Введение к работе
Актуальность проблемы. В течение нескольких последних десятилетий происходит интенсивное развитие областей механики (теории колебаний, теории автоматического управления и др.), связанных с изучением систем, описываемых сингулярно-возмущенными обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Одной из таких областей является динамика искусственных спутников Земли (ИСЗ), и в частности, создание и эксплуатация систем пассивной ориентации ИСЗ. Такими уравнениями здесь описывается вращение спутников под действием больших моментов, и, в частности, спутников с аэродинамическими, магнитными, гироскопическими системами пассивной ориентации. Необходимость разработки новых перспективных систем ориентации и управления ИСЗ обуславливают актуальность изучения уравнений движения гироскопических и других высокочастотных механических систем, движение которых описывается сингулярно-возмущенными дифференциальными уравнениями.
Цель работы состоит в развитии общих методов исследования медленных движений высокочастотных недиссипативных механических систем, и в частности, относительного движения ИСЗ с пассивными системами ориентации, использующими стабилизирующее действие больших моментов, и исследовании некоторых конкретных систем пассивной ориентации указанного вида.
Научная новиона. В диссертации доказан ряд общих теорем о свойствах решений начальной и периодической краевой задач для бы-строосциллирующих сингулярно-возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений, при помощи которых исследованы медленные движения недиссипативных высокочастотных механических систем, п в частности, вращения искусственных спутников Земли в режимах пассивной трехосной аэрогироскопической п магнптогпроскоппческон и одноосной гироскопической ориентации.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Динамика относительного движения" под руководством проф. В.В. Белецкого и проф. Ю.Ф. Голубева (МГУ, 1987г.), II Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям (Горький, 1990г.), VI международной Четаевской конференции (Казань, 1992г.), международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994г.), международной конференции "Современные проблемы математики и механики" (Москва, 1996г.), IV
международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1996г.), научном семинаре академика В.В. Румянцева и д.ф.м.н. А.В. Карапетяна, семинаре "Ориентация и управление движением" под руководством проф. В.А. Сарычева (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1996г.)
Диссертация содержит 353 страницы, включая 57 рисунков и 1 таблицу.
Несмотря на широкое использование в космической технике активных систем управления, пассивные системы ориентации ИСЗ сохранили свое значение при длительном времени их функционирования и не слишком высоких требованиях к точности ориентации. Пассивная ориентация осуществляется действием на спутник внешних моментов естественного происхождения (гравитационный, магнитный, аэродинамический и др.), а также гироскопических моментов со стороны размещенных на нем роторов. Управление движением достигается здесь созданием необходимых динамических характеристик спутника и сообщением ему заданных начальных условий.
Исследование динамики спутников с пассивными системами ориентации требует углубленного изучения их движения относительно центра масс. Изучение такого движения целесообразно начинать с исследования идеализированных моделей, в рамках которых можно во многих случаях провести достаточно полное исследование как ориентированного, так и возмущенного движения спутника. В то же время во многих типичных задачах динамики ИСЗ идеализированные модели позволяют получить весьма важные результаты: оценить максимальную точность и длительность режима ориентации, получить представление об устойчивости движений и т.п. . Кроме того, идеализированные модели позволяют лучше раскрыть механическую природу наблюдаемых явлений.
В этих моделях обычно предполагается, что спутник является твердым телом, вращение которого не влияет на его орбитальное движение. В этом случае система уравнении вращательного движения имеет. шестой порядок и, как правило, либо автономна и обладает интегралом энергии, либо ее правые части являются периодическими функциями независимой пг]№менвой.
Трехосной ориентации спутника отвечают стационарные решения этой системы пли ее периодические решения малой амплитуды. Одноосной ориентации спутника отвечают такие движения, в которых одна
из осей инерции спутника либо неподвижна в рассматриваемой системе координат, либо совершает малые колебания, а движение спутника вокруг этой осп не контролируется. Наличие периодических движений в этом случае существенно облегчает исследование режима ориентации.
Один на подходов к построению систем пассивной ориентации зснован на использовании относительно большой- величины некоторых внешних моментов. Уравнения вращательного движения та-шх спутников содержат большой параметр и являются сингулярно-зоомущенными.
Сингулярно-возмущенную систему обыкновенных дпфференциаль-шх уравнений (СВС ОДУ) (или систему обыкновенных дпфференци-игьных уравнений с большим параметром) можно записать в виде
й — U(t,u,v), v = hVa(t,u,v) 4- V(t,u, v), (1)
де и Є R", v Є Rm\ U, Vo, V - вектор-функции соответствующей >азмерностп; h - положительный большой параметр. Второе уравне-[ие системы (1) часто записывают в виде
sv = Vo(t, и, v) +- eV(t, и, v), є = h~l.
Іаряду с системой (1) рассматривается вырожденная система
u=U(t,u,v), V0(t,u,v) = Q, (2)
олучающаяся по (1) при h —» +оо. Обычно предполагается, что вто-ое уравнение (2) имеет изолированное решение v = v(t,u) пли гмейство решении, зависящее от нескольких параметров.
Уравнения (1) встречаются, например, при изучении способов орп-їтацші, использующих стабилизирующее действие на спутник аэро-инамического и магнитного механических моментов.
