Содержание к диссертации
Введение
1 Критерии настройки АВ 35
1 1 Целевой функционал 35
1.2 Арбитражный функционал 37
1 3 Эмпирическая характеристика сходимости АВ 38
2 Целевые функционалы АВ 41
2.1 Обобщенный градиент 43
2.2 Функционал Годара-Трайхлера и его обобщения .47
2.3 Функционалы, учитывающие только информацию о фазе 53
2.4 Одновременный учёт постоянства амплитуды и дискретности фазы в ЦФ 62
2.5 Наборы ЦФ 70
3 Алгоритмы минимизации целевых функционалов АВ 74
3.1 Методы минимизации первого порядка (градиентные) 79
3.2 Методы минимизации нулевого порядка 81
3 3 Адаптивный выбор шага при итеративной минимизации ЦФ . 83
4 Регуляризация алгоритмов адаптации 89
4.1 Невозможность полной компенсации МСИ с помощью АВ на основе КИХ-фильтров 89
4.2 Настройка АВ на основе КИХ-фильтров в присутствии шумов и помех 95
4.3 Настройка АВ на основе БИХ-фильтров в присутствии шумов и помех 97
4 4 Устойчивость и физическая реализуемость АВ 102
4 5 Сглаживание ЦФ . ... 105
4.6 Классическая регуляризация ЦФ . 107
4.7 Итеративная регуляризация ЦФ ПО
4.8 Регуляризующие функции 114
5 Моделирование работы и вопросы практической реализации АВ 117
5.1 Имитационные модели 117
5.2 Результаты моделирования 119
5.3 Инициализация коэффициентов фильтра АВ 128
5.4 Требования, предъявляемые к вычислителю АВ 130
5.5 Алгоритмические и архитектурные возможности ускорения вычислений 132
5.6 Оценка быстродействия АВ при реализации на основе цифровых сигнальных процессоров 134
Заключение 138
Список литературы 141
Приложения 153
- Эмпирическая характеристика сходимости АВ
- Одновременный учёт постоянства амплитуды и дискретности фазы в ЦФ
- Адаптивный выбор шага при итеративной минимизации ЦФ
- Настройка АВ на основе БИХ-фильтров в присутствии шумов и помех
Введение к работе
Наиболее распространённым видом искажений сигнала в каналах систем передачи дискретной информации (СПДИ) являются линейные искажения. В зависимости от типа канала, их физическое происхождение различно. Для эфирных каналов — это многолучевое распространение радиоволн (например, вследствие ионосферного отражения, тропосферного рассеяния, многопутёвого распространения, переотражений). Иная причина свойственна электросвязи — зависимости модуля коэффициента передачи и группового времени задержки сигнала в кабеле от частоты, связанные с паразитными параметрами длинных линий, их неидеальным согласованием, неоднородностями (стыки в кроссировочных шкафах, неидеалыюсть согласующих и регенерирующих модулей, неравномерность шага повива витой пары, связанные с технологическими допусками неоднородности в коаксиальном кабеле). В технике волоконно-оптической связи к линейным искажениям ведут множественные паразитные переотражения сигнала, особенно значительные в многомодовом оптическом кабеле, неидеальность сварки кабеля или его стыковки с применением соединительных оптических муфт и разъёмов, несовершенство конструкций регенераторов и оптического сопряжения лазеров со световодами. В оптических и акустических каналах линейные искажения могут возникать вследствие влекущего множественные переотражения сложного рельефа границы среды распространения, а также ввиду её локальных неод-нородностей (течения, вихревые потоки). Таким образом, линейные искажения обусловлены свойствами каналов, изменить которые в желательную сторону затруднительно, а часто невозможно вовсе.
Известно, что в реальных каналах имеет место постепенное изменение их свойств с течением времени В радиоканалах оно может быть связано с перемещением объектов (в мобильной связи), переменой погодных условий (в радиорелейной связи) и состояния атмосферы (в космической и дальней наземной связи через ионосферный канал, в основном в декаметровом и метровом диапазонах, и через тропосферный канал, начиная с метрового диапазона), влияющими на распространение радиоволн В проводной связи подобный эффект также присутствует вследствие старения и намокания кабелей (электросвязь) и резких перепадов температуры (волоконно-оптические системы). Вследствие перемещений объектов и изменения состояния среды распространения сигнала непостоянны параметры оптических и акустических каналов.
В [77] на основе множественных испытаний и экспериментов показано, что для широкого класса радиоканалов с большой степенью точности справедлива так называемая модель с "замороженными", т.е. постоянными во времени параметрами, поскольку временной дрейф обычно является чрезвычайно медленным процессом по сравнению с полезным сигналом. Так, например, для каналов с тропосферным рассеянием, с присущей им относительно быстрой динамикой изменения параметров, характерная постоянная времени вариации составляет не менее 100 мс [93]. В ещё большей степени такое квазистатическое приближение справедливо для медных проводных линий связи [93], где постоянные времени изменения характеристик обычно составляют не менее десятков минут. Самый медленный дрейф параметров присущ волоконно-оптическим линиям связи. Он очень мал, характерен в основном для линий на основе кабеля с полимерным волокном и связан с изменением температуры окружающей среды и медленным (иногда частотно-зависимым) помутнением среды распространения при старении. Более весомый вклад в нестационарность вносит достаточно быстрая деградация мощных полупроводниковых лазеров, до сих пор являющаяся заметной проблемой в технике волоконно-оптической связи. Всеми этими факторами обусловлены крайне большие постоянные времени — от десятков минут (прогрев аппаратуры и вход излучателей и фотоприёмников в стационарный тепловой режим) до нескольких месяцев (сезонные колебания температуры окружающей кабели среды) или даже лет (старение стабилизированных лазеров).
