Содержание к диссертации
Стр.
Введение 3
Глава I. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа 9
I. Постановка задачи 9
2. Периодические решения, асимптотические по
верхности и неинтегрируемость в гамильтоно
вых системах 18
3. Периодические и асимптотические решения
уравнений Кирхгофа ... 26
4. Вычисление определяющего интеграла 32
5. Теоремы о расщеплении сепаратрис и неинте
грируемости в задаче о движении твердого
тела в жидкости 38
6. Замечания о неинтегрируемости уравнений
вращения твердого тела в осесимметричном
поле сил 44
Глава П. Интегрируемость и неинтегрируемость гамильтоновых
систем вблизи положения равновесия 48
7. Метод нормализации Биркгофа 48
8. Неинтегрируемость систем, зависящих от па
раметра 54
9. Приложение к задаче о вращении динамически
симметричного твердого тела 64
Глава Ш. Качественное исследование движения твердого тела
в случае Клебша 78
10.Предварительные замечания 78
II.Приведение уравнений движения к уравнениям
на торе 88
12.Поведение углов Эйлера 95
13.Геометрическая картина движения твердого
тела в случае Клебша 103
Заключение 112
Литература ИЗ
Введение к работе
Задача интегрирования (в квадратурах при том или ином выборе допустимых функций) систем дифференциальных уравнений, описывающих обычно поведение какой-либо механической системы, всегда была в сфере интересов многих математиков и механиков. Знание всех переменных задачи как функций времени и начальных значений (то есть, знание общего решения) позволяет получить полную картину поведения системы и исследовать его особенности.
Возможность получения общего решения в явном виде тесно связана с наличием достаточного числа первых интегралов (имеются в виду глобальные первые интегралы - полный набор локальных существует, вообще говоря, всегда). Для автономных гамильтоновых систем с ку степенями свободы Лиувиллем была доказана теорема о возможности интегрирования в квадратурах при наличии JL первых интегралов в инволюции /~37__7 (такие системы называются вполне интегрируемыми).
Правда, отнюдь не всегда квадратуры, которые включают в себя вычисление интегралов (а они могут не выражаться через элементарные функции) и обращение функций, являются обозримыми и представляют какую-нибудь практическую ценность (не считая их ценности с точки зрения методологической). Однако даже в этом случае о поведении исследуемой системы можно узнать довольно многое. Оказывается, в условиях теоремы Лиувилля можно также утверждать jTZj* что фазовое пространство расслаивается на к-мерные многообразия, которые в случае, когда они компактны, являются торами и несут на себе условно-периодические траектории. Вследствие такой картины переменные задачи являются, вообще говоря, квазипериодическими функциями времени, а этот факт, в свою очередь, позволяет привлечь для качественного описания движения системы хорошо из-
вестные свойства квазипериодических функций и интегралов от них.
К сожалению, интегрируемых систем в некотором смысле мало. Скажем, типична следующая ситуация: система зависит от некоторого параметра и интегрируема лишь при изолированных значениях параметра. Поэтому ясно, как важно уметь отличить интегрируемую задачу от неинтегрируемой. Доказать интегрируемость можно лишь предъявив полный набор интегралов в инволюции. Доказывать же не-интегрируемость можно несколькими способами. Первые и, тем не менее, фундаментальные результаты здесь принадлежат А.Пуанкаре ^~33_7. Им предложена теорема о неинтегрируемости гамильтоновых систем, близких (в смысле значений некоторого параметра) к интегрируемой. А.Пуанкаре также показал, что неинтегрируемость связана с характером поведения некоторых особых траекторий - периодических и асимптотических решений. Недавние результаты, касающиеся приложения указанных идей к задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки /~16_7, /~14_7, еще раз доказали их плодотворность.
В последнее время, в частности, получил развитие так называемый метод расщепления сепаратрис (асимптотических поверхностей), также восходящий к А.Пуанкаре. В работах /~I7,44,I4,I5__7 доказаны теоремы о расщеплении (несовпадении) асимптотических поверхностей, их взаимном пересечении и связи такого рода явлений с неинтегрируемостью гамильтоновых систем.
Очень часто в различных задачах особый интерес вызывает поведение траекторий гамильтоновых систем в окрестности положения равновесия или периодической траектории. Это, например, связано с вопросами устойчивости. К первому случаю (он может быть автономным или неавтономным) часто приходят после понижения порядка системы, производимого с помощью первых интегралов. При наличии "циклического" первого интеграла пониженная система является
автономной, если редукция выполняется с его помощью.
Наиболее важен и интересен в приложениях случай, когда все собственные числа линеаризованной автономной гамильтоновой системы чисто мнимы и различны. При этом условии существует каноническое преобразование (вообще говоря, формальное), которое приводит гамильтониан к нормальной форме Биркгофа /~б_7. Сходи -мость нормализующего преобразования тесно связана с интегрируемостью, однако она установлена лишь при достаточно частных условиях /"49,/.
Целью настоящей работы является применение упомянутых выше методов исследования вопроса об интегрируемости гамильтоновых систем к классической задаче о движении твердого тела в жидкости и близкой к ней задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в пустоте в осесимметричном потенциальном поле, в частности, в поле, силовая функция которого является квадратичной формой по направляющим косинусам.
