Введение к работе
Актуальность темы. Понятие об устойчивости является одним из важных понятий, с которыми приходится сталкиваться при изучении различных процессов, происходящих в реальной жизни - в физике, механике, технике, экономике и т.п.
Задача об устойчивости.движения впервые во всей ее общности была поставлена Ляпуновым A.M. Ляпунов же получил первые основополагающие результаты в теории устойчивости, предложил строгие методы ее решения.
Многие выдающиеся отечественные и зарубежные ученые продолжали исследование задачи устойчивости движения при разных возмущающих факторов. Отметим здесь работы Н.Г.Четэевэ, И.Г.Мал- . кина, К.Л.Персидского, Н.Н.Красовского, Е.А.Барбэшина, Н.Л.Еру-гина, М.Г.Крейна, Х.Л.Мзссера, В.И.Зубова, Е.А.Девянина , В.В. Румянцева, Д.Е.Охоцимского, В.В.Белецкого, А.М.Формальского, А.С.Андреева, А.Халанэя, Д.Векслера, А.Б.Васильевой , В.Ф.Бу-тузова и др. Метод функций Ляпунова развивается для изучения устойчивости процессов с распределенными параметрами, т.е. процессов, параметры которых, кром'е времени, зависят от пространственных координат и описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных, интегро-дифференциальных уравнений и т.д.
Вопросы устойчивости движения упругих систем (в частности для балок,, пластин, оболочек и т.д.) глубоко и всесторонне изучались многими исследователями. Существенный вклад в этой области внесен армянской.школой механиков: работы С.А.Амбарцумя-. на, Л.А.Мовсисяна, Г.Е.Багдасаряна, В.Ц.Гнуни, М..Белубекяна и др.
Дальнейшее развитие устойчивости движения связано с по
строением теории оптимального управления динамических систем.
Среди проблем оптимального управления важное место занимает
зэдэчэ о стабилизации заданного движения. В этом аспекте фун
даментальные результаты получены в работах А.ЫДетова, Н.Н.
Крэсовского, Э.Б.Альбрехтз, Е.В.Румянцева, И.С.Габриеляна и
др. '
При изучении задачи устойчивости движения, существенное место занимают задачи устойчивости при постоянно действующих
возмущениях. Получены условия, при которых решается задача устойчивости при постоянно действующих возмущениях, когда возмущения очень малы, ограничены в среднем, когда возмущения выбираются из определенного класса сил (гироскопические, диссипа-тивные), параметрические и т.д. Задачи устойчивости исследованы также для дискретных систем и систем с обобщенными возмущениями. Показаны, что когда обобщенные возмущения сходятся и их сумма некоторая мера, то исследование, устойчивости таких систем приводится к решению некоторого разностного уравнения, для устойчивости которого строится последовательность функций Ляпунова.
Для решений задач оптимальной стабилизации доказана теорема с применением второго метода Ляпунова.
Исследованы также задачи оптимальной стабилизации ,для нелинейных управляемых систем, при критических случаях, по первым приближениям.
В настоящей работе рассмотрены задачи устойчивости и неустойчивости систем и систем с распределенными параметрами, когда на систему на конечном интервале времени действуют интегрально малые возмущающие силы, а также задачи стабилизации и оптимальной стабилизации таких систем.
Целью работы является определение условий, при которых динамические системы и системы с распределенными параметрами устойчивы, неустойчивы или асимптотически устойчивы по действующей силе. А также определение стабилизирующего воздействия оптимально стабилизирующего не вполне управляемую динамическую систему, приводящему к устойчивому по действующей силе состоянию.
Метод исследования. Использованы методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движим, теории оптимальной стабилизации, теории систем с распределенными параметрами. Задачи устойчивости и неустойчивости решаются первым и вторым методами Ляпунова, а задача оптимальной стабилизации -применением уравнения Беллмана с методом функций Ляпунова.
Научная новизна. Е диссертационной работе дано новое определение устойчивости - устойчивость по действующей силе. Яри~. этом возмущающие силы, определенные на конечном отрезке времени, выбираются из класс интегрируемых функций.
Определены необходимые и достаточные условия, при которых системы линейных дифференциальных уравнения с постоянныыи коэффициентами' устойчивы, неустойчивы или асимптотически устойчивы по действующей силе. Для нелинейных динамических систем получены достаточные условия, при которых тривиальные решения этих систем устойчивы или неустойчивы по действующей силе. Указаны достаточные условия, при которых процесс У=0 , описываемый системой с распределенными параметрами, устойчив по действующей силе по мере j) . Поставлена и решена задача оптимальной стабилизации по действующей силе.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:
а) на УІ Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной
механике, Ташкент, 1986 г.;
б) на научных конференциях профессорско-преподавательского,
состава и аспирантов Ереванского госуниверситета, Ереван,
1985-89 гг.;
в) на семинарах кафедры теоретической механики Ереванского
госуниверситета, Ереван - 1985-90 гг.;
г) на научной конференции молодых ученых, Ереван- 1987 г.;
д) на семинаре ,член-корр. АН СССР В .В .Румянцева при кафед
ре теоретической механики МГУ, Москва, 1991 г.
Публикации. Основные результаты настоящей работы изложены" в статьях /1-5/.'
Структура и объем работы. Настоящая диссертационная работа содержит 7? страниц машинописного текста, включающих введение, четыре главы, основные выводы и библиографический список, содержащий 47 наименований цитируемой литературы.