Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Устойчивость и ветвление относительных равновесий математического маятника с точкой подвеса, скользящей по вращающейся эллиптической рамке
1.1 Постановка задачи 10
1.2 Тривиальные относительные равновесия и их устойчивость 11
1.3 Преобразование уравнений 14
1.4 Разложения решений по параметру в случае А ф 0 и 16 А ф v - 2 (pq ф 1 и pqfj, ф 1)
1.5 Разложения решений по параметру в случае А — v — 2 20 (pq/л = 1)
1.6 Разложения решений по параметру в случае А = 0 22 (pq = 1)
1.7 Бифуркационная диаграмма 23
1.8 Таблица 1.1. Конфигурации маятника 25
1.9 Рисунки 30
Глава 2. Устойчивость и ветвление относительных равновесий трехзвенного маятника во вращающейся системе отсчета
2.1 Постановка задачи 31
2.2 Тривиальные положения равновесия и их устойчивость 32
2.3 Преобразование уравнений 36
2.4 Исследование устойчивости решений Д± 42
2.5 Предельные решения 45
2.6 Разложения решений, ответвляющихся от собственных предельных точек и их устойчивость
2.6.1 Решения, ответвляющиеся от точки (0,0) 47
2.6.2 Решения, ответвляющиеся от точки (0, Y^~) 51
2.6.3 Решения, ответвляющиеся от точки (0, YQ~) 51
2.6.4 Решения, ответвляющиеся от точки (Х5~,0) 52
2.6.5 Решения, ответвляющиеся от точки (XQ,0) 53
2.6.6 Решения, ответвляющиеся от ненулевых предельных точек 55
2.7 Решения, для которых одна или обе переменные неограничены при є —> 0
2.7.1 Решения, для которых X —> 0, Y — со при є->0 56
2.7.2 Решения, для которых X —) А ф 0, У —У оо, при є -> 0 56
2.7.3 Решения, для которых обе переменные стремятся к бесконечности при є -> 0 57
2.8 Бифуркационная диаграмма 60
2.9 Таблица 2.1. Конфигурации маятника 61
2.10 Рисунки 73
Глава 3. Устойчивость и ветвление установившихся движений гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле
3.1 Постановка задачи 127
3.2 Простейшие семейства установившихся движений и их устойчивость 131
3.3 Дальнейшее исследование семейств установившихся движений 140
3.4 Рисунки 149
Заключение 150
Литература 151
- Тривиальные относительные равновесия и их устойчивость
- Тривиальные положения равновесия и их устойчивость
- Разложения решений, ответвляющихся от собственных предельных точек и их устойчивость
- Простейшие семейства установившихся движений и их устойчивость
Введение к работе
Динамика многозвенных систем представляет собой быстро развивающийся и, одновременно, один из самых трудных разделов теоретической механики. Интерес к подобным задачам обусловлен их многочисленными приложениями в таких разделах механики, как робототехника и динамика космического полета. При этом основная трудность в изучении таких систем обуславливается наличием многих степеней свободы и связанной с ней необходимостью анализа большого числа нелинейных уравнений со многими неизвестными. В диссертации рассмотрены несколько частных случаев систем многих тел: маятниковые системы в однородном и центральном поле тяготения.
Изучение динамики тела, подвешенного на струне (стержне) к вращающейся вокруг вертикали горизонтальной оси, в однородном поле тяжести берет свое начало в экспериментальных исследованиях, проводившихся под руководством М.А. Лаврентьева. Теоретические исследования динамики тела со струнным приводом развивались А.Ю. Ишлинским, В.В. Румянцевым, С.А. Мирером, В.А. Сарычевым и многими другими [1, 14-17, 22-24, 26].
