Введение к работе
Актуальность темы. В 1893 г. А. М. Ляпунов показал, что равновесия типа "центр" характерны для двух классов динамических систем на плоскости: консервативных и обратимых. Немного позднее им же был доказан один из основных результатов теории малых колебаний нелинейных консервативных систем, ныне носящий название "теорема "Ляпунова о центре". В 70-х годах текущего столетия стараниями многих авторов получены многочисленные результаты, касающиеся свойств периодических решений и общих динамических свойств решений гамильто-новых систем (которые являются частным случаем консервативных систем) вблизи резонансного положения равновесия - случай, не предусмотренный теоремой Ляпунова о центре. В это же время начинается тщательное изучение обратимых систем,завершившееся к середине 80-х годов созданием подробной теории малых колебаний данного класса систем.Оставались неизученными только свойства консервативных систем, которые в общем случае не являются гамильтоновыми.
Данная диссертация ставит своей целью заполнить существующий пробел, и.тем самым, внести вклад в создание теории малых колебаний консервативных систем. В ней комбинируются методы, применяемые как к гамильтоновым. так и к обратимым системам.
Цель работы. Изучение свойств резонансных (и близких к ним)
консервативных систем вблизи положения равновесия. Основной упор
при этом делается на'изучение свойств периодических решений.
Научная новизна. Основные результаты диссертации таковы.
о 1. Создана теория нормальных форм консервативных динамических
систем вблизи особой точки, полностью учитывающая их специфику.
2.Изучены свойства периодических решения вблизи резонансного
положения равновесия резонансных (и близких к ним) консервативных
систем.
-
В случае четырехмерного фазового пространства получены критерии устойчивости и неустойчивости резонансного положения равновесия.
-
На модельных системах в случае четырехмерного фазового пространства изучены бифуркации фазовых портретов и многообразия периодических решения при прохождении малого параметра через резонансное значение 0.
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты можно использовать при изучении консервативных систем, не являющихся гамильтоновыми и встречающихся в приложениях в различных разделах механики и физики. Таковыми, например, являются натуральные механические системы, на которые наложены неголономные связи (системы Чаплыгина).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара "Динамические системы классической механики" под руководством В.В.Козлова и С. В. Болотина в 1991 и 1992 гг.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, перечисленных в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация изложена на 103 страницах, и состоит из введения и 10 параграфов основного текста. Библиография содержит 27 названий.