Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Суперпространство 8
1.1. Супералгебра (21) 8
1.2. Модели Ландау 9
1.3. Деформированное суперпространство = 4, = 1 10
1.4. Гармоническое суперпространство (21) 13
Глава 2. Мультиплеты и модели суперсимметричной квантовой механики 21
2.1. Мультиплет (1,4, 3) 21
2.2. Мультиплет (2,4, 2) 27
2.3. Обобщённый киральный мультиплет 37
2.4. Мультиплет (4,4, 0) 44
2.5. Зеркальный мультиплет (4,4,0) 51
Глава 3. Суперконформные модели 60
3.1. Вложение супералгебры
3.2. Суперконформные генераторы 64
3.3. Альтернативная реализация суперконформных генераторов 67
3.4. Мультиплет (1,4, 3) 70
3.5. Мультиплет (2,4, 2) 76
3.6. Мультиплет (4,4, 0) 77
Заключение 79
Приложение А. Модель Ландау на фермионном фактор-пространстве 82
А.1. Каноническое квантование 83
А.2. Волновые функции и энергетический спектр 84
Список публикаций по теме диссертации 87
Список литературы 88
- Деформированное суперпространство = 4, = 1
- Гармоническое суперпространство (21)
- Обобщённый киральный мультиплет
- Альтернативная реализация суперконформных генераторов
Введение к работе
Актуальность работы. Суперсимметрия интенсивно исследуется в современной теоретической физике в связи с её значительной ролью в физике элементарных частиц как гипотетической симметрии между бозонными и фермионными полями. В настоящее время именно с суперсимметрией связаны надежды на построение единой теории всех взаимодействий. Кандидатом на такую теорию является теория суперструн ].
Суперcимметричная квантовая механика - простейшая d = 1 суперсимметричная теория , ], соответствующая d = 1 супералгебре Пуанкаре,
{Q , Qn} = 25 п Н , [Н, Q ] = 0 , к,п = 1,.. .J\f, (1)
которая состоит из N действительных суперзарядов Qn и гамильтониана Н. Суперсимметрия в одном измерении играет важную роль в исследовании свойств многомерных суперсимметричных теорий, которые порождают различные виды суперсимметричной механики через размерную редукцию. Эффективным инструментом построения суперсимметричных инвариантных действий является суперполевой формализм. Суперполе - это обобщение понятия поля на суперпространство, расширение пространства-времени той или иной размерности антикоммутирующими грассмано-выми координатами.
В последнее время возрос интерес к суперсимметричным теориям поля на искривлённых пространствах с жёсткой (rigid) суперсимметрией -, основанной на искривлённых аналогах супергруппы Пуанкаре в различных измерениях. Существует надежда, что изучение нового класса теорий приведёт к дальнейшему прогрессу в понимании AdS/CFT соответствия. Поэтому естественный интерес вызывают суперсимметричные модели, которые основываются на некоторых искривлённых версиях d = 1 суперсимметрии Пуанкаре. Их можно рассматривать в качестве d = 1 аналогов многомерных суперсимметричных моделей, а в некоторых случаях они следуют из многомерных теорий через размерную редукцию ]. Независимо от вопроса размерной редукции, они могут представлять очевидный интерес сами по себе как нетривиальные самосогласованные деформации стандартных моделей суперсимметричной квантовой механики с большим количеством возможных применений.
Один из возможных способов определения таких моделей следует из вида простейшей нетривиальной N = 2 , d = 1 супералгебры Пуанкаре. Вводя комплексные генераторы
Q = ~/=(Q + iQ ) > Q = ~/=(Q ~ iQ ) > (2)
v 2 л/2
супералгебру () для Af = 2 можно переписать в виде
{Q, Q} = 2Н, Q = Q = 0, [Н, Q] = [Н, Q] = 0 . (3)
С одной стороны, (анти)коммутаторы () определяют Af = 2, d = 1 супералгебру Пуанкаре. С другой стороны, эти же (анти)коммутационные отношения определяют супералгебру su(1\1), с Н в качестве генератора центрального заряда. Эта двойственная интерпретация Af = 2 , d = 1 супералгебры Пуанкаре предполагает две возможности её расширения на d = 1 суперсимметрии более высокого ранга. Первый способ - это прямое расширение
(Af = 2 , d = 1) => (Af > 2 , d = 1 Poincare), (4)
где Af, d = 1 супералгебра Пуанкаре определяется соотношениями (). Другая, менее очевидная возможность соответствует следующей цепочке вложений:
(Af = 2 , d = 1) = м(1|1) С stt(2|1) С stt(2|2) С ... . (5)
Характерной особенностью этого вида расширения является то, что соответствующая супералгебра обязательно содержит, помимо аналога гамильтониана Н, также дополнительные бозонные генераторы. Эти генераторы появляются в замыкании суперзарядов и образуют внутренние симметрии, коммутирующие с гамильтонианом и имеющие определённые ненулевые коммутаторы с суперзарядами. Цепочка () не уникальна в том смысле, что можно было бы предложить некоторые другие расширения м(1|1). Супералгебры sw(2|1) и su(2\2) в цепочке () являются простейшими нетривиальными деформациями Af = 4 и Af = 8 одномерных супералгебр Пуанкаре.
