего заметим, что в этом случае, как и в двух предыдущих, Q(t) — ограниченная функцией времени, так как из третьего уравнения системы (3.7) следует, что функция Q(t) не возрастает по модулю: \Q{t)\ Г2о. Сформулируем в виде теремы свойства динамики диска.
Следовательно, ІІ() —+00 (т.к. І7І 1) и существует момент времени і, такой, что 7і = т( і) 0; при этом (см. второе уравнение системы (3.7) ) l{t) 71 при t — ti. Таким образом, при t t\, имеют место неравенства, вытекающие из (3.15)
Докажем теперь, что Q(t) — 0 при t — +00. Прежде всего заметим, что Q(t) не может обратиться в нуль за конечное время (при 7о ф 1, Г2о 7 0), так как u(t) Ф 0. Умножая левую и правую части третьего уравнения системы (3.7) на Q и учитывая формулы (3.4), имеем
Отсюда видно, что г] стремится к нулю при t —+00 равномерно по Г2, s и /3. Следовательно, существует момент времени з, такой, что \г)\ 1/4, т.е.
Введем неподвижную ортогональную систему координат Оху в плоскости движения диска, так, что ось Ох направлена вниз вдоль линии наибольшего ската, а точка О совпадает с начальным положением центра диска (см. рис. 3.2). При к 1 исследуем траекторию центра масс диска на наличие асимптоты у = у , являющейся линией наибольшего ската. Будем рассматривать случай 7о ф ±1, т.к. при 7о = ±1 траектория прямолинейна. Для координат х и у центра масс диска имеем х = UCOSI/J, у = usinifj (3.23) Рис. 3.2: Система координат Оху
Без ограничения общности будем считать, что фо Є (0,7г), а значит, в процессе всего движения ф Є (0,7г). Тогда, исходя из второго уравнения системы (3.3), функция ifj(t) монотонно убывает. Отметим некоторые свойтсва траектории центра диска, заданной уравнениями (3.23).
Так как производная dy/dx = tgф, то при ф Є (0,7г/2) функция у(х) возрастает, а при ф Є (7г/2,7г) убывает. Согласно уравнениям (3.23), имеем #1 = ±иЕф) = Л L_ = Ь1±- (3.24) dx2 dx cos2 ф и cos ф и2 cos2 ф Следовательно, при ф Є (0,7г/2) траектория центра масс диска выпукла вверх, а при ф Є (7г/2,7г) — вниз. Таким образом, она имеет вид, изображенный на рис. 3.2.
Так как в процессе движения диска ф Є (0,7г), то функция y(t) монотонно возрастает (см. второе уравнение 3.23). Выясним, существует ли у = lim у(t).
Следовательно, в случае к 1/2 координата у центра масс диска неограниченно возрастает с течением времени, то есть у траектории отсутствует асимптота у = у . Надо отметить, что в этом случае траектория центра масс диска не имеет и наклонной асимптоты, так как предел отношения у(х)/х при х — +оо равен нулю:
Таким образом, в случае к 1/2 координата у центра масс диска неограниченно возрастает с течением времени, и у траектории центра масс диска отсутствуют асимптоты. При 1/2 к 1 траектория центра масс диска имеет асимптоту у = у , которая является линией наибольшего ската.
Динамика диска при к = 1
Заметим, что условие неотрицательности функции плотности нормального давления п(А) накладывает различные ограничения на отношение kh/a для линейной и нелинейной моделей трения. Как было показано в главе 1, в случае нелинейной модели должно выполняться условие — Є [0,1/31, для линейной модели — Є [0,1/41. Также различие линейной и нелинейной мо-делей трения отражается на поведении функций /j, (і = 1,2,3). На рис.2.1 приведены графики функций для фиксированного значения — = 0,2, где красным построены кривые для нелинейной модели трения, а синим — для линейной.
Подставляя (2.1) в выражения для сил и моментов (1.2), получим результирующую силу трения, действующую на шайбу, и главный момент внешних сил, вычисленный относительно центра масс
Можно заметить, что /з =о = О, поэтому множество Q = 0 инвариантно относительно системы (2.4). Значит, знак угловой скорости не меняется в процессе движения шайбы. Далее будем предполагать, что Q 0 (случай Q 0 рассматривается аналогично).
