Содержание к диссертации
Введение 3
Глава I. Постановка задачи.
§1. Уравнения движения в одноопорной фазе 13
§2. Мгновенная двухопорная фаза 23
§3. О пружинных приводах 32
Глава II. О приближенном исследовании нелинейных краевых задач.
§1. Некоторые методы решения 37
§2. Исследование краевых задач для однозвенных маятников 41
§3. Приближенные исследования динамики корпуса 47
Глава III. Динамика шагающих механизмов при импульсном управлении.
§1.0 соотношении линейной и нелинейной краевых задач на примере пятизвенника 51
§2. Динамика двузвенника 55
§3. Динамика трехзвенника 69
§4. Некоторые вопросы динамики пятизвенника 76
Глава IV. Динамика шагающих механизмов, снабженных идеальными пружинными приводами.
§1. Двузвенный механизм 90
§2. Трехзвенный механизм 98
§3. Пятизвенный механизм 105
Заключение 109
Литература 112
Приложение I 117
Приложение II 153
Введение к работе
В настоящее время разработка аппаратов, перемещающихся с помощью конечностей, стала одним из важных направлений робототехники [з] . Это связано с тем, что перемещаться по поверхности с неровностями целесообразнее посредством шагания -шагающие объекты используют лишь дискретные участки местности, необходимые для постановки ног; благодаря этому требования к поверхности передвижения снижаются [36J . Следовательно, мобильный робот может иметь средства передвижения в виде механических ног.
Ряд исследований посвящен теоретическим вопросам, а также. вопросам конструирования и лабораторного макетирования многоногих шагающих механизмов, в частности, шестиногого механиз- ; ма [1,21,26,27] . Управление ходьбой таких устройств осуществляется на кинематическом уровне - локомоции организуются с помощью последовательности статически устойчивых конфигураций. С увеличением числа ног шагающих машин проблема их структуры управления упрощается; с другой стороны, вследствие возрос-шего числа степеней свободы, их механическая часть становится несколько более сложной.
Среди публикуемых, ряд работ посвящен теоретическим и экспериментальным исследованиям двуногой ходьбы, в частности, в [2,13,16,19,31] . Обобщение и систематизация их содержатся в монографиях [17,246,35] .
Внимание исследователей к двуногой ходьбе объясняется, во-первых, естественным интересом к процессу ходьбы человека (локомоциями животных и человека интересовались еще ученые древности); во-вторых, использованием результатов исследова ний при протезировании и констреировании экзоскелетонов [12, 17 - І9І .
В отличие от многоногих объектов, двуногие имеют меньше степеней свободы, что приводит к снижению порядка дифферен- . циальных уравнений. Однако, при движениии двуногих объектов (человека) статическая устойчивость, вообще говоря, не имеет места [20] . Поэтому движение таких объектов описывается динамическими уравнениями (движение многоногих можно описывать квазистатическими) и ряд исследований посвящен вопросам стабилизации статически неустойчивых походок [15,24] .
В математической постановке задача двуногой ходьбы при- ; водит к некоторой системе нелинейных дифференциальных уравнений движения, в которой неизвестны как закон движения, так и силы (управляющие воздействия). Одним из направлений исследования двуногой ходьбы поэтому является исследование полуобратным методом [5 - II1 . Этот метод состоит в том, что движение (кинематика) некоторых звеньев (звеньев ног) задается, а движение других звеньев отыскивается с помощью условий повторяемости. При этом находятся управляющие воздействия. Если кинематика звеньев задается с точностью до некоторых постоянных, то управления можно выбирать, в некотором смысле, опти- . мальным образом. В качестве критерия оптимальности обычно рассматривается требование минимума энергозатрат на движение. Следовательно, при таком подходе можно определить оптимальное управление в заданном классе кинематик.
