Введение к работе
Актуальность темы. Многочисленные исследования показали, что перенос примеси в сильно неоднородных средах часто не описываются классическим уравнением диффузии [1]. При этом показатель степени в зависимости от времени размера области локализации частиц
R(f)xtr отличается от классического значения у = 1/2. Такие процессы называют аномальной диффузией. В случае, когда у > 1 / 2 , мы имеем дело с супердиффузией, а при у < 1 / 2 - с субдиффузией. В последние десятилетия интерес к процессам аномального переноса продолжает расти в связи с неклассическими задачами, возникающими в физике полупроводников, физике плазмы, астро- и биофизике, медицине, гидрогеологии, экономике и др.
Несмотря на столь широкую распространённость и сравнительно давнюю историю исследований, в аномальной диффузии остается еще множество нерешенных вопросов. Во многих случаях остается не выявленной связь между характеристиками среды и типом режима переноса. Не ясен вопрос о структуре асимптотик ("хвостов") концентрации на больших расстояниях (при г »R\t)). Например, в некоторых математических постановках задач об
аномальной диффузии они являются степенными. Между тем, знание структуры концентрационных хвостов бывает исключительно важно для практических приложений, например, для оценок надежности радиоактивных захоронений в геологических средах. Разница степенного и гауссова хвоста в удаленной от источника области, существенной для жизнедеятельности людей, может достигать многих порядков величины. Поэтому исследование аномальных процессов переноса в физических моделях является актуальным как с научной, так и практической точки зрения.
Цель работы. Целью работы является теоретическое исследование закономерностей аномального переноса примеси в простых физических моделях. Основными задачами диссертации являются:
Установление закономерностей переноса в модели случайной адвекции-диффузии в зависимости от корреляционных свойств среды (в отсутствие и при наличии дрейфа).
Исследование режимов переноса в регулярно-неоднородной контрастной среде в различных интервалах времени (задача Дыхне).
Научная новизна работы. Автором впервые
1. Развита строгая аналитическая теория переноса в модели случайной адвекции с дальнодействующими корреляциями скорости.
Показано, что асимптотики концентрации примеси в модели случайной адвекции-диффузии носят экспоненциальный характер, в отличие от степенных асимптотик в модели дробной диффузии.
Установлено, что пространственные флуктуации коэффициента классической диффузии не влияют на тип режима переноса примеси в модели случайной адвекции-диффузии.
Установлено, что в модели резко контрастной среды с одиночной трещиной существует широкий интервал времени, в котором перенос примеси происходит в режиме субдиффузии.
Выявлены режимы диффузии в контрастной системе, моделирующей множество трещин в слабо проницаемой матрице.
Практическая ценность работы состоит в следующем:
Полученные в диссертации результаты могут стать элементами для построения общей теории переноса примеси в геологических средах.
Установленные закономерности дают основу для проведения качественных оценок по надежности захоронений радиоактивных отходов в геологических структурах.
Полученные результаты могут быть использованы для модернизации компьютерных кодов, предназначенных для моделирования процессов переноса в геологических средах.
Личный вклад автора. Соискателем лично проведены:
Масштабный анализ (скейлинг) в макроскопической формулировке задачи о стохастической адвекции.
Диаграммное разложение и его анализ в задаче о случайной адвекции-диффузии.
Исследование процессов переноса примеси в резко контрастной системе, моделирующей одиночную сильно проницаемую трещину в слабо проницаемой матрице.
Анализ процессов переноса в модели системы трещин с различными пространственными характеристиками.
Защищаемые положения. На защиту выносится:
В модели случайной адвекции асимптотика концентрации примеси на больших расстояниях в режиме супердиффузии определяется экспо-нентой, убывающей быстрее, чем в классической диффузии.
Пространственные флуктуации коэффициента диффузии не приводят к изменению режима переноса.
В модели случайной адвекции при наличии дрейфа с ростом времени может происходить смена режимов переноса от супердиффузии к менее быстрому анизотропному режиму супердиффузии или анизотроп-
ной классической диффузии. Во всех случаях асимптотики концентрации на больших расстояниях имеют экспоненциальный характер.
4. В регулярно неоднородной контрастной среде перенос примеси на ранних временах идет в режиме быстрой классической диффузии, на интервале промежуточных времен - в режиме субдиффузии, а на самых поздних временах - медленной классической диффузии. При достаточно сильном контрасте свойств среды верхняя граница субдиффузионного интервала времени может оказаться практически недостижимой, и тогда субдиффузия будет играть роль асимптотического режима.
Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на международном симпозиуме "International Groundwater Symposium" (Беркли, США, 2002), международной конференции "Groundwater in Fractured rocks" (Прага, Чешская Республика, 2003), международном конгрессе "World Water & Environmental Resources Congress" (Филадельфия, США, 2003), на ежегодных научных конференциях стипендиатов ИБРАЭ РАН (2002, 2003).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.