Содержание к диссертации
Введение
1 Общая структура оптимальных оценок параметров ионосферы 13
1.1. Введение 13
1.2. функция правдоподобия HP сигнала .30
1.3. Фильтровый алгоритм оценки 33
1.4. Корреляционная обработка 35
1.5. Уравнения максимального правдоподобия .36
1.6. Анализ качества оценки 39
1.7. Заключение 42
2. Квазиоптимальные алгоритмы оценки параметров HP сигналов 44
2.1. Введение 44
2.2. Случай .-.гетационарного сигнала .45
2.3. Случай малого отношения сигнал/шум 48
2.4. Использование спектральных характеристик 53
2.5. Случай неоднородной ионосферы 56
2.6. Заключение 60
3. Оценка изменяющихся во времени параметров ионосферы 61
3.1. Введение 61
3.2. Функция правдоподобия последовательности оценок 62
3.3. Рекуррентный алгоритм оценки 64
3.4. Алгоритм оценки изменяющихся параметров для линейной модели процесса . 69
3.5. Оценка изменяющихся параметров для линейно- разностной модели процесса 72
3.6. Заключение 78
4. Анализ эффективности алгоритмов оценки параметров hp сигналов 80
4.1. Введение 80
4.2. Механизмы возникновения ошибок при оценке параметров HP сигналов 81
4.3. Общая структура математической модели системы обработки HP сигналов 83
4.4. Математическая модель энергетического спектра HP сигналов 88
4.5. Результаты математического моделирования 91
4.6. Заключение 101
5. Синтез структур устройств обработки HP сигналов .102
5.1. Введение 102
5.2. Форма представления входной информации 112
5.3. Аппаратура первичной обработки сигналов HP .121
5.4. Функциональная схема коррелятора для обработки HP сигналов 124
5.5. Функциональная схема измерителя энергетического спектра HP сигналов .128
5.6. Матричный процессор 138
5.7. Заключение 147
Заключение 149
Список использованных источников 155
- функция правдоподобия HP сигнала
- Случай малого отношения сигнал/шум
- Рекуррентный алгоритм оценки
- Общая структура математической модели системы обработки HP сигналов
функция правдоподобия HP сигнала
Используя этот общий подход в данной работе анализируются возможности повышения пространственного разрешения измерений параметров ионосферы при зондировании импульсами большой длительное ти без внутриимпульсной модуляции.
Для повышения точности получаемых оценок разработаны алгоритмы . сглаживания с учетом возможных моделей их временных зависимостей. Использование алгоритмов сглаживания позволяет при той же точности повысить временное разрешение измерений.
Как указывалось ранее, решение поставленных задач проводится в рамках метода максимального правдоподобия, что определяет необходимость вычисления функции правдоподобия, определения алгоритмов обработки принимаемых сигналов и оценки искомых параметров, вычисление точностных характеристик алгоритмов.
В работе используются следующие основные предп#ложения : . I. Принимаемый сигнал представляет аддитивную смесь HP сигнала и шумов приемника.2. HP сигнал представляет собой нормальный случайный процесс.3. Шумы представляют собой стационарный случайный процесс с равномерным энергетическим спектром в полосе приема.4. Оценка параметров производится по дискретным выборкам сигнала, объем которых определяется длительностью зондирующего импульса и интервалом дискретизации, выбираемым в соответствии с теоремой Котельникова.5. Интервал корреляции сигнала намного меньше длительности зондирующих импульсов и интервала между ними.Пусть А = А (Т, k) - вектор, элементы которого представляют истинные значения параметров ионосферы в момент времени Т на высоте k . В результате преобразования входного сигнала
У , наблюдаемого на интервале [0,Т] , получаем векторлд , элементы которого представляют собой оценки измеряемых параметров.
