Введение к работе
Ряд процессов в природе, как было установлено в середине 19-го века из анализа электромагнитных явлений, изучения изменения механических свойств материалов со временем и др., не укладывается в классическую схему физических моделей, основа которой состоит в т&м, что характеристики процесса (такие, как скорость, ускорение) в данный момент времени зависят только от состояния процесса в этот же момент. Особенность таких процессов заключается в том. что на характеристики процесса оказывает влияние его предыстория, то есть имеет место последействие. Так, в механике деформируемого тела последействие проявляется в таких реологических процессах, как релаксация, ползучесть, старение материалов.
Систематическое изучение последействия началось в конце 19-го века с работ Вольтерра, который предложил для описания данного явления использовать аппарат интегродифференциаль-ных уравнений, базирующийся на созданных им теории интегральных уравнений (типа Золмрра) и общей теории функционалов. В частности, в наследственной механике деформируемого тела Вольтерра использовал линейную интегральную зависимость мекду напряжением и деформацией, которую затем обобщил на нелинейный случай, введя в рассмотрение зависимость в форме нелинейного непрерывного функционала, представимого рядом Вольтерра-Фреше из кратных интегралов (аналога ряда Тейлора для функций). Вольтерра дал общую постановку задачи эредитарной упругости и указал способ решения ряда конкретных задач.
Актуальность темы
В настоящее время область применения интегродифференци-аіьньїх уравнений типа Вольтерра весьма многогранна. Кроме отмеченных явлений, этими уравнениями описываются процес-
сы в ядерных реакторах, различные диффузионные процессы, межвидовое взаимодействие биологических популяций, движение тела (твердого или деформируемого) в нестационарном потоке и др.
Модели, учитывающие нестационарность обтекания тела воздушным потоком (модели аэроупругости), которые базируются на интегродифференциальных уравнениях типа Вольтерра, были предложены в работах С.М.Белоцерковского. При движении тела (крыла) на его поверхности возникает система распределенных вихрей, которые сносятся потоком с задней кромки крыла, образуя вихревую пелену из свободных вихрей. Возмущения от вихревой пелены передаются по потоку, оказывая влияние на движение крыла. В линейной постановке учет воздействия возмущений осуществляется на основе интеграла Дюаме-ля. Некоторые нелинейные модели аэроупругости предложены В.И.Морозовым. Таким образом, задача приводится к изучению движения тела, на которое действуют аэродинамические силы с аэродинамическими коэффициентами, содержащими интегральные члены. Интегральные ядра (разностного типа) при таком подходе определяются экспериментально и на многих режимах дозвуковых скоростей хорошо аппроксимируются экспоненциально убывающими функциями. Математическая модель движения твердого тела задается обыкновенными интегродиф-ференциальными уравнениями типа Вольтерра.
В качестве приложении в диссертации основное внимание уделяется этой последней задаче, а также задаче о движении тела с учетом реологических свойств материала (в частности, вязко-упругости). К интегральному соотношению между напряжением и деформацией с убывающим интегральным ядром общего вида приводит логическое обобщение известной классической модели Кельвина для вязкоупругого тела.
Общая постановка задачи
В диссертации исследуется устойчивость в системах с последействием, состояние которых в каждый момент времени описывается ннтегродифференциальным уравнением типа Вольтерра
-^ = A(t)x + J K{t, s)x(s)ds + F(x, у, t), (1)
'о
где .г - /г-мерный вектор, A(t), K(t,s)- определенные в соответствующих областях непрерывные ограниченные матрицы, F(x,y,t) - нелинейная голоморфная по х, у (или непрерывно дифференцируемая) в окрестности 0 функция, непрерывная ограниченная по t > to, обращающаяся в 0 вместе с первыми производными при х = 0, у = 0. В (1) у - нелинейный непрерывный функционал в интегральной форме, например вида
t
y = Jk(1,s)
(о
с интегральным ядром k(t,s) и функцией tp(x(t),t), обращающейся в 0 при х = О и со свойствами по своим переменным того же типа, что и у функции F в (1). Устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения х = 0 для уравнения (1) рассматривается по отношению к возмущениям начальных данных xq = x(to). Уравнение вида (1) относится к классу функционально-дифференциальных уравнений, теория которых интенсивно развивается в последние десятилетия. Существенный вклад в теорию функционально-дифференциальных уравнений и особенно уравнений с запаздывающим аргументом внесли Л.Э. Эль-сгольц, Я.В. Быков, В.А. Азбелев, А.Д. Мышкис, В.Б. Колманов-ский, В.Р. Носов, Л.М. Березанский, В.П. Максимов, Л.Ф. Рах-матуллина, С.Н. Шиманов, R. Bellman, A. Halanay, J.К. Hale, Т.A. Burton, V. Lakshmikatham, R.K. Miller и др. В их работах исследовались общие свойства как линейных, так и нелинейных уравнений некоторых классов, в том числе вопросы существования решений, ограниченности, устойчивости по начальным зна-
чениям из некоторого функционального пространства. Для этих целей был развит, в частности, метод функционалов и функций Ляпунова.
Обладая общими чертами, присущими функционально-дифференциальным уравнениям, интегродифференциальные уравнения типа (1), (2) имеют специфические особенности, которые позволяют сделать исследование устойчивости их решений более конкретным и получить результаты, существенные для приложений.
В изучение свойств решений интегродифференциальных урав-нениий важный вклад внесли Я.В. Быков, B.C. Владимиров. М.И. Иманалнев, А.Н. Филатов, Ю.А. Ведь, Т.A. Burton. S.I. Grossman, G.S. Jordan, V. Lakshmikatham, R.K. Miller, R.L. Wheeler и др. Для интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра, не разрешенных относительно производной, которыми описывается движение твердого тела в нестационарном потоке (в рамках моделей аэроупругости), свойство асимптотической устойчивости изучалось методом преобразования Лапласа в работах И.С. Астапова.
