Исследование устойчивости и локальной ограниченности решений гамильтоновых систем с дополнительными силами в задачах динамики твердых тел Беликов, Сергей Анатольевич

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертация посвящена разработке методов качественного исследования решении автономных гемильтоно-вых систем при наличии дополнительных сил: диссипативных и ускоряющих - и решению ряда задач о качественных свойствах движений гиростата с неподвижной точкой, гиростата на неподвижной горизонтальной плоскости, гироскопа и системи гироскопов в кардановом подвесе.

Задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой, твердого тела на неподвижное! горизонтальной плоскости и гироскопа в кардановом подвесе являются фундаментальными проблемами теоретической механики. История первых двух задач насчитывает два с половиной века и берет свое начало в трудах Л. Эйлера Ц734-І735, 1740, 1758, 1760,'1765), Ж.Л. Даламбера (1743, 1749), Ж.Л. Лагранжа (1773, 1788) и С.Д. Пуассона (І8ІІ). Эти задачи получили обобщение на случай гиростата в работах У. Томсона и П. Тэта (1879), Н.Е. Жуковского (1885, 1893), В. Вольтерра (1889), Д.К. Бобылева (1892) и С.А. Чаплыгина (1897). Третья задача возникла в двадцатом веке, ее систематическое изучение предпринял Л.Н. Николаи (1939, 1944, 1948).

Указанные фундаментальные проблемы теоретической механики, их возникновение и развитие тесно взаимосвязаны, обусловлены техническими потребностями и способствуют, в свою очередь, развитию различных технических направлений. Прогресс космической науки и техники делает целесообразным исследование движений твердого тела и систем твердых тел в центральном ньютоновском поле сил тяготения. Потребности приложений в гироскопической технике, предназначенной для стабилизации и навигации подвижных объектов, делают актуальным исследование движений гиростата, гироскопа в кардановом подвесе и других гироскопических приборов.

Стационарные движения механических систем, в частности, абсолютно твердого тела, гиростата, гироскопа в кардановом подвесе, определяются постоянством позиционных координат и циклических скоростей и являются основными рабочими режимами

технических устройств в процессе их эксплуатации. В связи с этим качественное исследование решений систем дифференциальных уравнений механики в окрестностях решений, соответствующих стационарным движениям, представляет собой важнейшее направление в динамике. Изучение устойчивости по Ляпунову стационарных движений механических систем лежит, по-видимому, в основе такого качественного исследования, однако, не исчерпывает его содержания.

В случае неустойчивости по Ляпунову невозмущенного движения вопрос о поведении решений уравнений возмущенных движений остается открытым. Важно знать, будут подвижные точки на интегральных кривых, начинающихся в малой окрестности кривой, соответствующей невозмущешюму движению, с возрастанием времени неограниченно удаляться от отой кривой или оставаться в ее некоторой окрестности, В связи с указанным обстоятельством является актуальной дальнейшая разработка методов качественного исследования решений уравнений возмущенных движеьий и использование получаемых теоретических результатов при изучении прикладных задач.

ЦЕЛЬ РАБО ТЫ. Разработка аппарата вспомогательных функций типа Ляпунова для исследования локальной ограниченности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений и нахождение достаточных условий локальной равномерной ограниченности решений автономных гамильтоновых систем с двумя и тремч степенями свободы при наличии дополнительных сил: диссипативных и ускоряющих. Решение задач об устойчивости равномерных вращений гиростата с неподвижной точкой, гиростата на абсолютно гладкоп горизонтальной плоскости и плоскости с вязким трением, совершенного и несовершенного гироскопов в кардановом подвесе. Исследование задач о локальной равномерной ограниченности возмущенных движений совершенного и несовершенного гироскопов в кардановом подвесе и системы двух гироскопов в кардановом подвесе с ебщей рамой при наличии диссипативных и ускоряющих сил.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В теоретической части диссертации основными являются метод нормальных форм и метод вспомогательных функций типа Ляпунова. Приведение автономных систем уравнений возмущенных движений к нормальным формам и построение со-отвотствусагих нормализующих преобразований осуществлено с использованием метода Депри - Хори - Кэмела в модификации, ана^о-

— 5 — гичной модификации Мерсмана.

При исследовании устойчивости равномерных вращений конкретных систем твердых тел в работе использованы перечисляемые ниже классические и современные методы и результаты теории устойчивости. Критерий Сильвестра и теорема Э.Дж. Рауса с дополнением A.M. Ляпунова, теоремы У. Томсона, П. Тета, Н.Г. Четаева. Критерий Э.Лж. Рауса - А. Гурвица, критерий А. Льенара - Шилара и теоремы A.M. Ляпунова об устойчивости по первому приближение, а также теорема A.M. Ляпунова - И.Г. Малкина об устойчивости движения в особенном случае критического случая нескольких нулевых корней характеристического уравнения. Методы и результаты В.И. Арнольда, С. Мозера, А.П. Маркеева, А.Г. Сокольского, A.M. Ковалева и А.Н. Чудненко в задаче об устойчивости равновесия гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

Исследование локальной равномерной ограниченности возмущенных движений конкретных механических систем осуществлено в диссертации с использованием теоретических разработок автора.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Впервые получены достаточные условия локальной ограниченности решений уравнений возмущенных движений и строго разработана методика исследования локальной ограниченности возмущенных движений конкретных механических систем. Решен ряд конкретных задач теоретической механики о качественных свойствах движений систем твердых тел.

