Введение к работе
Актуальность темы. Неоколько столетий проблема движения тала в ородв интересует и исследователей, и инженеров, it различных научных работников - механиков и математиков.
Уже в ореднне века баллиотичеокая задача была достаточно актуальной. Зот основные вехи зарождения баллистики в оредние века. Николо Тарталья из Брепни (1499-1557) продолжал разработку теории ооотавных баллиотических траекторий Леонардо да Зинчи. Его современник Иеронимо Кардано (1501 - 1576) использовал принцип геометрического сложения горизонтального движения о отвесным еотеотленно ускоренным. Подобными вопросами занимался Французский учения Юлия Цезарь Скалигер (1484 - 1558), а также иопакския ученый Доминико Сото (1494 - 1560).
3 более позднее время начинает развиваться так называемая внешняя баллистика. Ранние опыты по исследованию движения в воздухе л жидкости привели X.Гюйгенса к установлению эмпирического закона сопротивления, пропорционального квадрату скорости движения тела в воздухе (1669). Ньютон на основе опытов (Ф.Гоуксби, Н.Дезагюлье и собственных) ооздал математическую теорию сопротивления воздуха, разработку которой продолжали в XVIII в. Заршіьон, Д. Бернуллн, Даламбер, Эйлер и др.
3 результате глубокого анализа опытного материала англичанина Б.Робинса Эйлер запенил в 1745 г. квадратичный закон сопротивления двучленным: первое олагаемое пропорционально квадрату скорооти, второе - четвертой степени окорооти. Правда, в настоящее ареия пользуются дизь кза-
дратичиоя зависимостью.
Эйлер разработал чяолвнкые катоди реаенкя оонозной задачи баллиотики - интегрирования дифференциального уравне- . ния движения ояаряда, в чаотнооти, иопользуя медленно сходящиеся ряды. Для прицельной стрельбы он предложил другую методику, ооглаоно которой движение снаряда разделялось на составляющие, одна из которых отвечает за силу сопротивления.Позже Эйлер напел другие методы решения основной задаче баллиотики.
Усилия ученых были направлены не только на решение основной задачи баллиотики, но и на возможно более полный учет дополнительных явлений, приводящих к важнейшим поправкам к оонозной теории. 3 XVIII а. Робино заметил, что центр масо вращающегося онаряда описывает проотраиотвенную кривую. 3 XIX в. Пуаооок, затем Оотроградокии пытались дать математическую трактовку этого явления. Они последовали движение вращающегося онаряда. рассматривая его как твердое тело. На оонове обцей теории движения твердого тела было установлено, что продолговатый вращающийся онаряд имеет собственное быстрое вращение около продольной оон динамической и геометрической симметрии, прецессию около вектора окорооти снаряда и нутационное движение около вектора опрокидывающего момента.Таким образом, модель усложнялась, решение задачи баллиотики становилось вое более объяснимым.
Как видно, в иоторячеоком прошлом а основном был затронут лиаь один аспект раоомотрения задачи движения тела сопротивляющейся ореде. А именно, интересы иоследовате-
лей направлены на получение траектории пусть и в приближенном, ко зато в язном виде. При этом параллельным образом з более позднее время вставала задача более точного описания модели взаимодеяотвия о сопротивляющейся средой. Последнею проблему разумно начать последовать для более простых тел.
Плоокая пластинка - наиболее простое тело, позволявшее исследовать различные оообеянооти движения в ореде. Так ор-фекты, связанные о влияние» присоединенных наос (классическая задача Кирхгофа), демонстрируются з учебнике Г.Лаи-ба jjf] на примере движения тела-плаотиики в идеальной не-ожимаеиой жидхооти (исследование начато Томсоном, Тэйтом и Кирхгофом).
Попутяо и кратко заметим, что задача Кирхгола, начатая во второй полоаине провлсго века, заложила второй аспект рассмотрения поставленной задачи. Он связан о вопросами интегрируемости системы диЭДренциальаых уравнений, опи-оыващих данное движение (вопросы существования аналитических (гладких, мероморркых) интегралов).
