Содержание к диссертации
ПРЕДИСЛОВИЕ 4
ВВЕДЕНИЕ 6
ГЛАВА 1. Стабилизируемость в цилиндрическом фазовом пространстве
§1.1. Понятие связной функции Ляпунова и ее свойства 22
§ 1.2. Достаточные условия асимптотической устойчивости в большом на цилиндре 28
§ 1.3. Достаточные условия стабилизируемости лагранжевых систем 39
§ 1.4. Стабилизация с помощью релейной обратной связи 44
§ 1.5. Заключительные замечания к главе 1 51
ГЛАВА 2. Глобальная управляемость натуральных лагранжевых систем
§ 2.1. Достаточные условия глобальной управляемости натуральных лагранжевых систем 54
§ 2.2. Случай циклических координат 62
§ 2.3. Системы с несколькими устойчивыми положениями равновесия .66
§ 2.4. Системы со стационарными вращениями 74 ,
§ 2.5. Управляемость многозвенного маятника в горизонтальной плоскости 80
§ 2.6. Применение достижимых кривых 85
§ 2.7. Заключительные замечания к главе 2 90
ГЛАВА 3. Управляемость при действии сил трения
§3.1. Необходимые ресурсы управления для систем с трением 92
§ 3.2. Достаточные условия глобальной управляемости систем с сухим трением 100
§ 3.3. Пример глобально управляемой системы с сухим трением 105
§ 3.4. Управление при качении с проскальзыванием 114
§3.5. Заключительные замечания к главе 3 120
ГЛАВА 4. Глобальная управляемость при наличии односторонних связей
§ 4.1. Особенности динамики систем с неудерживающими связями 122
§ 4.2. Условия стабилизируемости систем с неудерживающими связями .127
§ 4.3. Глобально достижимые кривые в системах с двумя степенями свободы 138
§ 4.4. Примеры глобально управляемых систем с неудерживающими связями 144
§ 4.5. Управляемость в случае нейтральной односторонней связи 150
§4.6. Заключительные замечания к главе 4 156
ГЛАВА 5. Влияние параметров на управляемость систем твердых тел
§5.1. Управляемость за счет изменения массоинерционных параметров 159
§ 5.2. Модель двузвенника с дополнительной степенью свободы 166
§5.3. Понятие параметрической управляемости и ее некоторые условия... 177
§ 5.4. Примеры сингулярно возмущенных систем 183
§ 5.5. Пример регулярно возмущенной системы 188
§ 5.6. Заключительные замечания к главе 5 195
ГЛАВА 6. Некоторые примеры оптимального синтеза
§ 6.1. Оптимальное управление эллиптическим маятником 197
§ 6.2. Локальное устройство поверхностей переключения 210
§6.3. Синтез субоптимального управления системой твердых тел при отсутствии кинематических ограничений 222
§ 6.4. Заключительные замечания к главе 6 249
Заключение 253
Список литературы 255
Введение к работе
Проблема управляемости динамической системы была впервые сформулирована в [60]. По мере накопления фактов теория управляемости выделилась во вспомогательную часть теории оптимальных процессов, а затем и в самостоятельный раздел теории управления движением.
Применение алгебр Ли распространено [183] на случай «составного» (stratified) конфигурационного пространства механической системы, когда исследуемая точка равновесия лежит на пересечении многообразий (например, отвечающих разным фазам двухопорной ходьбы робота).
Близкий по смыслу (к теореме Чжоу) результат получается [166] путем подсчета уравнений вспомогательной системы, образованной «процедурой пополнения» посредством коммутирования дифференциальных операторов (аналогично вычислению скобок Ли). В работе [145] отсутствие инвариантного многообразия выявлялось как неинтегрируемость вспомогательного уравнения Пфаффа, полученного таким проектированием векторного поля, при котором вектор управления имеет нулевую проекцию.
Отмечено [144], что подобные способы анализа носят локальный характер и не связаны напрямую со свойствами глобальной достижимости и управляемости. Последние могут гарантироваться при встречающихся иногда ДОПОЛІ нительных условиях компактности пространства состояний [192] либо других признаках эргодичности векторного поля, сохраняющего элемент объема при любых управляющих воздействиях [144], что порождает аналог теоремы Пуанкаре «о возвращении» [18]. Дополнительным достаточным условием управляемости может служить также симметричность векторного поля [185], когда орбиты точек совпадают с множествами достижимости. На этом основано управление конфигурациями изменяемых механических систем ([2], гл. 7), наглядно демонстрируемое в задаче «о падающей кошке» [88]. Свойства симметрии и методы теории групп применялись к анализу управляемости в работах [165], [167], [168].