Так, В.В. Румянцевым [26] были выведены уравнения движения тела и проведен их анализ, в частности, показано существование интегралов энергии и площадей. Особый интерес вызвали частные решения уравнений движений, названные перманентными вращениями, т.е. такие движения, при которых тело и струна вращаются вокруг вертикали как единое целое, а в системе координат, вращающейся вместе с телом, они находятся в положении относительного равновесия, а также предельные движения системы, т.е. ее поведение при больших угловых скоростях. Исследованию этих вопросов посвящено большое число работ (см. обзоры [17], [24]), в частности, перманетные вращения осесимметричного тела с подвесом, смещенным с оси симметрии, исследовались в [15], его предельные режимы - в [16]. В случае крепления подвеса к оси симметрии полное исследование перманетных вращений выполнено в [14], [23], предельные режимы исследованы в [22].
Рассмотренная в настоящей работе маятниковая система в центральном гравитационном поле тяготения представляет собой частный случай орбитальной тросовой системы (ТС), т.е. системы нескольких твердых тел или точек с наложенными на них связями, допускающими их относительное перемещение, в космическом пространстве.
Впервые идею практического использования тросовых систем в космических исследованиях высказал К.Э.Циолковский [31]. Свое дальнейшее развитие она получила в проекте Ю.Н. Арцутанова «космический лифт», который предложил использовать трос, одним концом закрепленный на Земле а другим концом находящийся на орбите или другом небесном теле, для доставок груза или межпланетного перелета [2]. Однако теоретический расчет [39] показал невозможность реализовать такой проект из-за отсутствия материалов необходимой прочности. В последние годы развитие нанотехнологий и связанная с этим возможность получения сверхпрочных и сверхтонких волокон позволили дать подобным проектам «второе дыхание», в частности, один из проектов НАСА предусматривает построение системы типа «космический лифт» к 2050 году.
В дальнейшем было предложено более 20-ти различных вариантов применения тросовых систем в космосе [3], их число постоянно растет. Фундаментальные результаты в исследовании динамики орбитальных тросовых систем принадлежат В.В. Белецкому [3]. Задаче динамики орбитальных тросовых систем посвящено большое количество теоретических исследований, предложены различные модели тросовой системы различной степени сложности, начиная с модели двух точек, связанных невесомой нерастяжимой нитью, до модели нескольких тел (или гиростатов), связанных весомым деформируемым тросом, учтены также возможные ударные взаимодействия в таких системах. Классифицированы возмущающие факторы, влияющие на движение ТС (несферичность Земли, неидеальность троса, влияние атмосферы, магнитных и электрических сил, возникающих в тросе, светового давления), даны их численные оценки [4], [5-7], [9-13], [19,20], [25], [27-29], [33-49].
Проведены исследования в космосе с экспериментальными орбитальными тросовыми системами [34].
Большое число работ посвящено также вопросам управления орбитальными объектами с помощью тросовых систем [34], [36], [41-46].
Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Во введении обосновывается актуальность темы, ее научная новизна, дается краткий исторический обзор и краткое содержание диссертации.
В первой главе исследуются относительные равновесия математического маятника с массивной точкой подвеса, скользящей по вращающемуся вертикально расположенному эллипсу в однородном поле тяжести. Показано, что у данной механичекой системы существует четыре геометрически различных тривиальных положений равновесия, исследована их устойчивость. Заменой переменной система уравнений для определения относительных равновесий механической системы сведена к одному уравнению относительно угла отклонения маятника от вертикали. Левая часть уравнения представляет собой многочлен шестой степени относительно косинуса угла отклонения, поэтому у данной механической системы существует не более шести нетривиальных положений равновесия (два из которых могут быть изолированными а четыре ответвляются от тривиальных).
Проведен анализ нетривиальных положений равновесия при больших угловых скоростях, получены все равновесные конфигурации маятника. Показано, что их число зависит от соотношения между геометрическими параметрами системы (длинами полуосей эллипса и подвеса маятника). На плоскости (Ь/а,с/а) (а, Ь полуоси эллипса, с -длина маятника) получены кривые - границы областей с одинаковым числом равновесных конфигураций. При этом инерционная характеристика системы (отношение масс) влияет только на размер областей. Также при больших угловых скоростях исследована устойчивость равновесных конфигураций. Знаки вторых производных измененного потенциала вычислялись по первым ненулевым членами их разложений по параметру є, обратно пропорциональному обезразмеренной угловой скорости. Для всех конфигураций приведена их геометрическая интерпретация.
