Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние вопроса и постановка задач исследования
1.1. Применение постоянных магнитов. Учет возможности их размагничивания 14
1.2. Характеристики постоянных магнитов и модели учета их размагничивания при анализе электротехнических устройств
1.2.1. Характеристики постоянных магнитов и описание процесса размагничивания 17
1.2.2. Подходы к моделированию эффекта размагничивания 20
1.2.3. Модели размагничивания для кривых с выраженной точкой изгиба
1.3. Обратные задачи диагностики электромагнитных устройств 27
1.4. Распространенные методы расчета магнитного поля 29
1.5. Постановка задач диссертации 32
2. Применение метода граничных интегральных уравнений для моделирования магнитного поля в нелинейных средах с постоянными магнитами 35
2.1. Моделирование трехмерного магнитного поля постоянных магнитов 36
2.2. Моделирование трехмерного магнитного поля реакции однородных ферромагнетиков с линейными характеристиками
2.2.1. Использование скалярного потенциала простого слоя для моделирования поля реакции ферромагнетика 38
2.2.2. Уточнение значений магнитной индукции в ферромагнетике с использованием решения вспомогательной задачи Неймана 42
2.2.3. Использование скалярного потенциала двойного слоя для моделирования поля реакции ферромагнетика
2.3. Комбинированное использование скалярных потенциалов простого и двойного слоя для решения задачи расчета магнитного поля при наличии ферромагнетиков с нелинейными характеристиками 50
2.4. Расчет тестовой задачи 52
2.5. Основные результаты и выводы 56
3. Определение намагниченности постоянных магнитов в электротехнических устройствах
3.1. Модификация метода определения намагниченности уединенного постоянного магнита 58
3.2. Определение намагниченности постоянных магнитов в случае присутствия линейных ферромагнетиков
3.2.1. Использование скалярного потенциала простого слоя для моделирования поля реакции ферромагнетика 61
3.2.2. Использование скалярного потенциала двойного слоя для моделирования поля реакции ферромагнетика
3.3. Использование метода регуляризации для решения системы линейных алгебраических уравнений задачи 71
3.4. Решение тестовых задач
3.4.1. Методика исследований 73
3.4.2. Решение задачи идентификации состояния постоянных магнитов в присутствии линейного ферромагнетика с использованием скалярного потенциала простого слоя 74
3.4.3. Решение задачи идентификации состояния постоянных магнитов в присутствии линейного ферромагнетика с использованием скалярного потенциала двойного слоя 76
3.4.4. Решение тестовой задачи идентификации состояния постоянных магнитов с исходными данными, полученными в программном пакете Femm 77
3.5. Идентификация состояния постоянных магнитов в присутствии нелинейного ферромагнетика 79
3.6. Основные результаты и выводы 82
4. Моделирование магнитного поля электротехнических устройств с учетом размагничивания постоянных магнитов .84
4.1. Размагничивание постоянного магнита под действием собственного поля .84
4.2. Дискретная модель размагничивания постоянного магнита
4.3. Алгоритм расчета магнитного поля с использованием дискретной модели размагничивания постоянного магнита 90
4.4. Определение размагничивания уединенного постоянного магнита при различных температурах 91
4.5. Применение дискретной модели для оценки локального размагничивания постоянных магнитов в линейном электродвигателе 93
4.6. Основные результаты и выводы 96
Заключение 97
Список сокращений и условных обозначений 99
Список литературы
- Модели размагничивания для кривых с выраженной точкой изгиба
- Уточнение значений магнитной индукции в ферромагнетике с использованием решения вспомогательной задачи Неймана
- Использование скалярного потенциала простого слоя для моделирования поля реакции ферромагнетика
- Применение дискретной модели для оценки локального размагничивания постоянных магнитов в линейном электродвигателе
Введение к работе
Актуальность темы исследований. Достижения в создании постоянных магнитов с высокой плотностью энергии на базе сомарий-кобальта (SmCo) и неодим-железо-бора (NdFeB) позволили создать электрические устройства с постоянными магнитами, получившие широкое применение в различных областях. Электрические двигатели с постоянными магнитами, имея более высокий коэффициент полезного действия, обладая меньшим объемом и массой на единицу мощности, применяются в электровозостроении, промышленных системах автоматики, роботах и манипуляторах, приводах подач и главного движения металлорежущих станков, координатных устройствах, принтерах и плоттерах, упаковочных печатных машинах, прецизионных системах слежения, намоточных и лентопротяжных механизмах, в авиационной и медицинской технике и других электротехнических устройствах. Благодаря возможности создавать магнитное поле без привлечения внешних источников энергии постоянные магниты часто используются в энергосберегающих устройствах, например, электромагнитных приводах.
