Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Векторные и аксиальные форммкторы мезонов в облас- ти промежуточных пространственноподобных 20
1. Метод правил сумм КХД для трехточечных функций 20
2. Аксиальный СО- Р формфактор и константа распада
3. Векторные Р- и СО- формфакторы 38
ГЛАВА 2. Аксиальные константы еарионов 43
1. Правила сумм КХД во внешнем аксиальном поле 43
2. Изовекторные константы барионных октета 1/2 и декуплета 3/2 + 51
3. Изоскалярная нуклонная аксиальная константа и прави ло сумм Бьёркена 70
ГЛАВА 3. Векторные и аксиальные константы мезонов тяжелые кварки 78
1. Вклад пионов в аксиальные константы и амплитуда распада 78
2. Правила сумм во внешнем векторном поле и амплитуда распада 87
Заключение 94
Литература 115
- Аксиальный СО- Р формфактор и константа распада
- Векторные Р- и СО- формфакторы
- Изовекторные константы барионных октета 1/2 и декуплета 3/2 +
- Правила сумм во внешнем векторном поле и амплитуда распада
Аксиальный СО- Р формфактор и константа распада
Фундаментальными полями в КХД являются кварки и глюоны,а адроны возникают как связанные состояния кварков и,может быть,глюонов.Можно построить последовательную теорию адронных взаимодействии,в рамках КХД,на малых расстояниях. Это связано с замечательным явлением,свойственным только неабелевым калибровочным теориям - асимптотической свободой /2/,вследствие которой эффективная константа связи теории становится маленькой на малых расстояниях,или,что то же самое,при больших переданных импульсах,Такое поведение эффективного заряда означает,что затравочная константа связи теории является малой,стремящейся к нулю при увеличении масштаба ультрафиолетового обрезания. Это позволяет не только использовать теорию возмущений в области малых расстояний,но и вообще говорить о фундаментальной лагранжевой теории поля,в отличие от ноль-зарядных теорий, которые не могут быть последовательно сформулированы в непрерывном пределе в раглках теории возмущений /3/,хотя последняя может применяться в области низких энергий.
Область малых расстояний характерна для жестких процессов,что позволило применить к ним хорошо развитый аппарат теории возмущений, в рамках которой получили теоретико-полевую интерпретацию концепция бьеркеновского скейлинга /4/ и партонная схема Фейнмана /5/,причем КХД предсказала также логарифмическое нарушение скейлинга,связанное с эволюцией эффективной константы связи /6/. Теория возмущений с успехом применялась для описания et е аннигиляции в адроны,в частности при рождении кварковых и глюонных струй /7/,являющихся одним из наиболее ярких экспериментальных проявлений факта существования кварков и глюонов,процессов типа Дрелла -Яна /8/ и других жестких процессов. Это,а также успехи КХД в описании свойств тяжелых кварков частности систем чармония и ипсилония /9/,могут,по-видимому, служить достаточным обоснованием справедливости КХД как фундаментальной полевой теории сильных взаимодействий.
Однако асимптотическая свобода КХД имеет и свою обратную сторону - рост заряда на больших расстояниях,что означает неприменимость теории возмущений в этой области. Характерный масштаб,на котором константа связи становится порядка единицы,может быть извлечен из закона эволюции константы связи как функции квадрата переданного импульса. Это можно сделать исходя из данных по глубоконеупру-гому рассеянию,либо извлечь значение константы связи при заданном импульсе из данных по рождению струй,что приводит во всех случаях к характерному масштабу порядка 100 МэВ. Именно в этой области энергий происходит самый таинственный(пока)процесс в КХД - конфайнмент,или невылетание цвета,а также связанное с этим спонтанное нарушение приближенной киральной инвариантности,приводящее к образованию кваркового конденсата и легких ( безмассовых в киральном пределе) псевдоскалярных голдстуновских частиц - пионов, Кий мезонов. Конфайнмент, хотя он и не имеет строгого теоретического обоснования,объясняет отсутствие свободных кварков на опыте,что являлось настоящим бедствием для кварковой модели адронов до эпохи КХД,тем более,что затравочные, токовые массы легких кварков малы /10/.