Во второй главе изучаются относительные равновесия трехзвенного маятника с вращающейся осью подвеса. Получены восемь геометрически различных тривиальных положений равновесия, исследована их устойчивость. Обнаружена смена устойчивости тривиальных положений равновесия при увеличении угловой скорости вращения, что указывает на существование не менее двенадцати нетривиальных положений равновесия.
Замена переменных позволяет свести систему уравнений для определения относительных равновесий к системе двух уравнений, левые части которых представляют собой многочлены от двух переменных.
Проведено исследование равновесных конфигураций маятника при угловых скоростях вращения, стремящихся к бесконечности. В отличие от предыдущей задачи, здесь приходится изучать не только конечные предельные значения новых переменных, но и случаи, когда одна или обе переменные стремятся при увеличении угловой скорости к бесконечности. Этим фактом обуславливается большее разнообразие асимптотических конфигураций маятника, а также более сложное разбиение плоскости {p,q) геометрических параметров системы (р -отношение длин первого и второго звеньев, q - первого и третьего) на области с одинаковым числом равновесных конфигураций. Роль инерционных характеристик системы также возрастает: в отличие от предыдущей главы они влияют не только на размер областей, но и на их количество (существование). Для всех конфигураций проведено исследование устойчивости при больших угловых скоростях и дана геометрическая иллюстрация равновесий.
В третьей главе рассматривается задача о существовании, устойчивости и бифуркации установившихся движений орбитальной связки двух тел в случае, когда одно из тел движется по круговой кеплеровой орбите, невозмущаемой движением другого тела, а другое представляет собой симметричный субспутник с ротором на оси симметрии. Один конец стержня прикреплен к оси симметрии субспутника, а второй закреплен в другом теле так, что точка крепления движется по круговой кеплеровой орбите. Такая механическая система является частным случаем системы, рассмотренной в [37], однако дополнительная симметрия задачи обуславливает существование движений, невозможных в общем случае (в отличие от работы [37], где в общей постановке найдены относительные равновесия, форма которых зависит от значения кинетического момента, при рассмотрении осесимметричного тела с указанным расположением ротора удается определить однопарамет-рические семейства установившихся движений, где свободным параметром является угловая скорость вращения самого тела вокруг его оси симметрии, и исследовать их устойчивость, которая зависит от значения угловой скорости вращения ротора).
Для данной механической системы показано существование дополнительного первого интеграла, кроме указанных в [37], и построен приведенный потенциал.
Получены шесть простейших семейств установившихся движений и исследована их устойчивость. Показано, что параметром, влияющим на устойчивость этих движений является не только кинетический момент ротора, но и длина стержня; т.е. при фиксированном кинетическом моменте степень неустойчивости будет меняться, если меняется длина стержня.
Пользуясь тем, что часть уравнений для определения установившихся движений можно представить в виде A(z)z = 0, где A(z) -матрица, z - столбец координат, дальнейшее изучение этих движений можно разбить на случаи, когда ранг матрицы А равен соответственно О, 1 и 2. Исследованы все случаи равенства ранга матрицы А нулю и часть случаев, когда rank А = 1. При этом получены еще шесть более сложных семейств установившихся движений; исследована устойчивость двух из них. Для всех семейств установившихся движений дана геометрическая иллюстрация.
В заключении коротко сформулированы основные результаты работы.
В приложении приведены громоздкие вычисления, связанные с получением разложений решений системы уравнений для определения равновесных конфигураций трехзвенного маятника по малому параметру.