Заметим, что для нелинейных динамических систем (в отличие от линейных) отсутствие инвариантного многообразия является необходимым условием управляемости, но не достаточным: известны примеры [83] неуправляемых систем, не имеющих инвариантного многообразия. В связи с этим предложен [83], [87] метод ориентированных многообразий. В частности, для склерономных систем ориентированных относительно системы (0.10) многообразий (с гладкой границей [82]). Такой подход фактически нацелен на выявление неуправляемости, поэтому (по аналогии с теоремой Н.Г. Четаева о неустойчивости [163]) сводится к уравнениям в частных производных относительно неизвестной знакопеременной функции V(x). Критерий модифицирован [85] на случай управляемости по части переменных. Ранее свойство управляемости по части переменных было исследовано [36] лишь для линейных систем.
Другой подход в теории управляемости опирается на известное свойстзо линейной стационарной системы (0.4): при выполнении условия (0.5) сущест-; вует [177] такая замена координат и управлений, при которой уравнения движения приводятся к совокупности систем вида.
Этот результат доказан [83] и для нестационарного случая, когда функции fi зависят также от времени t. Позднее были найдены ([187], [96]) треугольные системы (0.12) частного вида, не удовлетворяющие условию (0.13) (и потому названные [178] сингулярными), тем не менее, глобально управляемые.
В работах [48], [49], [187] в терминах скобок Ли были получены условщ точной линеаризации систем, аффинных по управлению. Более общее условие глобальной линеаризуемости системы, заданной на гладком многообразии, приведено в [2].
Важным свойством механического объекта является характерное разделение уравнений на динамическую и кинематическую подсистемы. Например, в задаче ориентации твердого тела при действии реактивной силы условие [37] управляемости в фазовом пространстве оказалось идентичным условию [83] управляемости динамической подсистемы (в пространстве угловых скоростей). В работе [61] переход к специальным переменным привел к эффективУ ным критериям управляемости неголономных механических систем (в линейном приближении).
Попытки дать наглядное представление о геометрии фазовых потоков дифференциальных включений привели к понятию фазового портрета управляемой динамической системы [32], [21]. Как и в классическом случае фазового портрета [15], наибольший эффект здесь достигается для двумерных систем (на плоскости).
Применительно к динамическим системам в R вопросы стабилизируемо-сти и оценки области управляемости с использованием теорем устойчивости анализировались, например, в [140], [28], [35].
В работах [131], [132], [116], [118], [119], [117] для некоторых классов ла-гранжевых систем общего вида сформулированы необходимые и достаточные;, условия их глобальной управляемости в предположении, что массо-инерционные параметры объектов могут быть любыми (из ограниченного наперед заданного диапазона). Такая постановка задачи отличается от рассматриваемой нами далее тем, что речь идет не о конкретной системе, а совокупности (классе) систем с общим для всех критерием управляемости. Будучи «робастным», этот критерий, очевидно, не исчерпывает возможностей собственной динамики конкретных механизмов. Например, не охватывается случай, когда управляемость обеспечивается числом управлений меньшим, чем число степеней свободы (в так называемых «super-articulated mechanical systems;-[200]). Кроме того, как будет показано, существуют механические объекты, р которых именно числовые значения массоинерционных параметров оказываются определяющими для управляемости.
Известно [173], что не каждую управляемую систему (0.7) можно стабилизировать с помощью гладкой обратной связи и(х) є С. Например, «неголо-номный интегратор» Брокетта
является управляемым, но не является С -стабилизируемым. Способы nov строения разрывного стабилизирующего управления такими системами обсу- ждаются, например, в работе [86]. Сравнительный анализ различных понятий и свойств устойчивости в системах управления дан в [203]. Свойства управляемости при сочетании нескольких ограничений на управ ляющие воздействия были подробно рассмотрены в [158].
Для нелинейных систем наиболее конструктивным, видимо, является достаточное условие нуль-управляемости в R , сочетающее требования стабилизируемое™ и локальной управляемости в окрестности нуля, которую оказалось достаточно обнаруживать по линейному приближению [106]. Этот результат распространяет идею [40] на случай нелинейной системы.
Было показано [100], что "ранговый" критерий (0.5), записанный для системы (0.4), в точности повторяется и для системы вдвое большего порядка
Именно такую структуру получают линеаризованные уравнения Лагранжа, описывающие движение механических объектов в малой окрестности состояния равновесия.
В работе везде речь пойдет о глобальной управляемости механических систем. С этой точки зрения практический интерес представляют существенно нелинейные системы, моделирующие роботы-манипуляторы, подвижные час-ти космических летательных аппаратов и пр. Для них оценить свойства управ-ляемости в конечных областях фазового пространства удается лишь путем использования специфики конкретных классов объектов.