Для синтеза алгоритма этого преобразования необходимо знатьфункцию правдоподобия . Используя вы ражение ( /. 12. ), запишем ее в виде:
Оценка А получается путем отыскания максимума ї (Л) при изменении А в области допустимых значений. Т.к. входной сигнал представляет собой адцитивную смесь полезного сигнала и "белого" шума, то
Используя известные тождестваможно получить следующую запись функцииправдоподобия :где с=- -а(2/і) , Я YY - оценка корреляционной матрицы входного сигнала. Полученные выражения для функции правдоподобия ( /. jl\ ), ( iJS ) и ( /.24 ) можно использовать для построения оптимальных алгоритмов оценки вектора параметров А . Предположим, что значения 7$ заключены в пределах интервала [Ат-п , Атак) . Разобьем область изменения А на интервалы Л 7 . Средние точки этих, интервалов соответствуют значениямгде L - число возможных значений A , r (AmafAmi /ДА .
Таким образом, необходимо вычислить все %(Х.) и выбрать максимальное, т.е. в случае параллельной структуры реализации алгоритма оценки задача оценки имеет такую же степень сложности как и многоальтернативная задача обнаружения, - в том смысле, что необходимо построить L параллельных трактов обработки. Очевидно, при этом имеются условия компромиссного подхода при определении допустимой точности и сложности системы обработки и возможно использование ряда математических методов ускоренного поиска максимума функции 3. (А ) .
Используя выражение ( /. jk), можно построить алгоритм оценки вектора А . Заметим, что имеющее в (і. /4 ) место преобразование вида:представляет собой матричную фильтрацию входного сигнала. Обобщенную блок-схему фильтрового алгоритма можно представить в виде, изображенном на рис. /.3 . Схема рис. /.3 соответствует алгоритму ( /, /4 ). Входной сигнал пропускается через параллельный набор матричных фильтров, характеристики которых определяются соответствующим вектором параметров А . Затем профильтрованный сигнал коррелируется с входным, вычисляются соответствующие значения функции првдоподобия, из которых устройство сравнения выбирает максимальное. Номеру канала, в котором достигается так 3. (А) » соответствует вектор А- , принимаемый в качестве искомой оценки А а
Отметим, что рассмотренный алгоритм может быть реализован одноканальной схемой последовательным образом. В этом случае необходимо запомнить входную выборку сигнала и, L раз пропустить ее через канал схемы при различных A.ti-ffLt запомнить все выходные значения (А-) и выбрать из них максимальное. При этом, очевидно, можно использовать математические методыдля уменьшения числа переборов и ускорить за счет этого поиск лвычислительных затрат.Эй Обобщенная блок-схема алгоритма, максимизирующего ( /. /в ) приведена на рис. І. 4 . Заметим, что в отличие от фильтрового корреляционный алгоритм (рис. /14 ) может быть разбит на два этапа :1) первичная обработка (обработка собственно сигнала), вычисление корреляционной матрицы /?у . На рис. /4 блок первичной обработки представляет ; собой коррелятор. Как видно, этот блок является общим, его выход является входом для всех каналов устройства вторичной обработки;2) вторичная обработка представляет собой весовую обработку оценки корреляционной матрицы входного сигнала в соответствиис ( /.27), вычисление Z (А ) и нахождение его максимума. Отметим, что
Случай малого отношения сигнал/шум
Используя выражение (2.5 ), запишем функцию правдоподобия HP сигнала в виде :В случае отношения сигнал/шум для собственных чисел \ (А / матрицы RK (А) выполняется условие :Поэтому можно разложить выражения / ftx (A) +IJ иvi JAj IJ в правой части выражения (2.5 ) в ряд Тейлора. Тогда получим :Выражение 0.-- 6 tz [R J пропорционально отношению мощностей HP сигнала и помех и, следовательно, не зависит от векторапараметров А . Таким образом, задача оценки параметров ионосферы в случае малого отношения сигнал/шум сводится к измере нию корреляционной матрицы HP сигналов Rx и отысканию минимума квадратичной формы tt-[R%(A)RK (A) 2.RARK (А)] приизменении вектора параметров А в области его допустимых значений. Значение А в точке экстремума принимается в качестве искомой оценки А
Система уравнений правдоподобия запишется в этом случае какЭлементы информационной матрицы Фишера будут определяться выражением:Как видно, выражение ( 2.J5) может быть получено из общего выражения доя элементов матрицы Фишера ( 135). Для этого в ( (.Ъ5) необходимо использовать условие ( SL.7 ). Полученный результат можно легко интерпретировать и физически. В случае малого отношения сигнал/шум форма Л -спектра сигнала перестает влиять на ошибки оценок параметров, вернее использование формы спектра полезного сигнала не дает существенного выигрыша в точности оценок и поэтому ее влиянием можно практически пренебречь. Естественно, что при этом расчет ошибок упрощается, как упрощается и вычисление самой функции правдоподобия {2..W ), где отсутствует, в частности, такая сложная операция как обращение матрицы R (А ) и вычисление логарифма n[R (ІЇ)] .