Другое направление исследований двуногой ходьбы - исследование динамики шагающих механизмов с активным управлением [17,35] . Этот метод состоит в том, что задается вид управ- ляющих моментов, как функций, например, положения и скоростей звеньев механизма (можно предположить, что в суставах механизма расположены датчики угловых положений и скоростей). Параметры системы управления при этом определяются в ходе решения задачи параметрической оптимизации.
Настоящая работа посвящена исследованию динамики двуногих шагающих механизмов с активным управлением.
Задачи динамики двуногой ходьбы являются нелинейными краевыми задачами - краевыми условиями служат условия повторяемости положения звеньев на каждом шаге механизма. При этом оказывается, что нелинейные краевые задачи могут иметь неединственное решение [35] . Далее, в силу неустойчивости системы, произвольный выбор как исходного "решения" краевой задачи, так и параметров управления приводит к тому, что при численном исследовании система "разваливается", не достигая требуемого положения.
В качестве первого шага для численного построения решения предлагается линеаризация уравнений движения и исследование линейной краевой задачи, например, в работах [236, 33 - 35] . Однако линейная краевая задача в рассматриваемом случае обладает рядом недостатков [35] : она имеет единственное решение, в то время как нелинейная может иметь неединственное решение; рамки применимости (в смысле близости к решению нелинейной задачи соответствующих решений) невелики, в силу существенной нелинейности системы; и наконец, линейная задача имеет особенности типа резонанса. Численное же исследование приводит к задаче поиска глобального минимума многоэкстремальной функции невязок [35] . Так как область исследования при этом неизвестна, то провести численное исследование чрезвычайно сложно [30] . Все сказанное выше говорит об актуальности методики приближенных исследований нелинейных краевых задач динамики шагающих механизмов, которая позволила бы, во-первых, провести качественные исследования и выявить особенности системы (в частности, необходимо выявить область неединственности решения и построить все интересующие нас ветви решения); во-вторых, найденное приближенное решение можно затем использо- • вать в качестве первого шага при построении численных решений.
Нужно отметить, что приближенные методы, позволяющие исследовать поставленные нелинейные краевые задачи динамики двуногой ходьбы, автору неизвестны, В рамках данной работы предлагается использовать в некоторой модификации метод Бубно-ва-Галеркина, который изложен для исследования линейных краевых задач. При построении приближенных решений используется тот факт, что отклонения звеньев механизма при его движении ограничены, но не обязательно малы (не превосходят по крайней мере ЗҐ ), Это позволяет формально применять некую асимптотику в виде разложения нелинейностей уравнений движения в ряды (для маятниковых систем [24а] можно ввести малый, параметр [l4] ) и решение искать в виде некоторого ряда.
В настоящей работе рассмотрены простейшие случаи активного управления: импульсное и управление при помощи пружинных приводов (управление по отклонениям). В обоих случаях исследуется одноопорное движение, предполагая, что двухопорная фаза (фаза опоры на две ноги) является мгновенной. Каждая из рассмотренных задач представляет самостоятельный интерес.
Эксперименты показывают, что при движении человека fl23 движущие силы развиваются мышцами ног, в основном, во время двойной опоры. При этом время двухопорной фазы значительно меньше времени одноопорной. Таким образом, движение человека близко к импульсному: считаем, что управления прикладываются во время двухопорной фазы, которая является мгновенной. Исследования динамики многозвенных механизмов при импульсном управлении проведены численно и изложены в монографии [35] , в которой, в частности, достаточно полно исследуется вопрос о влиянии начального отклонения корпуса; найдено три решения нелинейной краевой задачи; получены выражения для энергии, затрачиваемой на импульсное управление, рассмотрен ряд других вопросов. При вычислении энергозатрат рассматривается случай, когда в одноопорной фазе движения точка приложения реакции-перемещается по стопе опорной ноги, отслеживая положение центра масс. Это обеспечивается моментом управления в стопе. Полученные автором указанной монографии результаты позволяют предположить, что можно добиться существенного снижения энергозатрат, отбросив управление в стопе при одноопорном движении. Поэтому здесь будет рассматриваться случай чисто импульсного управления и связанные с ним вопросы, которые в указанной монографии не затрагивались.