До оегодияшнего дня задача Кирхгора почти всегда рао-скатргаалаеь о точки зрения проблемы интегрируемости, и, лишь в некоторых олучаях проведен качественный анализ ряда траекторий.
В работах Кирхгофа, Клебиа, Стеклова, Ляпунова, Чаплыгина указаны уоловия существования дополнительного аналитического первого интеграла. В наши дни реиение этой проблемы еовервенотвовалооь. Так в работе [2] построена
iJ - Лайб Г. Гидродинамика. - Я., 1941. - 928 с.
^' - Переломов A.M. Несколько замечаний об интегрирова-
1»
теория интегрируемых олучаев (построение /, - Д пары), а з [з] указана условия несуществования дополнительного nepDoro интеграла уравнения Кирхгофа.
Укажем на трзтия аспект рассмотрения указанной пройдеш, а именно, на качественный анализ систем ди|>лервнци-яльшх уравнений, опиоывающих данное движение (топология фазового пространства, его раослоение, качественное расположение фазових траекторий). И здесь названный аспект, активное расомотрение которого начато в последнее гремя, предполагал для начала исследование тела более простоя формы, ввиду недостаточного развития качественного аналитического аппарата, К примеру, извсотная задача Н.Е.Чуковского об исследовании симметричного полета самолета в вертикальной плоскости была подвергнута точному качественному анализу лшъ в пооледнег врамя.
Одним из первых прямолинейные движения материальной точки о сопротивляющейся средз исследовал Н.Е.іукозскед, который анализировал падение тела в сопротивляющейся среда, падзниэ тела, брошенного под углом к горюояту в оредв, движение маятника а вреде и т.д. Н.Е.%козеккй, наряду с интегрированием уравнения движения» совершенствовал кодгдь взаинодеяотвкя тел о сопротиздяхщеяся средой. Он утверждал, что кинетическая энергия тела тратится на образование вихревых двикзаиа воздуха» а, кроме того, ва преодолевав:» ко-декулярных сил араашшгад, воздуха к двануцемуся тезу; соаро-
нии уравнений движекиа твердого тела в ндеальноа жидкости.
дунжц. «яахвз и его придож. ISSI. т. 15, вып. 2. С.83-85-*' - Козлоз З.в.,0й№іеахо Д. А. Неинтегрируенооть уравнения Кирхгофа // Д*Н СССР. 1982. Т.266, № б. C.I298-DOO.
тивление зависит не только от скороотн движения, но и откорми «ела. Если скорость мала, то о достаточной точностью колено принять сопротивление пропорциональным первой степени скорости; при больших скоростях сопротивление пропорционально квадрату окорооти. Пооледние два утверждения H.E.Iy-ковокий часто использовал. Он показал, что при движении тела, брошенного под углом к горизонту о небольшой скоростью, траектория тела лежат а плоскости и имеет вертикальную асимптоту.
Труднее оботояяо дело для движения брошенного тела со значительной скоростью. Траектория в явной вид» не выписывается, и был предложен некий табличный метод. По данный урлу наклона, начальной скорости и коэффициенту оопротивлвния в таблицах находили значения ряда неэлементарных функций, пооле чего на каждом отрезке пройденного пути можно было приближенно найти выооту, окорооть, что помогало как-то проочитывать траектории. Табличний метод в первой половине XX в. был мощным оредотзом в баллистик»; он также бил включен в ооновные учебные курси по теоретической механике.
Известны эксперименты по самовраченив падаюцих в воздухе плаотинок опять же Н.Е.Їуковокого [*.5] . Здесь при-ходитоя учитывать такие овойотва воздействия среды на тело как силу сопротивления и подъемную силу. Именно азро-___
' - Жуковский Н.Е. О падении легких, продолговатых тел, вращающихся вокруг своей продольной оои // П.со., т.5, 0.72-80, с.ІОЗ-llS. - М..І937.
*' - Яуковокий Н.Е. О парении птиц // П.с.с, т.5. - М., 1937, о. 49-59.