Как отмечалось выше, для получения оценок параметров с приемлемой точностью на практике приходится обрабатывать HP сигнал в течение длительного интервала времени. Обработка при этом ведется путем усреднения получаемых результатов по отрезкам реализации. Естественным в данном случае является предположение о стационарности HP сигнала на интервале наблюдения 5-15 мин., что обычно и выполняется на практике, когда ионосфера спокойна. В этом случае алгоритм вычисления функции правдоподобия можно упростить. Известно /5 / , что корреляционная матрица стационарного случайного процесса Л (А) теплицева, т.е. вели Qlчина ее элементов зависит только от разности индексов [=т-п:
Проанализируем структуру слагаемого / & (/4у/ в правой части 12.JQ ). Для этого представим его в виде :где //=///г // ; /П я = 4} N - субдиагональная матрица, элементы которой определяются выражением /&3 /.
Выделим из правой части ( 2. /4) сомножитель г х и представим его в виде суммы диагональных элементов матрицы
Тогда равенство (2./4 ) можно представить в виде :Где ft a R (A) — оценка и модель АКФ сигнала HP. Бели время корреляции ИР сигналов значительно меньше длительности выборки, отличные от нуля значения корреляционной матрицы будут заключены в интервале {так & М . Учитывая это и подставляя в (2. /О ) выражения {2..1& ) и ( 2. (? ), получим :
Отсюда следует, что для получения оценки вектора параметров ионо сферы необходимо измерить автокорреляционную функцию наблюдаемых сигналов и, изменяя вектор А в области его допустимых значений, отыскать минимум квадратичной формы
Естественно, что объем вычислений при определении оС (А ) в соответствии с выражением ( 2.. /S) будет значительно нижеSt / (примерно в N/Стах раз) чем при вычислении « (А) по выражению (2J0 ).Уравнение правдоподобия теперь можно записать в виде :матрица ; Ъ(А ) - диагональная матрица, элементы которой - отсчеты энергетического спектра / 39 /.
Известно, что точность аппроксимации матрицы /?х (А ) матрицей К (А) будет тем выше, чем больше объем выборки и чем меньше интервал /пах корреляции сигналов /59 /.По сути дела выражение ( «2.2/) представляет собой матричную форму записи теоремы Винера-Хинчина для стационарного случайного процесса.
