Введение к работе
Актуальность темы
Исследование вопросов интегрируемости гамнльтоновых систем является одной из основных задач механики, тесно связанной с исследованием хаотического поведения механических систем. Необходимые условия интегрируемости изучались в работах Лиувилля, Брунса, Пенлеве, Пуанкаре, Ковалевской, Ляпунова, Козлова. Зн-глина и других авторов. В классических работах под интегрируемостью понималось существование полного набора алгебраических или мероморфных первых интегралов, или же интегралов, представимых в виде ряда по малому параметру (интегрируемость по Пуанкаре). Для интегрируемости в указанных смыслах были разработаны достаточно простые необходимые условия, имеющие алгебраический характер.
Одним из наиболее общих понятий интегрируемости гамнльтоновых систем является интегрируемость по Лнувиллю (существование полного набора аналитических интегралов в инволюции, независимых по крайней мере в одной точке). Доказательство не-интегрнруемостн по Лиувиллю является более сложной задачей: требуется установить нетривиальные динамические эффекты, не свойственные интегрируемым системам, например, существование траекторий, имеющих "хаотический" характер.
Основополагающие результаты, о неинтегрируемости по Лиувиллю гамнльтоновых систем принадлежат В.В.Козлову и С.Л.Зиг-лину. Кушман доказал, что неинтегрируемость по Лиувиллю аналитических систем с двумя степенями свободы вытекает из наличия изолированных двоякоасимптотических траекторий к периодическим траекториям. В работах В.В.Козлова, С.Л.Зиглнна и последующих работах для доказательства существования таких траекторий использован метод интеграла Пуанкаре - Мельникова. Применение этого метода ограничено случаем систем, близких к интегрируемым. Если система не является близкой к интегрируемой, так что теория возмущений неприменима, для доказательства неинтегрируемости по Лиувиллю требуются другие подходы, наиболее перспективным из которых является метод вариационного исчисления в целом.
Первые теоремы существования двоякоасимптотических траекторий, основанные на вариационных принципах, были получены автором диссертации. Для доказательства неинтегрируемости вариационный метод впервые применен в работе В.В.Козлова. В ней открыт новый тип препятствий к интегрируемости, имеющий чисто топологическую природу: системы со сложной топологией конфигурационного пространства не могут быть интегрируемыми.
Диссертация посвящена развитию новых вариационных методов доказательства существования двоякоасимптотических и хаотических траекторий и неинтегрируемости гамильтоновых систем. С их помощью получены конструктивные геометрические условия существования изолированных двоякоасимптотических траекторий, дающие достаточные условия неинтегрируемости по Лиу-виллю и хаотического поведения в случаях, когда методы теории возмущений неприменимы.
Полученные результаты позволили доказать неинтегрируемость и существование хаотических траекторий для ряда классических задач механики, не поддававшихся исследованию. Среди них задача о движении тяжелого твердого тела, задача п центров, двойной маятник, и другие задачи. Сказанное дает основания утверждать, что тема диссертации актуальна.
Отметим, что в последнее время появились работы, где хаотические траектории гамильтоновых систем строятся с помощью вариационных методов, основанных на идее Э.Сере. Здесь можно упомянуть работы Э.Сере, В.Коти-Зелати, П.Рабиновича, У.Бесси и других авторов. Все эти результаты применимы лишь для неавтономных систем и используют предположение, что множество го-моклинических траекторий обладает некоторыми свойствами компактности, обобщающими классическое условие трансверсальности. Однако до сих пор не существует конструктивных критериев, позволяющих проверить эти условия для конкретных механических систем, исключая случаи, когда применима теория возмущений.
>
Цель работы
Целью работы является развитие методов исследования гамильто-новых систем, основанных на вариационных принципах механики, и доказательство геометрических критериев неннтегрируемости и хаотического поведения.
Теоретическая и практическая ценность
Работа расширяет возможности качественного анализа гамнльто-новых систем на те случаи, когда методы теории возмущений неприменимы. Полученные результаты могут быть использованы при доказательстве неннтегрируемости и построении хаотических траекторий для гамильтоновых систем, возникающих в механике и физике. Полезность полученных результатов при анализе, конкретных систем показана на ряде задач из динамики тяжелого твердого тела и небесной механики. Результаты диссертации вошли в монографии по проблемам интегрируемости гамильтоновых систем.