Ранее, модели суперсимметричной механики с альтернативной суперсимметрией SU(2\1), известной также как слабая суперсимметрия (“Weak supersymmetry”), были рассмотрены в -]. Однако систематические методы построения новых моделей такой деформированной суперсимметричной квантовой механики не были предъявлены. Одной из основных целей настоящей работы является разработка таких методов, которые были бы применимы не только к SU(2\1), но и к аналогичным суперсимметриям более высокого ранга с Af > 4. Универсальным методом построения таких моделей является суперполевой подход, в котором суперполя определены на фактор-пространствах соответствующей супергруппы, т. е. на искривлённом суперпространстве.
Суперсимметрия SU(2\1) в квантовой механике также возникает в различных вариантах суперсимметричных моделей Ландау [-], [A1]. В данных моделях суперсимметрия связана с преобразованиями полей пространства отображения. Тем не менее, исследование таких моделей позволяют выявить общие свойства, присущие SU(2\1) суперсимметрии. С другой стороны, модели Ландау могут обладать нестандартной скрытой мировой суперсимметрией, например, SU(2\2), как показано в [].
В работе ] было показано, что конформная механика ] может быть разделена на три класса, соответствующие параболическим, тригонометрическим и гиперболическим реализациям одномерной конформной группы 5*0(2,1) ~ 5Х(2,К). Ранее в основном изучались суперсимметричные расширения конформной механики, отвечающие параболическим преобразованиям -]. В недавней работе классификация N = 4 моделей суперконформной механики была дополнена тригонометрическим/гиперболическим типом. Как оказалось, тригонометрические модели могут рассматриваться как модели со слабой суперсимметрией. В отличие от параболических моделей, тригонометрические/гиперболические суперконформные лагранжианы деформированы дополнительным осцилляторным потенциалом. Один из примеров тригонометрического суперконформного Л/ = 4 действия с потенциалом осциллятора рассматривался в [].
Цель диссертационной работы. Основной целью диссертации является разработка суперполевого SU(2\1) формализма, который позволяет построить широкий класс моделей суперсимметричной квантовой механики как деформации стандартных N = 4, d = 1 моделей. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
Построение деформированного суперпростанства SU (2\1), а также его гармонического аналога;
Определение и решение ковариантизованных связей для SU (2\1) суперполей;
Построение суперсимметричных лагранжианов;
Изучение квантово-механических систем на простых примерах;
Анализ структуры суперсимметричных волновых функций с точки зрения теории представлений супергруппы SU (2\1);
Установление связи с ранее известными моделями с деформированной суперсимметрией SU (2\1) на мировой линии;
Научная новизна и практическая ценность. Суперполевой подход к суперсимметрии SU (2\1) позволяет построить новый класс деформированных моделей суперсимметричной квантовой механики и найти суперполевую формулировку лагранжианов вне массовой оболочки (of-shell) для ранее известных моделей , , , ]. Заметим, что суперполевые SU (2\1) модели были также построены на фактор-пространствах супергруппы SU (2\1), включающих бозонные координатные подпространства размерности d = 2, 3 , ].
Существует проблема воспроизведения SU(2\1) моделей суперсимметричной механики на основе размерной редукции многомерных теорий с искривлённой суперсимметрией. В недавней работе [] для вычисления энергии вакуума была проведена размерная редукция d = 4 , N = 1 суперсимметричных киральных моделей на искривлённом пространстве S3 х Ж, где соответствующая супералгебра деформирована до stt(2|1). В результате, размерная редукция приводит к моделям SU(2\1) суперсимметричной механики. Это даёт ещё одно возможное направление исследований, имеющее целью установление связи этой конструкции с SU(2\1) суперсимметричной механикой, обсуждаемой в диссертации.