В то же время устройства с постоянными магнитами имеют одну важную технологическую особенность, связанную с возникновением риска выхода их из строя из-за локального размагничивания магнитов. Причины размагничивания могут быть следующими: бросок тока в обмотке, перегрев, механические воздействия. Наличие хотя бы одного из перечисленных факторов может привести к частичной или полной утрате свойств постоянными магнитами, к потере мощности и даже к отказу электротехнического устройства.
Особенно важно учитывать размагничивание при проектировании устройств, работающих при высоких температурах, например электромеханических приводов газораспределительного механизма двигателя внутреннего сгорания, где постоянные магниты должны сохранять работоспособность при 200оС.
Ухудшение характеристик постоянных магнитов может происходить не только в процессе эксплуатации, но и на стадии сборки устройств. Так, при проектировании линейного синхронного двигателя с постоянными магнитами фирма «Academy of Modern Technologies, Inc.» столкнулась с проблемой размагничивания постоянных магнитов в процессе производства двигателя. Крепление постоянных магнитов к ротору производилось с помощью клея, для засыхания которого необходимо было помещать ротор в печь. При достижении 80оС возникало частичное размагничивание постоянных магнитов, в результате которого двигатель не обеспечивал работу с заданными техническими характеристиками.
При возникновении таких ситуаций для анализа воздействия негативных факторов на работу устройства необходимо оценивать состояние постоянного магнита путем исследования распределения намагниченности по его объему.
Как правило, намагниченность нельзя измерить напрямую, однако, ее можно определить косвенным путем, если сначала измерить значения магнитной индукции в доступных местах, например в воздушном зазоре устройства или в окружающем магнит пространстве, а затем, используя эти значения, решить задачу определения намагниченности. Задачи такого типа относятся к классу обратных.
Перечисленные проблемы могут быть решены с использованием численных экспериментов, в результате анализа магнитного поля с учетом локального размагничивания постоянных магнитов, или в результате оценки их магнитного состояния в процессе эксплуатации по результатам непрямых измерений поля.
Разрабатываемый в диссертации инструментарий может быть также использован для усовершенствования конструкции и создания новых образцов энергосберегающего оборудования.
Значительный вклад в развитие методов решения задач, рассматриваемых в диссертации, внесли В.И. Астахов, Ю.А. Бахвалов, В.В. Гречихин, А. Джедир, К.-Ч.Ким, О.Ф. Ковалев, Э.В. Колесников, П.А. Курбатов, Ю. Ли, И.И. Пеккер, Ю.В. Писаревский, С. Руохо, И.П. Стадник, А.Н. Тихонов, А.Н. Ткачев, О.В. Тозони, А.Ф. Шевченко и другие.
Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления ЮРГПУ (НПИ) им. М.И. Платова «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы», а также в рамках темы «Развитие методов математического и компьютерного моделирования электротехнических, механических и экологических систем» с номером государственной регистрации 2819.
Целью работы является разработка математических моделей, алгоритмов и программ, позволяющих выполнить расчет магнитного поля при проектировании электротехнических устройств с учетом эффекта размагничивания постоянных магнитов, а также выполнить идентификацию состояния постоянных магнитов в различных режимах эксплуатации этих устройств.
Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:
разработка экономного алгоритма расчета магнитного поля на основе метода интегральных граничных уравнений применительно к расчету двухмерного и трехмерного магнитных полей;
построение математической модели электротехнических устройств с постоянными магнитами, учитывающей размагничивание высококоэрцитивных постоянных магнитов;
построение непрямого численно-экспериментального метода оценки намагниченности постоянных магнитов, позволяющего выполнить идентификацию их характеристик без извлечения из электротехнического устройства;
- разработка прикладных программ для ПЭВМ, реализующих указанные
методы и алгоритмы.
Методология и методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач использованы: теория электромагнетизма; численные методы математического моделирования магнитного поля; метод граничных интегральных уравнений; метод регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Достоверность полученных результатов. Разработанные прикладные программы для ПЭВМ проверены на тестовых задачах, результаты сравнивались с данными, полученными использованием известных программных пакетов.
