Введение к работе
Актуальность темы
Подавляющее большинство проблем теории многих тел, представляющих физический интерес, достаточно сложны и, как правило, не имеют точного решения. Поэтому существенный интерес приобретают модельные системы, допускающие их математическое рассмотрение. Настоящая диссертация посвящена исследованию свойств модельных систем большого числа взаимодействующих частиц.
Выбор гамильтонианов для конкретных систем взаимодействующих частиц представляет для статистической механики важную проблему. При рассмотрении конкретных реальных систем с большим (в пределе — бесконечным) числом степеней свободы невозможно принять во внимание все без исключения свойства такой системы. Основная задача состоит в том, чтобы учесть лишь наиболее важные с точки зрения изучаемого явления черты этой системы, сознательно пренебрегая остальными. Подобное упрощение задачи представляет собой модельный подход, а соответствующие гамильтонианы носят название модельных. Необходимо отметить, что формулировка модельных задач представляет собой весьма сложную физическую и математическую проблему.
В конкретных задачах теории многих частиц адекватного соответствия реальной системы и её математической модели обычно не бывает и приходится довольствоваться моделью, свойства которой существенно отличаются от свойств реальной системы. Для решения таких задач приходится пользоваться приближёнными методами. Тем не менее, в настоящее время этот подход для большинства задач теории многих тел является почти единственным. Так обстоит дело и для квантовых, и для чисто классических систем.
С другой стороны, строгое исследование задачи как правило сталкивается со сложными математическими проблемами. Поэтому точные решения модельных задач достаточно редки и оказывают большое воздействие на развитие статистической механики в целом. Одной из важнейших проблем статистической физики является рассмотрение точно решаемых случаев. Такое рассмотрение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач квантовой статистики и, в частности, для обоснования используемых приближённых методов.
В связи с этим представляет существенный интерес изучение тех
немногих моделей, которые имеют некоторое сходство с реальными физическими системами, но допускают точное решение. При этом могут быть установлены основные особенности систем многих тел.
В качестве примеров таких систем, которые могут быть решены точно, следует привести системы невзаимодействующих частиц. Несмотря на тривиальность такой модели, она используется в качестве исходной в большинстве задач теории многих тел. Кроме того, существует ряд точно решаемых неидеальных моделей: результаты Н.Н. Боголюбова в модельных задачах теории сверхтекучести и сверхпроводимости, Онса-гера в плоской модели Изинга, Бакстера в восьмивершинной модели.
Модельные гамильтонианы широко применяются при изучении различных задач теоретической физики. По этой причине их исследование представляет особый интерес — решением задачи одного гамильтониана решается целый ряд соответствующих физических моделей. Например, в работах В.П. Маслова подробно рассмотрен вопрос о построении приближённых решений уравнения
ге^- = Н (t, ^Ф+(х),^ф-(х)) Ф(*), (1)
где Ф() — вектор состояния в пространстве Фока, ф±{х) — операторы рождения и уничтожения в этом пространстве. Метод комплексного ростка Маслова в пространстве Фока позволяет построить приближённые стационарные решения уравнения (1), в частности, многочастичных уравнений Шредингера, Лиувилля, а также уравнений квантовой теории поля.
Цель работы
Целью настоящей диссертационной работы является исследование свойств модельных систем большого числа взаимодействующих частиц на основе асимптотических методов, метода ультравторичного квантования и концепции истинного символа. Рассматриваются задачи построения собственных значений и векторов уравнения Шредингера и уравнения для матрицы плотности.
Методы исследования
В диссертации используются строгие методы математической физики.
Научная новизна работы
В рамках данной диссертации получен ряд новых результатов. В частности, вычислено значение экспоненциально малого расщепления энергии вихревых решений уравнения Шредингера для системы на решётке. Построены асимптотические решения уравнения Шредингера для ряда модельных систем тождественных частиц с парным взаимодействием.
Наряду с известными асимптотическими методами в работе используется современный метод ультравторичного квантования, введённый академиком В.П. Масловым, а также концепция истинного символа, позволяющие получить более общие результаты, в сравнении с достигнутыми ранее.
Впервые получены точные решения уравнений, описывающих модельные системы взаимодействующих частиц, найдены спектры коллективных колебаний квазичастиц. В ряде случаев для системы уравнений Гамильтона получена «LA-napa», позволяющая записать уравнения движения в виде операторного уравнения. При исследовании уравнения для матрицы плотности в представлении ультравторичного квантования по парам впервые найдена соответствующая пара Лакса.
Теоретическая и практическая ценность работы
В диссертационной работе содержатся результаты, обладающие несомненной научной новизной и имеющие существенное значение для понимания физики систем большого числа частиц. Представленные в работе теоретические результаты могут быть использованы специалистами в области квантовой статистики, теории систем многих частиц, а также теории сверхтекучести и сверхпроводимости.
Личный вклад соискателя
Автором самостоятельно проведены исследования ряда модельных систем большого числа тождественных частиц. Получены решения соот-
ветствующих уравнений движения, а также спектры коллективных колебаний квазичастиц. Впервые найдено представление уравнений движения в виде пары Лакса при ультравторичном квантовании по парам уравнения для матрицы плотности.
Положения, выносимые на защиту
Построена туннельная асимптотика волновой функции основного и первого возбуждённого состояний в модели большого числа частиц на решётке. Получен аналог условия возникновения сверхтекучести в системе бозонов с бинарным взаимодействием. Вычислено экспоненциально малое расщепление энергетических уровней.
Показано, что для гамильтониана с парным взаимодействием на произвольном конечном числе точек решётки имеет место пространственно однородное решение. Получен энергетический спектр системы.
Для модельного гамильтониана системы взаимодействующих бозонов построена асимптотика собственных значений уравнения Шре-дингера.
В модели сверхпроводимости Бардина-Купера-Шриффера из системы уравнений в вариациях, соответствующей истинному символу для уравнения Шредингера, получен спектр коллективных колебаний.
Исходя из концепции истинного символа, для модельных квантовых систем тождественных частиц — бозонов и фермионов — вычислены главные члены асимптотики собственных значений серий, соответствующих решениям гамильтоновых систем, а также получены новые спектры коллективных колебаний квазичастиц.
Общее решение системы уравнений, соответствующей математической модели для TV-частичного уравнения Шредингера в случае фермионов, впервые представлено через произвольную нечётную функцию. Для частного решения уравнений движения точно вычислен спектр системы уравнений в вариациях.
7. Произведено ультравторичное квантование уравнения для матрицы плотности. Доказано тождество для ультравторично квантованного гамильтониана, позволяющее определить истинный символ уравнения для матрицы плотности. В случае квантования по парам показано, что система обладает спектром, полученным в работе В.П. Маслова «О зависимости критерия сверхтекучести от радиуса капилляра». Впервые получена пара Лакса для символа, соответствующего уравнению для матрицы плотности при ультравторичном квантовании по парам.
Апробация диссертации
Материалы диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ, а также представлялись в научных докладах на следующих конференциях:
Международная конференция по фундаментальным наукам «Ломоносов 2003». Москва, 2003.
Всероссийская конференция по фундаментальным наукам «Молодёжь в науке». Саров, 2003.
Международная конференция по фундаментальным наукам «Ломоносовские чтения 2004». Москва, 2004.
Международная конференция по фундаментальным наукам «Ломоносовские чтения 2005». Москва, 2005.
Публикации
Основные результаты диссертации изложены в 11 опубликованных работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
