Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ 7
1.1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ 7
1.2. АНАЛИТИЧЕСКИ-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 19
1.3. ЦЕЛЬ и ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ 28
ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПОРТРЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ СПЕКТРОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. РАСЧЕТ ПРЕДПОЛАГАЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ НА ОСНОВЕ СФОРМИРОВАННЫХ ПОРТРЕТОВ 29
2.1. ПРОЦЕДУРА ФОРМИРОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПОРТРЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ СПЕКТРОВ РЕАКЦИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 29
2.2. РАСЧЕТНАЯ СХЕМА АНАЛИЗА ПРЕДПОЛАГАЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ ПОРТРЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ СПЕКТРОВ РЕАКЦИЙ 40
2.3. ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА ПРЕДПОЛАГАЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ПРИ НАЛИЧИИ РАЗРЫВОВ ПЕРВОГО РОДА В ОПИСАНИЯХ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ И ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ 65
2.4. ВЫВОДЫ 77
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ, ПЕРИОДИЧНОСТИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ СФОРМИРОВАННЫХ РЕЖИМОВ ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 78
3.1. ИССЛЕДОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ в НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ 78
3.2. ПРОЦЕДУРА ФОРМИРОВАНИЯ ОПИСАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ НА ОСНОВЕ ВЫБОРА ТОЧКИ РАЗЛОЖЕНИЯ 100
3.3 . ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПОЛУЧАЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ПО
3.4 .Выводы 133
ГЛАВА 4. РАСЧЕТ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НОВОЙ ФОРМЫ ЗАПИСИ РЯДА ТЕЙЛОРАД)ТДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ОТ ХАОТИЧЕСКИХ НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ СПЕКТРОВ РЕАКЦИЙ ЦЕПИ 134
4.1. РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ НА ОСНОВЕ НОВОЙ ФОРМЫ ЗАПИСИ РЯДА ТЕЙЛОРА 134
4.2. ОТДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ОТ ХАОТИЧЕСКИХ В НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ 154
4.3. Выводы 166
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 167
ЛИТЕРАТУРА 170
- ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ
- ПРОЦЕДУРА ФОРМИРОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПОРТРЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ СПЕКТРОВ РЕАКЦИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
- ИССЛЕДОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ в НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
- РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ НА ОСНОВЕ НОВОЙ ФОРМЫ ЗАПИСИ РЯДА ТЕЙЛОРА
Введение к работе
Исследование периодических режимов имеет очень большое значение в теории нелинейных систем и цепей. Для многих широко используемых на практике устройств и приборов периодический режим является рабочим. Весьма важно выяснить условия возникновения и устойчивости периодического режима, влияния параметров элементов цепи на амплитуду, частоту и форму установившихся колебаний, а также время и характер переходного процесса [1]. Для других устройств, таких, как усилители, системы автоматического регулирования и т.п., установившиеся колебания не должны иметь места. Нели нейность - неотъемлемая, а часто и определяющая черта современных объектов научных исследований и автоматизации, обширно поставляемых нуждами практики. Достаточно указать на объекты в авиации и космонавтике, биотехнологии и робототехнике, в химии и нефтехимии, экологии и т.д. Необходимо также указать на научную ценность исследования нелинейных цепей и систем, ибо в них возможны такие явления как автоколебания, детерминированный хаос, необратимость, странные аттракторы, бифуркации и т.п. Все это указывает на фундаментальность проблем анализа нелинейных неавтономных динамических цепей и исследования процессов управления ими.
Периодические режимы в нелинейных цепях могут возникать [1,2]: в автономных цепях - не только консервативных, но главным образом диссипативных. В зависимости от характера нелинейности, вида элементов и структуры цепи, частота и форма колебаний могут быть разнообразными; в неавтономных цепях - в виде вынужденных колебаний. При действии одного источника периодического сигнала вынужденная реакция может быть как периодической, так и непериодической. Периодическая вынужденная реакция может иметь основную частоту колебания, кратную или дробно -кратную частоте входного сигнала или равной ей; — при действии двух источников периодических сигналов разных частот в цепи могут возникнуть колебания с большим числом различных комбинационных частот. При действии же нескольких таких источников картина необычайно усложняется.