Тривиальные относительные равновесия и их устойчивость
Положения относительного равновесия отвечают критическим точкам функции V [18], то есть являются решениями системы:
Нетрудно видеть, что система (1.1) допускает тривиальные решения вида: sin a = 0, sin/? = 0. Учитывая промежутки, на которых рассматриваются углы а и /3, имеем четыре геометрически различных тривиальных решения, существующих при любых угловых скоростях. Будем обозначать эти решения S±±, где знак "+"или " — "ставится, если косинус соответствующего угла равен 1 или —1, первый индекс соответствует углу а, второй - углу /?. Исследуем устойчивость этих решений. Обозначим cos а = ка, cos/З = кр, ка = ±1, кр = ±1. Тогда для рассматриваемых решений матрица вторых производных имеет следующий вид: а для главных диагональных миноров матрицы получаем выражения (индекс указывает размерность минора): всегда положителен: при какр = — 1 это очевидно, при какр = 1 это следует из неравенств: Таким образом, минор Д2 всегда имеет два (необязательно положительных) корня. Кроме того, Дг (-) = — q2p2 0. Рассмотрим далее каждое тривиальное равновесие. Решение 5++. Геометрически оно означает, что точка подвеса находится в наинизшей точке на эллипсе, и маятник направлен вдоль нисходящей вертикали. В этом случае минор Аг имеет два положительных корня: его старший коэффициент больше нуля. Ai 0 & є 1/р2, откуда следует, что решение S++ устойчиво, если є є+, имеет степень неустойчивости 1, если, є+ є е_, имеет степень неустойчивости 2 При Є -. Решение S+ . Для этого решения точка подвеса находится в наинизшей точке на эллипсе, и маятник направлен вдоль восходящей вертикали. В этом случае минор Дг имеет положительный корень: старший коэффициент минора отрицателен. Ai О = є 1/р2, откуда следует, что решение S+ имеет степень неустойчивости 1, если є є+, имеет степень неустойчивости 2 при Є Є+. Решение S +. Геометрически оно означает, что точка подвеса находится в наивысшей точке на эллипсе, и маятник направлен вдоль нисходящей вертикали. Для этого решения минор Дг имеет положительный корень: старший коэффициент минора отрицателен; А\ О для всех є. Следовательно, решение S + имеет степень неустойчивости 1 при є є+ и степень неустойчивости 2 при Є Є+.
Решение S . Геометрически оно означает, что точка подвеса находится в наивысшей точке на эллипсе, и маятник направлен вертикально вверх. В этом случае для всех є минор Ai 0, Аг 0; решение S имеет степень неустойчивости 2.
Вышеприведенный анализ показывает, что при переходе параметра є через корни минора Аг меняется степень неустойчивости тривиальных решений; согласно теории бифуркации [32], от этих решений ответвляются другие (нетривиальные) положения равновесия: от решения S++ - два решения, от решений S+ , S + - по одному решению.
Если a, /3 - нетривиальное решение системы (1.2), то согласно [21], строки матрицы В должны быть линейно зависимыми, т. е. ее ранг на этом решении должен быть меньше двух. Очевидно, что ни при каком решении системы (1.2) в матрице В не может быть нулевых строк. Следовательно, для всех нетривиальных решений строки матрицы В пропорциональны с ненулевым коэффициентом пропорциональности Л:
Теперь подставляем полученные значения cos а и Л во второе уравнение системы (1.1), возводим его в квадрат; окончательно имеем:
Умножая первое уравнение системы (1.1) на cos/З, второе - на cos а, складывая их и деля результат на sin а, получаем:
Последнее выражение удобнее для определения угла а по известному значению /3, так как не содержит Л.
Уравнение (1.4) дает значение cos/З, после из (1.5) определяется значение а; знак sin/З определяется из второго уравнения системы (1.1): Раскрывая в (1.4) скобки, получим:
Любое нетривиальное положение равновесия соответствует решению уравнения (1.7), и, наоборот, любое решение уравнения (1.7) отвечает некоторому положению относительного равновесия.