Так как для матрицы &к (А) справедливо представление через собственные числа и собственные векторы (матрица R (А) Аположительно определенная), т.е. Введем вектор оценки амплитудного спектра наблюдаемых сигналов:Где S -4 , (Рп) —оценка ЭС сигнала HP. L-iВыражение ( 24) и {2..2.5) позволяют получить новую форму записи функции правдоподобия
Рекуррентный алгоритм оценки
Обозначим решение этого уравнения через оСд, , т.е» эта оценка полечена по совокупности данных с?, Перепишем (3,8 ) с учетом (3.7 ) Г
Полученное решение ( з.//) представлено в форме рекуррентного соотношения, определяющего очередное значение оценки оГ че Арез оценку Ы ,/ на предыдущем шаге и поправку, зависящую отвновь полученных данных налюдения и предыдущей оценки. Поправка формируется как произведение градиента логарифма условнойплотности вероятности ры (й Iйыч foL) вновь полученного зна чения 0-ы в точке /_/ на весовую матрицу V , ко торая также зависит от оценки .., на предыдущем шаге, а ее зависимость от новых данных наблюдения полностью определяется видом логарифма условной плотности вероятности А /?у ,, оГ) При статистически независимых значениях 2Л , что; как отмечалось ранее, имеет место при измерениях HP сигналов, имеем;благодаря чему і ( ) зависит только от 5Г и аы , а гк -только от предыдущего значения оценки d f и вновь полученныхна /У-ом шаге данных наблюдения ам Поэтому при независимых значениях с для формирования вектора F# требуется запоми-нать с предыдущего шага лишь значение оценки о Рассмотрим теперь структуру весовой матрицы Z) . Из-за наличия слагаемого в (3./0) ЛуИ_/ ( v-/) она» вообще го-воря, зависит от всех значений ct..., , даже при их статистической независимости, что лишает соотношение (3. //) преимуществ, связанных с возможным сокращением количества запоминаемых на предыдущем шаге данных. Для устранения этого недостатка можно воспользоваться следующим приближенным методом вычисления матрицы VJJ , Используем предположение о малом различии двух очередных значений оценок о _/ и А/,г Тодла получим:
Итак, получена система рекуррентных соотношений для оцен-ки вектора о и весовой матрицы: П,:- —»
Эта система совместно с начальными значениями о(0 и Ъ0Аполностью определяет значение оценки оГ на любом шаге, на каждом из которых необходимо вычисление градиента FN и матрицы вторых производных р от логарифма условной плотности вероятности для текущего наблюдаемого значения а Начальные значения выбираются с учетом имеющихся априорных данных овозможных значениях и диапазоне изменения и ряда началь л ных замеров ап
При независимых значениях ап система рекуррентных соотношений (3./4) описывает, как указано в / 5 7 /, многомерный (размерности т + 0,5т(гп+1)) марковский случайный процесс, ком Апонента которого оГ , сходится к истинному значению ыТ , а компонента у сходится к информационной матрице Фишера и неограниченно увеличивается с ростом А/
Рассмотрим логарифм условной плотности вероятности inp (aL/ ). Подставляя (3.4) в (5.2), получим:а элементы матрицы /
Как видно, для определения элементов матрицы Р необходимо вычисление вторых производных от функции / ( Т) , описывающей закон изменения среднего значения параметра а во времени Чтобы избежать этого, можно воспользоваться методом, Получаемое с помощью (3./8) рекуррентное соотношение проще предыдущего, поскольку весовая матрица T N заменена своим математическим ожиданием и для её нахождения не требуются имеющие ся данные наблюдения, кроме тех, которые заключены в #., В то же время очевидно, что подобная замена означает необходимость выполнения требования близости матрицы вторых производных к своему математическому ожиданию.
Матрица Ры , вычисляемая в соответствии с ( 3.18 ), определяет точность получаемых оценок. Как видно, чем большевыполняться тем скорее, чем меньше величина дисперсии оценок л д и чем больше значениеспроизводных по параметрам функции
Структурная схема функциональных преобразований при оценке вектора оС в соответствии с рекуррентной процедурой, определяемой системой (3./4), приведена на рис.3.4, где введены следующие обозначения: 0 - перемножитель, ф - сумматор, V. -схема вычисления первых производных от J ( ) ; V - схема вычисления вторых производных; А Т - элемент задержки. В случае замены матрицы Р своим математическим ожиданием из схемы исключается вычислитель вторых производных, умножитель и сумматор, обведенные пунктиром.
Общая структура математической модели системы обработки HP сигналов
Моделирование системы обработки HP сигналов, использующей предложенные алгоритмы оценки искомых физических параметров ионосферы, имеет своей целью количественную оценку эффективности функционирования в различных помеховых ситуациях и границ их применимости. Задачу моделирования системы обработки HP сигналов можно разделить на три этапа : моделирование сигналов на выходе приемных устройств, моделирование соответственно алгоритмов обработки сигналов и анализ полученных результатов.
Моделирование сигналов на выходе приемников представляет собой сложную задачу. Для ее решения можно воспользоваться методикой, предложенной в / 65 /, где наблюдаемый сигнал моделируется аддитивной смесью двух гауссовых процессов, один из которых представляет выборку из "белого" шума, а второй - профильтрованный "белый" шум, причем форма частотной характеристики фильтра совпадает с формой энергетического спектра модели HP сигнала. Такая математическая модель может быть реализована на универсальной ЭВМ, однако требует больших вычислительных затрат. Блок-схема алгоритма формирования HP сигнала по такой модели приведена на рис. 4. і .