Аэродинамический момент используется для ориентации продоль-эй осп спутника по касательной к орбите. Форму внешней оболочки гутника выбирают так, чтобы при отклонении этой осп спутника г вектора набегающего аэродинамического потока (совпадающего в гучае круговой орбиты с касательной к последней) возникал восстанавливающий момент. На высотах менее 500км такой момент может
достигать значительной величины,'что приводит к появлению большого параметра в уравнениях вращательного движения.
Для ориентации продольной оси спутника вдоль вектора напряженности геомагнитного поля ислольоуют магнитный момент. С этой целью на спутнике параллельно его продольной оси устанавливают постоянный магнит. Вектор напряженности геомагнитного поля меняется вдоль орбиты по величине и направлению, и продольная ось спутника совершает относительно него вынужденные колебания. При достаточно большой величине дипольного момента магнита амплитуда этих колебаний мала, и, тем самым, достигается одноосная ориентация спутника. Члены уравнений вращательного движения спутника, описывающие действующий на такой спутник механический момент со стороны геомагнитного поля, пропорциональны большому параметру.
В двух приведенных выше примерах большой параметр характеризует большие потенциальные силы. Другой класс механических систем, приводящий к сингулярно-воомущенным дифференциалььш уравнениям, возникает при исследовании систем ориентации, использующих стабилизирующие свойства гироскопических устройств. Примером таких систем может служить спутник-гиростат, представляющий собой твердое тело, несущее вращающийся с постоянной относительной -угловой скоростью ротор. Большая величина кинетического момента ротора обеспечивает одноосную ориентацию спутника в аб-' . сопютном пространстве. Й таких задачах большой параметр характеризует большие гироскопические сипы.
Сочетание гироскопического и восстанавливающего аэродинамического или магнитного моментов позволяет достичь трехоснойч ори-. ентапии спутника. Дополнение гравитационной, аэродинамической, магнитной и других систем пассивной ориентации гироскопическими устройствами часто используется в космической технике. Однако создаваемые этими устроистами гироскопические моменты, как правило, невелики, и прецессионное движение гироскопов, часто сопровождающееся вязким трением, используется для диссипации энергии колебавши. В случае же большой величины кинетических моментов роторов их прецессионное движение может быть использовано для реализации на его основе режима ориентации.
Характерное свойство уравнений (1) заключается в наличии "медленных" и "быстрых" переменных, а также в различном" поведении решении этих уравнений в с-окрестности многообразия
Vo(t,u,v)=0, (3)
где могут реалиоовываться медленные движения, и вне его.
В СВС ОДУ, описывающих движение механических систем, большой параметр, как правило, характеризует управляющие воздействия, имеющие целью приведение их траекторий в є-окрестность многообразия (3). При этом возникают задачи установления условий существования медленных движений и их точного или асимптотического построения.
С математической точки зрения исследование режимов ориентации в приведенных выше случаях сводится к исследованию вопросов существования и изучению свойств "медленных" решений СВС ОДУ, скорость изменения переменных в которых остается, конечной при стремлении большого параметра к бесконечности. Соответствующие этим решениям траектории часто могут быть использованы для реализации ориентированного движения. (В некоторых случаях они образуют интегральные поверхности медленных движений.)
Идеализированные недиссипативные модели высокочастотных механических систем, обладая рядом преимуществ, приводят однако к наименее изученному типу СВС ОДУ. Такие системы Допускают частотные резонансы, значительно усложняющие поведение их траекторий и исследование вопросов существования их интегральных поверхностей и периодических решений.
В случае механических систем, обладающих свойством сильной диссипации - диссипации энергии быстрых движений, в уравнениях (1) матрица (^) имеет отрицательные вещественные части, и уравнения (1) обладают устойчивым' интегральным многообразием, расположенным в е-окрестности многообразия (3).
В случае нулевых вещественных частей собственных значений матрицы (1) (этот случай обычно называется критическим) стремление траекторий системы (1) в 6-окрестность многообразия (3) или (в ослабленной форме) невыход траекторий системы (1), начинающихся в fi-охрестности многообразия (3), за пределы его ^-окрестности может обеспечиваться свойствами функций U, Vo и V. Уравнениями этого типа описывается движение недиссийативных пли слабоднссипа-тивных высокочастотных механических систем, и в частности, систем гироскопического типа. При этом функция Vo имеет вид G{u)v, где G{u) - кососимметричная матрица, и уравнения (1) допускают существование устойчивой интегральной поверхности медленных движений в случае отрицательных вещественных частей собственных значений матрицы (|) (что означает наличие в механической системе
слабой диссипации - диссипации энергии медленных движений).
Исследование уравнений движения гамильтоновых и других недис-сипативных высокочастотных систем, описываемых СВС ОДУ, проводилось В.В. Сазоновым. В рассмотренных им задачах большой параметр характеризует потенциальных силы, действующие по части обобщенных координат. На основе предложенных В.В. Сазоновым подходов в диссертации развиты методы исследования медленных движений высокочастотных недиссипативных механических систем. В уравнениях движения этих систем большой параметр характеризует действующие на них (в различных сочетаниях) гироскопические и позиционные силы. Развитые методы используются при анализе динамики ИСЗ с некоторыми конкретными системами пассивной ориентации.