Введение к работе
Актуальность проблеми. Теория устойчивости движения, основанная в конце прошлого века великим русским ученым A.M.Ляпуновым, интенсивно развивается и в настошдее время, привлекая большое внимание советских и зарубежных ученых, имея широкое применение в различных областях науки и техники.
Разработка теории устойчивости ведется по многим теоретически:.! и прикладным разделам: развитие первого и особенно второго метода Ляпунова, в том числе вектор-функции Ляпунова; устойчивость относительно части переменных; устойчивость систем с распределенными параметрами; устойчивость систем автоматического регулирования; устойчивость гамильтоновых систем; устойчивость и стабилизация механических систем и многие другие.
Второй или прямой метод Ляпунова является универсальным и эффективным методом исследования всей теории устойчивости, основным методом исследования устойчивости движения нелинейных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Существенное развитие этот метод получил в трудах Н.Г.Че-таева, Г.В.Каменкова, И.Г.Малкина, К.Г.Персидского, П.А.Кузьмина, '''.А.Барбашина, В.id.Зубова, Н.Н. Красо веко го, В.В.Румянцева, и.М.Магросова, Ж.Ла-Салля, Т.Йошизава и других ученых.
К числу основных и эффективных направлений прямого метода Ляпунова относятся: модификация и обобщение теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости путем ослабления условия 'знакоопределенности производной функции Ляпунова; исследование асимптотического поведения решений на основе функции Ляпунова, тлеющей знакопостоянную производную; аналогичное исследование в разделе устойчивости относительно части переменных. Такое изучение в случае автономной и периодической по времени систем проводилось в работах Е.Д.Барбашина и Н.Н.Кра-совского, Ж.Ла-Салля, В.В.Румянцева, К.Ризито, А.С.Озиранера, Н.Г.Булгакова и других ученых. Соответствующие результаты от- -носятся к числу наиболее употребительных теорем прямого метода.
В случае неавтономной системы в указанных направлениях исследования с использованием одной функции Ляпунова до последнего времени имелись лишь отдельные результаты.
Более полная разработка методов исследования: свойства притяжения; асимптотической устойчивости, віслючая равномерную аисмптотичаскую и эквиасимптотическую, и неустойчивости нулевого решения; свойства частичного притяжения, асимптотической устойчивости, включая равномерную асимптотическую и эквиасимптотическую, и неустойчивости нулевого решения относительно части переменных, как в предположении ограниченности решений по неконтролируемым переменным, так и без такого предположения -для общей неавтономной системы на основе одной функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную, представляет собой актуальный аспект проблемы развития прямого метода Ляпунова и составляет содержание первого круга задач, рассмотренных в диссертации.
Одной из основных задач исследования устойчивости и стабилизации движений механических задач является задача об устойчивости системы под действием диссипативных сил. Ее исследование было начато в рамках исследования о влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия механической системы еще во второй'половине прошлого века У.Томсоном и Г.Тентом, сформулировавших ряд теорем, строгое доказательство которых было дано замечательным'советским ученым Н.Г.Четаевым. Эта задача исследовалась затем в работах В.В.Румянцева, В.М.Мат-росова, Г.К.Пожарицкого, Д.Р.Меркина, Л.Сальвадори и других ученых. Результаты исследований имеют важное прикладное значение при решении задач стабилизации движений управляемых механических систем.
Однако исследования об устоичішости установившихся движений неавтономных механических систем являются далеко неполными, прежде всего, из-за недостатка соответствующих методов исследования.
Изучение достаточных условий полной и частичной асимптотической устойчивости, а также неустойчивости установившихся движений ряда различных неавтономных механических систем является актуальной проблемой исследований устойчивости и стабилизации движений механических систем и составляет содержание второго круга вопросов, рассмотренных в диссертации.
Целью работы является: разработка новых методов исследования притяжения, асимптотической устоичішости и неустойчивости по всем и части переменных для неавтономной системі на основе
функции Ляпунова со знакопостоянной производной в сочетании с использованием асимптотических свойств этой системы, определяемых ее топологической динамикой; применение получаемых методов к исследованию полной и частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия и стационарного движения неавтономной механической системы с решением ряда задач прикладного характера.
Научная новизна. В диссертации разработаны новые методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по всём и части переменных, относящиеся к прямому методу Ляпунова. На основе этих методов выполнено исследование устойчивости установившихся движений широкого класса неавтономных механических систем.
Основные научные положения. Автором защищаются следующие научные положения:
методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости к неустойчивости для неавтономных систем дифференциальных уравнений, основанные на синтезе анализа топологической динамики этих систем и существования функции Ляпунова, имеющей знакопостоянную производную;
аналогичные метода исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных;
построение топологической динамики системы для выявления структуры частичного предельного множества ее решений, и доказанные на этой основе теоремы о притяжении и асимптотической устойчивости по части переменных, когда существует одна функция Ляпунова, имеющая знакопостоянную производную, и не предполагается ограниченность решений по неконтролируемым координатам;
результаты исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия механической системы с одной степенью свобода; .
результаты исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости го д действием сил вязкого трения ігулевого положения равновесия голономной неавтономной механической систе-
мы, в том числе с.зависящими от времени связями, с переменными массами, на подвижном основании;
результаты исследования аналогичных задач об асимптотической устойчивости относительно части координат и скоростей;
исследование задач об устойчивости положения равновесия неголономной неавтономной механической системы и об устойчивости стационарного движения голономной неавтономной механической системы под действием диссипативных сил;
решения ряда задач о стабилизации вращательного движения твердого тела.
Теоретическая и практическая ценность. Совокупность общих теорем, полученных в диссертации, может быть квалифицирована как новое направление прямого метода Ляпунова в исследовании свойства притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по всем и части переменных невозмущенного движения системы, описываемой неавтономными дифференциальными уравнениями. Предложенные методы определения достаточных условий устойчивости установившихся движений неавтономных механических систем представляют собой теоретический и прикладной интерес в исследовании методов стабилизации движений управляемых механических систем.
Полученные результаты могут также найти применение при анализе свойств устойчивости широких классов систем разнообразной природы.
Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курса и в научной работе по методам теории устойчивости и их приложениям в исследовании устойчивости движений механических систем, при чтении курса и в научной работе по качественной теории дифференциальных систем.
Апробация работы. Отдельные разделы диссертации доложены на Международном семинаре по нелинейной динамике (Иркутск, 1987), на УІ Всесоюзном съезде по теоретической и пршсладной механике (Ташкент, 1986), на ІУ и У Всесоюзных Четаевских конференциях по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Москва, 1982; Казань, 1987); на У Всесоюзной конференции по управлению в механических системах (Казань, 1965), на Ш Всесоюзной школе по теории,устойчивости (Иркутск, 1985), на Всесоюзной научной конференции "Метод функций Ляпунова в современной математике" (Харьков,
(1986), на семинарах зарубежных центров по теории устойчивости и дифференциальных уравнений - университетов гг. Тренто, Милан и Перуджа ("Италия, 1984) во время научной стажировки по линии Минвуза СССР, университета г.Сегеда (ВНР, 1987) по приглашению этого университета, неоднократно на семинаре по аналитической механике и устойчивости движения при МГУ (рук. член.-корр. ЛН СССР Б.В.Румянцев и проф. Ю.А.Архангельский), на ежегодных научно-теоретических конференциях профессорско-преподавательского состава ТашПИ (Ташкент, 1980-1988).
Публикации. По результатам проведенных исследований опубликовано 17 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографического списка, включающего 252 наименования литературных источников советских и зарубежных авторов. Общий объем - 337 страниц машинописного текста.