Основные результаты. В диссертационной работе предложен и исследован новый тип моделей N = 4, d = 1 суперсимметричной механики. Эти модели обладают мировой SU (2\1) суперсимметрией, которая представляет собой деформацию стандартной N = 4, d = 1 суперсимметрии параметром т размерности массы. С использованием суперполей на фактор-пространствах супергруппы SU(2\1) построены классические и квантовые модели для супермультиплетов (1,4, 3), (2,4, 2) и (4,4, 0).
Показано, что ранее известные модели со слабой SU(2\1) суперсимметрией естественно воспроизводятся из суперполевого SU(2\1) описания. В частности, лагранжианы на массовой оболочке (on-shell), рассмотренные в [], основаны на SU(2\1) муль-типлете (1,4,3). Другой ранее известный тип SU(2\1) суперсимметричных моделей [, ] связан с обобщением стандартного кирального условия для SU(2\1) мульти-плета (2,4, 2).
Для описания мультиплетов (4,4, 0) (обычного и его зеркального аналога) было построено гармоническое SU(2\1) суперпространство. Как оказалось, модели для этих двух мультиплетов деформированы существенно по-разному, т. е. в деформированном случае мы имеем дело с 2 разными типами неэквивалентных моделей. Таким образом, зеркальность в SU(2\1) случае «искривлена».
Построено гильбертово пространство суперволновых функций для простых примеров рассматриваемых мультиплетов, и проанализирована структура соответствующих квантовых состояний. Некоторые особенности квантового спектра находят естественное объяснение в рамках теории SU(2\1) представлений. Показано, что собственные значения операторов Казимира играют определяющую роль в структуре суперволновых функций. Отличительным фактом является наличие нетривиальных атипических SU(2\1) представлений с неравным количеством бозонных и фермионных состояний, на которых операторы Казимира принимают нулевые значения.
Представлена реализация суперпространства тригонометрического типа для суперконформной суперсимметрии D(2,1; а), c т = —ац. Эта реализация дана на суперпространстве SU(2\1) при а = 0 и на U(1) деформированном N = 4, d = 1 суперпространстве при а = 0. Оказалось, что SU (2\1) суперполя и их продолжения на
случай а = 0 идеально подходят для полного описания тригонометрических конформных N = 4 действий. Гиперболические действия могут быть получены из тригонометрических простой заменой параметров. В пределе ц = 0 соответствующие суперконформные модели становятся моделями стандартной параболической суперконформной механики, построенными на основе стандартных N = 4, d = 1 суперполей. Общим свойством лагранжианов суперконформной механики является их зависимость от квадрата параметра деформации ц . Это позволяет представить суперконформные преобразования полей как замыкание двух видов деформированных SU (2\1) преобразований с параметрами ц и —ц .
Апробация работы. Результаты, выносимые на защиту, докладывались соискателем на следующих научных конференциях:
Armenia-Dubna Workshop on Problems of (Supersymmetric) Integrable Systems, Дубна, 24 - 25 декабря, 2012, “Super Landau Models on Odd Cosets”;
Supersymmetries and Quantum Symmetries - SQS’2013, Дубна, 29 июля - 3 августа, 2013, “Deformed N=4, d=1 Supersymmetry”;
Armenia-Dubna Workshop on Problems of (Supersymmetric) Integrable Systems, Дубна, 24 - 26 декабря, 2013, “Superfeld Approach to Supersymmetric Kahler oscillator”;
Supersymmetry in Integrable Systems - SIS’13, Ганновер, 28 - 30 Декабря, 2013, “Deformation of the standard N = 4 supersymmetric mechanics”;
Integrable Systems and Quantum symmetries - ISQS-22, Прага, 23 - 29 июня, 2014, “Supersymmetric Mechanics in Deformed Superspace”;
Quantum Field Theory and Gravity - QFTG’14, Томск, 28 июля - 3 августа, 2014, “N = 4 Superconformal Mechanics in Deformed Superspace”;
Supersymmetry in Integrable Systems - SIS’14, Дубна, 11 - 13 сентября, 2014, “Deformed SU(2|1) Superfelds and Superconformal Mechanics”;
Supersymmetry in Integrable Systems - SIS’15, Ереван, 9-13 сентября, 2015, “SU(2|1) mechanics and harmonic superspace”.