Научная новизна представленных в диссертационной работе результатов состоит в следующем:
предложено развитие метода оценки намагниченности постоянных магнитов по известному распределению магнитного поля в окружающем пространстве, отличающееся от известного метода тем, что позволяет учитывать присутствие магнитомягких ферромагнитных материалов с известными характеристиками;
разработан комбинированный подход, предполагающий использование скалярных потенциалов простого и двойного слоев в рамках метода граничных интегральных уравнений, обеспечивающий устойчивость решения;
предложен метод расчета магнитного поля с насыщением, который отличается от известных подходов, предлагающих замену нелинейной ферромагнитной среды на кусочно-однородную с источниками поля в виде поверхностных токов на границах областей однородности, тем, что предполагает применение скалярных источников поля вместо векторных и позволяет сократить количество неизвестных при решении трехмерной задачи расчета магнитного поля;
впервые разработана модель, позволяющая учесть размагничивание высококоэрцитивных постоянных магнитов при моделировании магнитного поля, отличающаяся тем, что размагничивание учитывается ступенчатым изменением значения остаточной индукции.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость состоит в разработке модифицированных методов расчета магнитного поля в кусочно-однородной нелинейной среде, методов идентификации состояния постоянных магнитов, построении модели, учитывающей дрейф характеристик постоянных магнитов, в том числе с резко выраженной точкой изгиба кривой размагничивания.
На основе полученных математических моделей разработаны прикладные программы для ПЭВМ, позволяющие рассчитывать плоскопараллельное и трехмерное магнитные поля электротехнических устройств с учетом размагничивания постоянных магнитов, а также проводить идентификацию степени размагничивания постоянных магнитов.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Выполнено развитие метода нахождения намагниченности постоянных магнитов в электротехнических устройствах по известной картине магнитного поля в окружающем пространстве, что позволяет выполнять диагностику состояния постоянных магнитов без их извлечения из электротехнического устройства.
-
Разработан модифицированный комбинированный метод расчета магнитного поля, предполагающий одновременное использование скалярных потенциалов простого и двойного слоев в рамках метода граничных интегральных уравнений, позволяющий обеспечить устойчивость решения за счет размещения на границах ферромагнетиков двойного слоя зарядов при одновременном моделировании постоянных магнитов простым слоем. Выполненная модификация метода обеспечила возможность решения обратной задачи оценки намагниченности постоянных магнитов в электротехнических устройствах.
-
Применительно к решению задачи расчета магнитного поля в нелинейных средах с учетом насыщения разработан усовершенствованный метод, который в отличие от известных подходов, предполагающих замену нелинейной ферромагнитной среды кусочно-однородной с источниками поля в виде поверхностных токов на границах областей однородности, предполагает использование скалярных источников вместо векторных, что позволяет сократить количество неизвестных.
-
Разработана модель, описывающая процесс размагничивания высококоэрцитивных постоянных магнитов при моделировании магнитного поля, предполагающая ступенчатое падение значений остаточной индукции при размагничивании.
-
Получены универсальные аналитические выражения для элементов матрицы коэффициентов, используемой при реализации дискретной модели метода граничных интегральных уравнений для расчетных областей с прямоугольной геометрией, характерной для линейных двигателей. Данные выражения позволяют решать задачу идентификации постоянных магнитов в линейных двигателях и упрощают реализацию метода регуляризации решения СЛАУ.
-
На основе предлагаемых моделей построены алгоритмы, реализованные в виде прикладных программ для ПЭВМ, работоспособность которых проверена на тестовых задачах.
Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях:
региональная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Ростовской области «Студенческая научная весна -2011» / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ);
XIII Международная научно-практическая конференция «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике»
(Новочеркасск, 12 марта 2013 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ));
XXVI Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (Нижний Новгород, 27-30 мая 2013 г. / Нижегород. гос. техн. ун-т.);
XXVII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (Тамбов, 3-15 июня 2014 г. / Тамбовск. гос. техн. ун-т.);
XV Международная научно-практическая конференция «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 20 марта 2015 г. / Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т (НПИ) им. М.И. Платова);
региональная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Ростовской области «Студенческая научная весна -2015» / Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т (НПИ) им. М.И. Платова.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ общим объемом 2,38 печатных листа, в том числе 3 статьи в рецензируемом научном журнале, рекомендованном ВАК. Зарегистрированы две разработанные программы для ПЭВМ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, включающего 81 наименование, и двух приложений. Общий объем работы составляет 122 страницы, в диссертации содержится 39 рисунков, 7 таблиц.
Модели размагничивания для кривых с выраженной точкой изгиба
Постоянные магниты благодаря своим габарито- и энергосберегающим свойствам находят все более широкое применение в различных электротехнических устройствах: электродвигателях [1, 2], магнитных муфтах [3], электромагнитных приводах реле, контакторов, вентилей [4-7]
Постоянные магниты применяются в магнитных мультипликаторах, анализу которых посвящены работы [8, 9]. Расчет поля таких устройств в этих работах производится с применением программы численного моделирования EasyMAG3D, использующей метод ПрИУ [10] и допускающей возможность учета перемагничивания по частным циклам.
