Введение к работе
Актуальность темы. Для обоснования динамики систем как с двусторонними, так и с односторонними связями обычно используется классический формально-аксиоматический метод. При этом остаются неясными происхождение и физический смысл моделей движения, а также фаницы применимости этих моделей. С этой точки зрения более предпочтительным является т.н. конструктивный метод, который был намечен в первой четверти XX века в работах Клейна, Прандтля, Лекорню и Пфейфера, в связи с анализом парадоксов "сухого трения", указанных Пэнлеве. Голономная связь заменялась полем упругих сил, а затем коэффициент упругости устремлялся к бесконечности. Первые общие результаты о реализации двусторонней голономнои связи полем упругих сил, направленных к соответствующей поверхности, были сформулированы Курантом и доказаны его учениками в предположении о потенциальности силового поля. Для более общего случая, когда поле сил непотенциально, теорема о реализации связи упругими силами была доказана В.В.Козловым и А.И.Нейштадтом, и Г.-Ю.Шмидтом. Были доказаны теоремы о реализации двусторонней голономнои связи силами вязкого трения.
В отличие от двусторонних связей, системы с неудерживающими, или односторонними связями (т.е. когда движение возможно по и над поверхностью связи) - это существенно более сложный объект. Существуют задачи, в которых сам вопрос существования решения до конца не изучен. Конструктивный метод
обоснования динамики систем с односторонними связями был развит В.В.Козловым для случая, когда траектория трансверсально пересекала границу. Случай гладкого схода со связи почти не рассматривался. Поэтому представляется актуальной необходимость разработки аналогичного конструктивного подхода для случая, когда траектория системы касается поверхности связи.
Цель работы. Настоящая диссертация посвящена построению конструктивного метода обоснования динамики систем с односторонними голономными идеальными связями в случае, когда в начальный момент система находится на поверхности связи и движется по связи какое-то время, а затем сходит со связи.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.
1. Проведен сравнительный анализ различных условий движения
и схода системы с односторонней связи. Приведены примеры,
показывающие, что эти условия неэквивалентны.
2. Сформулированы и доказаны теоремы о реализации
односторонней голономной идеальной связи упругими силами без
предположения о потенциальности силового поля. Получены оценки
для движения "свободной" системы. Приведены примеры.
3. Рассмотрен общий случай реализации односторонней связи,
когда полупространство заменяется вязко-упругой средой Кельвина-
Фойгта, а затем коэффициенты жесткости, вязкости и
присоединенные массы согласованным образом устремляются к бесконечности. Доказаны теоремы о предельном переходе.
4. Исследован эффект запаздывания схода системы со связи для
модели движения, в которой односторонняя связь реализуется вязко-
упругой средой Кельвина-Фойгта. Рассмотрены примеры.
5. Найден вариационный принцип для модели реализации
односторонней голономной связи силами вязкого трения.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты позволяют обосновать применение тех или иных моделей в различных задачах, оценить качественное поведение систем, а также обосновать возможность стабилизации численных алгоритмов при помощи введения диссипации. Практическая ценность работы состоит в том, что разработанный конструктивный метод является теоретической базой для разрешения парадоксов типа Пенлеве.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Чебышевских чтениях и научно-исследовательских семинарах Механико-математического факультета МГУ.
Основные результаты диссертации содержатся в работах автора, перечисленных в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация изложена на 75 страницах и состоит из введения, четырех глав, разбитых на 8 параграфов, заключения и списка литературы (36 наименований).