Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Диссертация посвящена разработке качественных методов и методов оптимизации для решения ряда важных проблем космической динамики и аналитической механики.
Основные результаты диссертации относятся к методам оптимизации космических маневров. Теория оптимального движения космических аппаратов (КА) зародилась в 20-х годах нашего века. После пионерских работ К.Э.Циолковского, Ф.А.Цандера, В.Гомана она начинает в послевоенное время интенсивно развиваться - появляются работы Д.Е.Охоцимского, Т.М.Энеева, В.А.Егорова, Д.Ф.Лоудена. Начиная с 60-х годов и вплоть до настоящего времени по проблемам оптимального маневрирования опубликовано очень большое количество статей и монографий. Изучены различные аспекты оптимального маневрирования, рассмотрены многочисленные его частные случаи, учтены некоторые практические ограничения. Появились работы.обобщающего характера, в которых сформулированы общие принципы оптимального управления движением КА. При этом хорошо развиты методы оптимизации расхода топлива у единичных маневров, и наиболее детально изучены межорбитальные перелеты. Б начале 60-х годов автор поставил задачу межорбитального полета и начал разрабатывать теорию оптимизации таких полетов. В задаче межорбитального полета требуется построить траекторию соударения КА, первоначально находящегося на заданной начальной орбите, с КА, движущимся'по заданной конечной орбите, в центральном ньютоновском поле сил. Точки старта и финиша на граничных орбитах не фиксированы и также подлежат определению. Обратим внимание на существенное различие задач межорбитальных полетов и перелетов. Если в фазовом пространстве элементов орбит перелету отвечает задача с закрепленными концами, то межорбитальному полету соответствует задача с подвижным правым концом, при их оптимизации появляются условия трансверсальности, что определяет особенность этих задач и приводит к возрастанию трудностей математического характера при их исследовании. Потребности приложений в области космонавтики обуславливают актуальность разработки теории и методов оптимизации космических межорбитальных полетов.
Б настоящее время всеобъемлющая теория оптимизации космических маневров с учетом воздействия многих физических факторов, требованиями надежности и точности при наличии случайных ошибок,
необходимость!) проведения измерений и коррекций далека от завершения ввиду сложности. Поэтому весьма важны решения задач оптимизации космических маневров в упрощенных постановках. Во многих реальных задачах такие решения эффективно применяются в качестве начальных приближений при использовании хорошо разработанных методов локального уточнения. В теории оптимизации с упрощающими предположениями на первый план выходят вопросы качественной теории: исследование свойств решений, их числа, возможных ветвлений и бифуркаций, получение нулевых приближений. В данной работе главное внимание уделяется перечисленным вопросам, основные упрощающие предположения: кеплерово приближение для орбит и импульсный характер тяги.
Второе направление исследований относится к проблеме описания качественного поведения механических систем в зависимости от вида действующих сил и изменения его при введении дополнительных сил какого-либо вида. Хотя эта проблема и относится к классическим, она далека от решения, и получение новых результатов по этой проблеме является актуальной задачей. В теории динамических и механических систем важно изучение новых качественных эффектов, которые могут возникать при введении дополнительных сил взаимодействия. Далее, хорошо развита берущая начало от работ А.Пуанкаре, Ж.Флоке, А.Ы.Ляпунова, Н.Г.Четаева теория устойчивости и параметрического резонанса линейных периодических систем дифференциальных уравнений. Важную роль в ней играет теория М.Г.Крейна, И.М. Гельфанда, В.Б.Лидского сильной устойчивости симплектических преобразований, которая у линейных периодических гамильтоновых систем позволяет уменьшить число критических частот параметрического резонанса. Однако многие встречающиеся в природе объекты из-за всеобщего присутствия диссипативных сил описываются дифференциальными уравнениями, которые можно считать гамильтоновыми лишь с той или иной степенью точности. Кроме того, диссипативные и неконсервативные силы часто вводят специально для обеспечения стабилизации различных управляемых объектов. Наконец, сравнительно недавно обнаружен и изучен парадоксальный эффект расширения областей неустойчивости комбинационных резонансов при увеличении диссипатив-ных сил. Поэтому актуальна разработка теории, обобщающей теорию М.Г.Крейна, И.М.Гельфанда, В.Б.Лидского с линейных периодических гамильтоновых систем на случай близких к гамильтоновым негамиль-тонрвых линейных периодических систем дифференциальных уравнений и позволяющей изучить эффекты влияния диссипативных и неконсерва-
тивных сил на их устойчивость.