Автор выносит на защиту следующие основные результаты.

1. Детальное исследование устойчивости равномерных вращений гиростата с неподвижной точкой вокруг главной оси в центральном ньютоновском поле сил и устойчивости равномерных вращений гиростата вокруг главной оси на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости и на горизонтальной плоскости с вязкий трением..

2. Разработку аппарата вспомогательных функций типа Ляпунова для исследования локальной ограниченности решений неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида относительно множества.

3. Получение достаточных условий локальной равномерной ограниченности решений автономных гамильтоновых систем уравнений розмущенных движений с двумя и тремя степенями свободы при наличии диссипативных и ускоряющих сил относительно равновесия.

~ б —

Найденные условия обеспечивает локальную равномерную ограниченность решений систем независимо от форм выше третьего порядка в уравнениях возмущенных движений.

к. Детальное исследование устойчивости равномерных вращений совершенного и несовершенного гироскопов в кардановом подвесе в предположении, что ось вращения рамы закреплена на неподвижном основании перпендикулярно вертикали.

5. Исследование локальной, равномерной ограниченности возмущенных движений совершенного и несовершенного гироскопов в кардановом подвесе с диссипативными и ускорявшими силами в осях вращения колец.

6. Исследование локальной равномерной ограниченности возмущенных движений совершенной системы двух гироскопов в кардановом подвесе с общей рамой при наличии диссипативных и ускоряющих сил в осях вращения колец.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные общетеоретические результаты и разработанная методика аналитического и численного выражения коэффициентов нелинейных нормальных форм и других вспомогательных величин через коэффициенты исходных систем могут применяться в решении ряда задач теоретической механики. Сюда относится исследование локальной ограниченности возмущенных движений механических систем с потенциальными, гироскопическими, диссипативными и ускоряющими силами, приведенные системы которых имеют две или три степени свободы.

Гиростат, гироскоп в кардановом подвесе и система гироскопов в кардановом подвесе являются составными элементами в конструкциях гироскопических приборов и других современных механических объектов.'Получёнйые'в диссертаций результаты об устойчивости равномерных'вращёний'и 'локальной ограниченности возмущенных движений сйсітеи твердУх тел представляют самостоятельный теоретический интерес и"'могут <5ыть"использовены в прикладной теории гироскопов,' в гироскопической технике при конструировании и эксплуатации приборов, в приложениях к космонавтике.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах профессора B.C. Новоселова на кафедре механики'управляемого движения факультете прикладной математики - процессов управления СПбГУ, на семинаре профессора А.Г. Сокольского в институте теоретической астрономии РАН, на семи-

нарах профессора К.В. Холшевникова на кафедре небесной механики математико-механического факультета СПбГУ, на семинаре профессора П.Е. Товстика на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ. Отдельные результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Ньютон и проблемы механики твердых и деформируемых тел" (С.Петербург, 22 - 27 марта 1993) [27 J , на ІУ Четаевской Всесоюзной конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Звенигород, 20-22 декабря 1982) Г7 , 8 J , на У Всесоюзной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 22 - 24 сентября 1987) [і¹*] . на УІІ Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 3-7 апреля 1989) [l7j , на ІУ республиканском совещании по проблемам динамики твердого тела (Донецк, 1-2 ноября 1984)^9] , на республиканской конференции "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, Ч - б сентября 1990) Г18J , в университетской школе при МГУ "Методы исследования стационарных движений механических систем" (Колюбакино, 5-16 марта 1979) j_3j , на семинаре члена-корреспондента АН Украины П.В.-Харламова в институте прикладной математики и механики АН Украины, на научных конференциях факультета прикладной математики - процессов управления СЇ16ГУ и государственной академии азрокосмического приборостроения (СПбГААП), на семинаре профессора В.Б. Матвеева на кафедре высшей математики СПбГААП.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [і - 30] .

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения. Главы содержат введения по соответствующим темам и состоят из параграфов, параграфы разбиты на пункты. Основной текст диссертации изложен на 300 страницах машинописного текста и включает 7 рисунков. Добавлено 8 страниц оглавления, II страниц рисунков (19 штук), 45 страниц списка литературы. Обшее количество рисунков - 2бі список библиографических ссылок содержит 439 наименований. Полнай объем диссертационной работы - 365 страниц машинописного текста.