Результатом действия на сигнал СПДИ искажающего линейного канала с постоянными или медленно меняющимися параметрами является возникновение межсимвольных искажений (МСИ) вследствие наложения копий переданного сигнала с разными задержками друг на друга Нарушая структуру принимаемого сигнала, МСИ приводят к ухудшению качества связи, что применительно к СПДИ выражается на приёме в повышении вероятности ошибки, нарушении работы устройств синхронизации, а в особо неблагоприятных случаях, даже в невозможности правильного приёма информации [48], [67], что обусловливает необходимость и важность борьбы с МСИ. Поскольку
• в линейных каналах величина МСИ, отнесенная к полезному сигналу, не зависит от энергетического потенциала линии;
• применение специальных типов кодирования передаваемой последовательности в передатчике не позволяет в достаточной степени устранить негативное влияние МСИ на принимаемую информационную последовательность (особенно, при сильных линейных искажениях);
• неизвестны сигнальные конструкции, инвариантные к произвольного вида МСИ, задача уменьшения уровня МСИ требует специальных методов решения.
Краткий обзор методов борьбы с МСИ приведён в приложении 1. Из него видно, что одним из наиболее перспективных направлении в этой области является создание адаптивных выравнивателей (АВ). Для обозначения таких устройств в литературе используются также термины "автоматически настраиваемые корректоры", "адаптивные корректоры", "самообучающиеся корректоры", "адаптивные эквалайзеры"и др.
Имеются два принципиально различных подхода к адаптивному выравниванию: выравнивание с привлечением обучающей последовательности и без него.
В рамках первого способа, перед началом сеанса связи, и возможно, в его перерывах передающая сторона посылает известную также на приёмной стороне специальную обучающую последовательность (называемую также "пилот-сигналом", англ. "training sequence", "pilot signal"). Зная её и анализируя фактически принятый сигнал, на приёмной стороне имеется возможность настройки АВ для коррекции искажений в канале. Такой механизм настройки АВ привлекается, например, в аппаратуре факсимильной связи, телефонных модемах для коммутируемых линий и многих типах высокоскоростных модемов для выделенных медных линий (VDSL, HDSL, ADSL), т.е. там, где не обязательно требуется быстрое вхождение в связь.
При отсутствии возможности передачи обучающей последовательности, например.
• при широковещательной трансляционной передаче, когда работа каждого из приемников может начаться в произвольный момент времени,
• в технике оперативной радиосвязи вследствие требования очень быстрого вхождения в связь,
• в случае невозможности или неоправданности передачи обучающего сигнала (из-за усложнения аппаратуры или протокола вхождения в связь, отсутствия обратного канала для осуществления приёмной стороной запроса на передачу обучающей последовательности), альтернативы настройке АВ по самому информационному сигналу нет. Из-за неизвестности последнего на приёмной стороне, сложность этой задачи многократно выше. Действительно, в приёмнике отсутствует априорная информация не только о переданном сигнале, но и о характере его искажений. По причине полной априорной неопределенности относительно свойств канала выравнивание без привлечения обучающей последовательности получило название адаптивного выравнивания вслепую (ABC, англ. blind adaptive equalization). Вследствие существенной практической значимости и большей привлекательности этого подхода для использования в новых поколениях аппаратуры, в дальнейшем рассматривается именно задача ABC.
В рамках классической международной модели телекоммуникационных систем (модель взаимодействия открытых систем, англ. Open Systems Interconnection, OSI) устройства выравнивания характеристик каналов действуют на физическом и канальном уровнях, которые в значительной степени определяют качество связи. Таким образом, системы ABC занимают важное место в современных телекоммуникационных технологиях, делая возможным создание систем связи с беспрецедентными техническими характеристиками (см., например, [18], [30]). Однако до сих пор отсутствует единый системный подход к созданию алгоритмов настройки АВ вслепую, а возможности улучшения характеристик этих систем далеки от исчерпания. Этим определяется актуальность диссертационной работы.
Цель работы состоит в построении и исследовании новых эффективных алгоритмов настройки АВ вслепую с повышенной скоростью адаптации и более высокой устойчивостью к шумам канала по сравнению с известными. Для достижения поставленной цели был решён ряд исследовательских задач, определяющих научную новизну работы, заключающуюся в следующем:
• впервые предложен и применён систематический принцип построения алгоритмов ABC. Он позволяет для заданных сигнальных конструкций получать алгоритмы настройки с достаточно хорошими свойствами в смысле скорости сходимости, устойчивости и простоты реализации;
• предложены принципиально новые виды целевых функционов (ЦФ), определяющих меру минимизируемых МСИ и связывающих её с параметрами выравнивателя. При этом априорные сведения о виде манипуляции используются существенно более полно по сравнению с известными алгоритмами;
• с применением последовательного статистического анализа синтезирован алгоритм автоматического изменения шага адаптации АВ для ускорения его настройки;
• получены результаты, характеризующие корректирующую способность идеальных АВ на основе КИХ-фильтра в отсутствие шумов и помех. Они дают возможность определения качества работы реальных АВ применительно к искажающим каналам с известными свойствами,
• впервые задача настройки АВ сформулирована в терминах теории некорректно поставленных задач и при её решении использованы методы регуляризации.