Изучим вопрос о числе и асимптотическом виде всех положений относительного равновесия маятника, когда угловая скорость вращения ш стремится к бесконечности (т.е. є — 0). Построим разложения решений уравнения (1.7) по параметру є.
Тривиальные положения равновесия и их устойчивость
Положения относительного равновесия рассматриваемой механической системы соответствуют критическим точкам функции V [18], которые определяются из системы уравнений:
Очевидно, эта система допускает (тривиальные) решения вида sin /?i = 0, і = 1,2,3. С учетом интервалов изменения углов і у?2» Рз, имеется восемь геометрически различных тривиальных положений равновесия, существующих при любых угловых скоростях. Будем обозначать эти решения 5±zt±, где знак "+"или "—"ставится, если косинус соответствующего угла равен 1 (стержень направлен вертикально вниз), или —1 (стержень направлен вертикально вверх). Таким образом, запись S+ + означает, что рассматривается решение, для которого cosy?i = 1, cosy?2 = — 1) cos 3 = 1 (первый и третий стержни направлены вертикально вниз, второй-вертикально вверх). Исследуем устойчивость этих решений.
Вычисляя матрицу вторых производных функции V на тривиальных решениях, имеем: nbгде Л ,, = р — и, Ар = ц — ly Av = v — 1. Выясним число и взаимное расположение корней миноров Ді, Д2, Дз (относительно параметра 1 без учета его положительности). Минор Ді имеет единственный корень «і. Дискриминант D минора Д2 равен р?(кір + я2)2 — 4кі«2р/і(д — и), и всегда положителен: при /Сік2 = —1 это очевидно при «і«2 = 1 это следует из неравенства:
Следовательно, минор Д2 всегда имеет два действительных корня QQ . При этом Д2(кі) = — pv\ так как коэффициент при Q2 положителен, то bnкорни Д2 лежат по разные стороны от точки к\. Вычислим значения ДзФоО- Так как bто, подставляя эти выражения в Д3 и приводя подобные слагаемые, имеем:
Так как точка к,\ лежит всегда между корнями минора Д2, то произведение Дз( о )Дз( о) всегДа отрицательно, а значит, между корнями минора Д2 всегда находится корень минора Дз. Рассмотрим теперь каждое тривиальное относительное равновесие.
Решение S+++. В этом случае оба корня минора Д2 положительны; Д2(0) = pj«/, Дз(0) = да/xz/, Д3(+со) = -p2q2AfMVAv. Значит, Дз( о) 0, Д3(По) 0, и все три корня Пі, П2, з минора Дз положительны. Распределение знаков главных миноров и эскиз графика минора Дз показаны на рис. 2.2, соответственно, степень неустойчивости решения +++ равна 0 при П Є (0, Пі), равна 1 при П Є (Пі,П2), 2 при П (П2, П3), 3 при П Є (П3, со).
Решение S++ . Оба корня минора Д2 положительны; Д2(0) = pfiu, Д3(0) = —pqfii/. Значит, Дз(По) 0, Дз(По) 0» Два корня Пі, П2 минора Дз положительны, корень Пз отрицателен. Распределение знаков главных миноров и эскиз графика минора Дз показаны на рис. 2.3, соответственно, степень неустойчивости решения S++ равна 1 при П Є (0, Пі), равна 2 при П Є (Пі, П2), 3 при П Є (П2, со).
Решение S+ +. Корни минора Д2 имеют разные знаки, причем положительный больше 1, Дз(0) = —pqfiu. Значит, Дз( о) 0 Два К0Р" ня Пі, П2 минора Дз положительны, корень Пз отрицателен. Распре деление знаков главных миноров и эскиз графика минора Дз показаны на рис. 2.4, соответственно, степень неустойчивости решения S+ + равна 1 при П (0, Пі), равна 2 при П (Пі,Пг), 3 при П Є (П2,оо).