Различают следующие виды периодических колебаний: автоколебания, многочастотные вынужденные колебания и сложные колебания. Наиболее общий среди них случай - сложные колебания, из которого как частные следуют два первых.
В общем случае исследование периодических режимов в нелинейных цепях с помощью аналитических методов невозможно. На практике более широкое распространение получили приближенные методы анализа периодических режимов в нелинейных цепях. С помощью таких методов решен ряд конкретных задач, связанных с анализом периодических режимов в автономных электрических цепях. Однако данные методы требуют серьезных ограничений на вид уравнений динамики цепей. Выполняя анализ с помощью приближенных методов, исследователь сталкивается с необходимостью: анализа существования и единственности искомого периодического решения; уточнения приближенного периодического решения; оценки погрешности расчета периодического решения; — отделения периодических режимов от хаотических в исследуемых нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях.
Расчет любой нелинейной неавтономной нестационарной электрической цепи, как известно, невозможен в отрыве от предначальных условий [2,3]. Согласно качественной теории нелинейных электрических цепей такие цепи в общем случае не обладают свойством конвергентности, т.е. для различных предначальных условий в цепи устанавливаются различные по характеру процессы. Анализ динамики нелинейных неавтономных нестационарных цепей возможен в общем случае только с помощью численных методов.
Вследствие этого пошаговый расчет является единственно возможным подходом для выявления детерминированного хаоса, бифуркации в искомых реакциях исследуемой цепи [4]. С другой стороны, все численные методы накапливают погрешность расчета. Тогда, если рассматривать установившийся периодический процесс, т.е. случай, когда общая картина динамики характеризуется повторяемостью, фактор накопления погрешности расчета обуславливает снижение степени достоверности получаемой информации. В связи с этим для описания периодического решения уравнения динамики исследуемой цепи наиболее целесообразно и более эффективно описание его с помощью аппарата рядов Фурье. Вследствие этого актуальна задача построения процедуры расчета периодического режима на основе расчетной схемы численного метода с возможностью последующего описания этого решения на периоде в виде многочлена Фурье.
Диссертационная работа посвящена разработке нового метода анализа периодических режимов в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях на основе обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров искомых реакций.
В данной работе решен круг вопросов, связанных с нахождением взаимосвязи между рядами Фурье и Тейлора; построением обобщенных портретов на основе найденной взаимосвязи; разработкой процедуры формирования периодического решения в виде многочлена Фурье на основе полученных обобщенных портеров. Решены вопросы о существовании, периодичности и единственности искомого решения уравнения динамики нелинейной неавтономной нестационарной электрической цепи. Сформированы интегральные оценки погрешности расчета периодического режима. Разработан алгоритм, позволяющий отделить периодических режимы от хаотических в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях.
Обзор существующих методов расчета периодических режимов
Современные электронные вычислительные машины дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных объектов и явлений. Именно поэтому различные методы исследования в настоящее время проникают практически во все сферы человеческой деятельности, а математическое моделирование становится средством познания.
Роль электрических цепей и их значение непрерывно возрастают в связи с естественной тенденцией к оптимизации электротехнических устройств и созданием более совершенных устройств. В процессе познания и в стремлении создать детальную картину исследуемых процессов мы приходим к необходимости строить все более сложные электрические цепи, которые, в свою очередь, требуют для анализа универсального математического аппарата.
Нелинейные электрические цепи стали неотъемлемой частью большинства электротехнических и электронных устройств. Широкое применение ЭВМ, развитие теории колебаний и теории нелинейных цепей дали мощный толчок для проектирования все более сложных нелинейных устройств. В свою очередь, усложнение современной электро- и радиотехнической аппаратуры, ужесточение требований к ней, необходимость учета и использования новых нелинейных эффектов явились хорошим стимулом для развития теории, используемой как в традиционных областях анализа и синтеза, так и в новейших направлениях моделирования, идентификации, развитии качественных методов и т.д.