Традиционный подход к моделированию поля предполагает, что свойства постоянных магнитов описываются неизменной однозначной характеристикой, не учитывающей необратимое размагничивание. В работе [11] расчет поля синхронного двигателя с постоянными магнитами выполняется методом эквивалентной цепи. Кривая размагничивания описывается линейным уравнением, размагничиванием авторы пренебрегают. В работе [12] исследовано магнитное поле в рабочей зоне электродвигателя с постоянными магнитами. Размагничивание магнитов здесь не учитывается. Для расчета поля использовался метод ГИУ на основе скалярного ППС. В работах [13-16] используется подход, согласно которому постоянные магниты моделируются эквивалентными поверхностными токами, что также не позволяет учесть размагничивание.
Отметим, что размагничивание постоянных магнитов в рабочих режимах электротехнических устройств труднодостижимо и пренебрежение им является оправданным. Однако в определенных условиях их эксплуатации его необходимо принимать во внимание.
Так, в некоторых устройствах температура в области размещения постоянного магнита может достигать больших значений. Например, в электромагнитном приводе клапана газораспределительного механизма двигателя внутреннего сгорания, температура может приближаться к 200оС, как это было показано в [6]. Данное обстоятельство приводит к необходимости учитывать размагничивание (дрейф характеристик) постоянных магнитов, т.к. с ростом температуры увеличивается их подверженность размагничиванию.
Другим устройством, в котором достижимы высокие температуры, является высокоэффективный гибридный электродвигатель, рассмотренный в статье [17]. В работе производился выбор формы постоянных магнитов для применения в синхронном приводе такого электродвигателя с учетом возможного размагничивания. Рассматривалось влияние повышения температуры в двигателе на состояние магнита. С целью обеспечения стойкости к размагничиванию магнит моделировался при температуре, равной 200оС. Для моделирования поля применялся двумерный МКЭ.
Для уменьшения риска размагничивания постоянного магнита в конструкцию устройства вносят специальные изменения. В работах [5, 7] при проектировании электромагнитного привода реле поток поляризации (удержания), создаваемый постоянным магнитом, и управления (от обмотки) были пространственно разделены. Моделирование поля выполнялось с использованием электрической схемы замещения магнитной системы реле.
Статья [18] посвящена исследованию способов изменения магнитного потока (усиления и ослабления магнитной индукции) в зазоре электротехнического устройства с постоянным магнитом, позволяющим избежать размагничивания постоянного магнита. Оценивалось влияние толщины магнита, а также наличия дополнительного магнитопровода. Исследования проводились с помощью аналитического расчета простейшей эквивалентной магнитной цепи.
Заметим, что без учета размагничивания невозможно проектирование двигателей переменного магнитного потока, принцип работы которых предполагает изменение намагниченности постоянных магнитов в процессе функционирования с помощью управляющих воздействий импульсами тока. В работе [19] выполнен расчет магнитного поля такого двигателя. В качестве инструмента использовались МКЭ и модель гистерезиса Прайзаха.
Статья [20] также посвящена двигателю переменного магнитного потока. При анализе расчет поля выполнялся два раза: сначала с использованием нелинейного МКЭ при наличии размагничивающего тока рассчитывалась магнитная индукция, а на ее основе определялось новое состояние намагничивания согласно положению рабочей точки, затем рассчитывалось поле двигателя при выключенном токе, но с частично размагниченными магнитами.
В синхронных двигателях также необходимо учитывать размагничивание постоянных магнитов, так как оно может привести к изменению характеристик устройства. Неравномерное намагничивание полюсов ротора в электрических машинах с параллельными ветвями обмотки приводит к нежелательному эффекту возникновения уравнительных токов в обмотке [21].
Влияние размагничивания магнитов (как частичного размагничивания всего полюса, так и локального симметричного) на характеристики синхронного двигателя с постоянными магнитами мотор-колеса рассматривалось в [22]. Рассматривалась двухмерная задача, моделирование выполнялось с помощью эквивалентной цепи с использованием магнитных проницаемостей элементов устройства.
Частичное размагничивание постоянных магнитов при анализе поля электрической машины было учтено при расчете поля в работе [23]. Размагничивание моделировалось с использованием экспоненциальной аппроксимации кривой размагничивания, а расчет поля производился с помощью МКЭ.
В работе [24] выполнялся анализ размагничивания постоянных магнитов в электротехнических устройствах, исходя из предположения о неоднородном намагничивании магнита в начальном состоянии. Начальное состояние определялось с помощью вспомогательной модели намагничивания. Анализ поля выполнялся с использованием МКЭ, а размагничивание моделировалось с помощью движения рабочей точки и линий возврата. В 2015 году была опубликована обзорная статья [25], посвященная диагностике размагничивания постоянных магнитов в синхронных электродвигателях. В ней отмечена важность проблемы учета размагничивания постоянных магнитов, описаны основные методы диагностики, а также способы повышения устойчивости к размагничиванию постоянных магнитов путем внесения специальных конструктивных изменений в проектируемые устройства.