Методы исследования устойчивости, применяемые в диссертации, базируются на основополагающих идеях A.M. Ляпунова, Н.Г. Четаева, Г.В. Каменкова, И.Г. Малкина, Н.Н. Красовского, В.И. Зубова, Ю.А. Рябова, и др. ученых.
Цель и методы исследов'їигія, основные результаты
Цель проводимого исследования заключается в анализе устойчивости по Ляпунову движений, описываемых интегродиффе-ренцнальными уравнениями типа Вольтерра, т.е. в анализе первым методом Ляпунова окрестности асимптотически устойчивого движения и построении оценок области притяжения, в исследовании устойчивости в критических случаях одного нулевого и двух нулевых характеристических показателей и получении условий неустойчивости, а также асимптотической устойчивости (для случая ядер экспоненциально-полиномиального вида).
При исследовании использовались следующие методы: первый метод Ляпунова, адаптированный для интегродифферен-цпальиых уравнений, метод мажорирующих уравнений, метод мажорирующих функций Ляпунова, метод преобразавания ин-тегродиффереициальных уравнений в критических случаях к простейшей форме (некоторый аналог нормальной формы для дифференциальных уравнений), развитый для уравнений типа Вольтерра, метод функций Ляпунова и Четаева, мстотод преобразования Лапласа, метод рядов Фурье и др.
Основные результаты диссертации состоят в следующем.
1. Первый метод Ляпунова распространен на пнтегродиффе-
ренциальные уравнения типа Вольтерра с голоморфной нели
нейностью и на уравнения с постоянно действующими возмуще
ниями: этим методом построено общее решение таких уравнений
в окрестности асимптотически устойчивого невозмущенного дви
жения.
2. Дан способ оценки области притяжения асимптотиче
ски устойчивого нулевого решения интегродифференциалыюго
уравнения с нелинейностью, голоморфной или непрерывно диф
ференцируемой по переменной и функционалу в интегральной
форме.
-
Предложен метод исследования устойчивости в критических случаях одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, а также одного нулевого характеристического показателя, приводящий к определению постоянных Ляпунова либо некоторой непрерывной функции времени; доказана неустойчивость при определенных свойствах этих величин.
-
На примерах задач о кручении вязкоупругого стержня и вязкоупругого крыла (при нестационарном обтекании) первый метод Ляпунова применен к исследованию систем с распределенными параметрами; дано представление общего решения для соответствующих нелинейных интегродифференциальных уравнений в частных производных в окрестности асимптотически
устойчивого положения равновесия в форме абсолютно сходящихся рядов Фурье по продольной координате с экспоненциально стремящимися к нулю при неограниченном возрастании времени коэффициентами, зависящими от коэффициентов Фурье начальных функций.
5. На основе развитых методов проведено исследование устойчивости при постоянно действующих возмущениях, устойчивости в критических случаях в модельных задачах о вращательных движениях твердого тела и крыла с вязкоупругой опорой, твердого тела с плоскостью симметрии при учете нестационарности обтекания.
Научная новизна
В работе предложен новый метод исследования устойчивости в критических случаях одного нулевого и двух нулевых характеристических показателей для интегродифференцнального уравнения типа Вольтерра, базирующийся на приведении линейной части уравнения к форме автономного дифференциального уравнения с последующим выделением постоянной (пли функции), с которой связано решение задачи устойчивости.
Получены новые результаты в исследовании окрестности асимптотически устойчивого невозмущенного движения рассматриваемого класса систем с последействием, включающие способы получения оценок областей притяжения и построение общего решения в некоторых нелинейных системах с распределенными параметрами в форме абсолютно сходящихся рядов - аналогов рядов первого метода Ляпунова. На основе развитых методов указаны новые условия устойчивости в критических случаях для некоторых механических систем.
Апробация
Результаты диссертации докладывались, в частности, на семинарах:
под рук. В.В. Румянцева, В.В. Белецкого, А.В. Карапетяна в МГУ им. М.В. Ломоносова;
под рук. В.Б. Колмановского, В.Р.Носова в МИЭМ; под рук. СМ. Белоцерковского в ЦАГИ; под рук. Ю.М. Свирежева в МОИП (секц. общая биология); на конференциях:
VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986 г.); VI Всесоюзная конференция "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986 г.); V Всесоюзная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1987 г.); II Уральская региональная конференция "Функционально-дифференциальные уравнения" (Челябинск. 1987 г.); Всесоюзная научная конференция "Нелинейные колебания механических систем" (Горький, 1987 г.); Всесоюзная конференция по устойчивости движения, колебаниям механических сипом и аэродинамике (Москва, МАИ, 1988 г.); IV "Уральская региональная конференция "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Уфа, 1989 г.); Всесоюзная конференция "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики" (Владивосток, 1990 г.); Международная математическая конференция 'Ляпуновскпе чтения", посвященная 100-летию создания A.M. Ляпуновым теории устойчивости движения (Харьков, 1992 г.); I, II, IV Крымская международная математическая школа "Метод функцій'} Ляпунова и его приложения" (Алушта, 1993, 1995, 1998 гг.); IV, VI международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ЦПУ РАН, 199G, 2000 гг.); VII Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997 г.); III Международный симпозиум по классической и небесной механике (Великие Луки, 1998 г.); Международный конгресс "Нелинейный анализ и его приложения" (Москва, 1998 г.); VII Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1999 г.); 5-ая Международная конференция "Системный анализ и управление космическими комплексами" (Евпатория, 2000 г.).