Довольно часто в электрических цепях устанавливаются периодические режимы, которые являются рабочими и, следовательно, необходимо управлять ими, с заданной точностью определяя или корректируя их параметры. Если же колебания нежелательны, то следует установить условия их возникновения и найти способы подавления до требуемого уровня [1,2].
Исследованием периодических режимов занимались многие ученые - Ж. А. Пуанкаре, Б. Ван дер Поль, Н. М. Крылов и др. Ими написаны классические работы по теории колебаний, дальнейшее развитие которых привело к созданию многочисленных методов расчета периодических режимов. По виду описания периодического решения уравнения динамики цепи и способу получения такого решения эти методы можно разделить на точные и приближенные. В группе точных методов можно выделить топологические, основанные на изучении фазового пространства. Топологические методы применимы для достаточно узкого класса задач и поэтому широкого распространения не получили, но с помощью таких методов решен ряд конкретных задач, связанных с анализом периодических режимов в автономных моделях систем управления. При практических исследованиях наибольшее распространение получили приближенные методы [1-4]. Особое место среди них занимает метод гармонической линеаризации, предложенный Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым. Основное достоинство приближенных методов состоит в их достаточно высокой степени формализации. Вместе с тем, используя эти методы, исследователь сталкивается с дополнительными проблемами при уточнении приближенных решений.
С помощью приближенных методов возможно решить только довольно ограниченный класс задач. При этом требуется соблюдать следующие условия:
— цепи в основном второго порядка, автономные или неавтономные, с одним источником гармонического сигнала;
— нелинейный элемент цепи имеет несильно выраженную нелинейность с монотонно нарастающей характеристикой, которую можно учесть некоторым малым параметром;
— в дифференциальном уравнении второго порядка нелинейная часть
Процедура формирования обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров реакций электрических цепей
Нелинейные электрические цепи описываются системами нелинейных неавтономных интегрально-дифференциальных уравнений. В общем случае расчет таких цепей, как отмечалось выше, возможен только с помощью численных методов. Напрямую использовать выбранный аналитически-численный метод для анализа периодических процессов в нелинейных неавтономных электрических цепях можно, но в случае, когда общая картина динамики характеризуется повторяемостью, фактор накопления погрешности расчета обуславливает снижение степени достоверности получаемой информации с увеличением времени расчета. Также очевидным недостатком прямого подхода является неизвестное заранее время выхода искомого решения на установившийся периодический процесс. Вследствие этого необходимо, во-первых, адаптировать выбранный численный метод к анализу периодического режима, во-вторых, построить процедуру расчета и сформировать описание периодического режима в виде многочлена Фурье на основе расчетной схемы выбранного метода.
Опишем последовательно процедуру расчета и формирование описания предполагаемых периодических режимов в нелинейных неавтономных электрических цепях на основе аналитически-численного метода.
Построение области (1.23) на каждом шаге расчета возможно, по определению, до тех пор, пока существует искомое решение уравнения динамики цепи (1.10), в том числе и периодического характера. Существующее периодическое решение x,(t), как известно [6], можно описать тригонометрическим рядом, являющимся рядом Фурье для этого решения.
Исследование существования и единственности периодических режимов в нелинейных неавтономных электрических цепях
После формирования уравнения динамики электрической цепи (1.10), основным является вопрос о существовании решения, в том числе и периодического, этого уравнения, отвечающего заданному предначальному условию х((Г),0-=/0, х(т)(0-) = х\т)(0-),х[т\0-),...,х\т)(0-) ,m = 0X...,N-\,me N порядок системы уравнения (1.9). Кроме этого, важно также иметь «возможность судить о единственности решения, позволяющей делать вывод о том, что только найденное нами решение отвечает данному предначальному значению и других таких решений не существует. Лишь в этом случае мы вправе сказать, что решили задачу» [4].