Уточнение значений магнитной индукции в ферромагнетике с использованием решения вспомогательной задачи Неймана
Как было отмечено в первой главе диссертационной работы, решение обеих задач: расчета трехмерного магнитного поля с учетом размагничивания и идентификации состояния постоянных магнитов в электротехническом устройстве - предполагает использование эффективного метода численного моделирования трехмерного магнитного поля. Таким методом является метод интегральных уравнений, имеющий различные модификации. В качестве базовой в работе взята модификация метода, предложенная в [59], согласно которой расчет магнитного поля выполняется в результате разбиения нелинейного ферромагнетика на элементарные области и определения вторичных источников -токов на границах областей. При применении такого подхода для решения задач диссертационной работы было выполнено следующее его развитие: - переход от моделирования плоскопараллельного поля к трехмерному; - использование на границах элементарных областей разбиения нелинейного ферромагнетика скалярных источников вместо токов, что позволило значительно сократить размерность задачи, время ее решения, снизить требования к вычислительным ресурсам.
Разработанная модификация состоит в следующем. Согласно методу ГИУ результирующее поле представлялось в виде суперпозиции полей, создаваемых отдельными элементами системы: полей источников и полей реакции ферромагнетиков. Рассматривалась задача, в которой в качестве источников выступают постоянные магниты. Тогда магнитная индукция В представима в виде суперпозиции поля постоянных магнитов ПМ и поля реакции ферромагнетиков ВФ: В=ВПМ+ВФ =Т.рМЁП М +ЛрЁФ , (2.1) где символы РМ и F обозначают суммирование по объемам, занимаемым постоянными магнитами и ферромагнетиками соответственно. Нахождение магнитной индукции полей отдельных элементов электромагнитной системы описывается ниже. 2.1. Моделирование трехмерного магнитного поля постоянных магнитов Рассмотрим однородно намагниченный постоянный магнит. Его магнитная индукция П М может быть выражена как через ППС, так и ПДС. Первый способ предпочтительнее, т.к. приводит к кусочно-постоянной плотности, более удобной при численной реализации. Будем моделировать поле однородного постоянного магнита с намагниченностью М , используя ППС с плотностью т = ц0Мп . Тогда напряженность магнитного поля, создаваемого им в точке Q , может быть вычислена интегрированием по поверхности SП М магнита [66]: /іП М( У) = йоРМ №0Мп(-г) аЪр , (2.2) 47iju0 JJ nM r3Q где fi0 - магнитная проницаемость вакуума, Мп - нормальная составляющая намагниченности, fPQ - расстояние от точки Р до точки Q . Магнитная индукция, создаваемая постоянным магнитом, будет равна: П М = М0( П М +М) - внутри постоянного магнита, ВП М = JU0HП М - вне постоянного магнита. РМ Потенциал (РП М постоянного магнита, связанный с напряженностью соотношением #П М =_grad П М, задается равенством: (PП М(Q) = Я?рм №0№„(") dSp . (2.3)
Если постоянный магнит выполнен в форме параллелепипеда, что часто бывает на практике, то при переходе к дискретной модели каждую грань такого магнита можно считать граничным элементом с плотностью заряда простого слоя т = ц0Мп , постоянной на всем элементе. То есть постоянный магнит может быть смоделирован с помощью всего шести граничных элементов, что является преимуществом скалярного ППС.
При моделировании магнитного поля реакции ферромагнетика ВФ возможны два подхода замены кусочно-однородной среды на однородную: - поле напряженности считают неизменным при переходе к однородной модели; - неизменным оставляют поле магнитной индукции. При построении модели на основе скалярных источников первый подход приводит к использованию скалярного ППС, а второй - к использованию скалярного ПДС. Известно, что применение ПДС является предпочтительным по сравнению с ППС в силу следующих преимуществ ПДС [67]: - значения плотности ПДС будут непрерывны и конечны всюду, в том числе в угловых точках и ребрах поверхности-носителя заряда, что упрощает ее аппроксимацию; - в двумерной постановке задач коэффициенты уравнений, получаемых на основе ПДС, имеют простой геометрический смысл, что облегчает их определение.