- б-
динамичеокие характеристики пластинки использованы и для моделирования полета птиц ГзД .
З соответствии о этим, Н.Е.ііуковский провел еналиэ ряда задач, а именно: скольжение птицы в вертикальной плоскости при спокойном воздухе; скольжение птицы в спокойном воздухе з олучае, когда горизонтальная проекция ее траектории -кривая линия; парение птицы в воздуха, текущем горизонтальным'/! олояии, скорость которых возрастаат о выоотои; парение птицы при порывистом ветре; парение птицы в восходящем ветре.
Н.Е.Йукозскии предполагал существование такого "динамического равновесия" "тела птицы" относительно цвнтря масс, при которой угол между скоростья центра масо и плоскостью крила пластинки (угол атаки) служит управляющим парамаїром, т.е. ыокет быть задан произвольным образом. Очевидно, что это продполокение равнозначно предположению о таком раздо-лента движений тела, при котором характерное время движения относительно центра масс существенно меньше характерных времен движения самого центра.
Представляет ингзрео иооледозаниэ движения тела в среде при уоловиях, когда его поотупатальнов движение связано о вращательным. Упомянутая ват задача Кирхгэфа далеко не исчерпывает всех возможностей подобного типа.
Зыделии здесь задачу о движении тела при условии, что линия действия силы, приложенной к телу, не меняет своей ориентации относительно тела, а лишь может смещаться параллельно оамой овбе в зависимости от угла атаки. Подобные условия возникает при движоиии пластинки, так оказать, о "боль-
аини" углами атаки, в среда оо отруиным обтеканием 6,7,8 или при отрывном [з\ .
8 иаотояцее время а овязи о развитием математического аппарата, а именно, качественной теории дифференциальных уравнений, дифференциальноя геометрии и др., качественная анализ динамичеоких оиотем, описывающих различные процессы а механика, электродинамике, оптике, технике, значительно оовершенотвуетоя. 3 чаотиооти, анализ систем уравнения движения твердого тела а сопротивляющейся ореде либо может быть провален достаточно глубоко имеющимися методами качеот» венной теории, либо может выдвинуть своеобразные проблемы, имеющие самостоятельный интерео.
3 соответствии о этим, в работе 10 поотроон фазовый портрет физического маятника, помещенного в поток ореды.Ока-
- Гуревич Г, И. Теория струя идеальной жидкости. - М.: Наука, 1979, 322 о.
*' - Седов Л.И. Механика оплошной среди, т.1. - М.: Наука, 1983. - 528 о.; т.2. - М.гНаука, 1984. - 560 о. 8' - Чаплыгин С.А. Избранные труда. - Я.: Наука, 1976. - 495 о. ' - Табачников З.Г. Стационарные характериатикк крыльев на малых скоростях во воем диапазон» углов атаки // Труды ЦАГЙ, вып.1621. - М., 1974, - с.18-24.
i0' - Локшкн Б.Я.»Привалов 3.А.,Самсонов d.A. Введение
в задачу о движении тела в оопротивлясцейоя ореде. - М.,
1985. - 66 е.
**' - Ерояин d.A..Привалов З.А.,Самоолоа З.А. две модель-
- a ,
зялооь, что такая дикамичеокая оиотома обладает веоьна нетривиальными нелинейными овойотваки.
а работе [її] разобран вопрос об устойчивости некоторых отациокарных прямолинейных движений овободиого тела в сроде оо струйным обтеканием. Исследование проведено на базе линеаризованных уравнений движения тела.
Некоторая аналогия мззду овояотвами уотойчивооти ете-ционарного движения тела я равновесием маятника в среде выдвигает вопроо о возможкооти перенесения нелинейных ОВОЙОТВ движения маятника на движение свободного тела. Ранее известны численные результаты исследования движения тела при струйном обтекании JJL2J . Настоящая работа содержит теоретически результаты исследования этого вопрооа.