Особенностью рассматриваемых далее лагранжевых систем является то, что 1) их движение рассматривается в цилиндрическом фазовом пространстве, так как некоторые обобщенные координаты являются «угловыми» (задаются с точностью до числа полных оборотов); 2) число управлений меньше числа степеней свободы, а сами управляющие функции ограничены заранее заданными величинами.
Предлагаемые достаточные условия глобальной управляемости в некотором смысле развивают результат [106], опираясь на свойства стабилизируемо сти, т.е возможности перевести систему из каждой точки фазового пространства в сколь угодно малую окрестность характерного режима; в простейших случаях это может быть состояние равновесия. Для доказательства стабилизируемое™ традиционно привлекается прямой метод Ляпунова [108] в теории устойчивости. Чтобы распространить известную теорему Барбашина—Красов-ского [24] на случай цилиндрического фазового пространства, нами вводится понятие связной функции Ляпунова [62].
Изложим кратко содержание работы по главам.
В первой главе дано определение и простейшие признаки связной функции Ляпунова. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости в большом - аналог теоремы Барбашина-Красовского для систем на цилиндре. Сформулированы достаточные условия стабилизируемости лагранжевой системы (с ограниченной потенциальной энергией) в цилиндрическом фазовом пространстве. Показана применимость такого подхода к системам с распределенными параметрами, взятым в конечномерном приближении, а также обоснован частный способ стабилизации с помощью релейной обратной связи.
Во второй главе предложены достаточные условия глобальной управляемости натуральных лагранжевых систем, когда число степеней свободы больше числа управляющих воздействий Отдельно рассмотрены случаи объектов с циклическими координатами, а также особенности систем с неединственным состоянием устойчивого равновесия. Показано, что глобальная управляемость в цилиндрическом фазовом пространстве влечет за собой и управляемость в накрывающем евклидовом пространстве. Метод применен и к системам, допускающим стационарные движения. Общая суть предлагаемого подхода - в использовании так называемых «достижимых кривых» в фазовом пространстве. Этот прием оказывается эффективным даже в случаях негладких систем, рассмотренных далее.
В третьей главе обсуждаются условия глобальной управляемости систем с трением, которые записываются дифференциальными уравнениями с разрыв ной правой частью. Приведены частные признаки неуправляемости систем с трением. Доказаны достаточные условия глобальной управляемости систем с сухим трением, допускающих стационарные движения.
Четвертая глава посвящена управляемости лагранжевых систем с идеальными односторонними связями. При движении этих механических объектов возможны соударения звеньев, рассматриваемые в рамках классической теории абсолютно упругого удара. Введены дополнительные критерии связности функций Ляпунова, пригодные для систем с кинематическими ограничениями. Подробно проанализированы глобально управляемые модели с двумя степенями свободы, включая и такие, где взаимовлияние частей системы возможно лишь в моменты ударов.
В пятой главе обсуждается влияние массо-инерционных параметров механической системы на ее управляемость. Даны примеры моделей, в которых геометрические характеристики звеньев являются определяющими для свойства управляемости. Введено новое понятие параметрической управляемости как свойства точной модели («нежесткой») быть управляемой, тогда как приближенная («жесткая») модель не является управляемой. Доказаны некоторые достаточные условия параметрической управляемости. Отдельно рассмотрены случаи регулярных и сингулярных систем, которые отличаются введением малого параметра соответственно в правую или в левую часть дополнительного дифференциального уравнения, разрешенного относительно старшей производной.
В шестой главе на примере трех частных задач рассмотрены некоторые свойства синтеза оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина [129]. Показано, что в общем случае управляемой натуральной лагранжевой системы с одной степенью свободы задача оптимального быстродействия решается явно. Построен синтез оптимального управления эллиптическим маятником на двумерном цилиндре. Решена задача оптимального быстродействия в линейной канонической системе размерности п 4. Управ ление построено в форме синтеза в пространстве новых переменных, получаемых как функции от первых интегралов исходной системы при постоянных значениях управления. Наконец, предложен эффективный по быстродействию способ синтеза ограниченного управления многозвенными маятниковыми системами при отсутствии потенциальных сил и фазовых ограничений, когда количество управляющих воздействий равно числу степеней свободы. Приведены данные численных экспериментов, иллюстрирующие близость траекторий к оптимальным. Показана робастность предложенного регулятора.
Все приводимые в работе теоретические результаты иллюстрируются наглядными примерами глобально управляемых механических систем. В конце каждой главы в виде заключительных замечаний даются краткие комментарии к полученным результатам, а также ссылки на близкие по тематике источники.
В заключительной части работы еще раз перечислены основные теоретические результаты и даны рекомендации по их возможному применению.
Перечислим вкратце характерные особенности исследования.
Актуальность. Свойства управляемости механических систем важны как на этапе проектирования новой техники, так и в процессе ее эксплуатации, включая гипотетические нештатные режимы, когда, например, часть управляющих воздействий выходит из строя. Поэтому информация о предельных динамических возможностях объекта актуальна. Поскольку универсальных критериев управляемости нелинейных систем в настоящее время не существует, то представляют интерес достаточные условия управляемости конкретных классов объектов с учетом их специфики. В работе рассматриваются механик ческие системы с цилиндрическим фазовым пространством, когда число управлений меньше числа степеней свободы, а сами управляющие функции ограничены заранее заданными величинами. Этот тип объектов охватывает практически значимые модели роботов-манипуляторов, мостовых кранов, подвижных частей летательных аппаратов. Цель работы - обоснование достаточных условий глобальной управляемости лагранжевых систем, включая сопутствующие вопросы теории устойчивости в цилиндрическом фазовом пространстве, а также проблемы влияния мас-со-инерционных характеристик на управляемость механизма.
Методы исследования. В работе используются классические методы аналитической механики, теории устойчивости Ляпунова, теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, а также принцип максимума Пон-, трягина в теории оптимальных процессов.
Научная ценность и новизна. Путем введения понятия связной функции Ляпунова на основе прямого метода в теории устойчивости даны достаточные условия стабилизируемости и глобальной управляемости натуральных лагранжевых систем в случае, когда число управляющих воздействий меньше числа степеней свободы. Предложен метод «достижимых кривых», благодаря которому подход распространен на негладкие механические системы. В частности, впервые показана глобальная управляемость некоторых объектов с сухим трением, а также систем с идеальными односторонними связями. Введене, понятие параметрической управляемости и даны его достаточные условия применительно к механическим объектам. Решены две новые задачи синтеза оптимального управления и предложен эффективный по быстродействию способ синтеза ограниченного управления системой твердых тел.
Практическая значимость. Полученные в исследовании результаты могут применяться в процессе проектирования и управления роботами-манипуляторами, транспортными механизмами, космическими объектами.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на различных конференциях, семинарах и, в частности, на: - семинарах кафедры динамики полета и управления КАИ в 1983, 1985 TF (рук. проф. Т.К. Сиразетдинов);
- семинарах кафедры теоретической механики КАИ в 1986,1987 гг (рук. проф. В.Н. Скимель); - семинаре в Институте проблем управления в 1985 г (рук. чл.-корр. РАН Е.С. Пятницкий);
- семинаре в МГУ в 1985 г (рук. акад. В.В.Румянцев);
- Пятой Всесоюзной конференции по управлению в механических системах в 1985 г (г. Казань);
- семинаре кафедры механики и процессов управления ЛПИ в 1986 г (рук. проф. А.А. Первозванский);
- Шестом всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в 1986 г (г. Ташкент); ,;
- Пятой всесоюзной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в 1987 г (г. Казань);
- семинаре в Институте проблем механики РАН в 1987 г (рук. акад. Ф.Л. Чер-ноусько);
- семинаре в Институте механики МГУ в 1987 г (рук. проф. И. В. Новожилов);
- Втором Всероссийском Ахметгалеевском семинаре "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в 1995 г (г. Казань);
- Восьмой Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в 2002г (г. Казань);
- Всеросссийской конференции с международным участием «Математика, ее приложения и математическое образование» в 2005 (г. Улан-Удэ);
- Седьмой Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» в 2005 г (г. Нижний Новгород);
- Девятом Всероссийском Съезде по теоретической и прикладной механике в 2006 г (г. Нижний Новгород);
- Девятой Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" в 2007г (г. Иркутск).
В целом результаты работы докладывались на семинаре в Институте про: блем механики в 2006 г (рук. акад. Д.М. Климов и акад. В.Ф. Журавлев), на семинаре в МГУ в 2006 г (рук. чл.-корр. РАН В.В.Белецкий и проф. Ю.Ф.Голубев), на Казанском городском семинаре по механике в 2006 г (рук. проф. Г.В. Голубев).
Автор благодарен всем коллегам, принявшим участие в обсуждении работы, редколлегии журнала «Прикладная математика и механика», отметившей своей премией (1998 г) статью [30], а также Российскому фонду фундаментальных исследований, выделившему средства на опубликование монографии [63].