Практическая ценность работы состоит в следующем:
• новый универсальный подход к созданию алгоритмов адаптации АВ с заданными свойствами позволяет улучшить такие тактико-технические характе 17ристики приёмника в составе СПДИ, как время вхождения в связь и вероятность ошибки;
• в рамках этого подхода получены алгоритмы настройки с повышенной скоростью сходимости и устойчивостью к шумам в канале и погрешностям округления операндов, что подтверждается результатами компьютерного моделирования,
• исследованы причины неустойчивой работы АВ (потеря решения, переход из области притяжения одного из допустимых решений в область притяжения другого, большая величина остаточного "болтания" вокруг решения под действием возмущений принимаемого сигнала) и предложены практически приемлемые методы стабилизации алгоритмов;
• даны практические рекомендации по эффективной реализации рассмотренных алгоритмов в разрабатываемой аппаратуре с применением современных цифровых сигнальных процессоров (ЦСП) и программируемых логических интегральных схем (ПЛИС) оптимальное вычисление ЦФ и их обобщённых градиентов с учётом возможностей ЦСП, организация параллельной обработки, выбор начального приближения,
• разработана методика и программное обеспечение для компьютерного моделирования работы АВ в составе СПДИ.
Основные научные положения работы:
• всякий итеративный метод настройки ABC может быть представлен как совокупность трех основных компонент: задающего критерии адаптации ЦФ, метода минимизации ЦФ и средств обеспечения устойчивости алгоритма (регуляризация, сглаживающая фильтрация). Это позволяет системно рассматривать известные алгоритмы адаптации и облегчает создание новых,
• АВ с предложенными для сигналов с постоянной огибающей и (или) дискретно изменяющейся фазой (ФМн любой кратности, ФМн с непрерывной фазой, АФМн) принципиально новыми видами ЦФ обеспечивают повышение скорости настройки по сравнению с классическим ЦФ Д. Годара до 8 раз и допускают простую реализацию с применением современных средств цифровой обработки сигналов;
• использование набора ЦФ и введение адаптации шага настройки АВ с использованием последовательного статистического анализа А. Вальда ускоряют настройку до нескольких раз (зависит от неоптимальности выбора величины начального шага и отношения сигнал/шум) и повышают её устойчивость к воздействию шумов. Применение для адаптации выравнивателя алгоритмов минимизации нулевого порядка снижает трудоёмкость одного шага настройки при практическом сохранении суммарного количества операций в рамках всего процесса адаптации;
• задача настройки АВ на основе линейных фильтров как с конечной, так и с бесконечной импульсной характеристикой (соответственно КИХ- и БИХ-фильтров) относится к широкому и практически важному классу некорректно поставленных задач, часто возникающих при восстановлении искажённых и зашумлённых сигналов. Предложенные практические алгоритмы регуляризации задачи настройки АВ повышают устойчивость работы АВ по отношению к шумам в канале, обеспечивая сходимость в случаях, где иначе за практически приемлемое время она не была обнаружена;
• предложенный метод позволяет для известного вектора коэффициентов эк Бивалентного каналу КИХ-фильтра и заданного порядка L фильтра АВ теоретически определить точные предельные корректирующие возможности АВ в смысле минимума среднеквадратического отклонения результирующей импульсной характеристики от идеальной.
В рамках апробации работы результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях, сессиях и семинарах:
1. 2-ая Межвузовская научно-техническая конференция "Микроэлектроника и информатика-98" (Москва, 1998 г.),
2 51-ая и 52-ая Научно-технические конференции МИРЭА (Москва, 2002, 2003 гг.),
3 LVII и LVIII научные сессии, посвященные Дню радио (Москва, 2002, 2003 гг.),
4. Международная научно-техническая конференция, посвященная 80-летию гражданской авиации России (Москва, 2003 г.),
5. семинары кафедр радиоприёмных устройств и высшей математики МИРЭА.
Основное содержание диссертации опубликовано в тринадцати работах, включая тезисы докладов. Одна статья опубликована в издании, включённом в Перечень ВАК. Полученные при выполнении диссертационной работы результаты нашли отражение в отчётах по 6 НИР и использованы в ОАО «Концерн радиостроения «Вега», ЗАО «Альтаир-НТПЦ», а также внедрены в учебный процесс в Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете)
Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка сокращений, списка обозначений, заключения, списка литературы, включающего 102 работы и трех приложений.
Далее во введении рассмотрена математическая модель и сделан краткий обзор методов ABC. Из анализа модели и существующих алгоритмов настройки вслепую сделан вывод о возможности представления последних как совокупности трёх компонент: ЦФ, метода его минимизации и средств обеспечения устойчивости настройки выравнивателя.
В первом разделе обосновывается введение нескольких критериев качества настройки АВ — для использования в алгоритме АВ (передаваемый сигнал и параметры искажающего канала полагаются неизвестными), а также в качестве внешних характеристик процесса настройки выравнивателя (коэффициенты эквивалентного искажающему каналу фильтра известны).
Во втором разделе формулируются требования к ЦФ, выступающим в роли определяющих алгоритмы настройки мер остаточных искажений, вводятся их новые виды и рассматриваются свойства. Здесь же получены важные для практической реализации эквивалентные формы и выражения ЦФ, необходимые для использования совместно с методами минимизации нулевого и первого порядка, а также обсуждаются возможности использования наборов ЦФ для настройки АВ.
