Введение к работе
Актуальность теми. В последнее время в нашей стране и за рубежом проведено большое количество исследований систем, обладающих свойством обратимости (т.е. инвариантных относительно некоторой инволюции фазового пространства с одновременным изменением знака независимой переменной). Интерес к таким системам обусловлен, с одной стороны, необычностью их свойств (в первую очередь, сочетанием "консервативного" и "диссипативного" поведения траекторий), а с другой - тем, что такие системы достаточно часто появляются при решении конкретных задач механики и физики. В частности, обратимыми являются уравнения движения любой мохпничоской оиотомы под дойотвиом позиционных СИЛ (D том числе, и при наличии неголономных связей).
Основополагающими в рассматриваемой области являются работы В.И.Арнольда, Ю.Н.Бибикова, А.Д.Брюно, Р.Девани, Ю.Мозера, М.Б.Севрюка, В.Н.Тхая и других авторов..
Цель работы состоит в исследовании устойчивости по Ляпунову положений равновесия обратимых систем дифференциальных уравнений (автономных или периодических по независимой переменной) и применении полученных результатов к исследованию конкретных механических систем.
Метод исследования представляет собой сочетание методов КАМ-теории (в первую очередь, метода Ньютона - Колмогорова последовательных замен переменных), теории нормальных форм и традиционных методов исследования нелинейных резонансных систем.
Научная новизна. В работо получены следущио основные результаты:
для обратимых систем доказан аналог теоремы Арнольда -Мозера об устойчивости положения равновесия автономной системы с двумя степенями свободы d общем эллиптическом случае;
полученный результат обобщен на многомерные и ноаптономныо обратимые оиотомы специального вида;
проведено исследование устойчивости периодических систем при резонансах низких порядков, причем получено полное решение задачи устойчивости в первом нелинейном приближении;
исследован частный случай задачи устойчивости при взаимодействии резонансов четвертого порядка. При этом найден новый тип растущих решений, наличие которых приводит к неустойчивости;
проведено исследование динамики системы жестких стержней типа многозвенного маятника с упругими и следящими силами. В частности, для двузвенной системы в пространстве параметров построена область устойчивости по Ляпунову;
рассмотрена задача об устойчивости прямолинейных качений твердого тела по абсолютно шероховатой плоскости. Найдены условия, при которых уравнения движения являются обратимыми в окрестности качения;
- проведено исследование устойчивости активного искусственного
спутника Земли (ИСЗ). Для неисследованного ранее случая регу
лярной прецессии построена область устойчивости в первом приб-
лижонии и ПНЯПЛ01Ш иоуотоЯчииио розопшгоішо режимы движения.
Достоверность результатов обеспечивается применением строгих матоматичоских мотодов. Полученные результаты хорошо согласуются с известными из работ других авторов.
Практическая ценность. Полученные результаты могут быть применены для решения ряда задач динамики, в первую очередь: 1) Исследования устойчивости систем с неконсервативными позиционными силами (в частности, с реактивной тягой). Такими системами могут быть, например, космические аппараты и отдельные элементы их конструкции; 2) изучения динамики качения. Другим возможным приложением является исследование стационарных режимов точения жидкости или газа (после сведения системы к конечномерной методом инерциального (центрального) многообразия.
Апробация работы. Материалы диссертации были доложены на:
VI Чотаевской конференции (Казань, февраль 1992);
семинарах кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ, руководимых акад. В.В.Румянцевым, проф. В.В.Козловым, проф.В.Г.Деминым;
семинаре кафедры теоретической механики МАИ.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в. работах [1-7].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы (65 наименований). Ее общий объем 13і страница, из которых 10 занимают рисунки.