В настоящее время теория сильной связи КХД интенсивно развивается в самых разных направлениях,охватить которые кратко не представляется возможным. Перечислим лишь некоторые из них,если и не наиболее перспективные,то,по крайней мере,наиболее популярные. Это решеточная КХД,в которой с помощью компьютерных расчетов удалось показать возникновение конфайнмента и спонтанного нарушения симметрии /II/,хотя механизм этих явлении все ещё не ясен; приближение,основанное на теории возмущений по I//\/с ,где /\/ -число цветов /12/,в рамках которого удалось в главном порядке по 1//\4 получить замкнутые уравнения для Вильсоновских операторов и свести КХД в этом приближении к струнной модели (см. обзор /13/); попытки построения вакуума КХД,основанные на инстантонном приближении глю-онных флуктуации /14/,а также многие другие.
Векторные Р- и СО- формфакторы
В случае векторных J ЗГ и со-ОТ формфакторов необходимо записать амплитуду (I.I) в виде двойного дисперсионного представления по Ч, и р или р - импульсам в аксиальном и одном из векторных каналов. Введем новые обозначения: буквой Q обозначим квадрат того внешнего импульса ( со знаком ми-нус,чтобы G , 0) .который отвечает тому векторному каналу,форм-фактор которого мы изучаем.Рассмотрим ,например, 9-Ж формфактор. Насыщая (І.І) вкладами j и Л мезонов,получаем:
Раскрывая матричные элементы также,как в 2,и опуская тензорную структуру ,1Ч/ р р получаем амплитуду перехода Р "X + изосинглетныи векторный ток: где Р и P -импульсы р и ОТ мезонов,а "-.,- вектор по» ляризации о - мезона. Определенный таким образом формфактор связан с электромагнитным формфактором \ \ Лі 31/.
В самом деле, lT = ( + jf ) ,где =1/137. Переход р в ЗҐ может происходить только на изосинглетном токе,т.к. вследствие изотопической симметрии PlX ljf -0 ( ана — - логичный переход СО »Т7Г происходит только на изовекторном токе). Следовательно
Применяя к (1.29) двойное преобразование Бореля по г л получаем феноменологическую часть правил сумм ( без учета высших со стояний,континуума):
Вычисление теоретической части правил сумм начнем с кваркової петли. Как и в случае со- р перехода,она определяется формулой (1,7),однако теперь % отвечает пиону,а не СО мезону, a Q - наоборот,отвечает изосинглетному векторному каналу.Эта замена $ " - Q просто отвечает замене борелизуемых каналов: векторного &Э канала на аксиальный.Поэтому,интересующий нас в данном случае двойной скачок можно получить из (1.20) с помощью указанной выше замены. В (I.3I) S0 и 50 - пороги континуума в векторном и аксиальном каналах: S0 =1,5 ГэВ2 , Sc = 0,8 ГэВ2 /16/. Можно по-ложить И = ГІ как и Б случае d J- p перехода,т.к. допустимые интервалы изменения борелевских параметров в аксиальном и векторном каналах перекрываются. Из-за симметричных значений-порогов континуума в случае CO jo перехода,дисперсионный интеграл можно было вычислить аналитически ( он выражался через интегральные экспоненты). В данном случае это уде не так,и интеграл (I.3I) можно вычислить только численно. Степенные поправки равны:
Анализ вкладов степенных поправок и континуума показывает, что в интервале 0,6 ГэВ И г 0,8 ГэВ оба этих вклада составляют не более 50 %. Допустшлый интервал изменения 6 есть 0,5 ГэВ Q 2,5 ГэВ . В этом интервале степенные поправки составляют не более 50% от полного ответа.
