Введение к работе
Актуальность темы. История задачи о качении твердого тела насчитывает более двух с половиной столетий. Она исследовалась еще в работах Л. Эйлера, С. Пуассона, П. Аппеля, Э. Рауса.
Позже вопросы об интегрируемости этой задачи и различных ее модификаций рассматривались Д. К. Бобылевым, П. В. Воронцом, Н. Е. Жуковским, С. А. Чаплыгиным, а также рядом современных ученых: Е. И. Харламова, Ю. П. Бычков, А. П. Маркеев, В. В. Козлов, А. С. Сумбатов, Я. В. Татаринов, А. П. и Л. Е. Веселовы, Н. Г. Мощук, А. А. Буров, К). Н. Федоров.
О том, сколь важен поиск новых интегрируемых случаев в гамильтоновой механике, хорошо известно. Не менее важна эта задача и в неголономной механике.
В связи с этим представляет интерес выделение случаев, когда система уравнений движения имеет приводящий множитель. При отсутствии такового уже можно говорить о неинтегрируемости задачи в квадратурах.
Идея приводящего множителя, или абсолютного интегрального инварианта, восходит к К. Якоби и Э. Картану, а ее применение в неголономной механике — к С. А. Чаплыгину. В последние годы она* получила развитие в работах В. В. Козлова.
В настоящей диссертации изучается вопрос о существовании интегрального инварианта в задаче о качении без скольжения по неподвижной поверхности твердого тела, а также в ее многомерном аналоге. (Интегрируемость многомерного аналога задачи Эйлера изучалась В. И. Арнольдом, С. В. Манаковым).
Цель исследования — поиск случаев существования интегрального инварианта в задаче о качении без скольжения по неподвижной поверхности твердого тела, а также в ее многомерном аналоге; разработать методику отыскания множителя Якоби, выявить случаи его существования.
Научная новизна диссертации: Ее основные результаты состоят в следующем:
-
Предложена методика отыскания интегрального инварианта в задаче о качении без скольжения. Дивергенция уравнений Аппеля преобразована к виду, удобному для дальнейших вычислений и исследований. Найдена новая форма кинематических уравнений движения, получающихся из условия качения без скольжения.
-
Обнаружены новые случаи существования интегрального инварианта.
-
Получено необходимое условие существования интегрального инварианта в окрестности положения стационарного вращения твердого тела на неподвижной поверхности при отсутствии внешних сил.
-
Выведены уравнения качения без скольжения многомерного твердого тела по неподвижной гиперповерхности. Часть найденных ранее случаев существования интегрального инварианта обобщена на многомерный случай.
Методы исследования основаны на матричной алгебре, тензорном исчислении, дифференциальной геометрии поверхностей и многообразий.
Практическая и теоретическая ценность диссертации:
Предоставлен выбор задач неголономной механики для выявления случаев возможной интегрируемости в квадратурах, а также для отыскания случаев приведения системы уравнений движения к гамильтоновому виду. Предложенная методика отыскания интегрального инварианта может быть использована и в других задачах неголономной механики, например, в задаче о качении без скольжения по неподвижной поверхности твердого тела с острым краем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в МГУ на семинаре по классической динамике под руководством.проф. В. Г. Демина, доц. Н. Н. Колесникова, вед. н. с. Я. В. Татаринова и на семинаре по динамическим системам классической механики под руководством проф. В. В. Козлова и к. ф. м. н. С. В. Болотина.
Публикации автора по теме диссертации перечислены в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Она состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы (39 наименований). Всего 94 стр.