Доказательство существования решения сформированного уравнения динамики электрической цепи сводится к исследованию сходимости степенных рядов для этих решений, на основе анализа существования максимумов: \RU\, мажорант указанных выше степенных рядов. Так как аналитически-численное решение уравнения (1.10) выполняют пошагово, то исследование существования искомого решения носит также пошаговый характер [11]. При выбранном способе доказательства существования решения ответ на вопрос о его единственности получают исходя из того, что разложение функции X, (/) в степенной ряд единственно [16]. Если хотя бы для одного из элементов ,(/) /є[і;і] матричного решения (/) = ,(/),x2(/),...,xL(/) сформировано несколько различных степенных рядов и в интервалах [tkuk+hM],k = 0,\,2 доказана сходимость каждого или некоторых из них, то это служит необходимым и достаточным условием неединственности решения xt(t) уравнения (1.10).
Других аналитических решений в этих интервалах не существует.
После доказательства существования решения уравнения (1.10), согласно процедуре данного метода необходимо построить обобщенные портреты исследуемых реакций цепей. В том случае, если обобщенный портрет исследуемой реакции имеет положительные интервалы постоянства значений функций Ja (/;/ ), то существует предел (2.6). Тогда доказательство существования периодического решения искомого уравнения происходит путем подстановки полученного тригонометрического многочлена из решенной универсальной системы тригонометрических уравнений (2.16) в исследуемое уравнение динамики цепи. В том случае, если обобщенный портрет исследуемой реакции имеет либо отрицательные интервалы постоянства значений функций ylk{t;Ik), либо синхронизированные по времени локальные максимумы и минимумы, значения которых меняются с изменением порядкового номера к функций ylk(t;Ik), то для описания искомого периодического решения в виде сходящегося ряда.
Расчет установившихся периодических режимов в линейных электрических цепях на основе новой формы записи ряда Тейлора
Формулы (1.12), (1.13), (1.14) связывают коэффициенты Ru, описывающие регулярную составляющую x,(t) с корнями Яп,п = \,2,...Ы. Следовательно, любой из коэффициентов Ru, ie\z\ может быть представлен в виде суммы составляющих R.]"}, каждая из которых соответствует своему полюсу Я„, n = \,2,...N. Однако, это соответствие для нелинейных цепей не следует понимать как полную автономность каждой составляющей R.]"} от других корней /lA,A:e[l;JV]. Как видно из выражений (1.12), (1.13), (1.14), через коэффициенты B[N_n_{,n = Q,\,-,i каждая из составляющих R)"} связана со всеми конями Яп, n = \,2,...N.
Из выражения (4.1) вытекает новая форма записи ряда Тейлора. Регулярная составляющая x,(t) решения (1.9) в этой форме запишется следующим образом:
Экспликация к выражению (4.2) описывает и - ю составляющую решения ,(/), соответствующему корню Л.„. Представление решения x,(t) в виде суммы составляющих ху\і) означает декомпозицию этого решения по полюсам Xn,n = \,2,...N его изображения Х,(р).
Проанализируем влияние на формирование коэффициентов Ru линейной A(D) и нелинейной H(x,f,t) частей уравнения (1.10).
Нелинейная цепь с выделенной линейной частью. В этом случае, на первом шаге расчета первые N-\ коэффициенты Ru определяются только предначальными условиями и значениями Яп, т.е. матрицей коэффициентов линейной части A(D). Нелинейная часть H{x,f,t) на первом шаге расчета влияет на формирование коэффициентов Ru, начиная с i = N. После первого шага нелинейная часть вносит вклад в предначальные условия для второго шага и, следовательно, начиная со второго шага расчета, влияет и на первые коэффициенты Ru,ie[0;N-\].
Нелинейная цепь с невыделенной линейной частью. В этом случае, начиная с первого шага расчета, коэффициенты Rn зависят от параметров нелинейной части H(x,f,t). Так как матрица коэффициентов выделяемой линейной части AR(D) зависит от коэффициентов Rri,r = \,2,...,L, /e[0;iV], то на каждом шаге расчета меняются не только коэффициенты B lN_k_x, = 0,1,...,/, но и полюса Лп изображения X, (р), причем меняются не только значения и характер этих полюсов, но также их общее число N.