На рис.6 а) изображена зависимость Fx от борелевского параметра ,на рис. 6 б) изображена зависимость гьтт от Q при среднем значении М =0,7 ГэВ . Точность в данном случае порядка 30)! и определяется приближениям, сделанными при аппроксимации континуума.
Формфактор гртг{с( ) может быть найден также в рамках мо дели векторной доминантности,предполагая,что векторнші ток пере ходит в СО - мезон,который сильно взаимодействует с f и ЗГ . Тогда
Используя ( 1.26) и известное значение /Ч = 0,046,получаем пунктирную кривую на рис. 6 6). Видно,что в интервале 0,5 ГэВ 4 (т.е. там,где правила сумел законны) предсказания модели векторной доминантности согласуются расчетами по по правилам сумм КХД с 30% точностью. Такое поведение формфакто-ров может служить обоснованием модели векторной доминантности в сильных взаимодействиях. Заметит»!,что асимптотика Гр О/при Q- 0 есть /Q /Ы/ш Это значит,что дисперсионное соотношение для V / ) сверхсходящееся: т.е. вклады всех высших состояний в jY$ ) равны вкладу 6-J мезона " If77" /4 ( см. (1.36)). С другой стороны вплоть до
ГэВ Р-Ж формфактор насыщается практичесіш од-ним со мезоном ( рис. 6 6)). Это означает,что эффективно высшие состояния находятся при достаточно больших энергиях. Эта ситуация аналогична рассмотренной в 2,где асимптотика c Ji форм-фактора была / Q6 ,однако при промежуточных G( формфактор насыщался or и Д± мезонами,т.е. вел себя как yQ . Эти примеры показывают,что в промежуточной области QL реальное поведение формфакторов не имеет ничего общего с асимптотическим. То что высшие состояния эффективно находятся далеко от низшего Е является объяснением доминантности векторных мезонов в области промежуточных и тем более,малых
Изовекторные константы барионных октета 1/2 и декуплета 3/2 +
Заканчивая этот параграф заметим,что метод правил сумм во внешнем поле позволяет ,в принципе,рассматривать не только формфактори и константы связи,но и амплитуды рассеяния,что отвечает учету квадратичных и более высоких степеней внешнего поля в корреляторе (2.1). Существенная трудность возникает при вычислении индуцированных конденсатов во втором и тем более высшем порядке по внешнему полю.В отличие от первого порядка разложения, когда индуцированные конденсаты сводились по существу к двухточечным корреляторам,в случае высших порядков необходимо рассматривать многоточечные вершинные функции. В стличие от двухточечных корреляторов,в этом случае уже нельзя по поперечности и пионному полюсу восстановить весь коррелятор. Для его определения необходимо снова рассматривать правила сумм для различных трехточечных функций.В принципе такая программа осуществима(хотя очень громоздка) и может позволить вычислять в КХД амплитуды рассеяния в низкоэнергетической области.
В этом параграфе будут рассмотрены аксиальные константы барио-нов в изовекторном аксиальном поле. Сначала рассмотрим случаи октета 1/2+.