Публикации. По материалам диссертационной работы опубликованы 8 статей, 4 из них в реферируемых международных журналах [A1, , , ], 3 в сборниках трудов конференций , , ] и одна в виде препринта ]. Последняя работа ] направлена в журнал “Classical and Quantum Gravity”.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации - 92 страницы, в т. ч. 1 рисунок. Список литературы содержит 59 наименований.
Деформированное суперпространство = 4, = 1
Параметр т является параметром деформации с размерностью массы. Безразмерные генераторы Iі- соответствуют симметрии SU(2)int, в то время как генератор Н с размерностью массы является внутренним генератором симметрии U(l)mt . В пределе т = 0 супералгебра stt(2l) переходит в N = 4, d = 1 супералгебру Пуанкаре. При этом Н становится каноническим гамильтонианом, а генераторы Iі- становятся генераторами внешних автоморфизмов SU{2). N = 4, d = 1 супергруппа, соответствующая «плоскому» случаю т = 0, обладает группой автоморфизмов 5 0(4) SU{2) х SU (2).
Генератор F становится внутренним U(1)-mt генератором супералгебры su(2\1). Таким образом, внутренние генераторы П и F образуют симметрию f/(2)int, в то же время новый оператор Н коммутирует со всеми остальными генераторами и может рассматриваться как центральный заряд. В случае т= 0из второй группы автоморфизмов SU (2) в алгебре (1.4) выживает только генератор F. не меняют вид супералгебры (1.4) (также супералгебру (1.1)), то есть они представляют собой автоморфизм этой супералгебры. Это означает, что случаи положительного и отрицательного т фактически эквивалентны, и поэтому в дальнейшем мы можем ограничить наше рассмотрение выбором т 0 .
Супергруппу SU(2\1) можно реализовать левыми сдвигами на нескольких фактор-пространствах супергруппы SU(2\1), которые использовались в различных вариантах суперсимметричных моделей Ландау [32-34], [A1], с суперсимметрией SU(2\1) в пространстве отображения. Супермногообразие SU(2\1)/U(1\1), известное как суперсфера [34], является суперрасширением (22) сферы S2. Другое суперрасширение сферы S2, которое соответствует (24) размерному суперфлагу [32], связано с многообразием SU(2\1)/[U(1) х 7(1)]. Модели Ландау, связанные с чисто фермионным фактор-пространством SU(2\1)/U(2) размерности (04), рассматривались в [33] и нашей работе [A1]. Также можно рассматривать модели Ландау на фактор-пространстве SU(2\1)/U(1) с бозонным подмногообразием S3 (суперсфера (34) [36]) или на самой S77(21), трактуемой как суперрасширение многообразия S3 х S1 (или S3 х Ж). Во всех этих реализациях координаты супермногообразия считаются полями, в соответствии с интерпретацией SU(2\1) как нелинейно реализованной внутренней суперсимметрии. Соответствующие гамильтонианы являются чисто внешними операторами: они коммутируют со (7ь) = lk, Є21 = —Є21 = — 21 = 12 = 1 всеми SU(2\1) генераторами, и никогда не появляются в замыкании генераторов супергруппы.
Модель Ландау на фермионном фактор-пространстве SU(2\1)/17(2) рассмотрена в Приложении А.
Наша цель состоит в построении суперпространства SU(2\1) как фактор-пространства группы SU(2\1) с соответствующей центрально-расширенной алгеброй (1.4). Оно является прямым аналогом стандартного N = 4, d = 1 суперпространства [6, 10], когда параметры фактор-пространства трактуются как координаты, а не поля. Поля возникают как компоненты суперполя, определенного на этом фактор-пространстве. Расщепление U{l)-mt генератора в алгебре (1.4) на Н и F позволяет отождествить гамильтониан с оператором центрального заряда. Мы помещаем генераторы U(2)int в подгруппу стабильности, оставляя генераторы Н, Qi и Qj в фактор-пространстве отождествляются с параметрами, связанными с генераторами фактор-пространства. Элемент фактор-пространства в экспоненциальной параметризации записывается как д = ехр 1 в вк 0iQ% + 03Qj) exp {UH}, (ві) = 9г. (1.8) Другая реализация этого фактор-пространства, без координаты времени как параметра, использовалась в моделях Ландау [33], [A1].