Третье направление относится к качественным исследованиям одного из современных разделов космической динамики и небесной механики - теории поступательно-вращательного движения взаимно гравитирующих космических тел. Интенсивное развитие в настоящее время и актуальность дальнейшего ее развития обусловлены все возрастающей точностью астрономических наблюдений с использованием светолокационной техники, необходимостью объяснения ряда новых явлений и особенностей движения космических тел, а также достижениями и потребностями теоретической и практической космонавтики. Основы теории были заложены в середине нашего века В.Т.Кондурарем и Г.Н.Дубошиным. Развитие она получила в работах В.В.Белецкого, В.Г.Демина, В.В.Румянцева, Ю.В.Баркина, С.Г.Журавлева и многих других авторов. Важное значение в рассматриваемой теории имеет задача о движении двух гравитирующих тел: осесимметричного и сферически симметричного. Эта задача достаточно общая: в качестве весьма частных случаев она содержит круговую ограниченную задачу трех тел, задачу двух неподвижных центров, задачу о вращательном и поступательно-вращательном движении осесимметричного спутника сферической планеты в ограниченной и неограниченной постановках, задачу об орбитальном движении спутника пренебрежимо малых размеров в поле тяготения осесимметричной планеты. В общем случае задача о движении двух тел указанного вида не интегрируется в конечном виде, и ранее были изучены лишь некоторые стационарные и периодические движения тел в ряде ее частных случаев, как правило, при отвечающих тем или иным предположениям приближенных выражениях силовой функции или для каких-либо простых моделей осесимметричного тела: материального отрезка, симметричной гантели и др. Поэтому в настоящее время весьма актуальна проблема определения множества всех стационарных движений и изучения их устойчивости для общего случая рассматриваемых тел. Математическая сложность такой задачи заключается в том, что поступательное и вращательное движение тел существенно взаимосвязаны и не отделяются одно от другого. Более того, большое значение имеет исследование стационарных относительных движений на малых и сравнительно небольших расстояниях между телами, когда обычно используемые разложения гравитационного потенциала медленно сходятся или даже расходятся, и начальные отрезки соответствующих рядов плохо аппроксимируют реальный потенциал.
Четвертое направление исследований. В последние годы прои-
- б -
зошло существенное изменение и усложнение изложения математических дисциплин в вузах, в учебные планы математических факультетов включены курсы топологии. Поэтому полезна разработка изложения методов теоретической механики, близкого к изложению математических дисциплин. Имеются в основном краткие описания лишь некоторых разделов кинематики твердого тела в операторно-матричной форме. Топологические вопросы кинематики твердого тела излагаются в курсах топологии, причем, как правило, изучаются сами топологические пространства, а связь с механикой отсутствует или о ней упоминается лишь вскользь. Б связи с этим представляется актуальной разработка единообразного изложения кинематики твердого тела на основе операторко-матричных и геометро-топологических методов.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Разработка новых качественных методов и методов оптимизации при исследовании следующих проблем. I. Создание теории оптимальных импульсных межорбитальных полетов и решение некоторых экстремальных задач межорбитальных перелетов. Б том числе изучение относящегося к области синтеза оптимального управления вопроса о числе импульсов при оптимальных межорбитальных импульсных маневрах. 2. Изучение качественного поведения динамических и механических систем в зависимости от типа действующих сил и изменения этого поведения при введении определенных дополнительных сил. Создание теории сильной устойчивости линейных периодических близких к гамильтоновым систем дифференциальных уравнений. 3. Нахождение множества всех стационарных относительных движений и исследование их орбитальной устойчивости в общем случае движения двух гравитирующих тел: осесимметричного и сферически симметричного. 4. Разработка всестороннего единообразного изложения кинематики твердого тела на основе геометро-топологических и операторно-матричных методов.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются методы теории оптимального управления, принцип максимума Понтрягина, метод Лагранжа нахождения условных экстремумов, методы космической динамики по оптимизации некоторых задач межорбитальных перелетов, методы качественной теории дифференциальных уравнений, высшей алгебры, дифференциальной топологии, гамильтоновой механики, симплектической геометрии, теории динамических систем, аналитической механики, небесной механики, методы теории устойчивости А.М.Ляпунова, теоремы Э.Дж.Рауса, У.Томсона и И.Тета, результаты В.В.Румянцева по исследованию устойчивости стационарных движений
лагранжевых механических систем, методы вычисления характеристических показателей линейных периодических систем дифференциальных уравнений.
Все результаты диссертации получены впервые и являются новыми. Выделим из них основные' выносимые на защиту и обладающие существенной новизной результаты.