При взаимодействии внешнего аксиального поля с октетом можно построить две pU(3) инвариантные амплитуды /56/.Это связано с тем,что в произведении представлений 8 8 8 существуют два неприводимых синглетных представления.В самом и два представления 8 приводят к двум син-глетам в произведении Это позволяет написать амплитуду перехода октета о во внешнем аксиальном поле А в виде: где -антисимметричные коммутационные и симметричные антикоммутационные константы
Записывая барионный октет в виде можно получить все амплитуды переходов барионов в заданном аксиальном поле,которое выбирается в виде
Для определения F и ]D достаточно вычислить две ак-спальные константы,например,для переходов. Константа перехода Р р есть известная нуклонная аксиальная константа слабого распада нейтрона ( при выбранной нормировке взаимодействия А (и/J U-6)L)ts& ) константа p-J. P перехода точно равна нуклонной аксиальной константе .поэтому она обозначается той же буквой 0д ). Связь между , 3А » F и D следующая:
Займемся вычислением Зд Мы рассматриваем коррелятор (2.1) с 2. = 2: = 2р ,где 2р - кварковый ток с квантовыми числами протона: цветовые индексы кварков, С - матрица зарядового сопряжения: С = Іг » СХ,С - X, Ток (2.16) был введен в работе /19/ при изучении массовых ( двухточечных) правил сумм для барионов. Матричный элемент перехода из вакуума в нуклон на токе (2.16) определяется следующим образом: где для вычета J3 из правил сумм /19,20/ получена следующая оценка: 3 г = »3 ГЭБ6 ± дГэв6 Нуклонный вклад в изучаемый коррелятор равен(см.(2.12)): где мы использывали тот факт ,что амплитуда протонного перехода в аксиальном поле определяется формулой: причем вклад слабого псевдоскаляра равен нулю,т.к. Р Д= 0.
Выражение (2.17) содержит три независимых тензорных структуры: А У5 , (МЧА) 4 и 2(А І У . Последняя структура наиболее предпочтительна по следующим причинам: во-первых, она содержит максимальное число импульсов,поэтому вклады высших состояний и операторов выспшх размерностей в правила сумм для этой структуры меньше,чем для двух других структур; во-вторых, для этой структуры оказывается возможным сформулировать правила суш для Q -1,что позволяет понять причину перенормировки и вычислить её с большой точностью. Именно для этой структуры будут рассматриваться правила сугм. Феноменологическая часть имеет вид (2.13),где ;, = j = S/CZJ?)2 Приступим к вычислению теоретической части. Существуют два вида взаимодействия внешнего поля с кварками : взаимодействие с жестким кварком,описываемое пропагатором (2.3) и взаимодействие с мягкими кварками и глюонами,описываемое индуцированными конденсатами (2.8),(2.10). При взаимодействии с жестким кварком необходимо вычислить вклады диаграмм рис.7 .а),б) в),борелизованные вклады которых в структуру 2 (&% )% равны:
При вычислении глюонных поправок ненулевой вклад дает только та диаграммам которой мягкие глюоны испускаются из кварков,не взаимодействующих с внешним полем. Ясно,что в этом случае все эти диаграммы получаются из диаграмм нулевого порядка по внешнему полю ( отвечающих массовому правилу сумм) заменой одного из свободных кварковых пропагаторов L /Zrti!} на " /тг2Х Та кую замену можно сделать в любой из трех кварковых линий,однако вкладов от IL кварков нет,поэтому имеется взаимно однозначное соответствие между членами операторного разложения массовых правил сумм и правилом сумм во внешнем поле. То что вклад U. кварков отсутствует при вычислении аксиальной константы можно понять на основании того факта,что аксиальный заряд тока (2.16) определяется только сі кварком. Для этого удобнее представить этот ток в ином виде,используя преобразование Фирца.Тогда,с точностью до общего множителя получаем ток:
При аксиальных преобразованиях U и о кварки преобразуются по закону и разный знак в фазах отвечает как раз изовекторному аксиальному преобразованию). Видно,что вклады U. кварков в преобразование (2.19) сокращают-ся,так как L SQ у г= 2 Уц и все преобразование (2.19) связано только с d кварком. Такое однозначное соответствие диаграмм с взаимодействием внешнего поля с-жестким кварком сохраняется во всех порядках операторного разложения.