Формы Картана. Для реализации SU(2\1) на координатах суперпространства (1.7) следует вычислить лево-ковариантные формы Картана. Они определяются с помощью стандартного соотношения
Таким образом, компонентные формы Картана, не принадлежащие подалгебре стабильности (Рк, F), однородно преобразуются по SU(2\1).
Остальные SU(2\1) преобразования координат суперпространства содержатся в замыкании б и б преобразований (1.16). Они могут быть найдены вычислением скобки Ли этих преобразований.
Вычислив реализацию б-преобразований на супер пространстве, мы можем определить SU(2\1) генераторы в виде соответствующих дифференциальных операторов:
Можно проверить, что операторы (1.22) и (1.23) действительно образуют супералгебру (1.4). Чтобы построить реализацию SU(2\1) на суперполях, которые описывают нетривиальные U(2)int мультиплеты, следует расширить (1.22) и (1.23) матричными частями %&h\F и i5hF. Матричные генераторы Ц и F действуют на суперполе Ф с внешним индексом А некоторого 7(2)int представления, генерируя следующие пассивные нечётные преобразования суперполей:
Важной особенностью суперполевого SU(2\1) формализма является наличие дополнительных матричных U(2)int генераторов с нетривиальным действием (1.28) на спинорные ковариантные производные. При вычислении антикоммутаторов ковариантных спиноров предполагается, что f/(2)int матричные части спинорной производной, стоящие слева, должным образом действуют также на дублетный индекс производной справа.
Гармоническое суперпространство (21)
Истинное основное состояние соответствует нулевой энергии, т. е. п = 0 или к = 0 , п ф 0. Во втором варианте возникает вырождение, параметризованное числом п. Для общего к существует бесконечное число основных состояний ( = 0), зависящих от п и обладающих энергией (0;п = 2кт п. Действие суперзарядов на все эти состояния даёт ноль. Эти свойства квантовой S77(2l) системы находятся в резком контрасте с тем, что происходит в стандартной плоской N = 4 механике мультиплета (2,4,2) (см., например, [44, 45]).
Так как для каждого п мы имеем дело с конечномерными представлениями SU(2\1), реализованными на суперволновых функциях, то операторы Казимира даются общим выражением (Б.3). Используя формулы (2.105) и (2.90), мы находим, что Л = 1/2 для любого \Tf(yn)
Состояния с = 0 соответствуют числам Л = /3 = 0. Эти значения совпадают со значениями для гармонического осциллятора (формула (2.33)). Таким образом, в рассматриваемой модели (2,4,2) гильбертово пространство порождается теми же неприводимыми представлениями SU(2\1), что и в модели осциллятора (1,4,3). В отличие от последнего, любой фиксированный уровень содержит бесконечное число представлений параметризованных числом п — . На каждом уровне фиксирован эквидистантный энергетический спектр с шагом 2кт. Суперзаряды не зависят от к и, как следствие, суперволновые функции Ф ;га) не содержат зависимости от к в разложении по г/. Параметр к по-прежнему присутствует в гамильтониане (2.84) и во внутреннем генераторе F. Как уже было упомянуто, в антикоммутаторе {Q, Q} появляется только комбинация Н — mF, которая не содержит зависимости от к.
Нормы всех суперволновых функций (2.104) положительно определены. Скалярное произведение (2.97) определяет нормы как
Главное свойство суперпространства (1.6) состоит в том, что временная координата t связана с параметром центрального заряда Н. Этот генератор коммутирует со всеми другими и естественным образом может быть идентифицирован с гамильтонианом в соответствующих моделях суперсимметричной квантовой механики.
В новом фактор-пространстве гамильтониан Н является полным внутренним U(l)-mt генератором. Хотя Н не коммутирует с суперзарядами, соответствующие нётеровские заряды сохраняются из-за наличия в них явной зависимости от t. Такая же ситуация имеет место, например, в конформной и суперконформной механиках [4].
В элементе (1.6) должна быть сделана замена Н — Н, порождающая элемент фактор-пространства д. Благодаря замене Н = Н — mF , эти два элемента связаны как д = gexp{—imtF}. (2.111) При левых сдвигах с фермионными генераторами координаты = \t,6i,6k\ преобразуются по тем же формулам (1.16), поэтому они также могут рассматриваться в качестве параметров нового фактор-пространства. Отличие от первого типа суперпространства SU(2\1) состоит в том, что Н, кроме сдвигов t, надлежащим образом вращает и грассмановы координаты. Однако, существует реализация суперпространства t,6,i,6,fc, в котором гамильтониан Н принимает правильную форму генератора сдвига по времени.