Решение S+ . Корни минора Дг имеют разные знаки, причем положительный больше 1, Дз(0) = pqfiv. Значит, Дз(По) 0 Два корня f&2, Пз минора Дз отрицательны, корень Пі положителен. Распределение знаков главных миноров и эскиз графика минора Дз показаны на рис. 2.5, соответственно, степень неустойчивости решения S+ равна 2 при П Є (0, Пі) или 3 при П Є (Пі, со).
Решение S ++. Корни минора Дг имеют разные знаки, Дз(0) = —pqjiv. Значит, Дз(П ) 0, два корня Пі, Пг минора Дз положительны, корень Пз отрицателен. Распределение знаков главных миноров и эскиз графика минора Дз показаны на рис. 2.6, соответственно, степень неустойчивости решения S ++ равна 1 при П Є (0, Пі), равна 2 при П Є (Пі, Пг), 3 при П Є (Пг, оо).
Решение S + . Корни минора Д2 имеют разные знаки, Дз(0) = vqiw- Значит, Дз(Пд) 0, два корня П2, Пз минора Дз отрицательны, корень Пі положителен. Распределение знаков главных миноров и эскиз графика минора Дз показано на рис. 2.7, соответственно, степень неустойчивости решения S + равна 2 при П Є (0, Пі) или 3 при П Є (Пі,оо).
Решение S +. Оба корня минора Дг отрицательны, Дз(0) = pqpv. Значит, два корня П2, Пз минора Дз отрицательны, корень Пі положителен. Распределение знаков главных миноров и эскиз графика минора Дз показаны на рис. 2.8, соответственно, степень неустойчивости решения S + равна 2 при П Є (0, Пі) или 3 при П Є (Пі, оо).
Решение S . Имеем: для любого положительного П Ді О, Д2 0, Дз 0, следовательно, степень неустойчивости решения S равна 3 при всех П 0. Замечание. Для разных решений корни минора Аз различны.
Таким образом, при переходе параметра 1 через корни минора Аз меняется степень неустойчивости тривиальных решений, следовательно, согласно теории бифуркации [32], от этих решений ответвляются другие (нетривиальные) положения равновесия: от решения S+++ ответвляется три нетривиальных решения, от решений 5++_, S+ +, S ++ - по два нетривиальных решения, от решений S+ , S +, S + - по одному соответственно.
Разложения решений, ответвляющихся от собственных предельных точек и их устойчивость
Рассматривается механическая система, состоящая из пары твердых тел, связанных безмассовым абсолютно твердым стержнем с помощью двух сферических шарниров, в центральном гравитационном поле. Предполагается, что одно из тел движется по круговой кепле-ровой орбите, а точка крепления стержня к этому телу (А) также движется по круговой кеплеровой орбите радиуса R вокруг притягивающего центра N. Другое тело предполагается динамически симметричным с точкой крепления к стержню, лежащей на оси симметрии, и несет ротор, вращающийся вокруг оси симметрии тела с постоянной относительно этого тела угловой скоростью.
Пусть АХаХ Х1 — орбитальная система координат, единичные векторы которой а, /3, 7 направлены соответственно по касательной к орбите, по нормали к плоскости орбиты и по радиус-вектору NA (NA = ifry), а Фо = const — величина орбитальной угловой скорости. Пусть второй конец В стержня длины I фиксирован в гиростате, при этом АВ = 1р, где р — также единичный вектор. Пусть центр масс гиростата G лежит на его оси симметрии на расстоянии о от точки подвеса. Тогда радиус-вектор г центра масс в абсолютном пространстве можно представить в виде г — Ry + lp + as, где а — единичный направляющий вектор оси симметрии, фиксированный в гиростате. Обозначим через О величину угловой скорости ротора относительно гиростата, через J — его осевой момент инерции, а через К = JQ — величину собственного кинетического момента ротора (рис. 3.1).