Проведенный ниже анализ показал, что модель расчета магнитного поля на основе ППС обладает более существенными недостатками, связанными с устойчивостью решения в области, занимаемой ферромагнетиком, магнитная проницаемость которого значительно превышает магнитную проницаемость воздуха// » JU0, что соответствует реальным характеристикам материалов. 2.2.1. Использование скалярного потенциала простого слоя для моделирования поля реакции ферромагнетика
При использовании ППС в формуле (2.1) выполним переход от магнитной индукции В к напряженности магнитного поля Н . Тогда индукция В будет также представима в виде суперпозиции поля постоянных магнитов і?ПМ и поля реакции ферромагнетиков ВФ: В = /U0(H + М) - внутри постоянного магнита, В = juH - в ферромагнетике, В = JU0H - в окружающем пространстве (воздухе). Н = Нпм +НФ= рМ Нпм +ЦрЇЇФ. (2.4)
Здесь составляющие напряженности магнитного поля Нпм, создаваемые постоянными магнитами, вычисляются согласно формуле (2.2), а напряженности полей реакции ферромагнетиков Нф определяются интегрированием по границе
Бф ферромагнетика поверхностной плотности сг простого слоя фиктивных магнитных зарядов: TjF 1 гг , fPQ "-Ф (Q) = WvF j(P) 3 dSp . (2.5) ППС (РФ ферромагнетика, связанный с напряженностью соотношением Н = -grad /9, задается равенством F 1 СГ 1 ш (PФ (Q) = jj F (")— Р . (2.6) 4Я/І0 VpQ Поверхностная плотность сг простого слоя фиктивных магнитных зарядов может быть получена из интегрального уравнения второго рода [66] J(Q) Zup — HvFG(")3dbp =2А JU0\H JJM(Q) -rig ), (2.7) PQ 2л Ф г где ц - магнитная проницаемость ферромагнетика, а точка Q пробегает поверхность SQ всех ферромагнетиков. После того, как плотность сг фиктивных магнитных зарядов на границах ферромагнетиков будет определена, согласно равенствам (2.4), (2.5) находится напряженность магнитного поля, а затем магнитная индукция, учитывая ее связь с напряженностью.
С помощью скалярного ППС решалась тестовая задача расчета плоскопараллельного поля в кусочно-однородной области, состоящей из линейного ферромагнетика 1 с относительной магнитной проницаемостью fir = 1000 и двух шинопроводов 2 с постоянной плотностью тока 8 , равной МА/м2. Область расчета приведена на рисунке 2.1. Ширина сечения ферромагнетика равна 2 см, высота - 4 см; размеры шины равны 0,5 и 4 см соответственно.
Плоскопараллельное магнитное поле моделировалось формулами, аналогичными (2.4)-(2.7), где в качестве источника вместо Нпм рассматривалась напряженность магнитного поля токов Н s , определяемая интегрированием по границам шинопроводов [67]. Интегральное уравнение относительно поверхностной плотности о" фиктивных магнитных зарядов было сведено к СЛАУ с использованием метода коллокаций и кусочно-постоянной аппроксимации плотности сг.
При решении задачи с помощью ППС оказалось, что распределение магнитной индукции внутри ферромагнетика, определяемое после решения СЛАУ как сумма поля шинопроводов Hs и поля реакции ферромагнетика Нф, не соответствует результатам, полученным с помощью программного пакета моделирования магнитного поля МКЭ Femm 4.2. На рисунке 2.2 приведены графики y-составляющей магнитной индукции вдоль оси y, полученные методом ГИУ с использованием ППС (600, 1200 и 2400 граничных элементов), а также в программном пакете Femm 4.2. Видно, что во всех трех случаях применение ППС дает точный результат только воздухе, в области ферромагнетика же наблюдается значительная погрешность.
Использование скалярного потенциала простого слоя для моделирования поля реакции ферромагнетика
При другом расположении граничного элемента относительно осей системы координат можно, используя преобразования сдвига и поворота, также получить аналитические формулы, аналогичные приведенным выше. Использование таких формул вместо численного интегрирования позволяет не только быстрее находить матрицу коэффициентов СЛАУ (3.10),(3.11), но и уменьшить погрешность вычисления ее элементов, что особенно важно при решении системы, полученной на основе интегрального уравнения первого рода.
Применим теперь для моделирования поля реакции ферромагнетика скалярный ПДС, введенный согласно формуле (2.13), допускающей совместное использование его с ППС, моделирующим вклад постоянных магнитов в результирующее поле.