Применяя тe же формы Картана (1.9) и (1.11), легко найти соответствующие ковари-антные производные:
Объекты в квадратных скобках совпадают с ковариантными производными (1.27) без матричного генератора U(l)int, который теперь лежит вне подгруппы стабильности. Нетривиальные t (l)int преобразования ковариантных производных (1.27) теперь компенсируются преобразованиями зависящих от времени факторов в (2.112), так что новые ковариантные производные инертны относительно U(l)int. В отличие от (1.27), производные (2.112) претерпевают только SU(2)int индуцированные преобразования (образующие подгруппу стабильности), в то время как подгруппа U(l)int реализуется исключительно на координатах суперпространства. Супералгебра производных имитирует stt(2l) супералгебру (1.1):
Обратим внимание на то, что производным Т г и Т І (а также координатам 6І и вг) можно приписать противоположные заряды относительно внешнего [7(l)ext генератора F, который может быть формально сохранён в подгруппе стабильности (2.110). Однако, в отличие от внутреннего генератора F в (1.6), автоморфизм F в (2.110) никогда не появляется в правой части антикоммутаторов. В первом случае, U{l)int инвариантность - необходимое следствие суперсимметрии и, следовательно, должна соблюдаться в любой соответствующей модели суперсимметричной механики. Во втором случае, симметрия относительно внешнего автоморфизма f/(l)ext не требуется суперсимметрией. Таким образом, эта инвариантность - лишь дополнительная возможность ограничений на модели суперсимметричной механики.
В рамках суперпротранства (1.6), эти условия были однозначно заданы ковариантностью по отношению к подгруппе стабильности U(2)int = SU(2)-mt х U(l)-mt. В данном случае, подгруппа стабильности сужается до SU(2)int . Тогда киральное условие (2.114) может быть обобщено Очевидно, что в подходе на основе суперпространства (1.6), условия (2.115) не ковариантны по подгруппе /(l)int, генератор которой умножает Т І и Т І на сопряжённые фазовые факторы. В нашем случае Т І и Т І не подвергаются индуцированным суперсимметрией f/(l)int фазовым преобразованиям, т. е. киральные условия (2.115) SU(2\1) ковариантны для любого ш. Линейные комбинации (2.116) можно интерпретировать как результат вращения дублета XVi := (Dii Di) по однопараметрической подгруппе внешней группы SU (2), действующий на индекс дублета г . Так как эта подгруппа не является автоморфизмом супералгебры (1.4), зависимость от ш не может быть удалена из (2.115), (2.116) переопределением грассмановых переменных ві, вк. Это возможно только в пределе га = 0 , когда SU (2) повороты становятся группой автоморфизмов N = 4 , d = 1 супералгебры.
Обобщённый киральный мультиплет
Операторы Казимира принимают нулевые собственные значения для = 0 и = 1. Следовательно, функции П(;га) и П(1;га) соответствуют атипическим представлениям SU(2\1) с неравным числом бозонных и фермионных состояний. Суперволновые функции Q(;n уровней 2 соответствуют типическим 4-компонентным представлениям S [/(2f). Такие же вырождения по отношению к мы обнаружили в простейших свободных моделях мульти-плетов (1,4,3) и (2,4,2).
Наконец, кратко обсудим интересный случай с7 = 0,т/0.В этом случае гамиль тониан становится чисто бозонным и коммутирует с операторами которые можно рассматривать как генераторы магнитных супертрансляций в пространстве отобра жения (лагранжиан (2.228) при 7 = 0 инвариантен относительно сдвигов и у ). Мы переписываем гамильтониан (2.232) как
Здесь до , 9г, 9i – произвольные голоморфные полиномы переменной у , которые все могут быть получены действием Vj на 0). При этом следует принять во внимание, что действие сопряжённого оператора даёт Vj 0) = 0. Бесконечное вырождение основного состояния Фо следует из вышеупомянутой симметрии лагранжиана (2.228) при 7 = 0 относительно магнитных супертрансляций.