Правила сумм во внешнем векторном поле и амплитуда распада
В этом параграфе мы рассмотрим вычисление нуклонной изо-скалярной аксиальной константы 9. Вычисление этой константы в ІЗД связано со следующей интересной проблемой.Как известно, стандартные массовые правила сумм для двухточечных корреляторов изоскалярных псевдоскалярных токов и продольных компонент изо-скалярных аксиальных токов не работают,что связано с большим не-пертурбативным вкладом прямых инстантонов,приводящих к сильному смешиванию состояний CtU- J сі и 55 /62,63/. Можно думать, что эта ситуация специфична именно для продольных состояний в аксиальном канале и не верна для поперечных. Можно привести ,\еле дующие аргументы в пользу этого предположения: во-первых,прямые инстантоны вносят вклад в продольную часть коррелятора изоскалярных аксиальных токов,но не в поперечную (т.е. они связаны с псевдоскалярными мезонами,но не аксиальными),во-вторых,экспериментально, изоскалярные аксиальные мезоны 7Э и Ь состоят из [Zu-f-оЫ и SS кварков,соответственно,причем смешивание практически отсутствует /64/,что указывает на сходство изоска-лярного аксиального канала с изоскалярным векторным,но не псевдоскалярным. Тогда,можно рассмотреть нуклонный поляризационный оператор во внешнем поле А м :
При таком выборе внешнего поля все индуцированные конденсаты вычисляются так же,как и в случае изовекторного поля. В данном случае индуцированные конденсаты определяются Z мезоном,однако в $U (3) пределе $ч = jjp .
Определяя феноменологическую часть правил сумм так же как в случае изовекторной нуклонной аксиальной константы,замечаем, п 5 что неперенормированное значение . = -I. Отрицательный знак связан с тем,что неперенормированное значение аксиальной константы определяется аксиальным зарядом d кварка ( в случае протона),а изовекторный и изоскалярный аксиальные заряды кварка противоположны по знаку.
Вычисление теоретической части правил сумм проводится в духе вычислений 2,при этом индуцированные конденсаты для & и
х кварков имеют одинаковый знак и определяются формулами (2.8),(2,10). При вычислении вкладов связанных с взаимодействием внешнего поля с жесткими кварками можно пренебречь вкладом S кварка в (2.46) (см. обсуждение в начале этого параграфа).
Зависимость д от И изображена на рис.II . При Н 1,2 ГэВ вклад континуущ становится большим. Определить нижнюю границу М более сложно,так как в области М І ГэВ все три члена в (2,49) сравнимы по величине,однако из анализа кривой рис.II можно сделать вывод,что достоверной областью изменения I \ является 0,9 ГэВ2 И 1,2 ГэВ . Ошибки в определении Л достаточно велики,на что указывает сильная зависимость д от М даже в допустимой области изменения . Окончатель-кий результат для 2А в сравнении с предсказанием 5 "(6) кварковой модели/65/( А 1 = = I. Интересно отметить,что при сравнении SU" (6) с неперенор-мированной Зд = -I, возникающей при у чете, например, одной кварковой петли,расхождение огромное. Видно,что большая разница между оценками,сделанными на основе рассмотрения конституентных и токовых кззарков,исчезает при учете индуцированных конденсатов. Предсказание (2.50) отличается от предсказания SU( 6 ) модели на величину порядка разности предсказаний 5 "(6) для изовекторной аксиальной константы \3/ч$и(с7 5//3 и е экспеРи ментальным значением д = 1,25. Поэтому значение (2.50) не удивительно. Если экспериментальное значение Зд близко к оценке (2..50), это будет о значать, что метод правил сумм КХД хорошею работает для поперечных компонент в изоскалярном аксиальном канале.
Рассмотрим,каким образом можно извлечь экспериментальную информацию о величине д .Для этого надо обратиться к правилу сумі Бьёркена /43/ для глубоконеупругого рассеяния поляризованного электрона на поляризованной мишени. Правило сумм имеет вид ( см./66/):
(2.51) скешшнга,пренебрегая зависимостью структурных функции от сечения поглощения виртуальных фотонов с проекциями полного спина фотона и протона 1/2 и 3/2 на направление импульса фотона ( ось TL ), F ef(? .) - структурная функция протона, б у. и 6"с - полные сечения поглощения поперечных и продольных фотонов.