Система уравнений обратной задачи идентификации состояния постоянных магнитов будет состоять из двух интегральных уравнений [75, 76]. Первое уравнение получается с использованием уравнения (2.14) переносом неизвестного РМ скалярного потенциала щ = 2 рм П М магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами, в левую часть: & ( Я Я ,i ) r PQ n P ж niQ sr РМ 0 T\Q) 2ІРЙ Г("3 AP +2 М0А РЫ ПМ = , (3.12) где символы и Х!/"м обозначают суммирование по ферромагнетикам и элементам разбиения постоянных магнитов соответственно, а точка Q пробегает поверхность 8ф всех ферромагнетиков. Второе уравнение системы получается на основе формулы, описывающей магнитную индукцию в воздухе: — х. — Р — рм в(0) = /ІірВФ ( 2) + І"0 Х/ м П М (G) . (3.13) Умножив (3.13) скалярно на произвольный единичный вектор Пп будем иметь: YLP \ВФ ( 2) %)+ M0 Y PM і П М ( 2) )= \в (2) о ). (3.14) Аналогично подходу, основанному на применении ППС, использование ПДС приводит к модели, состоящей из интегральных уравнений первого и второго рода.
Переходя к дискретной математической модели с помощью метода коллокации, аппроксимируя поверхностные плотности двойного слоя поверхностных зарядов т кусочно-постоянными функциями и используя выражение (3.2) для РП М и (31), получим из интегрального уравнения (3.12) первый блок СЛАУ: где точка Qj пробегает поверхность всех ферромагнетиков, символ ІФІ обозначает суммирование по всем элементам границы ферромагнетика, кроме элемента с номером / , AS , - поверхность j -го элемента, а ті - значение плотности заряда двойного слоя на нем. Второй блок СЛАУ получается из уравнения (3.14) аналогичным образом с —F —РМ использованием выражений (2.16) для ВФ и (3.1) для Нпм: где Qj - точки, в которых известно значение вектора магнитной индукции В, %. обозначает орты декартовой системы координат, а \В(О)-пп ) является известной компонентой магнитной индукции В . Аналогично подходу, основанному на применении ППС, заменим в (3.15),(3.16) намагниченность М на остаточную индукцию Вг:
Коэффициенты матрицы СЛАУ (3.17),(3.18) вычисляются интегрированием по элементам на границах постоянных магнитов и ферромагнетиков. На каждом элементе границы ферромагнетика поверхностная плотность двойного слоя зарядов т является постоянной величиной. ПДС ср и магнитную индукцию В поля создаваемого каждым элементом в окружающем пространстве, можно представить в виде:
При другом расположении граничного элемента относительно осей системы координат можно, используя преобразования сдвига и поворота, также получить аналитические формулы, аналогичные приведенным выше. Применение таких формул вместо численного интегрирования позволяет не только быстрее находить матрицу коэффициентов СЛАУ (3.17),(3.18), но и уменьшить погрешность вычисления ее элементов, что особенно важно при решении системы, полученной на основе интегрального уравнения первого рода.
В диссертационной работе были сформированы СЛАУ трехмерных дискретных моделей методов идентификации состояния постоянных магнитов: для уединенного магнита (3.4), для магнитов в присутствии магнитомягких ненасыщенных ферромагнетиков с использованием ППС (3.10),(3.11) и ПДС (3.17),(3.18) для учета поля реакции ферромагнетика. СЛАУ, соответствующие описанным подходам, объединяет то, что они получаются с использованием интегрального уравнения первого рода относительно намагниченности постоянных магнитов. Как известно из литературы [77, 45], системы такого типа обладают неустойчивостью решения.
Запишем СЛАУ в виде Ах = Ь . С учетом того, что измерение индукции осуществляется с погрешностью, получаем СЛАУ Ах = , где - правая часть, приближенное, найденное с погрешностью значение правой части Ъ . Будем считать в дальнейшем, что вся погрешность возникает в значениях магнитной индукции, а координаты точек измерения фиксируются. Последнее в совокупности с аналитическими формулами для используемых интегралов позволяет считать матрицу коэффициентов А СЛАУ не содержащей погрешности измерения. Для правой части верна оценка Ъ -Ъ 8 , где 8 - оценка погрешности правой части. В качестве норм матрицы A и вектора b будем использовать соответственно: ИІ= 4i4ija2,j, INI= "\Еь2 . Решение СЛАУ с приближенной правой частью является некорректно поставленной задачей. Поэтому ее нельзя решать стандартными методами решения СЛАУ, такими как, например, метод Гаусса. Для решения необходимо использовать метод регуляризации [77], суть которого заключается в следующем: - так как точное решение СЛАУ не всегда существует, то вместо него ищется псевдорешение x , минимизирующее невязку Ax - b ; - псевдорешение является наилучшим приближением, но оно не обязано быть единственным и обеспечивать устойчивость; - для придания устойчивости на псевдорешение накладываются дополнительные ограничения; - в качестве дополнительного ограничения можно требовать от псевдорешения, чтобы оно было нормальным псевдорешением, т.е. минимизировало функционал - нормальное псевдорешение всегда существует, единственно и устойчиво к малым в указанной выше норме возмущениям правой части. Согласно методу регуляризации [77] вместо исходной системы необходимо решать СЛАУ вида:
С целью проверки предлагаемого метода была разработана программа для ЭВМ, позволяющая смоделировать наблюдаемый при измерениях процесс: выполнить решение прямой задачи, найти магнитную индукцию в точках воздушного зазора, внести в полученные результаты погрешность, а затем решить обратную задачу.