Введем систему координат Gx\X2X$, связанную с гиростатом, с осями, совпадающими с главными осями инерции гиростата. В дальнейшем все векторные величины проектируются на эту систему координат. В случае, когда / + о JR, следуя работе [37], можно воспользоваться приближенным выражением для гравитационного потенциала силы притяжения, действующей на гиростат: Уравнения движения гиростата имеют вид:
Здесь w - скорость центра масс гиростата, ш - собственная угловая скорость гиростата, Кд - его кинетический момент, К - кинетический момент ротора, Т - сила реакции в стержне.
В работе [37] указаны следующие четыре первых интеграла, которые в общем случае допускают уравнения движения:
Эти интегралы выражают обобщенный закон сохранения энергии, а также единичность и ортогональность векторов /3, 7- Предполагается также, что выполнено условие недеформируемости стержня:
Покажем, что в случае симметричного гиростата и указанного расположения ротора существует интеграл: выражающий закон сохранения проекции момента количества движения на ось жз- Вычислим производную по времени от скалярного произведения (Кд, а) в силу уравнений движения (3.1):
В последнем равенстве второе слагаемое равно нулю, а первое преобразуется согласно уравнениям движения:
Первое слагаемое, очевидно, обращается в ноль. Покажем, что второе слагаемое также равно нулю. Имеем:
Так как вектор а в осях GxiX2X$ имеет координаты (0,0,1)т, то ска-лярное произведение \г х — ,а\ равно нулю. Найдем далее (А - неопределенный множитель Лагранжа). Необходимое условие экстремальности для функции F дает:
Выражая из интеграла (.К , а) = к компоненту вектора угловой ско рости 6J3, получаем выражения для приведенного потенциала: W = Установившиеся движения гиростата отвечают критическим точкам приведенного потенциала W [18], вычисленных при фиксированных константах интегралов F\-F±, то есть отвечают критическим точкам функции: где Л, і/, a, x неопределенные множители Лагранжа. Система уравнений для нахождения критических точек функции Wn имеет следующий вид:
Легко видеть, что уравнения (3.2) допускают следующие два одно-параметрических семейства решений:
Решение 5i существует при любых значениях параметров, геометрически оно означает, что точки А, В, G находятся на одной прямой, коллинеарной вектору /3 (т.е. ортогональной плоскости орбиты точки А).
Решение 5г существует лишь при условии а Z, оно означает, что центр масс гиростата движется по той же круговой орбите, что и точка А, его ось симметрии ортогональна плоскости орбиты точки А, стержень ненапряжен. В обоих случаях гиростат равномерно вращается вокруг своей оси симметрии с произвольной угловой скоростью.
Замечание. Отметим, что решение Si представляет собой множество из четырех семейств установившихся движений гиростата, соответствующих четырем возможным комбинациям знаков к\ и к-і (см. рис. 3.2), а решение Si - множество из двух семейств установившихся движений (см. рис. 3.3). Однако исследование устойчивости можно проводить сразу для всех семейств решений 5i и 52, поскольку выражения для главных миноров второй вариации функции Wn имеют единый вид для всех возможных наборов знаков.
Исследуем устойчивость установившихся движений, определяемых решением Si. Вторая вариация функции Ww имеет вид
Простейшие семейства установившихся движений и их устойчивость
Так как вектор а в осях GxiX2X$ имеет координаты (0,0,1)т, то ска-лярное произведение \г х — ,а\ равно нулю. Найдем далее (А - неопределенный множитель Лагранжа). Необходимое условие экстремальности для функции F дает: Выражая из интеграла (.К , а) = к компоненту вектора угловой ско рости 6J3, получаем выражения для приведенного потенциала: W = Установившиеся движения гиростата отвечают критическим точкам приведенного потенциала W [18], вычисленных при фиксированных константах интегралов F\-F±, то есть отвечают критическим точкам функции: где Л, і/, a, x неопределенные множители Лагранжа. Система уравнений для нахождения критических точек функции Wn имеет следующий вид: Легко видеть, что уравнения (3.2) допускают следующие два одно-параметрических семейства решений: Решение 5i существует при любых значениях параметров, геометрически оно означает, что точки А, В, G находятся на одной прямой, коллинеарной вектору /3 (т.е. ортогональной плоскости орбиты точки А). Решение 5г существует лишь при условии а Z, оно означает, что центр масс гиростата движется по той же круговой орбите, что и точка А, его ось симметрии ортогональна плоскости орбиты точки А, стержень ненапряжен. В обоих случаях гиростат равномерно вращается вокруг своей оси симметрии с произвольной угловой скоростью. Замечание.