Третий раздел посвящен методам минимизации ЦФ с учётом особенностей АВ, а также адаптации шага настройки. Здесь сформулированы требования к используемым в АВ алгоритмам минимизации, определены их допустимые классы, предложен алгоритм нулевого порядка с очень низкой трудоёмкостью вычислений на один шаг адаптации, обоснована необходимость автоматического определения шага настройки и синтезирован практический алгоритм на основе последовательного статистического анализа Вальда. В четвёртом разделе исследованы предельные (достижимые в идеальном случае) возможности АВ на основе КИХ-фильтров по подавлению МСИ, рассмотрены критерии устойчивости настройки выравнивателей и методы ее обеспечения, показано, что задача ABC в любой постановке относится к важному классу некорректно поставленных задач, а также приведены практические алгоритмы регуляризации алгоритмов настройки АВ.
В пятом разделе приводятся основные результаты имитационного моделирования СПДИ с АВ и проводится их анализ, а также выработаны практические рекомендации но эффективной реализации рассмотренных алгоритмов адаптации с применением ЦСП. Даны оценки максимальных скоростей обработки отсчётов, достижимых в АВ с вычислителем на базе одиночного ЦСП.
Алгоритмы АВ во временной и в частотной области
На каждой итерации уточнения вектора коэффициентов АВ во временной области требуется осуществление, по меньшей мере, одного преобразования свертки, что является основным недостатком такого подхода. В случае КИХ-фильтра, повышение длины вектора коэффициентов L положительно сказывается (см. подраздел 4.1) на возможности АВ выстроить более точное приближение обратного оператора к оператору канала. При использовании БИХ-фильтра с ростом Q повышается способность выравнивателя подавлять МОИ в каналах с большим разбросом задержек между самым "быстрым" и самым "медленным" путями распространения сигнала (см. подраздел 4.3). Однако при возрастании L или Q обостряется проблема быстрого вычисления свёртки b с принимаемой последовательностью или с с выходной последовательностью выравнивателя. В конце 70-х годов было предложено перенесение всего алгоритма настройки АВ на основе КИХ-фильтра в частотную область (см., например, [32]). Суть алгоритма выравнивания в частотной области состоит в том, что отсчёты входного сигнала сначала сегментируются на кадры, затем над каждым кадром производится быстрое дискретное преобразование Фурье (БПФ). Результирующие векторы почленно умножаются на вектор коэффициентов фильтра в частотной области. Выходная последовательность АВ образуется последовательно выстроенными и "сшитыми" кадрами, получающимися путём выполнения обратного БПФ над результатами предшествующего преобразования в частотной области. Вектор коэффициентов фильтра в частотной области обычно формируется посредством БПФ соответствующего вектора во временной области, вырабатываемого управляющим вычислителем. Иногда, к счастью, удаётся избежать этого избыточного преобразования ценой некоторого усложнения самого алгоритма настройки АВ [32]. В [38] предложено естественное обобщение алгоритмов АВ в частотной области, заключающееся в том, что вместо БПФ можно использовать произвольное применимое к данному классу последовательностей быстрое дискретное преобразование, для которого существует теорема о свертке. Таковыми являются, например, обобщённое теоретико-числовое преобразование [8] и вейвлет-преобразование [28]. Иными словами, вычислительный выигрыш достигается исключительно в силу применения одного из быстрых алгоритмов секционированной свёртки [38]. Несмотря на такое явное достоинство, на практике этот метод оказывается более чувствительным к шумам и помехам в канале, а также менее стабильным численно вследствие ошибок округления операндов в вычислительном устройстве [91] Кроме того, использование быстрых алгоритмов свёртки, очевидно, не может дать выигрыша в скорости сходимости и остаточной ошибке АВ [32] В [77] приводится таблица параметров реальных многолучевых радиоканалов, опираясь на которую можно сделать вывод, что использование ABC с применением быстрых алгоритмов свёртки оправдано лишь в достаточно специфических случаях, например, при распространении сигнала внутри зданий. Это связано с тем, что вычислительный выигрыш, как отмечалось в [32], имеет место только при L 16.. .32 и обычно нет смысла выбирать L M, где М — порядок эквивалентного фильтра искажающего канала В проводной связи импульсный отклик канала типично длиннее по сравнению с эфирными каналами на открытой местности. Но и в кабельных каналах достаточно большие для реализации преимуществ алгоритмов быстрой свертки значения М встречаются не слишком часто (см , например, [93]). Более того, выигрыш алгоритмов в частотной области уменьшается вследствие вычислительной трудоемкости обработки секционированных входной и выходной последовательностей. Построенные на основе стандартных быстрых преобразований алгоритмы осуществляют операцию циклической свёртки, а для работы АВ требуется линейная свертка, переход к которой также усложняет работу с последовательностями [24]. Ещё одним недостатком обработки в частотной области является более редкая подстройка коэффициентов АВ, правда, не приводящая к заметному замедлению сходимости в среднем, но немного ухудшающая вероятность ошибки, поскольку уточнения коэффициентов, как правило, применяются не к предыдущему блоку отсчётов, на основе которых получены, а только к следующему блоку для уменьшения задержки сигнала при обработке. Подача выходных отсчётов блоками, а не непрерывным потоком осложняет проблему буферизации, в результате ухудшается способность выравнивателя отслеживать изменения свойств канала во времени. Дополнительным аргументом в пользу обработки во временной области является наличие у некоторых моделей современных цифровых сигнальных процессоров (ЦСП) встроенного высокоскоростного блока вычисления свертки или возможность его реализации на основе программируемых логических интегральных схем (ПЛИС).
Отсюда следует важный вывод [38]: существующие алгоритмы АВ в частотной области лишь в специальных случаях обладают преимуществами перед алгоритмами во временной области.
По способу обработки отсчётов входного сигнала методы адаптации принято делить на два больших класса: прямые и итеративные. Именно второй подход представляется многим авторам (см., например, [67], [79]) наиболее обещающим К сожалению, несмотря на немалые усилия исследователей ([78], [81], [85] и др.), прогресс в этой области заметно сдерживается необходимостью чёткой математической формализации проблемы и решения ряда непростых задач. Этот круг вопросов и является основным предметом исследований настоящей диссертации.
Множественность подходов и предлагаемых алгоритмов затрудняет их классификацию и сравнительный анализ (см., например, [32], [48], [67]). В [38] предложено представление итеративного алгоритма настройки ABC как совокупности трёх основополагающих компонент.
• ЦФ для используемой в СПДИ сигнальной конструкции;
• метода итеративной минимизации ЦФ;
• средств обеспечения устойчивости вычислений (регуляризация, сглаживающая фильтрация)
Действительно, ЦФ задаёт критерий адаптации как меру отклонения от оптимальной настройки и устанавливает её связь с настраиваемыми параметрами выравнивателя. Алгоритм итеративной минимизации определяет правило изменения коэффициентов фильтра АВ для достижения оптимальной настройки. Обеспечение её достижимости, а также подавление мешающих возмущений отсчётов принимаемого сигнала реализуются посредством сглаживания ЦФ и использования регуляризации. При рассмотрении этих составляющих в последующих разделах особое внимание уделяется их взаимосвязи и аргументации указанного выше способа представления алгоритма настройки АВ.
Эмпирическая характеристика сходимости АВ
В [77] показано, что интегрирование в рамках модели (1) сводится к суммированию по конечному количеству равноотстоящих отсчётов импульсной характеристики, если считать сигнал полосно-ограниченным Насколько справедливо такое приближение ввиду конечности интервала времени передачи сообщения7 Учитывая достаточно большие длины реальных сообщений, многократно превосходящие постоянную времени установления гармонического сигнала в эквивалентном каналу полосовом фильтре, с достаточной для практики точностью можно пренебречь внеиолосными частями спектра сигнала передатчика и полагать их маскируемыми шумом и помехами канала. В отсутствие расширяющих спектр нелинейных искажений в канале, это делает естественным переход к комплексным низкочастотным эквивалентам характеристик сигнала, канала и АВ. Говоря о характеристиках, будем далее подразумевать именно их низкочастотные эквиваленты. Такая модель справедлива для наиболее распространённых СПДИ с использованием того или иного вида манипуляции несущей частоты и для систем связи без использования несущей в явном виде (в специальных типах цифровых кабельных модемов, например, с использованием трёхпозиционного кода HDB-3).
Для краткости будем обозначать отсчёты передаваемого и принимаемого сигнала, дискретного варианта импульсной характеристики канала и аддитивного шумового процесса соответственно В этих обозначениях (1) для полосно-ограниченных сигнала передатчика и канала принимает вид. В [77] сделан вывод, имеющий для дальнейших построений фундаментальное значение: действие произвольного стационарного или близкого к стационарному линейного канала с памятью на полосно-ограниченный сигнал эквивалентно аналогичному воздействию, производимому фильтром дискретного времени с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром) с соответственно постоянными или медленно меняющимися во времени параметрами. Частота отсчетов в этой дискретной модели определяется шириной полосы ооъ, занимаемой сигналом x(t) и не зависит ни от количества лучей (требуется только конечность максимальной вносимой величины запаздывания), ни от разницы задержек между соседними лучами. Это является частным случаем теоремы Котельникова-Шеннона. Подобно другим полосно-ограниченным линейным системам, отсчёты могут быть взяты через произвольный постоянный промежуток времени, удовлетворяющий неравенству Ag l/ov Нижние индексы в отсчётах импульсной характеристики эквивалентного каналу фильтра, перестраиваемого фильтра АВ, передаваемого, принимаемого и восстановленного выравнивателем сигнала в дальнейшем соответствуют номеру отсчёта, не обязательно совпадающему с номером элемента сигнала. Соответствующие выкладки при этом справедливы для произвольной частоты отсчётов и 8 иіь.
Таким образом, в отсутствие шумов вектор а исчерпывающим образом описывает МСИ в каналах весьма широкого и практически наиважнейшего класса При отсутствии или малости нелинейных искажений и параметрических эффектов, адекватной моделью канала является (3).
В условиях многолучевого приёма на открытой местности основная энергия сигнала принимается обычно с конечного, причём относительно небольшого, набора путей распространения сигнала, задержка между любыми из которых, начиная с УКВ диапазона, как правило, существенно превышает как время передачи одного символа информационной последовательности, так и время At излучения одного элемента сигнала [77]. Это соответствует значительным временам памяти канала В результате при приеме происходит наложение удалённых во времени информационных символов на принимаемый в текущий момент времени. С другой стороны, характер этой суперпозиции прост ввиду небольшого количества лучей. Иная ситуация типична для высокочастотных эфирных каналов во внутренних помещениях зданий (см , например, [87]), где типичная разность максимальной и минимальной задержек при многолучёвости многократно меньше, однако количество лучей может быть большим. Это предопределяет более высокую степень наложения, но лишь соседних элементов сигнала друг на друга вследствие "размазывания" сигнала во времени. Таковы же и линейные искажения в волоконно-оптических линиях связи. Другой крайностью являются медные проводные линии электросвязи с огромной продолжительностью эхо-сигнала даже по сравнению с эфирными каналами на открытой местности. Причина состоит в том, что кабели ведут себя как искажающие линии задержки В проводной связи при использовании традиционного медного кабеля по оценкам экспертов задержка эхо-сигнала иногда способна достигать 3000/аъ (см , например, [47]).
Вне зависимости от типа канала, из физических соображений (конечность энергии каждого элемента излучённого сигнала) вытекает практическая конечность памяти канала, поскольку малые эхо-сигналы маскируются шумами и помехами. Математически конечная продолжительность эхо-сигнала выражается в конечности верхнего предела суммирования в (2), а нижний предел равен нулю вследствие каузальности эквивалентного фильтра.
Одновременный учёт постоянства амплитуды и дискретности фазы в ЦФ
Под действием шумов и помех приёма иногда возникают неудачные в смысле АФ шаги адаптации, возмущающие b и этим замедляющие процесс сходимости. Однако с точки зрения изменения значения ЦФ Фу, эти шаги иногда могут считаться правильными, поскольку при вычислении Фу принимается во внимание только последнее на данный момент времени значение qj, либо пара последних значений для ЦФ, привлекающих разность фаз Использование сглаживающей Фу фильтрации лишь отчасти позволяет снизить влияние таких нежелательных приращений вектора коэффициентов, поскольку в этом случае берётся взвешенная сумма нескольких значений ЦФ, соответствующих предыдущим шагам настройки
В [42] предложено привлечение независимой оценки качества настройки, позволяющей снизить вероятность ошибочных шагов. Для вынесения решения о приемлемости каждой поправки к вектору коэффициентов АВ может быть использован второй ЦФ иной конструкции, менее подверженной случайным помехам. Назовем его проверочным ЦФ (ПЦФ) и обозначим Фуег. Его прямое использование для адаптации выравнивателя может быть затруднено вычислительной сложностью выработки с его помощью Abj, однако для вынесения решения о целесообразности такого приращения этого и не требуется, а достаточно лишь его однократное вычисление. В общем виде: где M — порядок сглаживающего фильтра по задержкам, S — порядок сглаживающего фильтра по парциальным функционалам, ФД ) парциальные ЦФ, Веса, удовлетворяющие Неравенству Wm+is Wms, т =
Усреднение здесь ведётся как по различным типам парциальных ЦФ, так и по их значениям, соответствующим задержанному на т тактов выходному сигналу выравнивателя. Вычисление (61) возможно выполнять как последовательно на одном вычислителе, так и параллельно на нескольких. В последнем случае допустимо распараллеливание и по индексу т, и по индексу s Фактический выходной сигнал формируется цифровым фильтром, эволюция вектора коэффициентов которого контролируется посредством ПЦФ, блокирующего ошибочные изменения b под влиянием шума и помех при приеме.
Возможен и иной способ использования в АВ нескольких ЦФ с целью ускорения процесса адаптации. Если до этого рассматривался набор кооперирующихся между собой парциальных ЦФ в составе проверочного, то в [38] предлагается алгоритм с конкуренцией нескольких ЦФ, каждый из которых независимо привлекается для коррекции настроек перестраиваемого цифрового фильтра. На основе различным образом устроенных ЦФ с отличающимися друг от друга критериями оптимальности в общем случае вырабатываются неодинаковые поправки к вектору Ь. Основным недостатком каждой из них является то, что она базируется на шумовых оценках принятого сигнала yj (на J-ом шаге настройки). Инерционная фильтрация значений ЦФ или их градиентов или привлечение ПЦФ увеличивают объем вычислений, поскольку на каждом шаге вычисляются значения или градиенты нескольких ЦФ. Поскольку до сих пор не построен наилучший в смысле минимизации вероятности ошибки или хотя бы в смысле АФ алгоритм ABC и не доказана оптимальность известных алгоритмов ввиду трудности этих задач, применение единственного решающего правила для нахождения всякого b сопряжено с некоторым риском осуществления последовательности неоптимальных шагов. Моделирование СПДИ подтверждает это предположение тем, что поведение АВ на основе различных ЦФ в процессе настройки часто заметно различается и по-разному зависит от параметров конкретного канала. Более того, из теории итерационных методов известно, что привлечение для уточнения решения на каждой итерации одного и того же правила почти всегда дает значительно худший результат, чем чередование нескольких методов приблизительно одинаковой эффективности. Этот факт широко используется при построении стохастических алгоритмов, в которых на каждом шаге метод выбирается случайным образом из заданного набора. Вполне логично ожидать положительный эффект этого подхода и в задаче ABC. Формализуем алгоритм адаптации со стохастическим выбором ЦФ. На J+1-ом шаге настройки АВ:
Рамки данной общей конструкции включают также возможность сглаживания значений ЦФ, но важно отметить, что это не является обязательным Простейшими правилами выбора $j являются циклическое или случайное равновероятное использование каждого ЦФ из множества Q на текущей итерации, независимо от результатов предыдущих шагов. Если позволяют вычислительные ресурсы, на каждой итерации можно находить все Ф3, s=l,..., S, и выбирать из них тот, который предлагает наивыгоднейший шаг с точки зрения большинства прочих, что является развитием идеи [42]. Привлекательным, но ещё более ёмким с точки зрения объёма вычислений решением является взвешивание на каждой итерации всех ЦФ из 17 с определяемыми рейтингом весами:
Рейтинг ЦФ определяется как отношение "одобряющих" данный шаг ЦФ к их общему числу в наборе. Под "одобрением" понимается уменьшение значения соответствующего ЦФ. К счастью, эти алгоритмы допускают простое и естественное распараллеливание вычислений, что важно для эффективной практической реализации с применением ЦСП.
Адаптивный выбор шага при итеративной минимизации ЦФ
Данный раздел посвящен методам минимизации ЦФ с учётом особенностей АВ, а также адаптации шага настройки. Материалы данного раздела опубликованы в [36], [38] и [42]. Основными требованиями к методу минимизации ЦФ являются устойчивость к значительно более высокому по сравнению с традиционными применениями уровню возмущений входной информации вследствие, во-первых, канального шума и, во-вторых, невысокой точности аналого-цифрового преобразования (8-16 бит) на выходе радиотракта приёмника Это означает, что такие методы должны приводить настройки АВ в практически приемлемую окрестность минимума даже при относительной погрешности отсчётов входного сигнала порядка 0.1-0.3; умеренные требования к производительности и памяти вычислителя для обеспечения работы в режиме реального времени; хорошая скорость сходимости, по крайней мере, при низком уровне шума и помех; простая и эффективная численная реализация на доступных типах вычислителей; возможность оперативного контроля процесса адаптации и управления им, например, для избежания неправильных настроек АВ, формально приемлемых по критерию минимума ЦФ. Сюда же относится и возможность регуляризации алгоритма, хорошая совместимость с используемыми типами ЦФ (которую гарантируют далеко не все методы, исходно нацеленные на работу с минимизируемыми целевыми функциями лишь ограниченных классов). При этом в поле рассмотрения исходно попадают глобальные и локальные методы условной и безусловной минимизации. Для обоснования выбора допустимых алгоритмов численной минимизации, кратко рассмотрим крупные и наиболее практически важные их классы: квазиньютоновские методы второго порядка (метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла, метод Флетчера-Ривса, метод Нелдера-Мида, метод Зангвилла); методы первого порядка (наискорейший спуск); методы нулевого порядка (циклический покоординатный спуск, метод Хука-Дживса, метод Розенброка, метод подъема на вершину (англ. hill climbing)) подходы, связанные с последовательной редукцией пространства поиска (симплекс-метод, бисекции); методы случайного перебора (Монте-Карло и квази-Монте-Карло); эвристические дискретные методы с элементами случайности, эволюционные стратегии.
В рамки семейства квазиньютоновских методов объединены подходы, связанные с построением квадратичной аппроксимации целевой функции, обычно, на основе вычисления ее градиентов или их аппроксимаций [15]. Как показывает опыт, эти методы удовлетворительно работают только для гладких унимодальных целевых функций при отсутствии выраженных "оврагов", иначе не гарантируется даже сам факт сходимости. Сложные способы построения и поддержания положительной определенности аппроксимации матрицы Гессе весьма чувсгвительны к погрешностям входных данных [58]. Это, а также большая вычислительная трудоёмкость каждой итерации, высокие требования к объёму памяти делают их непривлекательными по сравнению с более простыми методами даже в задаче синтеза цифровых фильтров с постоянными параметрами [21]. Важно и то, что в них затруднительно эффективно ввести ограничения области поиска и контролировать процесс сходимости. С учетом названных причин, неудивительно, что автору не известно ни одной публикации по системам ABC с использованием квазиньютоновских методов
К квазиньютоновским тесно примыкают и разнообразные методы, использующие идею взаимозависимых (сопряжённых) направлений (Пауэлла, параллельных касательных (партан), сопряжённых градиентов и другие), некоторые из которых удивительно эффективны не только для квадратичных целевых функций. Хотя в методах сопряжённых направлений матрица Гессе или ее аппроксимация не отыскиваются в явном виде, направления поиска стремятся установить взаимно сопряжёнными относительно неё с привлечением остроумных итеративных процедур, неизбежно нуждающихся в достаточно точном отыскании минимумов вдоль заданных направлений. Последнее обстоятельство лишает методы сопряжённых направлений главного достоинства — высокой скорости сходимости в случае значительной зашумленности значений ЦФ. Кроме результатов численных экспериментов, об этом косвенно свидетельствует статистически частое превосходство метода Пауэлла перед родственным модифицированным методом Розенброка на невозмущённом ЦФ, отмечаемое многими исследователями (см., например, [60]). Это объясняется тем, что в методе Пауэлла направления минимизации берутся строго сопряжёнными относительно матрицы Гессе, а в методе Розенброка — нет. Следовательно, высокая скорости сходимости достигается только при гарантии такой сопряжённости, а для ЦФ АВ этого обеспечить без значительных дополнительных вычислений не удаётся. С учётом того, что методы сопряжённых направлений имеют ощутимо более сложные алгоритмы по сравнению с базовыми методами того же порядка, их использование для настройки АВ, работающих с каналами с высоким уровнем шумов и помех представляется неоправданным.