-
Разработана теория и соответствующие методы оптимизации межорбитальных импульсных космических полетов,и решен ряд новых экстремальных задач межорбитальных перелетов. Минимизируется расход топлива, а также длительность или угловая дальность маневра при заданном расходе топлива. Время движения по орбитам может как учитываться, так и быть свободным. Оптимальные траектории могут включать пертурбационные гравитационные и аэродинамические маневры. Предложенные методы позволили для весьма общих случаев изучить множества оптимальных орбит, качественный вид этих ор"бит, возможные их ветвления, характер функциональных зависимостей между оптимальными значениями минимизируемой величины и заданными значениями параметров, а также исследовать соответствующие множества достижимости.
-
Решен вопрос о числе импульсов при энергетически оптимальных импульсных полетах со свободным временем между близкими орбитами. Метод В.А.Антонова, А.С.Шмырова к' определения числа импульсов при межорбитальных перелетах распространен для решения соответствующих рассматриваемым межорбитальным полетам задач синтеза оптимального управления с подвижными правыми концами. В отличие от метода В.А.Антонова, А.С.Шмырова в разработанном методе приходится выходить за рамки принципа максимума Понтрягина и принимать в расчет достаточные условия оптимальности. При их проверке большую роль играет геометрический подход: с помощью геометро-топологических методов изучается весьма тонкий вопрос о возможной структуре соприкосновения множеств достижимости соответствующей задаче межорбитального полета управляемой системы с граничным многообразием. Метод сводит исследуемую задачу синтеза к геометрической задаче иЪучения возможных видов пересечений множеств в фазовом пространстве - многомерном евклидовом пространст-
В.А.Антонов, А.С.Шмыров. О числе импульсов при оптимальном переходе между близкими кеплеровыми орбитами. Механика управляемого движения и проблемы космической динамики. Л. IS72, С.165-168.
ве при естественном использовании средств геометрии и дифференциальной топологии.
-
Разработан метод получения результатов глобального характера о числе импульсов на траекториях энергетически оптимальных импульсных полетов и перелетов между круговыми орбитами при заданной длительности или угловой дальности маневра. С его помощью решен вопрос о локальной оптимальности оптимальных компланарных одноимпульеных полетов и двухимпульсных перелетов в соответствующих классах многоимпульсных маневров.
-
Установлен новый парадоксальный качественный эффект, который может возникать при введении дополнительных сил взаимодействия (типа вязкого трения) в асимптотически устойчивые в целом динамические механические системы, - возможность превращения их в структурно устойчивые глобальные осцилляторы.
-
Разработана теория сильных устойчивости и неустойчивости линейных периодических гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, подверженных действию заданного негамильтонова параметрического периодического возмущения. Учет последнего - существенно новый момент, при его отсутствии теория переходит в теорию М.Г.Крейна, И.М.Гельфанда, Б.Б.Лидского сильной устойчивости симплектических преобразований. Разработанная теория позволила получить целый ряд новых результатов. Например, в рамках линейных периодических уравнений Лагранжа 2-го рода изучено влияние заданных возмущающих диссипативных и неконсервативных сил на сильные устойчивость и неустойчивость рассматриваемых уравнений в случаях выполнения критических соотношений комбинационных резонансов.
-
Описаны множества всех стационарных относительных движений двух гравитирующих.твердых тел: осесимметричного и сферически симметричного,и разработана методика исследования орбитальной устойчивости этих движений. Найденные стационарные движения двух типов охватывают в качестве частных случаев все известные движения ("спица", "стрела", "квазистрела", "поплавок" и др.), определенные ранее при тех или иных предположениях для некоторых конкретных тел, как правило, простого вида. Отказ от общепринятых весьма частных моделей гравитационного поля осесимметричного тела привел к качественно новым выводам. Например, в'отличие от известных результатов доказано, что движения "стрела" возможны
и у несимметричных, а "квазистрела" - у симметричных относительно плоскости экватора осесимметричных тел. Разработан новый метод исследования орбитальной устойчивости компланарных стационар-
ных движений, заключающийся в установлении связи между их устойчивостью в рамках компланарной и некомпланарной постановок задач. Определено, когда метод позволяет свести исследование устойчивости к анализу существенно более простых условий устойчивости компланарной задачи.