Моделирование собственно алгоритмов обработки HP сигналови оценки искомых физических параметров А сводится к реали зации математических операций согласно соответствующих выражений вида ( /.28 ).
Задача анализа результатов сводится к сопоставлению истинных значений параметров, использованных при расчете реализаций сигналов с их оценками, полученными в результате преобразований этих реализаций по исследуемым алгоритмам.
Заметим, что в условиях реальной аппаратуры с использованием имитаторов сигналов для анализа результатов необходимо провести дополнительные измерения параметров и статистических характеристик всех исходных сигналов и характеристик элементов приемного тракта. Эта задача может быть решена с помощью контрольно-измерительной аппаратуры , соединенной с управляющей ЭВМ /66 /.
При наложении ряда ограничений на точность моделей наблюдаемых сигналов и адекватность модели аппаратуры, реализующей вычисления по исследуемым алгоритмам, исследования алгоритмов обработки можно провести, используя только универсальную ЭВМ.
Рассмотрим структуру систем обработки HP сигналов и составим программу моделирования такой системы на ЭВМ.
Как отмечалось выше, исходным материалом для оценки искомых параметров является корреляционная функция или энергетический спектр HP сигнала. Так как измерение этих характеристик ведется на фоне помех в течение ограниченного интервала времени, то их оценки имеют определенную статистическую погрешность. Как уже указывалось ранее, оценки корреляционной функции и энергетического спектра случайного процесса при усреднении по большому числу реализаций имеет асимптотически нормальное распределение. В связи с этим, в целях упрощения модели и сокращения объема вычислений, будем использовать в качестве исходного сигнала для системы обработки модель энергетического спектра HP сигнала / / /в сумме с гауссовым случайным процессом, мощность которого определяется соотношением сигнал/шум на выходе приемных устройств и временем усреднения оценок статистических характеристик HP сигнала. Естественно, что такая модель не учитывает искажений оценок за счет приемных устройств и устройств первичной обработки. Однако, она значительно проще в реализации и позволяет в достаточной степени исследовать именно алгоритмические и флуктуационные ошибки оценки искомых параметров, что и является основной целью данной работы. Структура модели устройства обработки HP сигналов приведена на рис. 4.2, .
Основные параметры модели, использованные при моделировании, приведены в таблице 4. / . Поставленная в работе задача моделирования алгоритмов оценки параметров HP сигналов путем анализа формы его энергетического спектра может быть решена лишь при наличии функционирующей модели, реализованной на ЦЭВМ, посредством которой могут быть получены различные энергетические спектры в широком диапазоне значений основных параметров модели.
Для расчета энергетических спектров на ЭВМ использовалось выражение, приведенное в где и) - смещение угловой частоты рассеянного сигнала относительно частоты передатчика ; Д - длина волны передатчика, дебаевские радиусы электронов и ионов соответственно; 0 электрическая постоянная ; - постоянная Больцмана ; заряд электрона ; Ме - концентрация электронов ; , /V-концентрация ионов ; Те - температура электронов ; Т. температура ионов; где /7ie - масса электрона ; m - масса соответствующего иона ; /у]/ (си) / - спектр флуктуации плотности независимых электронов ; I/]/. (uo)j - спектр флуктуации плотности независимых ионов :, которые соответственно равны:
Для вычисления интегралов в правой части выражений ( 4.5 ) и ( 4. б ) использованы следующие стандратные значения интегралов / 67 /:
Расчеты показали, что ряд ( 4. 9 ) хорошо сходится при всех используемых значениях частоты и параметра й и может быть произведена аппроксимация соответствующего интеграла с любой заданной тоностью.
После подстановки в выражение ( 4. 3 ) соответствующих значений Fe(w),f С10) I Ne (w)l \І с () I можно полнитьследующее выражение для расчета модели энергетического спектра / 66 /:
