Атомные ловушки в гравитационном поле Баранов Дмитрий Борисович

Содержание к диссертации

Введение

2 Бозе-Эйнштейновская конденсация газов в магнитных ловушках 24

2.1 Основные параметры ловушки 25

2.2 Влияние гравитационного поля на критическую температуру БЭК 28

2.3 Идеальный бозе-газ 30

3 Газ бозе-частиц со взаимодействием 43

3.1 Интеграл по траекториям для статистической суммы бозонов 43

3.2 Эффективное действие для неидеального газа в ловушке 53

3.3 Бозе-газ со взаимодействием во вращающейся ловушке 67

Заключение 75

Основные результаты 78

Приложения 79

• Влияние гравитационного поля на критическую температуру БЭК
• Идеальный бозе-газ
• Эффективное действие для неидеального газа в ловушке
• Бозе-газ со взаимодействием во вращающейся ловушке

Введение к работе

1.1 Исторический обзор

Бозе-Эйнштейновская конденсация атомов проявляется в необычных свойствах бозе-газов при температурах ниже критической. Впервые это явление было предсказано для идеальных газов в работе Эйнштейна [1]. Для случая неидеального бозе-газа теоретическое описание также возможно. Даже в случае сильного взаимодействия для достаточно разреженного газа существует малый параметр и основные термодинамические величины могут быть оценены по теории возмущений [3]-[б]. Однако теория возмущений имеет ограниченное применение. Подход к описанию бозе-газа с учетом корреляций между бозонами конденсата и над-конденсата разработан в [7], [8].

1.1.1 Ван-дер-Ваальсово взаимодействие атомов

Попытки объяснения природы сил Ван-дер-Ваальса с помощью электростатического взаимодействия молекул предпринимались очень давно. Сначала природу этих сил объясняли наличием у молекул дипольных моментов [9]. Однако, существует много молекул не обладающих дппольным моментом. По этой же причине не является удовлетворительным объяснение, основанное на наличии у молекулы квадрупольного момента [10].

П. Де бай указал, что эти трудности можно преодолеть, если за

причину этих сил принять взаимную поляризацию молекул [11]. Рассуждения Дебая были основаны на классической модели молекулы. Электронное облако молекулы рассматривалось как ряд концентрических сфер с постоянной поверхностной плотностью, т. е. представляло собой шар конечного радиуса г с переменной плотностью электрического заряда. Так как молекула считалась нейтральной, то взаимодействие между такими молекулами отсутствовало для расстояний больших 2г.

Наличие взаимодействия для таких молекул объяснялось тем, что для сферически симметричного распределении зарядов существуют возмущения большой частоты, вызванные движением отдельных электронов. С учетом этого обстоятельства, данная молекула приобретает дипольный момент в поле Е другой молекулы, пропорциональный этому полю. Поэтому возникает энергия взаимодействия двух молекул, пропорциональная произведению напряженности поля на дипольный момент, т. е. энергия взаимодействия двух молекул ~ Е². Среднее от соответствующей силы не может обратиться в ноль, и соответствует притяжению (см. [12], стр. 127).

Далее, Дебай вычисляет напряженность поля Е некоторой молекулы. Для вычисления этой энергии используется мультиполь-ное разложение потенциала молекулы с некоторым распределением зарядов. Рассматривается молекула у которой дипольный момент равен нулю, но существует отличный от нуля квадруполь-ный момент. Для этого случая показано, что энергия взаимодействия между молекулами U ~ —c/R~⁸.

Рассуждения Дебая носят, в основном, классический характер, однако, некоторые результаты могут быть получены без учета квантовой природы молекул. Предполагая известным вид потен-

цпала взаимодействия, константы в этом выражении могут быть определены, например, путем сравнения теоретических и экспериментальных данных для вириальных коэффициентов. Классические расчеты вириальных коэффициентов для различных потенциалов были выполнены в работах [13], [14], [15], а квантовые поправки учтены в [16],[17]. Например, в работе [16] с потенциалом Леннарда-Джонса, коэффициенты для потенциала были определены эмпирически, с использованием данных для первого вири-ального коэффициента при высоких (> 5(Ж) температурах.

В последующих квантовомеханических расчетах используется гипотеза Дебая о том, что у нейтральных молекул существует ди-польный момент за счет возмущений электронной плотности, вызванной движением зарядов. Таким образом, авторы более поздних работ вычисляют потенциалы взаимодействия между молекулами в дипольном приближении. Несмотря на то, что в квантовом случае электронные облака молекул неограничены в пространстве, все равно предполагается, что притяжение между нейтральными молекулами невозможно [18].

Первая попытка квантовомеханического расчета потенциала взаимодействия двух атомов водорода была сделана в [19]. Потенциальная энергия взаимодействия двух атомов водорода на больших расстояниях имела вид U ~ — const/it~⁶. Однако, численные значения не совпали с последующими вычислениями. В работе [20] авторы предложили метод вычисления потенциалов атомов, основанный на применении обычной квантовомеханической теории возмущений. Энергия диполь-дипольного взаимодействия U ~ — const/i?~⁶ была получена во втором порядке теории возмущений, так как выражение в первом порядке пренебрежимо мало для больших R. Однако метод вычисления оказался очень слож-

ным.

Более простой вариант теории возмущений был рассмотрен в работе [21]. В работах [22], [23] были использованы вариационные методы. Например, в работе [23] для получения потенциала взаимодействия решается уравнение Шредингера для энергии основного состояния двух атомов E(R) как функция расстояния между ядрами атомов R. В качестве первого приближения для волновой функции двух атомов используется произведение двух волновых функций каждого из них без учета взаимодействия между электронами внутри каждого атома, полученная в работе [24]. При этом, роль возмущающего потенциала играет потенциал поляризации одного атома другим. Вычисленный потенциал двух атомов содержит как притяжение вида Ае~ , полученное в работе [24], так и отталкивание ~ —R~^Q на больших расстояниях. Также была вычислена поляризуемость гелия, которая хорошо согласовывалась с экспериментальными данными.

В работе [25] была более точно найдена часть энергии взаимодействия атомов гелия, связанная с притяжением. Здесь второй порядок теории возмущений дал дополнительное слагаемое вида ~ —Л^-8. В более ранней работе этого же автора [26] было показано, что слагаемыми более высокого порядка можно пренебречь.

В более современных работах рассматриваются потенциалы в следующих порядках теории возмущений. Например, в работах [27], [28] часть энергии взаимодействия, отвечающая за притяжение, умножалась на некоторую заданную функцию, извлекаемую из экспериментальных данных для молекулы водорода, и содержит дополнительное слагаемое вида ~ — R~¹⁰. В работе [28] также проведен сравнительный анализ основных видов потенциалов полученных к тому времени.

Рассмотренные потенциалы содержат произвольные коэффициенты, которые могут быть определены, например, путем их подгонки под экспериментальные данные для вириальных коэффициентов, коэффициентов вязкости и теплопроводности. Эти вычисления были сделаны для разных потенциалов с разными коэффициентами. Более поздние вычисления второго вириального коэффициента ⁴Не для низких температур были выполнены в работе [30] для нескольких потенциалов взаимодействия, с константами полученными теоретически. В работах [31], [32] потенциал Леннарда-Джонса использовался для вычисления второго вириального коэффициента для Не. Более точные численные вычисления второго вириального коэффициента были проведены позднее в работе [33], причем они неплохо согласовались с экспериментальными данными, но не для всех областей температур. В более поздней работе [34] результаты вычисления для второго вириального коэффициента ⁴Не при низких температурах значительно отличались от ранее известных, что подвигло авторов попробовать рассмотреть потенциал другого вида.

Наряду с потенциалом Леннарда-Джонса в теоретических работах использовался потенциал Слейтера-Кирквуда [20]. Как было показано в работах [35]—[37] потенциал типа Слейтера-Кирквуда хорошо согласуется с экспериментальными данными для некоторых температур.

В работе [38], [39] дан сравнительный анализ этих потенциалов и показано, что ни один из них не описывает экспериментальные данные во всей области температур. Например, потенциал Леннарда-Джонса хорошо описывает экспериментальные данные для вязкости в области температур от 14/1' до 21К, а для температур ниже 1.2А' более подходит потенциал Слейтера-Кирквуда, а

экспериментальные данные для коэффициента теплопроводности не описываются удовлетворительно ни одним потенциалом. Это расхождение теории с экспериментом авторы объясняют тем, что не известен точный вид потенциала и точные значения констант для него, а также недостатками теории транспортных явлений для низких температур.

Более поздние результаты сравнения теории с экспериментом для различных потенциалов и обзор теоретических приближений можно найти в работах [28], [29]. Одни из последних результатов, посвященных этой проблеме, изложены в [40]—[42].

1.1.2 Сверхтекучий ⁴Не

В отличие от газов вычислить основные термодинамические величины для жидкости не так просто. Это связано с тем, что взаимодействие между атомами в жидкости не является слабым, следовательно отсутствует малый параметр для теории возмущений. Однако для случая низких температур такое вычисление становиться возможным.

Характер элементарных возбуждений в разных частях спектра в сверхтекучем ⁴Не впервые был описан Л. Д. Ландау в его первой работе по сверхтекучести [43]. Он предположил, что при малых импульсах в гелии могут существовать только коллективные возбуждения, так как взаимодействие между частицами очень сильно. Ландау описал два типа элементарных возбуждений: фо-ноны, энергия которых была линейной функцией импульса, и ротоны, спектр которых имел щель при импульсе равном нулю. С помощью этих данных Ландау описал основные термодинамические свойства сверхтекучего ⁴Не.

Далее, Н. Н. Боголюбов в своей работе [44] рассмотрел случай неидеального газа со слабым взаимодействием между частицами. Он показал, что такая система может быть описана путем выделения во вторично квантованном гамильтониане взаимодействия членов дающих основной вклад. Считая операторы рождения и уничтожения частиц конденсата С-числами, Боголюбов показал, что основной вклад дают члены, билинейные по операторам рождения и уничтожения бозонов с отличным от нуля импульсом. Низкоэнергетический спектр надконденсатных возбуждений такой системы легко вычислялся и качественно совпадал по форме со спектром возбуждений в сверхтекучем ⁴Не, т.е. являлся линейной функцией импульса вблизи нуля, а при больших импульсах

описывал спектр свободных частиц. Далее, непрерывная кривая с ротонным минимумом была предложена Ландау в [45]. Такая же кривая с ротонным минимумом была получена позднее в работе [46] с использованием теории Боголюбова. Этот спектр хорошо согласовался с экспериментальными данными по теплоемкости и другим термодинамическим свойствам, которые можно получить, зная спектр возбуждений Не. Более того, жидкость с таким спектром обладала свойством сверхтекучести, что также согласовалось с экспериментальными данными. Изложение теории сверхтекучести можно найти в монографии [47].

Микроскопическая теория сверхтекучего ⁴Не была построена Фейнманом в работе [48], где на основе интуитивных соображений была получена волновая функция возбужденного состояния с помощью вариационного метода. Также Фейнман нашел формулу, связывающую спектр надконденсатных возбуждений со статическим структурным фактором. Позднее, в работе [49] была получена более точная функция возбужденного состояния. Спектр возбуждений сверхтекучего ⁴Не полученный в этой работе совпадал с экспериментом лишь качественно. Улучшение теории Фейнмана-Коэна было достигнуто путем учета взаимодействия между элементарными возбуждениями, что было сделано в работах[50], [51].

Основные подходы для более подробного описания сверхтекучего ⁴Не были разработаны с помощью методов теории поля. В работе [52] была построена теория бозе газа с сильным взаимодействием при нулевой температуре и найдены одночастичные функции Грина. В работах [53], [54] были выведены уравнения для функций Грина при ненулевой температуре. Учет двухчастичных корреляций был сделан в работах [55], [56]. Обзор основных теоретических и экспериментальных результатов, а также изложение

микроскопической теории жидкого гелия можно найти, например, в книге [57].

В последнее время вызывает интерес исследование однородной смеси жидких ³Не и ⁴Не как экспериментально, так и теоретически. В экспериментах измеряется сдвиг спектра надконденсатных возбуждений жидкого Не при добавлении примеси ³Не для температур от 0.09 до 1.5Л' для различных концентраций ³Не. Впервые сдвиг спектра был измерен с помощью метода нейтронного рассеяния на смеси ³Не и ⁴Не в работе[58]. Позднее, в работе [59] были сделаны те же измерения для близких значений температур и концентраций. Эти резз^гльтаты находились в качественном, но не в количественном соответствии. Оба сдвига спектра надконденсатных возбуждений зависели от импульса, однако сдвиг спектра в [59] был отрицательным для всех значений импульсов, а в работе [58] этот сдвиг менял свой знак: был положительным для малых импульсов и отрицательным в области ротонного минимума.

Теоретическое объяснение результатов работы [59] было дано в работе [60]. Авторы рассматривали сдвиг спектра возбуждений как результат действия трех факторов:

1. изменение плотности системы, как результат добавления атомов ³Не, которые имеют больший молярный объем,

2. взаимодействие ветвей бозе- и ферми-возбуждений, которые близки по энергиям для определенных значений импульсов,

3. взаимодействие ротонных возбуждений и термически возбужденных квазичастиц ³Не.

С помощью методов функций отклика авторам удалось учесть вышеперечисленные эффекты, при этом изменение плотности системы привело к сдвигу псевдопотенциала взаимодействия частиц ⁴Не, фактор (2) проявился в импульсной зависимости константы

взаимодействия в псевдопотенциале частиц ³Не и Не, а эффект (3) был пропорционален концентрации Не и зависел от вида спектра возбуждений ³Не. Авторы нашли, что удовлетворительное совпадение теории сдвига спектра ⁴Не в присутствии Не с экспериментом наблюдается для спектра возбуждений ³Не, найденного в работах [61], [62].

Однако, в дальнейшем новые экспериментальные результаты по этим сдвигам были получены в работе [63], где был измерен сдвиг спектра надконденсатных возбуждений ⁴Не в присутствии примеси ³Не для импульсов 0.5А^-1 < р < 2А~¹ для различных температур смеси и при различных давлениях. Результаты, полученные в этой работе, более похожи на теоретические результаты [58], чем на [59]. Авторами было показано, что их экспериментальные результаты не согласуются с результатами, полученными с помощью теории [60]. Новые экспериментальные результаты были также сравнены с теоретическими результатами, полученными в работах [64]-[70]. Результаты показали, что ни одна из вышеперечисленных теорий не описывает адекватно последние экспериментальные данные [63]. Таким образом, проблема теоретического объяснения спектров возбуждения ⁴Не с примесью ³Не является актуальной.

1.1.3 Бозэ-Эйнштейновская конденсация (БЭК) газов в ловушках

Явление бозе-конденсации в газах было впервые получено в 1995 году в серии опытов с атомами щелочных металлов. В этих опытах атомы, предварительно охлажденные оптическим методом, помещались в магнитные ловушки и затем охлаждались до очень низких температур, порядка 10~⁶Л'. Сначала это явление было зафиксировано в опытах с атомами ⁸⁷Rb [71], затем для атомов ²³Na [72] и наконец для атомов 'Li [73]. Позднее в 1998 году была получена бозе конденсация в газах атомов водорода [74]. Следует отметить, что эксперименты с атомами водорода начались намного раньше и внесли решающий вклад в развитие экспериментальной методики охлаждения газов в магнитных ловушках. Известно, что большинство веществ при температурах, с которыми мы имеем дело в магнитных ловушках, переходят в жидкое или газообразное состояние. Можно ввести критический параметр, который будет показывать останется ли вещество газообразным при охлаждении вещества до нулевой температуры. Этот параметр пропорционален отношению энергии нулевых колебаний к энергии связи молекулы. Его критическое значение v_c = 0.46. Если v > г/_с, то энергия нулевых колебаний доминирует и вещество остается газообразным. Как было показано в [75] v = 0.55 для водорода. Заметим, что для атомов щелочных металлов значение этого коэффициента колеблется от 10~³ до 10~⁵, т. е. состояние газов в ловушках является метастабильным. При этом процессы трехчастичной рекомбинации атомов щелочных металлов, которые отвечают за переход в твердое или жидкое состояние при низких температурах, пропорциональны квадрату атомной плотности и пренебрежимо малы для значений плотностей (10¹¹ — 10¹⁴ст~³) в ловушке при достижении БЭК.

Экспериментальная методика охлаждения атомов щелочных металлов основана на весьма простой идее. Атомы щелочных металлов являются нейтральными, то есть имеют заряд равный нулю. Однако спин таких атомов не равен нулю. Рассмотрим, например, атомы Rb. Основным электронным состоянием этого атома является состояние ²5₁/2т соответствующее значению квантового числа F — S + L + I = 1 (I — спинядра). Атом в таком состоянии, помещенный в магнитное поле, имеет три значения магнитного квантового числа тр = -1,0,+1. Потенциал магнитного поля ловушки устроен так, что он удерживает атомы с тр = — 1 и выталкивает из ловушки атомы с магнитными числами тр = 1,0.

Итак, охлаждение атомов ловушке происходит в два этапа. Первый этап называется лазерным охлаждением. Вообще, существует несколько методов предварительного охлаждения атомов. Познакомиться с деталями техники лазерного охлаждения и основными достижениями в этой области можно по работам [76]-[78], а также по Нобелевским лекциям [79]-[81]. Заметим, что основы этой техники были заложены в работах [82], [83]. В основном в экспериментах по достижению БЭК использовался эффект Зеемановского замедления магнитным полем [84], с помощью которого атомы охлаждались до температуры ~ 1К и, затем, помещались в магнитно-оптическую ловушку (МОТ) [85]. В некоторых экспериментах низкоэнергетическая часть облака помещалась непосредственно в МОТ (Vapour sell trap) [86]. В МОТ при взаимодействии с шестью скрещенными лазерными лучами атомы теряли энергию, а также спрессовывались до более высоких плотностей. С помощью такой техники удавалось достигать температур порядка ЬО/іК и плотностей 10^йcm^-3. Повышение плотности атомов приводит к активизации процессов столкновения атомов.

Дальнейшее охлаждение атомов производиться с помощью радиочастотного поля (evaporation cooling). Более подробно с этой техникой можно ознакомиться в обзорах [75], [87]. Сз^ть этой методики в следующем: радиочастотное магнитное поле может изменить направление спина атома, что приводит к удалению этого атома из ловушки. При этом из ловушки удаляются только атомы, энергия которых больше определенного значения, которое пропорционально частоте радиочастотного поля. Понижая эту частоту можно добиться удаления из ловушки наиболее нагретых атомов. Evaporative cooling обеспечивается за счет упругих столкновений атомов. Неупругие двух- и трех-частичные столкновения приводят к нагреванию атомов в ловушке. Как было показано для атомов щелочных металлов при значениях плотностей 10¹³ — 10¹⁵сга~³, неупругими столкновениями атомов можно пренебречь и достичь температур порядка ІООпК.

В 2001 году Нобелевский комитет присудил К. Виману, Э. Кор-неллу, В. Кеттерлн премию по физике за цикл работ по Бозэ-Эйнштейновской конденсации газов в ловушке.

Приведем основные значения параметров ловушки, следуя [72]. Типичное значение числа атомов в ловушке порядка 10⁹. В результате оптического охлаждения достигаются температуры ~ 200fiK. Частота радиочастотного поля уменьшается в течении 7сек от 30MHZ до ~ IMHZ₁ при этом ловушку покидает порядка половины атомов, находящихся в ней. При значении радиочастотного поля ~ 0.7-0.6MHZ происходит бозе-конденсация атомов в основном состоянии. При этом температура в ловушке равна Т = 2fdi. Критическая плотность атомов в ловушке составляет 1.5 10¹⁴сга~³.

Идея экспериментального обнаружения явления бозе-конденса-

цнп состоит в следующем. При температурах ниже критической большинство атомов находиться на нижнем уровне магнитной ловушки. Предположим, что ловушка имеет параболическую форму и аксиально симметрична (и_х = и>_у, uj_z/ui_y — А). Тогда можно показать, что для конденсатной части облака имеет место анизотропия (f?_Cp/^vx,cp — ^)- Д^ля надконденсатной части облака такое отношение скоростей равно нулю, так как имеет место распределение Максвелла по скоростям для всех координат x,y,z, которое не зависит от формы потенциала, т.е. облако имеет сферическую симметрию. Таким образом, при выключении ловушки профиль конденсатной части облака (если наступил эффект БЭК) будет вытянут по одному из направлений и будет разлетаться медленнее, чем сферически симметричная часть облака надконденсатных частиц. Такие опыты действительно проводились, и наличие двух облаков разной формы при разлете частиц наблюдалось в эксперименте [72].

Приведем значения некоторых величин [71]—[74], а именно сравним кинетическую и потенциальную энергию частиц в ловушке. Для нижнего уровня ловушки будем иметь -тг^и ~ Ю^-2 — 10~³, в зависимости от значения частоты в ловушке. Определим среднюю энергию взаимодействия частиц в ловушке соотношением п_сд_} где п_с- критическая плотность частиц в ловушке, а д определено соотношением д — ^ -. Из экспериментальных данных для длины рассеяния атомов Sd следует, что а = 4.9пт. Таким образом для отношения средней энергии взаимодействия к температуре имеем

ТІ О

величину тгт — 0.1. Таким образом мы можем заключить, что для нижних уровней ловушки (где и наблюдается явление бозе конденсации) энергия взаимодействия частиц превосходит кинетическую энергию на один-два порядка. Из этих оценок видно,

что для правильного теоретического описания разлета облаков при выключении ловушки нужно учесть взаимодействие между частицами. Это было сделано численно в работах [90], [91]. Расчет критической температуры БЭК и других термодинамических величин для различных потенциалов ловушки можно найти в [92]. Число частиц в ловушке конечно, и термодинамический предел не достигается точно. Расчет изменения критической температуры, обусловленный этим эффектом можно найти в работе [93]. При этом отличаются результаты, полученные при расчетах с различными каноническими ансамблями [94]. Расчет флуктуации числа частиц в конденсате для различных ансамблей с учетом и без учета взаимодействия можно найти в работах [95], [96].

Наряду с экспериментальными исследованиями феномена бозе-конденсации проводились широкие теоретические исследования этого явления, основанные на уравнении Гросса-Питаевского [88], [89] для слабо взаимодействующего бозе-газа в неоднородном поле. Газы в ловушках являются сильно разреженными. В таких системах основную роль играют двухчастичные взаимодействия, и потенциал взаимодействия в координатном представлении имеет вид дельта-функции, умноженной на константу взаимодействия д, которая пропорциональна длине рассеяния а. Как показывают проведенные исследования, эффект взаимодействия играет существенную роль в таких системах.

Рассмотрим эффект БЭК в системе с размерностью меньше 3D. Рассмотрение случая 2D было дано в работах [97], [98]. В термодинамическом пределе эффект БЭК не возможен в системе размерности ID, однако вследствие конечности числа частиц в ловушке он может иметь место [99].

В связи с темой данной диссертации интересно рассмотреть во-

прос о влиянии эффекта конечного числа частиц в ловушке на критическую температуру. Формула [143] для числа частиц iV в трехмерной ловушке имеет вид

где tOf_lo — ^L0_xu)yLO_z - среднее геометрическое частот ловушки, a Nq - число частиц в конденсате. Отсюда можно легко получить выражение для критической температуры Т_с ловушки положив No —> 0. Это дает результат

/ ДГ \ !/³

к_вТ_с = hw_h0 {—-J = 0.94Я^_оЛ^г1/3.

Таким образом, правильный термодинамический предел для такой системы можно получить полагая iV —> со и ш^ —> 0, при этом считая произведение Nuj^ постоянным. В этом случае критическая температура Т_с определена корректно в термодинамическом пределе. Подставляя выражение для критической температуры в формулу для числа частиц в ловушке мы будем иметь

N \Тс)

Поправка к этому закону с учетом конечного числа частиц в ловушке была сделана в работах [100], [93], [101] [102]. Формула с поправкой на конечное число частиц имеет вид

n \tJ 2ии«з))^2/з U;

где и — (ш_х + toy + ui_z)/3 - средняя арифметическая частота ловушки.

Полагая в последнем уравнении Nq = 0 мы получаем формулу для сдвига критической температуры за счет эффекта конечного

числа частиц

— = li_L_^_/v-i/3 ^ _₀_73 iV"¹/³.

Г_с 2^₀(С(3))²/3 u_h0

Таким образом, для симметричной (uj_x = и_у — ш₂) трехмерной ловушки мы имеем сдвиг ~ —0.73Л/"^-1/³. В случае двумерной ловушки имеет место формула

/ N Л¹/²

квТ2В = hiO-2D 777ГГ

XV) так что для двух измерений можно ожидать сдвиг критической

температуры ~ —N~¹'². Для числа частиц в ловушке N ~ 10⁸

этот эффект дает сдвиг менее 1%.

В уравнении Гросса-Питаевского (ГП) надконденсатная и кон-денсатная части волновой функции разделяются, так что можно получить достаточно простое уравнение для последней. Решая его численно, можно найти волновую функцию конденсата [103], [104], расчет с которой для зависимости плотности БЭК от температуры хорошо согласуется с экспериментальными данными [105]. Заметим, что для частиц конденсата энергия взаимодействия может намного превышать кинетическую энергию. В этом случае последней можно пренебречь (приближение Томаса-Ферми). В этом случае уравнение ГП можно решить аналитически.

Явление бозе-конденсации также существенно зависит от знака сил взаимодействия между атомами. В случае отталкивания (а > 0) конденсат стабилен. При переходе конденсатной частицы в над-конденсатное состояние энергия системы увеличивается, как это и должно быть. В этом случае для больших N хорошо работает приближение Томаса-Ферми (ТФ) [106]. Точность этого приближения обсуждается в [107], [108].

Рассмотрим случай притяжения между частицами (а < 0). Здесь

картина полностью меняется. Когда число частиц конденсата превышает определенное значение система коллапспрует и уравнение ГП не имеет решения. Явления связанные с притяжением между атомами в ловушке изучались как экспериментально [109], [110], так и теоретически [111]- [ИЗ]. Более сложный анализ этого явления с учетом туннельных эффектов можно найти в [Н4].

Различные элементарные возбуждения в ловушках при нулевой температуре также изучались многими авторами. Например, можно посмотреть работы [115]-[119]. Следует заметить, что вследствие сильной разреженности газа в ловушке одночастичные возбуждения играют существенную роль и могут преобладать над коллективными даже для низких температур (ниже критической температуры БЭК) [120], [121]. Этот факт отличает эффект БЭК в газах от сверхтекучести в жидком гелии, где основные термодинамические соотношения определяются спектром коллективных возбуждений. Более сложное рассмотрение коллективных осцилляции при конечной температуре можно найти в работах [122]-[125]. Также весьма интересны нелинейные эффекты распространения частиц после выключения ловушки и связанные с ними нелинейные эффекты при осцилляциях. Теоретическое описание этих эффектов можно найти в работах [126]-[129]. В этих работах показано, что решение зависящего от времени уравнения ГП может быть найдено в большинстве ситуаций и близко к решению стационарного уравнения ГП. Например, в работе [127] показано, что решение, зависящее от времени, может быть получено из стационарного путем некоторого масштабного преобразования.

Интересным вопросом является влияние взаимодействия на критическую температуру бозе-конденсации в ловушках. Как было показано ранее, эффект взаимодействия играет существенную роль и

изменяет значение критической температуры в ловушке по сравнению со случаем идеального газа. Причем этот эффект зависит от знака длины рассеяния. В случае притяжения наличие взаимодействия приводит к расширению облака при одновременном увеличении плотности п. следовательно, критической температуры [130]. В случае притяжения взаимодействие стремится сжать облако и мы имеем обратный эффект. Для случая однородного газа этот вопрос изучался в работах [131]-[133]. Например, в работе [132] критическая температура бозе-конденсации однородного газа была найдена с помощью метода ренормгруппы, и этот результат был улучшен и подсчитан до более высокого порядка с помощью теории возмущений в работе [133]. Основной результат этих исследований состоит в том, что включение взаимодействия ведет к увеличению критической температуры в системе. Однако численные результаты у разных авторов различны [134]-[139]. В виду малости потенциала ловушки (10^_9эв) удержание ею атома зависит от внешних условий, в частности, от наличия или отсутствия поля тяжести (этот вопрос рассмотрен в главе 2).

В последнее время интерес вызывают гидродинамические и оптические эффекты бозе-конденсата со спиновой структурой, который может быть получен в оптических ловушках. Способ описания и теоретические предпосылки для обнаружения такой структуры у бозе-конденсата были развиты в работах [140]—[142].

Более подробные сведения по явлению бозе-конденсации в ловушках можно найти в обзорах [143]—[145].

1.2 Постановка задачи

К числу квантовых эффектов в атомных системах можно отнести эффекты статистики ансамбля щелочных атомов. Важным примером исследования этой проблемы служат бозе-эйнштейнов-ская конденсация атомов в ловушках.

В данной работе автор исследовал явление бозе-эйнштейновской конденсации в атомных ловушках с учетом гравитационного поля Земли. Были рассмотрены случаи идеального газа и газа взаимодействующих частиц, а также бозе-газ во вращающейся ловушке.

Задача о влиянии гравитационного поля на критическую температуру бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) атомов в ловушках с конечным потенциальным барьером является актуальной в связи с обсуждаемыми экспериментами на Международной Космической Станции по исследованию этого эффекта в условиях невесомости (ускорение 10~⁶(/).

Рассмотренная в работе задача о газе взаимодействующих частиц во вращающейся ловушке актуальна в связи с возможностью экспериментальной реализации такой системы.

Целью данной работы является:

4. Выяснение влияния гравитационного поля на сдвиг критической температуры бозе-конденсации атомов в ловушках с конечным потенциальным барьером и оценка величины этого сдвига в зависимости от высоты барьера.

5. Построение модели газа взаимодействующих частиц во вращающейся ловушке, описывающей фононные и ротонные возбуждения в такой системе, а также взаимодействие между ними.

Диссертация имеет следующую структуру:

-первая глава посвящена введению и обзору литературы

Влияние гравитационного поля на критическую температуру БЭК

Рассмотрим случай идеального газа в ловушке. Одночастичные собственные функции бозонов ип и их энергии еп 0 в 2D системах для г = {x,z}, un{r) = uUx{x)uns(z), п - {пх,пг} являются отправными точками квантового анализа любой конечной ловушки U(г), основное состояние которой Q ф 0. Для введения статистики Гиббса используем аппарат интегралов по траекториям. Система из N бозонов (4), заключенных в объеме V, может быть описана с помощью гамильтониана Н: Здесь ф ,ф - траектории с периодическими граничными условиями [0,/?]. Разделим эти траектории для Г Тс на "медленные" &$,&0 и "быстрые" 6 ,6П, п О, так что функция A o(0 представляет собой долю "бозе- конден-сатных" частиц теории Боголюбова в терминах функционального интеграла. "Нарушение градиентной инвариантности" известно как свойство бозе-газа с выделенной подсистемой конденсатных частиц, однако, квазиклассический интеграл движения N — N$ + N\ для системы (4) может быть записан в виде уравнения где N\ - число надконденсатных бозонов, {,} - скобка Пуассона для классических амплитуд bo, 6Q, [, ] - квантовый коммутатор операторов , &„ и п, л 0. Действие S с кинетическим слагаемым К для случая iV невзаимодействующих бозонов в произвольном объеме V записывается в виде Эффективное действие Sef(p,fj) для плотности конденсата р — NQ/V и химического потенциала р определяется через выражение для статистической суммы с условием связи Уравнение (5) служит для определения химического потенциала /і. Используя представление

Фурье для 6 л1+р при // = iy//3, записываем статистическую сумму в виде интеграла по переменной у и функционального интеграла по "медленным" bo, 6Q и "быстрым" Ьп, Ъ п, траекториям с периодическими граничными условиями на отрезке [0,(3]. Вычисление статистической суммы Q по "быстрым" переменным приводит к эффективному действию Sef для бозе-конденсата: Уравнения (б), (7) определяют БЭК решения модели (4), (5) ниже критической температуры для случая трансляционно-неин-вариантных систем. Итак, критическая температура Тс для ловушки конечного размера определяется из уравнения (JTC) = N, р — 0, в то время как для температур Т 0 выполняются условия р i?, R\ 0, р SQ. Формулы (5)-(7) верны для любой ловушки U(г). Мы применим их для случая параболической ловушки. Наблюдение сдвига критической температуры Тс БЭК является наилучшим способом обнаружения мезоскопических эффектов в ловушке. Из рис.1 очевидно, что конечный размер параболической ловушки h проявляется в следующих мезоскопических явлениях: (і) в конечном числе уровней nmax — U()(hu исходной симметричной параболической ловушки; (іі) в понижении величины потенциального барьера слева UQ — (U- — Ug) Щ ПОД действием гравитационного поля. Перенормировка одночастичных матричных элементов еп должна быть учтена в обоих случаях. Это означает, что мы должны: (і) обрезать верхний предел п птах для барьера Щ и вычислить энергии еп; (іі) обрезать верхний предел в (4) для барьера U- и вычислить энергии 6 -

Таким образом, дальнейшие вычисления будут выполнены с использованием формулы для полного числа N атомов идеального бозе-газа в ловушке. Уровень с номером птах определяет верхнюю границу состояний атомов в ловушке. Для упрощения задачи заменим параболическую ловушку прямоугольной (рис. 2). Это значит, что мы описываем деформацию параболического потенциала в гравитационном поле как искажение симметричной прямоугольной ловушки с потенциалом UQ ДО асимметричной прямоугольной ловушки с барьерами /+ — U- — mgh. Задача состоит в том, чтобы оценить сдвиг критической температуры при переходе от симметричной прямоугольной ловушки к асимметричной как меру воздействия гравитационного поля на эффект БЭК. Заметим, что при этом пренебрегается вкладом туннельных эффектов. Величины R в ID и 2D параболических ловушках равны 105 см-1 и 1010 см-2 в соответствии с формулой (2). Мы оставляем эти значения R такими же для прямоугольных ловушек. Таким образом, число атомов в ID и 2D прямоугольных ловушках равно iVi1D 105 см-1 х 0.2 см 2 104 11 T2D Ю10 см-2 х (0.2 см)2 4 108, соответственно. Уравнения для спектра еп симметричных ID и 2D ловушек записываются при k = {kx,kz} в виде

Идеальный бозе-газ

Уравнения (б), (7) определяют БЭК решения модели (4), (5) ниже критической температуры для случая трансляционно-неин-вариантных систем. Итак, критическая температура Тс для ловушки конечного размера определяется из уравнения (JTC) = N, р — 0, в то время как для температур Т 0 выполняются условия р i?, R\ 0, р SQ. Формулы (5)-(7) верны для любой ловушки U(г). Мы применим их для случая параболической ловушки. Наблюдение сдвига критической температуры Тс БЭК является наилучшим способом обнаружения мезоскопических эффектов в ловушке. Из рис.1 очевидно, что конечный размер параболической ловушки h проявляется в следующих мезоскопических явлениях: (і) в конечном числе уровней nmax — U()(hu исходной симметричной параболической ловушки; (іі) в понижении величины потенциального барьера слева UQ — (U- — Ug) Щ ПОД действием гравитационного поля. Перенормировка одночастичных матричных элементов еп должна быть учтена в обоих случаях. Это означает, что мы должны: (і) обрезать верхний предел п птах для барьера Щ и вычислить энергии еп; (іі) обрезать верхний предел в (4) для барьера U- и вычислить энергии 6 - Таким образом, дальнейшие вычисления будут выполнены с использованием формулы для полного числа N атомов идеального бозе-газа в ловушке. Уровень с номером птах определяет верхнюю границу состояний атомов в ловушке. Для упрощения задачи заменим параболическую ловушку прямоугольной (рис. 2). Это значит, что мы описываем деформацию параболического потенциала в гравитационном поле как искажение симметричной прямоугольной ловушки с потенциалом UQ ДО асимметричной прямоугольной ловушки с барьерами /+ — U- — mgh. Задача состоит в том, чтобы оценить сдвиг критической температуры при переходе от симметричной прямоугольной ловушки к асимметричной как меру воздействия гравитационного поля на эффект БЭК. Заметим, что при этом пренебрегается вкладом туннельных эффектов.

Величины R в ID и 2D параболических ловушках равны 105 см-1 и 1010 см-2 в соответствии с формулой (2). Мы оставляем эти значения R такими же для прямоугольных ловушек. Таким образом, число атомов в ID и 2D прямоугольных ловушках равно iVi1D 105 см-1 х 0.2 см 2 104 11 T2D Ю10 см-2 х (0.2 см)2 4 108, соответственно. Уравнения для спектра еп симметричных ID и 2D ловушек записываются при k = {kx,kz} в виде Расстояние между уровнями энергии є\ исходной прямоугольной ловушки для заданных параметров (1) равно 10 19eV в нижней части спектра и 10 13 eV у верхней границы UQ. Ловушка содержит 105 уровней ( 104 в экспериментах ), так что среднее расстояние между уровнями 7 10 14eV равно частоте hu б Ю-14 eV параболической ловушки. Для того чтобы получить более систематическую картину явления, начнем с ID случая при плотности атомов R 105 см-1. Критическая температура Т \ц) = 2.41 10 10 К исходной прямоугольной ловушки UQ определяется из уравнения (8) с использованием вычисленных значений спектра е\ Приемлемая точность вычислений может быть достигнута для значений kmax 1000 в последней сумме по переменной kz. Деформированная прямоугольная ловушка U- 10"8/7о определяется значениями параметров h и U+ — U- — mgh в формуле (1). Она содержит только 10 уровней, на которых находится атомов.

Эти атомы претерпевают новый БЭК переход в системе с перенормированными уровнями энергии при критической температуре в деформированной ловушке Т \цу = 2.27 10 10, которая находится из уравнения Таким образом, сдвиг критической температуры равен Д(2"с)т — fllD- сіш — —0.14-10"10. Оставшаяся часть атомов 0.2 104 покидает ловушку (непрерывный спектр). Что касается 2D случая, то сумма по переменным kx,kz вычисляется с учетом условия ограничения (это условие несущественно для исходной ловушки, но важно в случае деформированной ловушки) Ek є(п\тах), к — {кх,к2}. Температура T2D = 5.05 10 7 К исходной прямоугольной ловушки UQ определяется из уравнения (8): В последней формуле суммирование проводится по всем значениям переменных статистической суммы, включая значения, соответствующие возможному вырождению уровней. Приемлемая точность вычислений в последней сумме по переменным кх, kz достигается при значениях ктах 400. Деформированная прямоугольная ловушка U- 10 8?7о содержит 10 уровней, на которых находится атомов. Как и в ID случае, мы вычисляем температуру перехода в деформированной ловушке из уравнения В результате находим, что Тс 2rj = 5.03 10 К, то есть сдвиг критической температуры составляет Теперь найдем сдвиг Тс для системы с одинаковым числом частиц, равным, например, 4 108 (в 2D случае). Выше было найдено, что значение критической температуры в симметричной ловушке равно Тс2) = 5.05-10 7 К. Критическая температура асимметричной ловушки (JT 2D) = 2.02 10 6 К определяется из уравнения Заметим, что значение (T \ZD) В (10) не совпадает с исходным значением T \ZD в (9), потому что уравнения (9) и (10) описывают различные процессы. Этот важный факт будет обсужден в конце статьи.

Приведенные выше вычисления были проведены для прямоугольной ловушки. Исходная параболическая ловушка имеет ту же величину потенциальных барьеров U± с таким же сдвигом U+ — U-. — mgh, но отличается спектром. Можно предположить, что сдвиг критической температуры БЭК в параболической ловушке, обусловленный наличием гравитационного поля, имеет тот же порядок величины, так что имеется качественное согласие между величинами критических температур Тс -» Т5=о, Tf- —» T\q Q в прямоугольной и параболической ловушках. Однако вклад туннельных эффектов в прямоугольной ловушке не воспроизводится. Как видно из формулы (3), условие макроскопической стабильности параболической ловушки в гравитационном поле выражается неравенством и2 2g/h. Ясно, что это условие теряет смысл в отсутствие гравитации, а также для ловушки, заданной на всей оси — оо z оо. Эффект конечного размера для случая деформированной прямоугольной ловушки птах 10, сопровождающийся наиболее заметным гравитационным сдвигом Тс, может наблюдаться в параболической ловушке при выполнении условия Это условие означает, что наибольший сдвиг Тс может наблюдаться непосредственно перед развалом ловушки. Следует найти соответствие между формулами (9), (10) и возможным передвижением ловушки между Землей и Космосом. Вначале измеряется критическая температура (T D) — 2.02 10 6 К для Лг-2в атомов в деформированной ловушке на Земле. Затем ло

Эффективное действие для неидеального газа в ловушке

Рассмотрим гамильтониан модели Боголюбова для трансляци-онно-неинвариантной системы. Действие для взаимодействующих бозе-частиц [ф(г),ф+ (? )] — 5(г — г ) в ловушке может быть записано в виде бозонов на уровне с энергией еп для ловушки с потенциалом U(r) и гравитационным полем, направленным по оси z (д константа гравитационного взаимодействия) мы можем получить гамильтониан модели Боголюбова для такой системы. Используя собственные функции ип мы можем записать гамильтониан системы в виде Здесь р плотность бозе-конденсата. Одночастичная энергия wnn содержит как кинетическую энергию V2, так и энергию частиц во внешнем поле U(r). Нарушение калибровочной инвариантности проявляется в наличие в #g билинейных слагаемых с аргументами а. Нарушение трансляционной симметрии проявляется в наличии слагаемых, линейных по 6-операторам в гамильтонианах #о и Ф)- Здесь Щ - число частиц в конденсате, N -полное число частиц. В случае сильно разреженного газа, с которым мы имеем дело в ловушках, верно приближение S - взаимодействия между бозонами: Оператор До представляет собой гамильтониан идеального газа, hB оператор двухчастичного взаимодействия частиц в 5 - приближении для модели Боголюбова.

Слагаемые 70п и «. On отвечают за нарушение трансляционной симметрии. Далее, мы выведем выражение для эффективного действия Sef(p,fi) ( -химический потенциал) для плотности конденсата р в присутствии внешнего поля U(г), из которого найдем вариационные уравнения Введение квазиклассического интеграла движения для системы с гамильтонианом Щ + hB приводит к каноническому распределению со связью, возникающей из этого интеграла движения. Таким образом, статистическая сумма для гамильтониана Я в приближении Боголюбова имеет вид Используя преобразование Фурье для ДА;П С параметром р = iy/{3, мы можем переписать выражение для Q в виде интеграла по t, 6o,&o и траекториям Ьп,Ъ п, надконденсатных бозонов с периодическими граничными условиями на интервале [0,/3] Заметим, что новая переменная //. появилась в выражении для Q вследствие учета интеграла движения (22). Интеграл по траекториям fnifn т Q может быть вычислен с помощью формул, полученных в предыдущем параграфе Спектр надконденсатных возбуждений определяют выражение для эффективного действия. Критическая температура Тс связана с плотностью бозе-конденсата р(Т). Плотность бозе-конденсата и химический потенциал /І определяются из решения системы вариационных уравнений для эффективного действия бозе-конденсата, полученного после вычисления гауссова интеграла по траекториям надконденсатных бозонов в формуле для статистической суммы. Уравнение (24) описывает полуклассическую динамику атомов благодаря условию hwj3 С 1, справедливому при температурах бозе-конденсации 10 6ЛГ паров щелочных металлов. Эффективное действие имеет вид Они вычисляются в базисе мп (n — nXlny,nz) функций гармонического осциллятора по осям х,у с высотой потенциального барьера Uo на концах отрезка (—/г/2, /г/2), и по оси Z с потенциалом, деформированным полем тяжести. Уравнения (24) для химического потенциала р и плотности бозе-конденсата р в ловушке с постоянной плотностью атомов R = N/V могут быть решены приближенно при разбиении суммы по состояниям на две части при п С Щ и п щ. Развитый в работе [153] метод был затем успешно использован в работе В. Ярунина [149].

Также представляется интересным рассмотреть взаимодействие бозе-газа с нейтронами в связи с экспериментальной возможностью наблюдения сдвига фононного спектра бозе-частиц в ловушке за счет взаимодействия с нейтронами [154]. Гамильтониан такой системы может быть записан в виде суммы трех слагаемых Н — Нв + hn + Fi, где Яд - гамильтониан бозе частиц в модели Боголюбова (12), оператор hn представляет собой гамильтониан нейтронов, hn = ]Г) є -с q, С энергией & = к2/2т. V\ - оператор взаимодействия бозонов и нейтронов. Он может быть представлен в виде суммы четырех слагаемых описывающих упругое рассеяние нейтронов на конденсате (I), упругое рассеяние над-конденсатных бозонов (II), неупругое возбуждение конденсата (III) и неупругое рассеяние нейтронов на надконденсатных бозонах (IV): конденсатных возбуждений. Вклад слагаемого (II), отвечающего за упругое рассеяние на надконденсатных бозонах, рассматривается как предел (IV) для малых переданных импульсов р — к — q. Мы не будем учитывать слагаемое (IV), так как нас прежде всего интересуют возбуждения конденсата, а не надконденсатных бозонов. Итак, мы будем рассматривать только вклад слагаемого (III). Тогда гамильтониан, содержащий фермионные операторы, может быть переписан в симметричной форме. Для этого нужно разбить сумму в гамильтониане / на две, сделав в одном из слагаемых замену индексов суммирования q —» к или к — q т.е. Статистическая сумма системы Н может быть записана в виде интеграла по траекториям бозонов и фермионов с периодическими и антипериодическими граничными условиями соответственно. где п - "квaзиклaccичecкий,, интеграл движения для бозонов, nj -сохраняющееся число нейтронов, р - плотность бозе-конденсата, SB И Sfjn - функции действия для гамильтонианов Нв и Нп соответственно. Итак, в гамильтониане Нп мы представили процесс взаимодействия бозонов и фермионов как сумму двух процессов, в одном из » Ей которых нейтроны с начальной энергией -rf- налетают на атомы бозе-конденсата, взаимодействуют с ними, и вылетают с импульсом q, и процесс, идущий в обратную сторону. При этом нейтроны либо передают, либо забирает энергию у бозонов. Эти два процесса можно изобразить графически, стпческая сумма для Нп может быть записана в виде интеграла по траекториям конденсатных и надконденсатных бозонов [154]

Бозе-газ со взаимодействием во вращающейся ловушке

Здесь мы рассмотрим задачу о бозе-газе взаимодействующих частиц во вращающейся ловушке. Гамильтониан такой системы будет переписан в виде суммы трех гамильтонианов: гамильтониана фононов, гамильтониана ротонных возбуждений, порождаемых вращением ловушки, и гамильтониана взаимодействия фононов и ротонов. Гамильтониан ротонных возбуждений эквивалентен присутствию некоторого внешнего поля и, следовательно, нарушает изотропность пространства (т.е. такой гамильтониан не инвариантен относительно поворота системы на произвольный угол вокруг произвольной оси). Однако, будет показано, что в такой системе существует интеграл движения, сохраняющий суммарную проекцию момента фононных и ротонных возбуждений, а также имеет место сохранение квадрата полного момента системы.

Каждый из N атомов в ловушке дает вклад как в фононные возбуждения, возникающие при наличии взаимодействия между частицами, так и в ротонные. Таким образом, мы можем представить гамильтониан системы из N атомов как сумму гамильтониана фононов Hph, ротонов Hrot и гамильтониана фонон-ротонных ВОЗбуждеНИЙ Hpk-rot Здесь Q - частота вращения, п - набор квантовых чисел, соответствующий уровню ловушки, L оператор момента импульса, 7тг константа фонон-ротонного взаимодействия, w(k) - энергия фононных возбуждений, ф(х) - оператор фононного поля, Ф"(ж), Фі(.г-) - ферми-операторы рождения и уничтожения квазичастиц ротонов, Л - некоторое большое число. Гамильтониан Яф записан в терминах вторично квантованных операторов рождения и уничтожения фононов ф, фк. Гамильтониан Hrot может быть переписан во вторично квантованном виде с помощью набора двух ферми операторов (а+,а), (b+,b) используя соотношения Ф+ = YHun t + ипЬ ), где ип -базисные функции осциллятора. Например в случае трехмерной параболической ловушки набор квантовых чисел в сферических координатах имеет вид п —» (п,1,т), а базисные функции могут быть записаны в виде произведения функций полиномов Лагерра Lpk и сферических гармоник У/т где UJ - частота сферической ловушки. В этом базисе операторы момента могут быть записаны в виде Нетрудно заметить, что такое отображение воспроизводит, например, спектр собственных значений оператора Lz. Действительно это так, если мы положим что для фермионов (а, Ь) выполняется принцип Паули, и на числа фермионов Лга = Е а/т и Щ = Е Ь\т т т для заданного / наложены ограничения Nax = дгаж = 2/ + 1 . Рассмотрим оператор взаимодействия iTp/j_r0. Разложив оператор фононного поля по базисным функциям Ф E(V ke + V;k е ) мы можем переписать оператор взаимо к действия во вторично квантованном виде. В этом гамильтониане мы не будем рассматривать члены вида ip+L+ и фЬ, которые соответствуют одновременному рождению или уничтожению фононов и ротонов. Тогда существует интеграл движения М, сохраняющий суммарную проекцию момента фононных и ротонных возбуждений и интеграл квадрата полного момента L2 системы описываемой гамильтонианом Таким образом, исходный гамильтониан Я может быть переписан в терминах бозон-фермионных переменных

Термодинамические параметры //, и v соответствуют интегралам движения L2 и М в выражении для статистической суммы системы, описываемой га-мильтонианом Я. Эта статистическая сумма для случая большого канонического ансамбля может быть переписана в виде интеграла по траекториям для бозонных ф,ф (и фермионных а,а , ft, 6 ) траекторий, удовлетворяющих периодическим (и антипериодическим) граничным условиям на интервале [0,/5] для каждого п. L является функцией лагранжа для системы (32). Интеграл по траекториям фермионов (о, Ь) в выражении для Q может быть вычислен точно в виде детерминанта Det( 525), если положить что константа фонон-ротонного взаимодействия не зависит от п, т.е. Гп& Г&. Таким образом, интеграл по траекториям бозонов ф , ф . с эффективным действием Sef для каждого п имеет