Цель работы;
качественное исследование некоторых классов плоско-параллельных движения тела в среде оо струйным обтеканием;
построение разовых портретов в двумерном и трехмерном фазовых пространствах систем дифференциальных уравнении, описывающих плоокопараллельное движение тела в сопротивляющейся ореде;
' - доказательство структурной уотойчивооти (грубости) иоходных динамических систем над классами допустимых Функций; доказательство топологической эквивалентности
ные задачи о движении тела в сопротивляющейся среде // Сб. научн.-метод. статей по тооретич. нехан. - Вып. 18. - И., I9S7, с.75-78. :
12' - Сычза 3.3.,Рубан А.И.,Сычеа Зик.8.,Королез ГЛ. Асимптотическая теория отрывках течений. Под ред. Б.З. Сычева. - М.:Наука, Гл. ред. фаз.-пат. лит., 1987. - 256 о.
соответствующих фазовых портретов;
- исследование некоторых качественных вопросов теории
систем обыкновенных дифференциальных уравнений, заданных
на двумерных поверхностях.
Научная новизна. Основные результаты диосертации таковы:
указано на достаточно» уоловие поникания порядка динамичеокок системы, в результате чего исследование сводится к динамичеоккм системам на плоокооти;
показано, что точки покоя могут заполнять одномерные многообразия - прямые. Даны механические интерпретации оответотзуедкм стационарным движениям» топологическая классификация оообых точза исходной и укороченной систем;
благодаря цилиндрической природе поля о истомы, возможно построение фазового портрета з трехмерной фазовом про-отрзнотве путам поднятия гра зктория о плоокооти в пространство;
при некоторых условиях проведена топологическая классификация фазовых портретов задачи. Показана их структурная устойчивость;
указаны уолоаия полного интегрирования двух классов динамических систем. Причем один интеграл аналитичен и выражается элементарными функциями , а второй трансцевдентен и выражается через элементарные функции лишь в счетном множестве точек параметров задачи;
при некоторых уолозиях показано наличие бифуркации рождения предельного цикла. Исследованы вопросы существования монотонных предельных циклов; v
- сделаны замечания о существовании звикнути* кри- .
вых из траекторий как втягиваемых, так и неотягиваемых
по фазовому цилиндру в точку;
сделаны замечания о существовании топографические оизтам Пуанкаре и удобных сиотем вравнения для походных динамических систем;
разобраны вопрооы существования и единственности траекторий на плоохооги, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки;
разобраны элементы теории монотонных векторних полей.
Научная и практическая.значимость. Диооертация носит как чисто теоретические, так и прикладной характер. Ее методы и результаты ногут битв использованы как при изучении различных дкесипативных систем, так и при изучении произвольных оистей дифференциальных уравнения, заданных на двумерных поверхностях.
Достоверность подученных результатов обеспечивается корректностью постановки задачи, а также использованием отрогих математических методов решения.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, перечисленных в конце автореферата.
Апробация работы. Результата диссертация докладывались на Всесоюзной конференции по уотойчивооти движения, колебаниям механических систем, а аэродинамике * феврале 1988 г., на Воесоизной конференции по современным проблемам механики и технологии машиностроения в апреле 1989 г., ма II Вое-оосБИОй конференции по нелинейный колебаниям ыехаяичеоких
- II -
оивтем в оеитябре 1990 г,, на Седьмом воеооюэном съезде по теоретической я прикладной механике в августе 1991 г., на общегородском семинаре по теоретической механике под руководотоом D.3,Румянцева и Ю.А.Архангельского в апреле 1930 г., на оеминаре "Динамика твердых тел, взоимодеяотзу-сщих со орвдой" под руководство!! й.А.Саиоонова в 1983 -1991 г.г.
Структура диосертдции, Диосертация ооотоит и» введения, четырех глав, разбитых на 21 параграф, заключения и опиока литературы, который оодержит 65 наименования. Работа содержит 2/ риоунков. Объгм диссертации - 147 чашин нопкошіх страниц (без заключения, иллиотраций и опчока литературы -122 машинописные отраницы).