Операторы Казимира (Б.1), (Б.2) принимают нулевые собственные значения только на следующих состояниях из Фо : Но = VT 6 VT 0), \1 = 0). (2.247) 1 2 Эти состояния (одно бозонное и два фермионных) образуют фундаментальное aтипическое представление супергруппы SU(2\1). Суперзаряды (2.233) действуют на эти состояния следующим образом:
Все остальные состояния соответствуют 4-компонентным типическим представлениям супергруппы SU(2\1). Например, состояние 0) является компонентой следующего SU(2\1) супер-мультиплета
Таким образом, функция основного состояния Ф0 представляется в виде бесконечной суммы несинглетных состояний SU(2\1). Иными словами, среди состояний, из которых состоит Ф0 , нет состояний, одновременно уничтожаемых действием суперзарядов Q1 и Qi. Таким образом, SU (2\1) суперсимметрия спонтанно нарушена в случае 7 = 0. Вариант с7/ИІ, т/0 также приводит к спонтанному нарушению SU (2\1) суперсимметрии. Глава 3
В этой главе мы найдём тригонометрическую реализацию суперконформных генераторов на координатах суперпространства S77(2l) и сформулируем подробную процедуру построения суперполевых действий для суперконформных лагранжианов тригонометрического типа [30] на примере мультиплета (1,4,3). Аналогичным образом будут построены суперконформные лагранжианы для мультиплетов (2,4, 2) и (4,4, 0). Наиболее общая N = 4, d = 1 суперконформная алгебра есть D (2,1; а) [4, 50, 51]. Эта супералгебра содержит 8 суперзарядов и 9 бозонных генераторов со следующими ненулевыми (анти)коммутаторами: Бозонная подалгебра есть сумма 3 взаимно коммутирующих алгебр su(2) ф su (2) so(2,1) с генераторами J ., Lyy и Тар, соответственно. Перестановка а как а О — (1 + а) означает перестановку SU{2) генераторов как Jn, о Ь#у 1. Эрмитово сопряжение генераторов выполняется по следующим правилам: N = 4 , d = 1 супералгебра Пуанкаре определяется как подалгебра D (2,1; а):
Бозонный генератор H является одним из генераторов стандартной конформной алгебры so(2,1), которые определены как
Более общо, эквивалентные супералгебры связаны через замены а — — (1 + а), а 1 В вырожденном случае а = — 1 можно сохранить все восемь суперзарядов Qau и только 6 бозонных генераторов Тар , Jij , которые образуют вместе супералгебру psu(l, 12) без центральных зарядов. Вторая группа SU{2) с генераторами Lyy выпадает из антикоммутаторов (3.1). Тем не менее, Li f могут рассматриваться как генераторы некоторой дополнительной группы автоморфизмов SU (2). Таким же образом можно поступить в случае а = 0, где группы SU (2) и SU(2) меняются местами. В случаях а = — 1 иа = 0 супергруппа D (2,1; а) сводится к полупрямому произведению где внешняя группа автоморфизмов SU(2)ext соответствует генераторам L j/ , либо .1 . В этих исключительных случаях можно расширитьpsu(l, 12) надлежащим SU(2)ext триплетом центральных зарядов [6]. Если эти центральные заряды постоянны, то триплет может быть сокращён до одного центрального заряда, что означает расширение psu(l, 12) до su(l, 12) и одновременное сужение SU(2)ext до [/(l)ext .
Альтернативная реализация суперконформных генераторов
В диссертационной работе предложен и исследован новый тип моделей N = 4 , = 1 суперсимметричной механики. Эти модели обладают мировой (2\1) суперсимметрией, которая представляет собой деформацию стандартной N = 4 , = 1 суперсимметрии параметром размерности массы. С использованием суперполей на фактор-пространствах супергруппы (2\1) построены классические и квантовые модели для супермультиплетов (1,4,3), (2,4,2) и (4,4,0). Показано, что ранее известные модели “Weak Supersymmetry” и “Super Kahler Oscillator” естественно воспроизводятся из суперполевого (2\1) описания. Для описания мультиплетов (4,4,0) (обычного и его зеркального аналога) было построено гармоническое (2\1) суперпространство. Как оказалось, модели для этих двух мультиплетов деформированы существенно по-разному, т. е. в деформированном случае мы имеем дело с 2 разными типами неэквивалентных моделей. Таким образом, зеркальность в (2\1) случае «искривлена».