В первой главе диссертации дается ответ на вопрос о существовании дополнительного (к трём классическим) первого интеграла уравнений Кирхгофа- уравнений, описывающих движение по инерции твердого тела, поверхность которого односвязна, в безграничном объёме идеальной жидкости. Правые части исследуемых уравнений и их известные первые интегралы (энергии, площадей и тривиальный) являются полиномами от переменных задачи, поэтому естественно поставить задачу о возможности существования дополнительного первого интеграла в классе аналитических функций.
Уравнения движения твердого тела в жидкости были выведены в работах /"42,46__7. В работах /~4б,43__7 были найдены первые интегралы и указаны некоторые случаи интегрируемости. В монографии /~35_7 приведен обзор результатов, касающихся данной задачи (включая полную постановку задачи). В частности, дан полный пе-
речень известных случаев интегрируемости.
Отметим работу /"ЗІ_7> в которой с помощью метода Пенлеве (см. /~"9>4_7) доказано, что общее решение уравнений Кирхгофа может быть однозначным на всей плоскости комплексного времени лишь в известных случаях интегрируемости. Заметим, что к настоящему времени однозначность общего решения исследована не во всех интегрируемых случаях.
Уравнения Кирхгофа зависят в общем случае от 15 параметров. При условии различия всех трех главных моментов инерции системы тело-жидкость, в главе I доказана теорема, что кроме случаев Клеб-ша и Стеклова других интегрируемых случаев нет. Доказательство проводится методом расщепления сепаратрис.
В первом параграфе приведена постановка задачи. Показано, что в уравнения Кирхгофа можно ввести малый параметр и рассматривать их как возмущение уравнений интегрируемого случая Эйлера. В I упоминается также аналогия уравнения Кирхгофа с уравнениями вращения твердого тела с неподвижной точкой в поле сил с потенциалом, являющимся квадратичной формой относительно направляющих косинусов. Эта аналогия была впервые отмечена В.А.Стекловым /~50_7. Во втором параграфе изложены необходимые для дальнейшего сведения из теории А.Пуанкаре периодических и асимптотических траекторий, сформулированы теоремы о расщеплении сепаратрис и неинтегрируемости в гамильтоновых системах. Третий параграф посвящен доказательству существования периодических и асимптотических к ним траекторий возмущенных уравнений Кирхгофа. В 4 вычисляется определяющий интеграл. Это позволяет применить теоремы 4, и в пятом параграфе формулируются и доказываются теоремы о расщеплении и пересечении сепаратрис задачи Кирхгофа и Основная теорема о неинтегрируемости в общем случае уравнений Кирхгофа. б содержит аналогичные результаты в приложении к задаче о вращении твердого
тела в осесимметричном поле сил.
Вторая глава диссертации посвящена изучению вопроса о возможности нормализации в окрестности положения равновесия гамильтониана, зависящего от параметра. В 7 излагается вкратце метод нормализации Биркгофа /~6,12_7 в случае независимых частот. Затем в 8 доказывается существование (формального) нормализующего преобразования в случае, когда частоты зависимы, при наличии дополнительных первых интегралов и приводится теорема о неинтегрируемости. Доказательство основано на следующей идее /~19__7» Если частоты зависимы, то возможность нормализации определяется тем, обращаются ли в ноль некоторые коэффициенты (их называют резонансными) в разложении гамильтониана в окрестности положения равновесия. Из существования полного набора независимых первых интегралов вытекает (прямое вычисление), что все резонансные коэффициенты равны нулю. Доказанная теорема применяется в 9 к задаче о движении динамически симметричного твердого тела, что дополняет результаты первой главы.
В третьей главе диссертации проводится качественное исследование движения твердого тела в рассмотренных задачах в интегрируемом случае Клебша. Вначале рассмотрена задача о вращении твердого тела около неподвижной точки. В 10 содержатся формулировки и краткие доказательства утверждений о поведении углов Эйлера, распространяющих на общий случай теоремы В.В.Козлова полученные им при изучении интегрируемых случаев Ковалевской и Горячева-Чаплыгина /~"20,21__7. В II показывается, как в случае равенства нулю константы площадей можно уравнения движения задачи Клебша привести к уравнениям на инвариантных торах. Здесь же вычисляется число вращения получаемой динамической системы. 12 содержит доказательства утверждений о характере изменения во времени углов Эйлера. Получено, что углы прецессии и собственного
вращения в зависимости от констант интегралов обладают главным или средним движениями. При обращении в ноль константы площадей, эти характеристики движения вычисляются в явном виде. В завершающем 13 дается геометрическая интерпретация вращения твердого тела около неподвижной точки в случае Клебша. Отметим, что исследование Е.И.Харламовой этого движения было выполнено при условии равенства нулю константы площадей /~39__7. Показывается также, что в задаче о движении твердого тела в жидкости имеет место аналогичная картина для вращения его вокруг начала подвижной системы координат. Затем изучается вопрос о движении в пространстве этой точки и, тем самым, даётся полное геометрическое описание движения твердого тела в жидкости в случае Клебша. Полученные результаты согласуются в "механической" интерпретацией движения твердого тела, предложенной С.А.Чаплыгиным /~40,41_7.
В заключении приведены формулировки основных теорем и результатов, полученных в диссертации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах /f"22, 29,30_7 и докладывались на совместном заседании семинара по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики им. И.Г.Петровского и Московского математического общества, посвященном памяти И.Г.Петровского, в январе 1982 г.
Нумерация параграфов сквозная. Система ссылок следующая: ссылки вида (2.5), (7) обозначают соответственно формулу (5) в 2, формулу (7) текущего параграфа. Ссылка вида п.2 обозначает пункт 2 (указываемого или текущего) параграфа.