Отметим, что решение Si представляет собой множество из четырех семейств установившихся движений гиростата, соответствующих четырем возможным комбинациям знаков к\ и к-і (см. рис. 3.2), а решение Si - множество из двух семейств установившихся движений (см. рис. 3.3). Однако исследование устойчивости можно проводить сразу для всех семейств решений 5i и 52, поскольку выражения для главных миноров второй вариации функции Wn имеют единый вид для всех возможных наборов знаков. Исследуем устойчивость установившихся движений, определяемых решением Si. Вторая вариация функции Ww имеет вид Линейное многообразие 8F = (8Fi, 8F2,8F3,8F4) = 0 на рассматриваемом решении определяется уравнениями: Учитывая эти соотношения, получаем следующее выражения для второй вариации 82Wn на линейном многообразии 8F = 0: PW, = (8/Зъ 802,6pi, 8р2)Ц8ръ8р2,8Ри 8р2)т Здесь L - симметричная Вычислим индекс квадратичной формы 82]№ж на линейном многообразии (3.3). Введем безразмерные параметры: Главные диагональные миноры квадратичной формы S2 W имеют вид: Видно, что они явно зависят от 71 и 72» поэтому для определения индекса квадратичной формы 82Wir удобнее пользоваться другими неравенствами для коэффициентов квадратичной формы (эквивалентными критерию Сильвестра) [30]: Рассмотрим случай «і = — 1 (при этом «2 может равняться как 3 плюс, так и минус единице). Тогда А[ 0, если р -, т.е. устойчи вость этих двух семейств установившихся движений зависит не только от скорости вращения ротора, но и от чисто геометрических характеристик системы.
Знак минора Д2 также зависит от соотношения длины стержня и расстояния от точки крепления гиростата к стержню до его центра масс: что имеет место зависимость устойчивости от направления вращения ротора, так как х линейно выражается через его кинетический момент К. Из вида выражения для х также следует, что промежутки значений кинетического момента ротора, на которых выполняются вышеуказанные неравенства, различны при «2 = 1 и «2 = — 1-Рассмотрим минор Д4. Его можно привести к виду где М - множитель при х в исходном выражении для Д4, деленный на (-«і + 1). Видно, что когда р Є (—1,0) U (3,+оо) (т.е. при деле нии выражения для Д4 на I -щ + 1) его знак не меняется), то Д4 0 при х Є (—oo,q) U (—М — q, +00), когда р Є (0,3), то Д4 0 при х Є (g, — М — q) (здесь q и — М — q- корни минора Д4). Учитывая ра венство —М — q = q — З I (г — 1— pq) — J (которое проверяется непосредственно), согласно теореме 1.3.6. [18], можно сделать следующие выводы (здесь и далее, под степенью неустойчивости решения «Si понимается степень неустойчивость обоих семейств установившихся движений, отвечающим знакам кч = ±1) : 1. MQ 0. Тогда если р 3, то при ж — М — q решение Si 135 устойчиво, при х Є (q, — М — q) оно имеет степень неустойчивости 1 (неустойчиво), при х q - степень неустойчивости 2. Если р Є (0,3), то при х —М — q степень неустойчивости 1, при х Є (q, —М — q) степень неустойчивости 2, при х q степень неустойчивости 3. Если же р 0, то при х —М — q степень неустойчивости 2, при х Є (g, — М — q) степень неустойчивости 3, при х q степень неустойчивости 4.