Во второй главе построено гильбертово пространство суперволновых функций для простых примеров рассматриваемых мультиплетов и проанализирована структура соответствующих квантовых состояний. Некоторые особенности квантового спектра находят естественное объяснение в рамках теории (2\1) представлений. Показано, что собственные значения операторов Казимира играют определяющую роль в структуре суперволновых функций. Отличительным фактом является наличие нетривиальных атипических (2\1) представлений с неравным количеством бозонных и фермионных состояний, на которых операторы Казимира принимают нулевые значения.
В третьей главе представлена реализация суперпространства тригонометрического типа для N = 4 , = 1 суперконформной суперсимметрии (2,1; ), с = — . Эта реализация дана на суперпространстве (2\1) при = 0 и на (1) деформированном N = 4, = 1 суперпространстве при = 0. В пределе = 0 соответствующие суперконформные модели становятся моделями стандартной параболической суперконформной механики, построенными на основе стандартных N = 4, = 1 суперполей. Общим свойством лагранжианов суперконформной механики является их зависимость от квадрата параметра деформации . Это позволяет представить суперконформные преобразования полей как замыкание двух видов деформированных (2\1) преобразований с параметрами и —.
Возможным направлением дальнейших исследований является разработка аналогичного = 1 суперполевого формализма для супергрупп с большим рангом N 4 как искривлённых аналогов суперсимметрии Пуанкаре (1). Подходящим кандидатом для деформированной N = 8 , d = 1 суперсимметрии является супергруппа SU(2\2) с 8 суперзарядами. Супергруппа SU(2\2) в качестве подгруппы содержит 2 коммутирующие SU(2) группы, и поэтому эта супергруппа допускает в качестве своих фактор-пространств, помимо аналога гармонического суперпространства, также аналог би-гармонического суперпространства [11].
На самом деле, это супергруппа может иметь три независимых центральных заряда, и два из них могут быть идентифицированы с координатами светового конуса как d = 2 операторы трансляции. Тогда центрально расширенная алгебра su(2\2) может быть использована в качестве d = 2 слабой суперсимметрии. Возникает вопрос - можно ли построить нетривиальные d = 2 с-модели, основанные на SU (2\2) деформации плоской N = (4, 4) d = 2 суперсимметрии? Проблема обобщения d = 1 слабой суперсимметрии до d = 2 была поставлена в [23]. Следует подчеркнуть, что различные версии SU (2\2) суперсимметрии (on-shell) уже появлялись в литературе в качестве мировой суперсимметрии в рамках редукции Полмайера для AdSs х S3 и AdSz, х S5 суперструн [54-56], а также в качестве мировой суперсимметрии N = 4 суперсимметричных моделей Ландау [35]. Соответствующий суперполевой формализм вне массовой оболочки может помочь в получении более полного представления о структуре симметрии этих и подобных им d = 1, 2 теорий.
В том, что касается деформированных моделей N = 4 суперсимметричной механики, рассмотренных в диссертации, мы можем перечислить ещё несколько возможных направлений дальнейшего исследования:
Мультиплет (3,4,1) может быть исследован аналогичным образом в целях дополнения картины исследования основных SU (2\1) мультиплетов и исследования многочастичных квантово-механических моделей с различными типами SU (2\1) мультиплетов.
Ещё одна проблема состоит в построении SU (2\1) аналогов нелинейных мультиплетов (4,4,0) [48] и (2,4,2) [6, 7].
Кроме того, существует проблема воспроизведения различных SU (2\1) моделей суперсимметричной механики на основе размерной редукции многомерных теорий с искривлённой суперсимметрией. В недавней работе [22] для вычисления энергии вакуума была проведена размерная редукция d = 4, N = 1 суперсимметричных киральных моделей на искривлённом пространстве S3 х Ж, где соответствующая супералгебра деформирована до stt(21). В результате, размерная редукция приводит к моделям SU(2\1) суперсимметричной механики. Это даёт ещё одно возможное направление исследований, имеющее целью установление связи этой конструкции с SU(2\1) суперсимметричной механикой, обсуждаемой в диссертации. Благодарности
Выражаю благодарность своему научному руководителю и соавтору Евгению Алексеевичу Иванову за постановку актуальных задач и помощь в их решении, а также соавторам Михаилу Гойхману и Франческо Топпану. Отдельно выражаю благодарности Алексею Петровичу Исаеву, Сергею Олеговичу Кривоносу, Армену Петросовичу Нерсессяну, Андрею Воль-демаровичу Смилге и Сергею Алексеевичу Федоруку за поддержку, полезные комментарии, ценные замечания и интерес к рассмотренным в диссертации задачам.