Введение к работе
Актуальность темы. Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с последействием встречаются в различных областях современной науки и техники: в механике сплошных сред со сложной реологией, в биологии и медицине, в системах автоматического управления, в технологических процессах, связанных с переносом материалов и энергии.
Наличие последействия в математической модели динамической системы существенно влияет на её качественное поведение. Основы общей теории линейных периодических систем с последействием заложены в работах АМ.Зверкина, АСтокса, АХаланая, В Хана, ДжХейла и С.Н.Шиманова Она оказалась эффективной при разработке методов исследования квазигармонических систем. Для существенно нестационарных периодических систем с последействием рассматриваемая нами теория получила развитие только для отдельных классов уравнений.
Устойчивость линейных периодических систем с последействием описывается в терминах спектра оператора монодромии, действующего в пространстве непрерывных функций. Он является вполне непрерывным и его спектр состоит из собственных чисел с предельной точкой в нуле. Если оператор допускает непрерывное расширение с пространства непрерывных функций на сепарабельное гильбертово пространство, то построение характеристического уравнения, определяющего собственные числа, связано с его конечномерными аппроксимациями. Характеристические уравнения конечномерных аппроксимаций оператора задаются полиномами. Последовательность полиномов сходится, в любой ограниченной части комплексной плоскости, к целой функции, задающей характеристическое уравнение оператора, если этот оператор является ядерным. В работах Cooke K.L., Wiener J. был изучен специальный класс периодических систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами. Характеристические уравнения для таких систем задаются полиномами. Изучение таких систем было продолжено в работах Alonso A, Hong J., Rojo J., Liu P., Gopalsamy К. В своих исследованиях они не использовали понятие оператора монодромии. В основу их работ была положена связь периодических систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами и разностных уравнений с дискретным временем.
Автор настоящей работы установил, что линейные периодические системы дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами имеют конечномерные операторы монодромии. Дальнейший анализ показал, что существуют системы с последействием, отличные от систем с кусочно-
РОС. ЩЦі,4.-(/.,,,.,-
6ИБЛИОТЕКА і
C.Ikup6vj>r 4 і
постоянными аргументами, операторы монодромии которых конечномерны. Была поставлена задача описать класс периодических систем с последействием и конечномерными операторами монодромии.
Решение задачи существенно зависит от множества, на котором сосредоточено последействие системы. В первой главе получено решение поставленной задачи в случае, когда оно сосредоточено на отрезке[—w,0], где из — период системы. Условие конечномерности оператора монодромии формулируется в терминах вырожденности функции Г}, которая задаёт меру Стилтьеса в линейном дифференциальном уравнении с последействием. Для последействия, сосредоточенного на отрезке [—г,0] (г < и>) требования вырожденности функции г\ можно ослабить. Решение этой более сложной задачи приведено во второй главе. Для систем с конечномерными операторами монодромии характеристические уравнения задаются полиномами. Тем самым задача асимптотической устойчивости для таких систем сводится к проблеме Рауса-Гурвица для единичного круга, которая, в случае полинома, имеет алгебраическое решение. Задача нахождения коэффициентов характеристического уравнения связана с численным интегрированием системы дифференциальных уравнений с последействием. Системы линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами имеют конечномерное семейство решений. В третьей главе показано, что это свойство связано с конечномерностью вольтеррового оператора, определяемого векторным функционалом, задающим систему дифференциальных уравнений с последействием. Предложена конструктивная реализация представлений конечномерных вольтерровых операторов. Полученный класс систем дифференциальных уравнений с последействием содержит системы с кусочно-постоянными аргументами. Коэффициенты характеристического уравнения для таких систем могут быть найдены аналитически. Предложенная методика исследования устойчивости движения апробирована на математической модели фрезерования. Необходимость развития этого направления исследований стимулируется проблемами, которые возникают при решении задач устойчивости периодических решений в математических моделях популяционной динамики и экономики.
Цель работы. Описать класс периодических систем с последействием и конечномерными операторами монодромии; предложить конструктивные алгоритмы построения таких систем и нахождения для них характеристических уравнений; использовать эти алгоритмы при определении условий устойчивости периодических систем с последействием.
Методика исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория устойчивости движения, функциональный анализ, теория функционально-дифференциальных
уравнений и теория обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием на устойчивость основным является понятие оператора моно-дромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость таких систем. Для конечномерных операторов монодромии рассматриваемая задача сводится к проблеме Рауса-Гурвица для полиномов (случай единичного круга).
Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации являются новыми и позволяют находить эффективные условия асимптотической устойчивости исследуемого класса периодических систем с запаздыванием. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:
-
Найдены необходимые и достаточные условия конечномерности оператора монодромии.
-
Предложены конструктивные процедуры реализации матричной функции, обеспечивающей конечномерность оператора монодромии.
-
Описан специальный класс периодических систем дифференциальных уравнений с конечномерными вольтерровыми операторами.
-
Разработаны методы построения характеристического уравнения.
-
Получены условия устойчивости для периодических систем с последействием.
Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых систем, а также для аппроксимации оператора монодромии в случае его бесконечномерности. Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что они позволили исследовать задачи устойчивости для рассматриваемых классов периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Апробация работы. Результаты, составляющие основу диссертации, были доложены на 30 и 31 Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", X и XIII Понтрягинских чтениях "Современные методы в теории краевых задач", Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Челябинск, 1999), Третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применения"(Санкт-Петербург, 2000), на семинаре кафедры теоретической механики УрГУ, на семинаре кафедры вычислительной математики Ур-ГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах
[1-И].
Структура и объем работы. Работа состоит из введения и трех глав,
которые содержат 17 параграфов. Общий объем диссертации составляет 127 страниц. В списке литературы 84 наименования.