На примере однозвенного маятника показано [35] , что наиболее оптимальным, в смысле энергозатрат, является импульсное управление. Если предположить, что и для многозвенных маятников это справедливо (а данные исследований в указанной монографии позволяют это сделать), то построенное приближенное решение в задаче импульсного управления механизмом можно рассматривать как наиболее оптимальную кинематику звеньев при исследовании полуобратным методом.
Вторая задача - это задача движения механизма, снабженного пружинными приводами. Интерес к этой задаче возникает в связи с необходимостью построения более экономичного управления, использующего принципы рекуперации энергии. Действительно, простейшим механическим элементом, позволяющим рекуперировать энергию, может служить пружина. В частности, в работе [37] было сделано предположение, что установка пружины между ногами может увеличить скорость ходьбы без чрезмерного увеличения расходуемой энергии. Более сильное предположение высказано Лариным В.Б. [24б] , что введение в конструкцию ноги упругого элемента позволит получить весьма экономичный шагающий аппарат, у которого расход энергии при движении в основном будет связан с работой, затрачиваемой в течение шага на перенос неопорной ноги. В числе первых исследований, посвященных проверке этих предположений, по-видимому, являются исследования Лавровского Э.К. [2361 . В отличие от этих исследований, здесь будет рассмотрен случай, который является предельным - возможность движения без дополнительных затрат энергии, кроме первоначального "толчка". Действительно, если предположить, что пружинные привода идеальны (вся энергия, накопленная в них на предыдущем шаге, возвращается в систему на следующем шаге, подготавливая пружинные привода к работе), то движение в этом случае возможно без затрат энергии (трение в системе отсутствует). Проверка этого предположения и выявление особенностей такого движения и составляют одну из задач исследования.
Настоящая работа имеет целью на примере задачи динамики двуногих механизмов при импульсном управлении, а также задачи динамики механизмов, снабженных идеальными пружинными приводами, показать применимость модифицированного метода Бубнова-Галеркина для проведения приближенных исследований нелинейных краевых задач; исследовать особенности движения механизмов при указанных способах управления. Параллельно с приближенны ми исследованиями (и "отталкиваясь от них) будут проведены численные исследования.
Большое число степеней свободы, по мнению авторов [38] ,-главная проблема, затрудняющая математический анализ шагающих механизмов. Поэтому все исследования проводятся здесь для простейших моделей - двузвенного, трехзвенного и пятизвенного шагающего механизмов..
Некоторые авторы для простоты исследований предполагают, что ноги механизма невесомы, в частности в [5,23а,246,28] . В данной работе считаем, что все звенья механизма, кроме стоп, обладают массой. Стопы - невесомы и в число звеньев не включаются, т.е. двузвенный механизм имеет два инерционных звена и две безинерционные стопы.
Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. В конце работы приведен список литературы (обзор литературы не охватывает всех работ, посвященных шагающим механизмам; более подробные обзоры литературы и обширные библиографии содержатся в монографиях [17,246,35]). Все рисунки, таблицы и коэффициенты некоторых вариационных уравнений вынесены в приложения.
В первой главе дается постановка задачи: приводятся уравнения движения в одноопорной фазе и краевые условия для исследуемых моделей механизмов. Отметим следующее обстоятельство: при постановке задачи не накладывались какие-либо ограничения на движение механизмов. Не ставилось,- например, условие, чтобы переносимая нога во время движения находилась над поверхностью. При выводе уравнений движения лишь предполагалось, что стопа в фазе опоры неподвижна.
Во втором параграфе главы рассматривается мгновенная двухопорная фаза. Приведены уравнения удара для рассматривав мых систем. Получена при помощи теорем механического удара формула работы внешней ударной силы (затраты энергии на импульсное управление).