Применение дискретной модели для оценки локального размагничивания постоянных магнитов в линейном электродвигателе
Рассмотренные в первой главе модели размагничивания имеют следующий недостаток: при попадании рабочей точки на отрезок PQ (рисунок 4.1) даже малые погрешности определения размагничивающей напряженности приведут к значительной погрешности определения остаточной индукции. Из рисунка 4.1 видно, что в то время, как проекции на ось H точек P и Q близки по значению, соответствующие им значения остаточной индукции R и S отличаются в несколько раз.
Частный вид кривой размагничивания и линий возврата для постоянного магнита с выраженной точкой изгиба В данной главе рассматривается модель размагничивания, позволяющая избавиться от указанного выше недостатка [78].
Рассмотрим уединенный постоянный магнит, имеющий форму параллелепипеда. Его поперечное сечение изображено на рисунке 4.2. Пусть магнит однородно намагничен вдоль оси y. Поперечное сечение постоянного магнита График зависимости компоненты напряженности магнитного поля вдоль намагниченности (y-компонента) будет иметь вид, представленный на рисунке 4.3. Из графика видно, что напряженность внутри постоянного магнита направлена противоположно вектору намагничивания, внося вклад в размагничивание магнита. Зависимость y-компоненты напряженности магнитного поля вдоль оси y В обычных условиях коэрцитивная сила постоянного магнита велика, а роль основной составляющей размагничивающего поля играет приложенная извне напряженность поля обмотки. Однако, как известно, с ростом температуры значение коэрцитивной силы будет уменьшаться и может оказаться равным модулю напряженности, либо даже оказаться меньше по модулю (рисунок 4.4).
Уменьшение коэрцитивной силы с ростом температуры Предположим, что для постоянного магнита, находящегося в состоянии насыщения, было получено значение напряженности, соответствующее точке Q на кривой размагничивания (рисунок 4.1). Будем считать, что рабочая точка не сразу попадает в полученное при моделировании поля значение Q, а спускается по кривой размагничивания, проходя все промежуточные значения. Плавный спуск рабочей точки сопровождается постепенным уменьшением остаточной индукции магнита, что в свою очередь вызывает ослабление поля (рисунок 4.5). При этом собственное поле магнита является для него размагничивающим. Поэтому рабочая точка в результате окажется зафиксированной на некоторой кривой возврата 3, так и не достигнув точки Q. Рисунок 4.5 - Влияние постепенного снижения намагниченности постоянного магнита на размагничивающую напряженность внутри него
При расчете размагничивания под действием внешнего поля приложенная размагничивающая напряженность будет включать напряженность собственного поля и, следовательно, зависеть от намагниченности магнита: ti — tt внеш + їі совете , где И собств и внеш – напряженность магнитного поля, создаваемого постоянным магнитом и внешними источниками, соответственно.
В этом случае влияние собственной намагниченности постоянного магнита на размагничивающее поле будет не определяющим, как в случае уединенного постоянного магнита, но может быть существенным в определенных случаях. Поэтому оправданным можно считать применение такого подхода, при котором предполагается постепенное снижение намагничивания с пересчетом значения напряженности размагничивающего поля. Модель перемагничивания, соответствующую такому подходу, в дальнейшем будем называть дискретной моделью размагничивания постоянного магнита.
Будем рассматривать постоянные магниты, имеющие кривую размагничивания с выраженной точкой изгиба и участком, близким к вертикальному. Аппроксимируем петлю гистерезиса параллелограммом, а вместо частных петель будем рассматривать линии возврата - параллельные друг другу прямые. Ограничим множество линий возврата фиксированным количеством отрезков. Их количество будем задавать заранее, как характеристику магнита, располагая их равноудалено друг от друга (рисунок 4.6).
Каждой линии возврата, изображенной на графике зависимости В(Н) на рисунке 4.6, будет соответствовать свое значение намагниченности М постоянного магнита. При этом намагниченность может принимать фиксированные дискретные значения, которые можно интерпретировать как дискретные шаги падения намагниченности в процессе размагничивания магнита (рисунок 4.7). На рисунке вместо намагниченности М использовано обозначение остаточной индукции, связанной с намагниченностью следующим образом: