Содержание к диссертации
Введение
1 Формула Хилла для g–периодических траекторий лагранжевых систем 15
1.1 Дискретный случай 15
1.2 Вырождение в формуле Хилла (дискретный случай) 24
1.3 Формула Хилла для g–периодических траекторий непрерывных лагранжевых систем. 33
1.4 Вырождение в формуле Хилла (непрерывный случай) 44
2 Диффузия Арнольда в окрестности сильных резонансов 54
2.1 Сепаратрисное отображение 54
2.2 Явный вид сепаратрисного отображения 55
2.3 Построение траектории 58
2.4 Окрестность резонанса 60
2.5 Переход через Sk 63
2.6 Приложения 80
Заключение 92
Литература 93
- Вырождение в формуле Хилла (дискретный случай)
- Вырождение в формуле Хилла (непрерывный случай)
- Явный вид сепаратрисного отображения
- Переход через Sk
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена некоторым задачам устойчивости в гамильтоновых системах. Понятие устойчивости в разных смыслах неразрывно связано с изучением динамических систем. Существует множество неэквивалентных понятий, содержащих это слово “устойчивость”, таких как устойчивость по Ляпунову, орбитальная устойчивость, устойчивость по Лагранжу, устойчивость по Пуассону, структурная устойчивость, топологическая устойчивость и т.д. Исследование устойчивости системы является очень важной задачей механики и теории динамических систем в целом.
Одним из важнейших определений устойчивости, лучше всего применимых к изучению периодических решений, является орбитальная устойчивость. В обзоре С.В. Болотина и Д.В. Трещева (2010 год) рассматривается несколько вариантов формулы Хилла, из которой в некоторых случаях можно извлечь достаточные условия орбитальной неустойчивости периодических траекторий. Обобщенная формула Хилла позволяет сделать аналогичные выводы для g-периодических траекторий.
Изучение диффузии Арнольда продолжает оставаться одной из самых актуальных тем в гамильтоновой динамике, и в этой задачей занимались и занимаются достаточно большое число авторов. В диссертации рассматриваются многомерные априори неустойчивые системы. В комбинации с работами Д.В. Трещева (2002 год, 2012 год) результаты диссертации дают доказательство наличия диффузии Арнольда в рассматриваемых системах на всем пространстве действий.
Цель работы. Диссертация посвящена задачам о движении твердых тел, соударяющихся с шероховатыми поверхностями, в рамках модели ударного взаимодействия, учитывающей трение. Рассматривается несколько задач о движении однордного шара: между двумя параллельными плоскостями, внутри сферы и внутри кругового цилиндра, а также плоского диска, движущегося по инерции в прямолинейном канале. Изучаются периодические режимы движения и условия выхода системы на эти режимы. Считается, что при ударе шероховатых поверхностей происходит мгновенное наложение и снятие связи, состоящей в том, что касательная составляющая скорости контактирующей точки тела равна нулю, то есть выполняется условие качения без проскальзывания.
Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. Впервые получена обобщенная формула Хилла. Также впервые доказано наличие диффузии Арнольда в типичных многомерных априори неустойчивых системах вблизи резонансов низкого порядка для возмущений, являющихся тригонометрическими полиномами в первом приближении.
Достоверность результатов. Все результаты диссертации получены аналитически и строго обоснованны.
Используемые методы. Во первой главе используются общие методы лагранжевой механики, вариационного исчисления и функционального анализа, во второй главе основным инструментом изучения диффузии Арнольда является метод сепаратрисного отображения.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты первой главы, в частности, могут быть исполь-
зованы при исследовании устойчивости g-периодических бильярдных траекторий. Результаты второй главы диссертации в комбинации с результатами работы Д.В. Трещева (2012) дают доказательство наличия диффузии Арнольда в многомерных априори неустойчивых системах для возмущений, являющихся тригонометрическими полиномами в первом приближении.
Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:
Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых “Ломоносов-2016”. МГУ им.М.В. Ломоносова, Москва, апрель 2016;
Научный семинар под руководством чл.-корр. РАН, проф. Д.В.Трещева (2011).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из двух глав, введения, заключения и списка литературы из 68 наименований. Общий объем диссертации — 98 страниц.
Вырождение в формуле Хилла (дискретный случай)
Рассмотрим цилиндрическую поверхность с зеркальной внутренней поверхностью, которая имеет периодическую структтуру вдоль оси. И в эту трубу попадает луч света, который отражается внутри нее по закону угол падения равен углу отражения. Можно показать, что это условие эквивалентно тому, что последовательность точек отражения является траекторией дискретной лагранжевой системы с лагражианом L(x,y) = \х — у\. В результате получаем бильярд. Пусть точки отражения луча образуют -периодическую последовательность периода п. Используя формулу Хилла в ряде случаев можно доказать неустойчивость такой бильярдной траектории. В качестве модельного примера рассмотрим плоский бильярд в полосе с периодической структурой, граница которой задается уравнениями в декартовой системе координат (х,у):
Формула Хилла для -периодических траекторий может быть полезна и для исследования устойчивости периодических траекторий, когда формула Хилла для периодических траекторий не может помочь. Такое может быть, например, если бильярдная траектория имеет симметрию. Дело в том, период и индекс периодической и соответствующей -периодической траекторий отличаются. Обозначим через ind Нпер. индекс Морса периодической траектории, ind Нд — индекс Морса -периодической траектории, где д — симметрия бильярдной траектории, п — период периодической траектории, к — -периодической. Тогда возможна ситуация, когда (_l) +n+indHnep. = 1, (_ т+к+ш 1Нд = _L
Формула Хилла дает нетривиальную информацию в случае, когда д-периодическая траектория невырождена. В данном разделе мы рассмотрим вырожденный случай, приведем редуцированною версию формулы Хилла и сделаем ее применимой к решению задачи устойчивости.
Результаты этой главы аналогичны результатам соответствующей главы работы [5], поэтому мы не будем приводить доказательства вспомогательных утверждений, ограничившись их формулировками.
Предположим, что -периодическая траектория вырождена. Тогда линейное отображение Пуанкаре G lP: W -+ W имеет единичное собственное значение: существует w Ф 0 такой, что Pw = Gw. Так как G lP симплектиче-ское, uo{w,G-lPu) = u{w,u), так что K w (u) = uo{w,u) — линейный первый интеграл G 1Р. Тогда можно редуцировать G 1Р к линейному симплектическо-му отображению Р: W - W меньшей размерности. Предположим, что имеется несколько собственных векторов, соответствующих единичному собственному значению. Пусть V С {w Є W: G lPw = w}. Тогда G lP имеет первый интеграл К: W -+ V : при w Є V, (K(u),w) = Kw{u). Далее будем предполагать, что V изотропно: UJ\V = 0. Тогда V С К 1{{)). Положим W = K l{{))/V. Предложение 1.2.1. Оператор G lP порождает редуцированный симплекти-ческий оператор Р: W - W такой, что диаграмма V V р W W коммутативна. Более того, detiG P - plw) = (1 - p)2k det(P - plw), k = dim V.
Теперь мы переведем предложение 1.2.1 на язык системы уравнений в вариациях, т.е. линейной лагранжевой системы (Е,А). Каждому собственному вектору w отображения Пуанкаре G lP соответствует ненулевое G-периодическое решение w = (wi) уравнений в вариациях.
Утверждение 1.2.1. Этому решению w соответствует линейный первый интеграл 13{и3,и3+1) = {BjWj}uJ+l) - {BjUj}wJ+l). В самом деле, если u = (UJ) — решение системы Ни = 0, то 0 = {Alwl-BlW2-G"(xl)Bnwo,ul)-{Alul-Blu2-B"nG(xl)uo,wl) = /і (til, U2J І0\Щі Щ) 0 = (AjWj - B wJ+1 - Bj-iWj-uUj) - {AJUJ - B uJ+1 - B3_xu3.x,w3) = IjiujiUj+J-Ij- Uj-uUj), j = 2,...n-l Таким образом, І іщ-ищ) = Ij(uJ}uJ+l). (1.2.1) На самом деле, IJ{UJ,UJ+I) = Kw(u), где Kw интеграл отображения Пуанкаре, а и Є W соответствует траектории (UJ). Теперь предположим, что имеется несколько собственных векторов и пусть V С Ker(G_1P — I) — изотропное подпространство. Обозначим Г С X пространство G-периодических траекторий, соответствующее V. Пусть wa Є V, а = 1,...,к- базис в V. Тогда соответствующие G-периодические траектории wa = «) образуют базис в Г. Пусть 1%(щ,щ+1) = (BjW Uj+x) - {BjUj,w?+1) — соответствующие интегралы уравнений в вариациях. Так как V изотропно, интегралы коммутируют: I?(w?,w?+1) = (BjWf,w?+1) - (BjW?,wf+1) = шК, ) = 0. (1.2.2) Обозначим Ij = (I},...,fy. Далее нам понадобится несколько условий невырожденности. Условие A. Симметричная матрица Ki = {kf), kf = (Btw?,wf+1), невырождена при всех І. Обозначим {кфі) = {kf) l = К \ Условие B. Матрица п п K = J2 К = CM, Кр = J2 к г (1.2.3) г=1 г=1 невырождена.
Вырождение в формуле Хилла (непрерывный случай)
Невозмущенная система имеет гиперболическое многообразие N = {и = v = 0}, расслаивающееся на инвариантные торы N(y0) = {y = y0,u = v = 0}. (2.1.1) Рассмотрим асимптотические многообразия Г±= J{1/}xTnX7±xT. (2.1.2) Диффузионная траектория будет строиться в окрестности многообразия Г = г+иг-. Инвариантные в невозмущенной системе (п + 1)-мерные торы (2.1.1) называются частично гиперболическими торами [40, 68], [22, 64]. Асимптотические многообразия Г±(у0), Г+(у)}Г-(у) С {(y,x,v,u,t) :y = y{\HQ{y{\v,u) = Я0(у,0,0)}, ГЧУ) = ІУ0} хГх7±хТ. состоят из невозмущенных решений, которые стремятся к N(y) при t — ±оо. Рассмотрим динамику возмущенной системы в малой окрестности множества Г = иуЄр(Г+ (у)иГ- (у) ) .
Пусть Т сдвиг вдоль фазового потока возмущенной системы за время 1. При є = 0 сдвиг То является интегрируемым симплектическим отображением, для которого L(y) = pr(N(у)) n-мерные гиперболические торы и Е±(у) = pr (Г у)) — асимптотические поверхности, где pr - проекция (y,x,v,u,t) ь-) (y,x,v,u). Определим теперь сепаратрисное отображение SMe, соответствующее отображению Тє, в окрестности Е E = UyGp(E+ (y)UE- (y) ) . Пусть С/ - окрестность невозмущенного гиперболического многообразия L = UyevL(y) и U - окрестность S. Если выбрать U достаточно малой, U\U разбивается на две связные компоненты U+ и U , такие что Е± С U± U U.
Рассмотрим точку z Є U+ U IT. Пусть тгц = иф) самое маленькое натуральное число, такое что Temi(z) U+ U U и пусть rri2 = rri2(z) — минимальное натуральное число с rri2 ni\ и Tem2(z) Є U+ U U . Тогда для m = тп\ траектория T(z) выходит из области U+ U U". При m = ГГІ2 траектория возвращается в U+ U U . Обозначим через G множество точек z, таких что rri2 оо и Temi(z),.. .,T -l(z) Є U. Полагая, Ue = U+UlTnG, получим отображение U9m T2{z\z). Отображение SM называется сепаратрисным отображением: z SMe(z) = Tt+(z)(z), t+(z) = m2(z) + m.
В этом разделе кратко повторяются результаты работы [65], которые понадобятся нам в дальнейшем. Рассмотрим разложение функции Щ(у, ж, 0, 0,t): V х Т - R в ряд Фурье Яі(у,ж,0,0, ) = J2 H ko(y)e2m x)+kot\ kGZn,k0eZ Пусть ф: R - [0,1] - бесконечно гладкая функция, такая что ф(г) = 0 для всех И 1, и ф(г) = 1 для всех \г\ 1/2. Определение 2.2.1. H(y,x,t) = J2 ф{ и щ+ к)Н1,к(у) e27r « g + , (2.2.1) Щу,х) = Н(у,ж,0). (2.2.2) Определение 2.2.2. Для любой функции f Є Cj(V х Тп); д Є C(V x Tn); и 5 0 будем говорить, что если для любых / , І" Є {0,1,...}; V + I" :=l j Ql +l" f dyl1... dykdx l... dxlk Ci6-l \g\, yeV, хєТп где Сі не зависит от 5, V = l[ + ... + l n, I" = l { + ... +1 . Здесь предполагается, что f принимает значения в Rs; где s - произвольное натуральное число. Из (2.2.2) следует, что Н,Н є C (V хГ)иН = 0(І/4)(1). Более точно, НХ Ся, НУ (Сое"1/4 + 1) Ся, (2.2.3) Ся = 2тг(Мо)є2„+і(1 + \k\) ЦЯ Цсі, Co = \\Н0уу\\со. Утверждение 2.2.1. Для любых yeV,xeTnuteZ H(y, x + v(y)l) = H(y, x) + 0 ІА\є1ІП), І Є Z. (2.2.4) В статьях [65] [66] строятся координаты (р, (, г, т, а) на U+UU", такие что 1) dyAdx + dvAdu = є (dp AdC,+dr A dr), 2) для некоторой функции / = f(y}u}v}e) = 0(l/4)(l) с/(у,0,0,0) = 0 єр = у + 0(є1/4)(є3/4, Но-Е), ( = х + f(y,u,v,e), єг = Н0-Е + 0(є1/4)(є3/4, Но-Е), где Яо = H0{y,u,v) иЕ = Е{у), 3) переменная г Є [—1,1] аналог времени t, 4) о" Є { — 1,1} обозначает область (1 соответствует U+ и -1 соответствует U-), в которой оказывается точка траектории. Пусть Vm = (pm, Cm, rm, rm, m, am), m Є Z - траектория МЄ. В работе [66] доказываются формулы, связывающие Vm+i и Vm. Для этого вводится дискретная переменная {-1, 1}, tfm+i = sign(fm+i - H(epm+i, Cm)), тогда имеет место
Теорема 11. ([61],[65],[66]). Пусть выполнены предположения Н01 Н02; К = ±\\oge\,K0 0- (большая) константа, не зависящая от є и удовлетворяющая неравенству К + Ко l\loge\. Тогда существуют Сг-гладкие функции и координаты (р, (,r,t, а,&), такие что для любой (pm,Cm,rm, m,am, m) сепаратрисного отображения, где -К-К0 -Xtm+i - logs -Ко, траектории (2.2.5) выполнены уравнения: Рт+1 =Рт Єаст(єрт+Ь Cm, Тт) + (тт+1 - Тт - іт+1)ЯС(є Рт+1, (ш) + 02, Cm+1 = Cm + Vtm+l (Гт+і -Тт- Іт+1Щр(єРт+іХт) + бЬ l}) "!+ip (Tm+l— m- -m+ + О m r ftVm ат(єр С т ) = Х( m cx{Tm Tm-l tm) (2.2.6) Здесь A, z/, ка функции от єрт+1; в{єр,С,т) = в{єр,С - іу{єр)т,т); (2.2.7) бі = 0 3/V/8log2), б2 = 0 3/\ 8\о є), относительно р+.
Функции А 0 и к± 0 определяются по невозмущенной системе. Кривые 7і параметризуются временем с точностью до сдвига: t ь-t + to (у). Положим HZ(y,Z,T,t) = Hl{F(v,t),t)-Hl(y,Z + v(y)t,0,0,t). Тогда Щ(у, , т, ) стремится к нулю с экспоненциальной скоростью при t - ±оо. Определим ва{у,С-и{у)т,т), ва{у, т) + — оо Щ(у,,т,і)(ІЇ. кции 6і Функции 6і - интегралы Пуанкаре-Мельникова и лежат в AN. Заметим, что типичность функции Н\ эквивалентна типичности функций 0і в том смысле, что типичному множеству возмущений соответствует типичное множество интегралов Пуанкаре-Мельникова. Поэтому далее мы будем проверять условия на типичность для интегралов Пуанкаре-Мельникова. 2.3 Построение траектории
В этом разделе кратко приводятся результаты работы [66], см. также [63], которые позволяют строить траектории сепаратрисного отображения. Определяются такие понятия как квази-траектория (код) и приводятся правила, по которым разрешается продолжать код. Лемма 2.3.1, утверждает, что для удлиненного кода найдется соответствующая траектория.
Явный вид сепаратрисного отображения
Пусть на предыдущем этапе был построен кусок квази-траектории а (7 mi(miTm,tm) — первая точка квази-траектории, для которой ерт попала в полосу Sk1/4. Из результатов подраздела 2.5.2 следует, что ерт Є Ofoce1/ )). Ниже мы строим кусок квази-траектории которая пересе кает резонансную гиперповерхность точки г] . Квази траектория, пересекающая вторую половину полосы (2.5.46), строится аналогично. Введем следующие обозначения: г/, = г/(0), i/, = ! (0), y/ip tit + y/eTt& itibiptjk, pi = {(i,k), (2.5.48) H,(/i, ) = 22ф\і X vv1/4 ;/ )2т]Щк(0)е2пг . jez є Утверждение 2.5.5. Для любых I = m,m + l,... систему (2.5.1)-(2.5.2) можно записать в следующем виде: щ+1 - щ = -y/evi - y/eti+i ( kH (ph ipt) - SJp)) , (2.5.49) O+i " 0 = v tl+1 + y/itl+1 {K,M+1 + (C) ) , (2.5.50) где vi из (2.5.34), a ошибки S и s\ удовлетворяют неравенствам Ъ+il l c\ logel"2, ,(c) ce!/Vw (2.5.51) Доказательство. Переобозначим в (2.5.1)-(2.5.2) индексы: m = l и произведем замены (2.5.48). В итоге ці+і-ці = y/ivi-y/eti+i1l (fii,(pi)-\- 2__ Ej, где ошибки Ej оцениваются следующим образом: Ех = у/єті+1к{П (єриірі) - H (/4+i, w+i) ) = 0(є3/4 loge), Е і = л/єтік(їі (ііі, (pi) — Н р(ер1, Lpi) ) = 0(є3/2 ), E, = y/i(Tl-v)H v(epl,(pljk = 0(Vi\\og -1e\), E4 = +1]fe(H te, )-H ( , ) ) = 0(e3/2 loge), Еь = r = 0(5/4 log ) , Я6 = у/і\Є Хит1)-е єр1 т1)\=О І% E7 = tl+1 (v{epl+1)-v{y/etii+1) ) =0{e\\oge\), E8 = S/ = 0(3/4l0g). П Пусть (3 — тот же единичный вектор, который использовался в подразделе 2.5.2. Определим векторы / , wj- и скаляры а, оц и wt по формулам (2.5.36). Спроектируем уравнение (2.5.49) на направление z/Д а уравнение (2.5.50) - на направление к. В результате получим: aii+1-ац = ti+i(wi-a 1(k,uik)B. (fih(pl) ) , (2.5.52) (pl+1 -ipi = yfeti+i(aon+i + (fc,fJ». (2.5.53) Рассмотрим следующую дискретную систему: ai+i-ai = ti+l(g((pi)-a -l(k}iyik)n (phtpi) )} (2.5.54) ф1+1-ф1 = y/itl+l(a6n+l + {k,E\)) . (2.5.55) Здесь функция д та же, что и в предыдущем подразделе. Разделим уравнения (2.5.54)-(2.5.55) на y/eti+1 = 0(у/є\ logej) . Уравнения (2.5.54)-(2.5.55) - дискретный аналог непрерывной системы a = g-H p(fi,(p), ф = аа. (2.5.56) Здесь д= g{x)dX) H,(/i,(/9)=a-1( ,z/ )H,(/i,(/9)+ / (д - g(x))dx. T O Заметим, что согласно (2.5.39) д -А0/(27), и Н /І, ) = Н (0,( ) при \(v(y/ifi),k)\ є1/А/2. (2.5.57) Интересующая нас динамика системы (2.5.56) сосредоточена в цилиндре Z = {(a,(p modi) :«G [«_,«+]}, а. = -ce l/\ а+ = ce l/\ (2.5.58) где с 0 постоянная, не зависящая от е. Обозначим его границы: Z± = {(a,ip) Є Z : а = а±}. Для /І, удовлетворяющих неравенству (2.5.57) система (2.5.56) имеет интеграл энергии 2 - v ; Если д = 0, то сепаратрисы системы (2.5.56) были бы замкнуты. Однако в нашем случае д 0, поэтому сепаратрисы расщепляются, и через одну из неустойчивых неподвижных точек (/? системы (2.5.56) выходит две ветви сепаратрисы 7 (устойчивая и неустойчивая), которые соединяют Z+ и Z_, пересекая резонанс Z0 = {(0,p) GZ}. Лемма 2.5.4. Пусть М = тіпН (0, ( ), А = max H W(0, р), u (/?o таково, что H,(0, о) Є /Ы : = (М + #2/(2(L4), М + f/(lOA)). Тогда существуют t , t", такие что z{t ) Є Z+, ( ") Є Z_, -1"\ 2a+/\g\. Здесь z(t) = (a(t),ip(t)) - траектория системы (2.5.56), такая что z(0) = (о,Ы Доказательство этой леммы см. в [63].
Таким образом, рядом с 7 на расстоянии порядка о( log -1 !) проходят траектории системы (2.5.56), соединяющие нижнюю и верхнюю границы цилиндра Z. Используя предположение Hi2, несложно доказать следующую
Лемма 2.5.5. Пусть выполнено условие Hi2. Тогда у любой траектории z{t) = {a{t), p{t)), такой что Н (0, (0)) Є I{ ? ), угол p{t) делает первый полный оборот за время г с logs]1/2, где с 0 не зависит от е. Таким образом, траектория z(t) пересекает цилиндр Z = {(a,ip): « cllog l1/2}, c2log = -#, за время г с log є]1/2. Теперь построим квази-траекторию, которая начнется с одной стороны полосы Sk1/4 (этой стороне соответствует Z+), пересечет резонанс около точки Г] = О и выйдет с другой стороны S /4 (Z_). Квази-траектории Пт,... ,QhQi+u ... сопоставим последовательность (ат, (рт),..., (ah w), (al+hipl+l),... (2.5.59) Если последовательность {а{\ пересекает цилиндр Z, то соответствующая последовательность {spi\ пересечет полосу (2.5.46). Вначале пересечем множество Z\Z. Обе его связные компоненты пересекаются аналогично, поэтому мы построим траекторию {(сц,(рі)}, приближающуюся к резонансу. Пусть точка (ат,(рт) Є Z\Z, соответствует точке ( pm,Cm,fm}tm) квазитраектории. Тогда ат Є [c\\oge\-V2,ce-V4].
Рассмотрим решение z{t) = (a{t),(p{t)) системы (2.5.56), проходящее через (ат,(рт). Пусть для определенности z(0) = (ат,(рт), а Т 2/\аат\ время, за которое угол ip системы (2.5.43) делает ровно один полный оборот. Тогда соответствующее дискретное решение {щ,фі} системы (2.5.54)–(2.5.55) с начальным условием (ат,фт) = (ат,рт) Є Z аппроксимирует непрерывное решение z(t) с точностью TxO(log2) C1am-1log2, где Сі 0 не зависит от е. Поскольку точка z(T) находится ближе к резонансу Т1 на величину порядка 0(\ат loge]"1), чем z(0), то соответствующая z(T) точка ат+м будет находиться ближе к резонансу Т1, чем ат, на величину порядка O(\am\oge\-1) C2\am\oge\-1 100C1\am\-1e\\oge\2. Здесь С2 0 — не зависит от є, а М Сэ,а п1е 1/2\ log"1 є\, где Сз 0 не зависит от є. Возьмем к, єо, удовлетворяющие неравенствам (2.5.45), и применим лемму 2.5.3. Тогда за М шагов решения {(а/, (/?/)} системы (2.5.52)–(2.5.53) с начальным условием (ат,(рт) и {(аі,фі)} системы (2.5.54)-(2.5.55) разойдутся на величину не больше, чем 1/ЪС2\ат loge]"1. Следовательно, точка ат+м будет находиться ближе к резонансу Т1, чем ат, по крайней мере на величину 4/5C2aTOloge_1. Далее повторяем всю процедуру заново для другого непрерывного решения z(t), проходящего через точку (ат+м, рт+м) до тех пор, пока последовательность {(а/, (/?/)} не войдет в цилиндр Z.
Следствие 2.5.5. Таким образом построенная последовательность {(ah(pi)} пересекает Z\Z со средней скоростью порядка О (у/є). Соответствующая траектория {єр} движется к резонансу со средней скоростью порядка О (є).
Теперь пересечем цилиндр Z. Пусть H (0, т) є /( ), \ат\ xjblog 2 є. Рассмотрим решение z(t) системы (2.5.56), проходящее через (ат, (рт). Согласно лемме 2.5.5 z(t) пересекает цилиндр Z за время порядка Т = 0(\ logє1/2). Соответствующее дискретное решение {(й/, (/?/)} системы (2.5.54)–(2.5.55) аппроксимирует z(t) с точностью порядка 0(\ \oge\1 2) х 0(є\ loge2) = 0(є\ loge5/2) Cl\ loge5/2, С2 = 2с, поэтому траектория системы (2.5.54)–(2.5.55) пересекает цилиндр Z вместе с z(t) за число шагов
Переход через Sk
В самом деле, предположим, что х Є П П Л — не вершина П. Выберем такой номер j, что система Х\,... ,Xj-\,x является линейно независимой, а вектора хх,...,х3,х — линейно зависимые. Построим параллелепипед Ц; (размерности j), соответствующий системе xi,..., Xj. Пусть Vj — множество его вершин. Для любой вершины v Є Vj опеределим j-мерный симплекс Sv С П как выпуклую оболочку v и всех вершин Vj, соединенных с v ребром. Тогда Uj = UveVoSv.
Каждый симплекс Sv содержит ребро, выходящее из -и и имеющее длину \Xj\, в то время как из (2.6.28) длины остальных ребер, выходящих из v не превосходят \XJ\. Отсюда шар Bv с центром в v радиуса \Xj\ содержит Sv. Следовательно, П - С UveVjBv.
Отсюда можно заключить, что х принадлежит некоторому шару Bv. Другими словами, \v — х\ \XJ\. Точка v — х также принадлежит Л и векторы Х\,... ,Xj-\,v — х линейно независимы. Это противоречит определению Xj. Это доказывает утверждение. Для любых 1 і j п имеем: \х3 ± хг\ \XJ\. Это эквивалентно (Xj-Xi Xj-Xi) (XjiXj), откуда следует, что соз«ч Н 4
Ниже мы используем фундаментальную систему (2.6.28). Следствие 2.6.3. Из (2.6.28) диаметрП удовлетворяет неравенству 5 п\хп\. Сдвиги П на векторы ж Є Л образуют покрытие Тп, такое что для двух различных векторов Х\,Х2 Є Л іпі(жі+П)Піпі(ж2 + П) = 0. Назовем (п — 1)-мерные грани параллелепипедов х + П черными, если они транс-версальны хп.
Следствие 2.6.4. Существует константа с, зависящая только от п, такая что для построенной выше фундаментальной системы хЛ,...,хп высота h параллелепипеда П, которая перпендикулярна черной грани, удовлетворяет неравенству h c\xn\. (2.6.29) Пусть В СТП - объединение всех черных граней. Тогда В - {п - 1)-мерное (не обязательно гладкое) подмногообразие ТТ. Рассмотрим гиперплоскость Г = span(zb ... ,жп_і) = {ж Є Rn : (р,ж = 0}. (2.6.30) Положим Г = тг(Т) С Тп. Тогда Г - связная компонента Б, содержащая 0. Пусть d0 максимальный диаметр открытого шара в Тп \ Т. Следующее предложение дает важную информацию о векторе р. Для данного ненулевого вектора а Є Шп пусть Та — гиперплоскость Та = {хеШп : (а, ж) =0}. Определим Га = n(ta). Предложение 2.6.5. Предположим Тп\% содержит открытый шар В диаметра d. Тогда а \\ Ъ Є Ъп, 0 6 l/d. Доказательство. Рассмотрим полный прообраз Тогда Rn \ 7г-1 (Та) содержит шар В диаметра d. Если а не параллелен целочисленному вектору, неравенство 0 (а,т) є имеет решение тє Є Zn для всех малых є 0. Плоскости тк + Та, к Є Z лежат в тг-1 {Та) и пересекают любой шар диаметра К, а) є Й Н Это означает, что а \\ Ь для некоторого целочисленного Ь 0. Мы предполагаем, что НОД(&і,... А) =. Тогда min{(m, Ъ) : m Є Zn, (m, 6) 0} = 1. Пусть этот минимум достигается на т Є Zn. Тогда Мп \ 7г_1ТО = UAGZ(m fc + 7 ). Отсюда радиус любого шара сВсГ\ тт \Та) меньше чем 1/6.