В третьем параграфе рассмотрены некоторые вопросы, связанные с пружинными приводами. Высказывается предположение о возможности построения пружинного привода, близкого к идеальному.
Во второй главе рассмотрен вопрос приближенного исследования нелинейных краевых задач: изложен алгоритм численного исследования и основная идея метода Бубнова-Галеркина. Во втором параграфе на примере однозвенных маятников обсуждается вопрос о выборе приближенного решения, определяется область неедиственности решения. В третьем параграфе при некоторых упрощающих предположениях исследуется динамика корпуса механизма, как маятника на подвижном основании; исследования проводятся методом усреднения и дают возможность "угадать" вид решения по корпусу.
В третьей главе исследуются вопросы динамики шагающих механизмов при импульсном управлении:
Рассмотрен вопрос о соотношении линейной и нелинейной краевых задач на примере пятизвенника. Показано, что при выбранных в работе краевых условиях линейная краевая задача имеет резонансные особенности.
Во втором параграфе исследуется динамика двузвенного механизма. Для несимметричных решений построены первое и улучшенное первое приближение; обосновано отбрасывание нелинейностей более высокого порядка при исследовании в первом приближении. Для симметричной ветви решения построено первое приближение. Показано, что в пределах отклонения звеньев, не превосходящих X" , нелинейная краевая задача может иметь не более трех рости движения механизма. Исследования проводятся приближенно» причем используется методика исследований задач Коши. Получаемые при этом избыточные уравнения первого (второго) приближения позволяют определить параметры управления, т.е. величины жесткостеи упругих элементов. Найденные приближенные решения уточняются численно.
Во втором параграфе исследуется динамика трехзвенника. Приближенное решение строится для двух случаев - скорость корпуса в начальный момент нулевая и, как общий случай,- произвольна. Показано, что приемлемые с точки зрения шагания решения имеют место тогда, когда корпус механизма "неуправляем".
В третьем параграфе рассмотрен пятизвенник. Для пятиз-венника, ввиду громоздкости, уравнения второго приближения не приводятся, а приведены лишь результаты численного исследования. Исследуются при этом симметричные решения. Естественно, что для пятизвенника больший интерес представляют исследования несимметричных решений; сложность такой задачи и большое число свободных параметров управления делают невозможным ее исследование в рамках данной работы.
В заключение отметим, что приближенная теория в рассмотренных случаях работает достаточно эффективно - она позволяет значительно упростить исследования.
Автор выражает благодарность за обсуждение результатов исследований с Э.К.Лавровским, его советы и помощь при проведении расчетов на ЭВМ.
решений. Определена область неедиственности на основе приближенной теории. Проведено сравнение приближенных решений с численными. Исследуется вопрос о движении на невесомых ногах. Найдены затраты энергии при разных значениях периода шага для симметричной и несимметричной ветвей решения.
В третьем параграфе исследуется динамика трехзвенного механизма. Для симметричной ветви решения краевой задачи построено первое приближение и проведено его сравнение с численным. Для несимметричных решений вместо построения второго приближения, которое необходимо в этом случае, предложена более упрощенная схема исследования. Найдена приближенно и численно область неединственности решения. Определены энергозатраты для симметричной и несимметричной ветви решения.
В четвертом параграфе исследуются некоторые вопросы динамики пятизвенника. На примере симметричного решения проверена применимость приближенной теории к исследованию динамики пяти-звенника. Несимметричная ветвь решения выделена по упрощенной схеме. Найдена приближенно и численно область существования несимметричных решений, одно из которых соответствует походкам, похожим на человеческие. Численно определены затраты энергии для симметричной и несимметричной ветвей решения. Выявлены особенности при движении механизма с большими скоростями.
В четвертой главе рассмотрен вопрос о движении механизмов, снабженных идеальными пружинными приводами, без затрат энергии