Процедуры Монте-Карло и квази-Монте-Карло, находящие широкое применение в компьютерном моделировании во многих научных и технических областях, в первую очередь, в физике [52], совершенно нечувствительны к характеру минимизируемой целевой функции и очень просто и экономно реализуются даже в рамках чисто аппаратных средств, без привлечения программного обеспечения. В них легко ввести ограничения пространства поиска даже весьма сложного вида. Обратной стороной этих качеств является крайне низкая скорость сходимости. Так, для традиционного метода Монте-Карло, среднеквадратическая погрешность решения уменьшается обратно пропорционально квадратному корню количества итераций [51], и даже при использовании специально построенных оптимальных сеток в алгоритмах квази-Монте-Карло, не может убывать быстрее, чем обратно пропорционально количеству сделанных оценок целевой функции [89]. Контроль хода процесса настройки АВ практически невозможен, поскольку коэффициенты фильтра выравнивателя изменяются (квази-)случайным образом.
Настройка АВ на основе БИХ-фильтров в присутствии шумов и помех
Соответствующие задачи относятся к классу некорректно поставленных задач [55], то есть математических задач, практическое решение которых осложнено, по меньшей мере, в одном из следующих смыслов: точное решение может не существовать при некоторых физически возможных входных данных, решение не единственно; решение задачи неустойчиво по отношению к входным данным (т. е. значительно меняется при очень малом их изменении). На практике методы регуляризации используются также, если: не известно, существует ли решение задачи и единственно ли оно; отсутствует обоснованный вычислительный алгоритм решения задачи. Построение алгоритма получения или отбора допустимых приближённых решений некорректно поставленной задачи называется регуляризацией. Соответствующий алгоритм решения некорректно поставленной задачи получил название регуляризующего алгоритма УК Построение последнего в отдельных случаях удаётся осуществить на основе исходного, нерегуляризованного алгоритма 21, которому на допустимых входных данных могут сопутствовать названные изъяны. Применительно к задаче ABC во временной области аспекты практической регуляризации рассмотрены в [40]. Для используемого в процессе настройки АВ алгоритма минимизации, в рамках классической схемы регуляризации, реализация 94 такова:
Принцип действия 9Ї помогают понять следующие рассуждения. ЦФ динамически, от итерации к итерации, трансформируется для придания ему нужных свойств. Регуляризующая функция Ф(-) играет роль штрафной функции при минимизации и выбирается таким образом, чтобы сместить экстремум Фг( ) в желаемую область значений, например сделать невыгодными b со слишком большой нормой От привлечения штрафной функции в обычном понимании [45] метод введения регуляризации отличает уменьшающееся влияние регуляризующеи функции по мере приближения к решению. Второе, не менее важное назначение Ф(-) — это удаление в регуляризованном ЦФ нежелательных экстремумов, связанных с Ф(-) и его сглаживание для облегчения минимизации. Минимизация Фг(") на каждой итерации даёт текущее компромиссное квазирешение, соответствующее балансу между истинным искомым минимумом Ф(-) и "хорошими качествами" результирующего ЦФ, гарантирующими регулярность задачи. Привлечение предыдущего оптимума Ьг в качестве начального приближения позволяет проводить постепенное уменьшение (Xj, которое смещает компромиссный минимум регуляризованного функционала Фг( ) всё сильнее в сторону искомого минимума Ф(-)- На основе исследования свойств исходного ЦФ вырабатывается правило уменьшения а3 от итерации к итерации. Очевидно, чрезмерно медленное убывание а3 или избыточно большое ао отражается на неоправданном замедлении отыскания вектора коэффициентов перестраиваемого фильтра АВ ввиду большего, чем необходимо количества шагов приближения. С другой стороны, излишне быстрое уменьшение ct,, либо слишком малое ао могут оказаться недостаточными для полного устранения нежелательных свойств 21
К достоинствам рассмотренной схемы регуляризации можно отнести простоту организации вычислений и потребность в малом количестве параметров Н. Однако, применительно к задаче адаптации АВ, ей присущи заметные трудности:
На каждом шаге необходимо решать полную задачу минимизации, что замедляет вычисления по сравнению с исходным алгоритмом 21 приблизительно в равное количеству изменений а3 раз, а это высокая цена, поскольку обычно делается от 5 (малый уровень шума, помех и МСИ) до 500 (сильно искаженный и зашумленный сигнал, максимально приемлемое количество итераций для достижения компромисса между стабильностью и быстродействием) проходов. Это приводит к практически неприемлемому замедлению настройки выравнивателя.
При парциальной минимизации крайне нежелательно вычислять ЦФ по одному отсчёту yj, поскольку такая шумовая оценка ЦФ нестабильна Разумно при этом использовать некоторую фильтрацию значений Ф(-), для чего следует помнить несколько последних отсчётов у и соответствующих им Ф(-). В результате требования к памяти вычислителя повышаются. Эта проблема существует и в нерегуляризованных АВ и, к сожалению, введение регуляризации в классическом виде ее не ослабляет.
Таким образом, классическая схема регуляризации применительно к задаче ABC работоспособна, но её использование едва ли оправдано при наличии существенно лучшей конструкции, получившей название итеративной регуляризации.