7. Разработано оригинальное изложение кинематики твердого тела, основанное на геометро-топологических и операторно-матрич-ных методах. Последовательное применение этих методов оказалось весьма плодотворным и помимо единообразия изложения, математической ясности и строгости доказательств позволило получить ряд новых результатов. Дано математическое обоснование понятия локальной и глобальной ориентации твердого тела. Показано, что использование кватернионов поворота при задании глобальной ориентации соответствует переходу к универсальному накрывающему пространству для пространства конфигураций твердого тела с неподвижной точкой - трехмерной сфере. Введение угловой скорости твердого тела определяет структуру параллелизованного многообразия в его пространстве конфигураций. Установлена связь между различными аналитическими структурами пространства конфигураций твердого тела.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Хотя работа имеет теоретический характер, ее результаты имеют как теоретическую, так и практическую ценность. Перечислим некоторые возможные области их практического приложения. Теория оптимальных межорбитальных импульсных полетов и разработанные методы оптимизации импульсных космических маневров имеют самые разнообразные возможности применения в практической космонавтике, особенно на стадиях предварительного проектирования орбит при качественном исследовании задач. Возможные области применения: оптимальные межорбитальные полеты и перелеты, в том числе с использованием гравитационных и аэродинамических маневров, мягкие и жесткие встречи КА, близкие пролеты для осуществления инспекций КА, расстановка спутников в орбите, обеспечивание функционирования и обслуживание разного рода систем ИСЗ, в том числе синхронизированных, определение областей пространства, заполненных осколками при взрывах небесных тел и др. Естественным образом результаты распространяются на задачи оптимального многошагового межорбитального маневрирования, когда КА должен совершить ряд заданных маневров (встречи, перехваты, инспекции, изменения орбиты и т.д.).
Другая область применения - оптимизация межпланетных полетов. Кроме того, при межпланетных перелетах на окруженные атмосферами планеты целесообразно применять торможение об эти атмосферы. В этих случаях также следует применять теорию межорбитальных полетов. Наконец, важное практическое значение имеют результаты о числе импульсов на оптимальных траекториях. Они позволяют удешевить космические маневры за счет разумного сочетания выигрыша от увеличения числа импульсов до оптимального с необходимым усложнением соответствующей аппаратуры.
Результаты по исследованию качественного поведения механических систем в зависимости от вида действующих сил могут найти применение при изучении движений и равновесий различных сложных, в том числе управляемых, механических систем. Так, теория сильных устойчивости и неустойчивости линейных периодических гамиль-тоновых систем при заданном негамильтоновом возмущении успешно применена к исследованию устойчивости вращательного движения ИСЗ, испытывающего периодическое параметрическое возбуждение. Достоинство данной теории при ее практическом применении - возможность получения выводов об устойчивости по одному лишь типу действующих на систему сил и виду резонансных критических соотношений при отсутствии каких-либо выкладок или при проведении минимального их числа.
Выводы о возможных стационарных относительных движениях взаимно гравитирующих тел и их устойчивости имеют важные конкретные приложения в астрономии, космической динамике, космонавтике. Так, они обосновывают возможность длительного существования разного рода двойных космических объектов, например, двойных астероидов, комет,-звездных систем, систем спутник-планета, и опредачяют устойчивые относительные конфигурации при стационарных движениях образующих их тел. Другая область практических приложений относится к космонавтике. При достаточно общих предположениях дан ответ на важный уже в практике современных космических исследований вопрос, на каких относительных орбитах КА. может образовывать устойчивую двойную систему с астероидом или спутником планеты, в частности, в каких точках Kft. может в течение .длительного времени пассивно "зависать" над поверхностью астероида или спутника. Важно, что расстояние между телами такого двойного объекта может иметь порядок линейных размеров самих тел, а их ?лассы могут быть сравнимы, и хорошо развитые теории для классических спутниковых моделей здесь не будут применимы.
- II -
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах проф. В.С.Новоселова на кафедре механики управляемого движения факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ, на научном семинаре проф. П.П.Товстика на кафедре теоретической механики математико-механического факультета СПбГУ. Результаты по отдельным направлениям диссертации докладывались на Конференции по общим вопросам небесной механики и астродинамики (23-29 марта 1967 г., Москва), организованной Комиссией по небесной механике Астрономического совета АН СССР, на Пятом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (27 мая - 3 июня 1981, Алма-Ата), на Научной конференции факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ (апрель 1986 г.), на Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям механических систем (сентябрь 1987 г., Горький), на 26 чтениях, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К.Э.Циолковского (17-20 сентября 1991 г., Калуга, секция "Механика-космического полета"). В течение ряда лет раздел кинематики общего курса теоретической механики управляемого движения для студентов 2 курса факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ был прочитан на основе материала главы 4 диссертации.
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано более 40 работ. Основные результаты содержатся в работах [і - 25].
СТРУКТУРА И 0Б1ЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Главы разбиты на параграфы, параграфы -на пункты. Объем работы - 253 страницы машинописного текста, иллюстраций ~ 19, список библиографических ссылок содержит 354 наименования.