Первое слагаемое в правой части соотношения (2.6) неположительно. Второе слагаемое можно представить в виде лиз показывает, что функция Ф ( —, 1 1 0. Следовательно, Ф ( —, д ) 0 при всех д Є [0,1]. Так как в процессе движения цилиндра Q 0, второе слагаемое в правой части соотношения (2.6) неположительно.
Пусть коэффициент трения больше тангенса угла наклона плоскости. Из соотношения (2.6) следует, что Точно так же, как это было сделано в параграфе 1.5, можно показать, что скольжение и верчение шайбы (при Qo ф 0) прекращаются в один и тот же момент времени t .
Нахождение положений равновесия системы (2.7) и исследование их устойчивости проводится тем же способом, что и в параграфе 1.6. В рассматриваемом случае поведение функции g(z, 6) качественно не меняется. Следовательно, при фиксированном значении 6 = 6 функция g(z,6 ) возрастает на промежутках (0, zi(6 )), (z2( ), +00) и убывает на промежутке (zi(6 ), Z2(6 )). Таким образом, система (2.7) в зависимости от параметра к имеет одно, два или три положения равновесия, либо не имеет их вовсе.
Исследуем поведение функции g(z, 6) при z — +00. Для этого разложим функции aii(z,6), CL22(z,6) и a2o{z}d) в ряд Тейлора по степеням / = - в окрестности точки / = 0: и система (2.7) имеет решения только при к 1
Для исследования положений равновесия (z , ) рассмотрим систему первого приближения для (2.7), которая имеет вид (1.22), и ее характериси-ческий многочлен (1.23). В отличие от задачи, рассмотренной в параграфе 1.6, возможны две качественно различные ситуации:
То есть при Х\(о) х система имеет одно асимтотически устойчивое положение равновесия, при X2(S) х Х\(8) — одно асимтотически устойчивое положение равновесия и два неустойчивых, при
Удобно проиллюстрировать все результаты на плоскости параметров х Є (0,1) и 6 Є [0,1] (см. рис. 2.4). В области I нет положений равновесия, II — одно асимптотически устойчивое, III — одно асимптотически устойчивое и два неустойчивых, IV — два асимптотически устойчивых и одно неустойчивое, V — одно асимптотически устойчивое, VI— одно неустойчивое.
Так как в случае, когда параметры х и 6 принадлежат области IV, система (2.7) имеет два различных асимптотически устойчивых положения равновесия, то в зависимости от начальных условий щ = 0, o = 0, фо воз-можны два различных предельных значения z для —. Это обстоятельство является существенным отличием данной задачи от рассмотренной ранее в главе 1, а также от задачи о движении шайбы по горизонтальной плоскости [22].
Необходимо отметить, что на границах между областями III и IV, а также V и VI характеристический многочлен х(Л) имеет пару чисто мнимых корней. Значит, при этих значениях параметров ж, 5 в системе (2.7) имеет место бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа и рождение периодических решений в переменных z,r. Данный факт был численно подтвержден в работе [3]. Все остальные границы соответствуют случаю, когда один из корней многочлена х(А) нулевой. При этом в случае одного нулевого корня характеристического многочлена новые положения появлются не в точке уже существующего равновесия. Это проиллюстрировано на бифуркационной диаграмме (рис. 2.5), построенной при фиксированном 6 = 0.6. Последнее соотношение (3.6) означает, что система (3.3) допускает инвариантное множество Q = 0, т.е. если начальная угловая скорость диска равна нулю (Г2о = 0), то диск движется поступательно. В этом случае динамика диска совпадает с динамикой материальной точки на наклонной плоскости с сухим трением (см. [5]). Также система (3.3) инвариантна относительно замены (и,1,ф — (it, — Г2, — ф) (см. утверждение 1.1), поэтому в дальнейшем будем полагать без уменьшения общности, что Qo 0 (тогда в процессе всего движения Q(t) 0). Кроме того, система (3.3) допускает инвариантные множества ф = 0 и ф = тт.