По предложению 2.6.5 без ограничения общности вектор р, см. (2.6.30), удо влетворяет pGZn, НОД(рі,...,рп) = 1, 0 p l/do. (2.6.31) Пусть s — число компонент связности В. Предложение 2.6.6. (1) (р,ж) = 0 mod Z для всех х Є Г П Л. (2) (р, ж) = 0 mod ±Z для всех ж Є Л. Доказательство. Пункт (1) следует из (2.6.30). Заметим, что В = Г U (хп + Г) U ... U ((s - 1)жп + Г), Г = (s n + Г). Отсюда следует (2). П Следствие 2.6.5. (sp,x) = 0 mod Z для любого ж Є Л. Остается оценить \sp\. Мы имеем: S 1 1 п sp у т — do h фп\ cj где первое неравенство следует из (2.6.31), второе - из определения h (см. 2.6.4), третье - из (2.6.29), а четвертое неравенство - из следствия 2.6.3.
Как уже отмечалось в доказательстве утверждения 2.4.2, отображение f(() = FP(0, ( + vj-i+i) разрывно в точке ( в двух случаях: 1) {С + ІУА+ЬЦ ЄФ; 2) r(C + v ti+i) является одним из концов отрезка [о, (К/Х) 1/2 . Рассмотрим уравнения (2.5.38), описывающие динамику последовательности {( /} = {((і, к)}. Ее члены монотонно движутся по окружности с переменным шагом Д/ = єш /+і(аа/+і + (,/(0)) 0, d ] loge А/ d2e"\ logs, где dx;i 0 не зависят от є и I. Для некоторого М = 0{е ш\ log-1 є) последовательность { /?/}, / = m, m+1,..., т+М, сделает полный оборот вокруг окружности, поэтому для достаточно малого є 0 мы можем сделать так, что в окрестность 0(Ф-{ъ,Щ+ие\к\) сТ попала малая доля членов последовательности. Если т(0 + z/J/+i) является одним из концов отрезка [о, (К/Х) 1/2 ] , то т(0) Є {ti+uti+i + (К/Х) 1/2}. Заменим ti+i на ti+l ± 1 так, чтобы удовлетворялись нера венства (2.4.6). Тогда т(С + v ti+i) Є {1, ( K/X)l/2 - 1}. . В диссертации рассматриваются два блока вопросов, связанных со свойством неустойчивости траекторий в гамильтоновых системах.
Первая задача посвящена одному из обобщений периодических решений — так называемым g–периодическим траекториям. Здесь g — диффеоморфизм конфигурационного многообразия, сохраняющий лагранжиан системы. Рассматриваются системы как с непрерывным, так и с дискретным временем. Для обоих случаев получены обобщения знаменитой формулы Хилла для периодических траекторий, и из них выводятся достаточные условия орбитальной неустойчивости g–периодических траекторий, связывающие, например, такие величины, как индекс Морса траектории и размерность конфигурационного многообразия, с неустойчивостью траекторий. Рассмотрен случай вырождения траектории, и приводится редуцированная обобщенная формула Хилла. В качестве примера вырождения рассмотрен автономный случай.
Вторая задача посвящена такому явлению неустойчивости в динамике, как диффузия Арнольда. Рассматриваются многомерные априори неустойчивые близкие к интегрируемым гамильтоновы системы, у которых возмущение в первом приближении является тригонометрическим полиномом по быстрым переменным. Для этого случая доказано наличие диффузии в окрестности резонансов низкого порядка для типичного возмущения. Получена оценка скорости диффузии. В комбинации с результатами статьи [63] это доказывает наличие диффузии во всем пространстве действий в типичном случае для описанных выше систем. Нет никаких сомнений, что требование того, чтобы возмущение в первом приближении являлось тригонометрическим переменным по угловым переменным, можно опустить, и все результаты данной работы верны и в этом случае, однако это требует более сложных доказательств.