Методы исследования
Методы исследования, используемые в диссертации, основаны на вариационных принципах аналитической механики - принципах Гамильтона - Остроградского и Мопертюн - Якоби. Основным инструментом является вариационное исчисление в целом, разработанное в работах А.Пуанкаре, Дж.Бнркгофа, М.Морса, Л.А.Люс-терника, Л.Г.Шнирельмана, Р.Пале, С.Смейла.
С помощью вариационных методов доказывается существование двоякоасимптотнческих траекторий. Затем, используя модификацию методов теории динамических систем, разработанных А.Пуанкаре, М.Морсом, Дж.Биркгофом, С.Смейлом, Л.П.Шнльни-ковым, показывается, что система обладает хаотическими траекториями. При доказательстве неннтегрируемости по Лиувиллю используются методы А.Пуанкаре, В.В.Козлова, С.Л.Зиглина.
В диссертации применяются также методы теории возмущений, разработанные А.Пуанкаре, Дж.Биркгофом, В.И.Арнольдом, Ю.Мозером, В.К.Мельниковым, Д.В.Трещевым.
Научная новизна
Научная новизна диссертации состоит в следующем:
-
Доказано существование периодических траектории заданной энергии и двоякоас'имптотическнх траекторий обратимых га-мильтоновых систем.
-
Получен геометрический критерий неинтегрнруемости для систем с конфигурационным пространством сфера. С его помощью доказана неннтегрируемость по Лиувнллю и существование хаотических движении на нулевом уровне интеграла площадей для задачи о движении тяжелого динамически симметричного твердого тела с центром масс в диаметральной плоскости эллипсоида инерции, при отношении моментов инерции больше четырех.
-
Получен геометрический критерий неинтегрнруемости и существования хаотических траекторий для систем с конфигурационным пространством тор или цилиндр. С его помощью доказана неннтегрируемость по Лиувнллю двойного математического маятника.
-
Обнаружен механизм влияния ньютоновских особенностей потенциальной энергии на интегрируемость и существование хаотических траекторий механических систем. Доказана неинтегрируемость по Лиувнллю задачи п центров и ограниченной круговой задачи многих тел при п > 3 и неотрицательных значениях интеграла Якоби.
-
Получены топологические препятствия к интегрируемости по Биркгофу систем с гироскопическими силами и упругими отражениями. Дана классификация интегрируемых систем с упругими отражениями на поверхностях постоянной кривизны.
-
Получен критерий неинтегрируемости, обобщающий метод Пуанкаре - Мельникова - Зпглина на многомерный случай. Даны достаточные условия неинтегрнруемости при наличии двоякоасим-птотической траектории к положениям равновесия седлового типа.
-
Доказано существование асимптотических и двоякоасимпто-тических траекторий для инвариантных торов гамильтоновых систем, на которых функция Лагранжа достигнет минимума.
8. Установлено существование двоякоасимптотических траек
торий для гиперболических инвариантных торов, возникающих
при распадении резонансных инвариантных торов вполне интегрируемых гамильтоновых систем.
9. Доказано существование инвариантных множеств Мезера, возникающих при распадении резонансных инвариантных торов гамильтоновых систем, и существование двоякоаснмптотнческих траєкторнії к этим множествам.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались на ряде конференций, в том числе на Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент 198G), конференции по интегрируемости и хаотическому поведению гамильтоновых систем (Торун, Польша, 1993), международном конгрессе математиков (Цюрих, Швейцария, 1994). конференции по динамическим системам (Триест, Италия, 1994), конференции по гамильтоновым системам с тремя и более степенями свободы (Сагаро, Испания 1995), конференции по динамическим системам (Обервольфах, Германия, 1995), а также на семинарах механико-математического ф-та МГУ, ф-та ВМК МГУ, Математического ин-та им. Стеклова РАН. Института проблем управления РАН и других.
Публикации по теме диссертации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-28].
Структура и объем диссертации