Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 5
1.1 Задачи и структура диссертационной работы 8
1.2 Эффективная низкоэнергетическая модель на плоской шестиугольной решетке
1.2.1 Невзаимодействующие фермионы 13
1.2.2 Свойства симметрии 19
1.2.3 Контактное приближение электромагнитного взаимодействия 20
1.2.4 Внешнее магнитное поле 26
1.3 Нанотрубки с шестиугольной решеткой 27
1.3.1 Граничные условия 27
1.4 Модель Гросса–Невё 31
1.4.1 Модель Гросса-Невё в двух измерениях 32
1.4.2 Модель Гросса-Невё в трёх измерениях 35
1.5 Калибровочное поле в пространстве с компактификацией 37
2 Модель Гросса–Невё на цилиндре с учетом конечной температуры 41
2.1 Общий вид эффективного потенциала 41
2.2 Нарушение симметрии под влиянием эффекта Ааронова– Бома
2.2.1 Трёхмерная модель Гросса-Невё и её соответствие классическим результатам 46
2.2.2 Вычисление вклада, связанного с температурой 48
2.2.3 Вычисление поправки связанной с компактифи-кацией 50
2.2.4 Перекрёстный вклад компактификации и температуры
2.3 Фазовые диаграммы системы 55
2.4 Оценка характерных значений физических величин, фигурирующих в рассмотрении 57
2.5 Поведение модели при отсутствии магнитного поля 61
2.6 Итоги и выводы 65
3 Фазовая структура модели при ненулевом химическом потенциале 68
3.1 Эффективный потенциал с учетом химического потенциала 68
3.2 Фазовые диаграммы модели 70
3.3 Итоги и выводы 71
4 Намагниченность, индуцированная эффектом Ааронова–Бома 74
4.1 Намагниченность, индуцированная внешним магнитным полем 74
4.2 Вклад компактификации в индуцированный ток 75
4.3 Вклад слагаемого, содержащего температуру, в индуцированный ток 77
4.4 Полный ток индуцированный эффектом Ааронова–Бома 80
4.5 Итоги и выводы 81
5 Эффект Зеемана 83
5.1 Вклад эффекта Зеемана в эффективный потенциал 83
5.2 Намагниченность обусловленная эффектом Зеемана 85
5.3 Итоги и выводы 88
6 Заключение 90
Список литературы
- Эффективная низкоэнергетическая модель на плоской шестиугольной решетке
- Трёхмерная модель Гросса-Невё и её соответствие классическим результатам
- Фазовая структура модели при ненулевом химическом потенциале
- Полный ток индуцированный эффектом Ааронова–Бома
Введение к работе
Актуальность темы
В последнее время наблюдается заметный рост количества работ, посвященных моделям квантовой теории поля с количеством измерений отличным от четырёх. При этом, если изначально речь как правило шла об увеличении количества измерений [,], в целях создания единообразного описания различных типов взаимодействия, то в дальнейшем широкое распространение получили модели и с уменьшенным количеством измерений. Такие модели могут оказываться полезны для рассмотрения ситуаций, в которых наличествует явно выделенное измерение (например, столкновения пучков частиц в ускорителях), а также в качестве упрощенных «игрушечных» моделей, демонстрирующих основные свойства сложных теорий, таких как квантовая хромодинамика, и при этом позволяющих значительно проще провести вычисления там, где они крайне затруднены или вовсе невозможны с использованием существующего математического аппарата.
Фазовые переходы являются одним из важнейших эффектов, лежащих в основе многих явлений природы, описываемых зачастую совершенно разными разделами физики, и это делает понятие о фазовых переходах одним из ключевых для физики в целом. Для физики высоких энергий ключевыми также являются понятия нарушения и восстановления симметрии. В ряде моделей квантовой теории поля (КТП) можно наблюдать зависимость наличия симметрии от внешних параметров, задаваемых для модели, что позволяет говорить о фазовом переходе между симметричной и несимметричной фазами. Таким образом, в физике высоких энергий все эти понятия оказываются прочно связаны.
Первым крупным успехом в построении моделей КТП, основанной на симметрии, стала квантовая электродинамика (КЭД), позволившая на основе принципа калибровочной симметрии построить непротиворе-
чивую теорию, подтверждаемую (в рамках области применимости) экспериментально. В дальнейшем, однако, при попытке построения теории слабых взаимодействий, возникли трудности с описанием близкодействующих сил в рамках калибровочного подхода. С одной стороны, для подавления взаимодействия на больших расстояниях следует использовать массивные частицы-переносчики взаимодействия, с другой же стороны, введение массового слагаемого в лагранжиан теории в явном виде нарушает калибровочную инвариантность.
Решение было найдено после открытия явления спонтанного нарушения симметрии, путём введения в теорию фундаментальных скалярных полей. При этом, несмотря на то, что лагранжиан теории явно калибровочно-инвариантен, основное состояние системы оказывается инвариантно лишь относительно преобразований из некой подгруппы группы симметрий теории, а не всей группы в целом. Получивший название «механизма Хиггса>, по имени одного из своих первооткрывателей, этот механизм нарушения симметрии позволил построить теорию электрослабых взаимодействий, объединив таким образом в рамках неабелевой калибровочной симметрии электромагнитные и слабые взаимодействия.
Для построения полной теории, однако, механизма Хиггса оказывается недостаточно, и возникает необходимость рассматривать ещё один механизм спонтанного нарушения симметрии — динамическое нарушение симметрии при помощи радиационных поправок [. Как правило, данный способ нарушения симметрии реализуется в четырёхфермион-ных моделях. Данный класс моделей неперенормируем в четырёхмерном пространстве, по крайней мере в рамках стандартной теории возмущений, что, однако, не мешает рассматривать эти теории как «игрушечные модели> в маломерных пространствах (где они перенормируемы) и как эффективные теории в четырёхмерии, что позволяет приближенно предсказывать свойства систем описываемых более сложными моделями, используя эффективные потенциалы полученные в упрощенных моделях
(в частности, существующий аппарат теории возмущений не позволяет применять его в теории сильных взаимодействий, квантовой хромоди-намике и, как следствие, для проведения вычислений разрабатываются методы использующие приближенное описание взаимодействий, такие как, например, используемый в [] квазипотенциальный метод).
Одной из простейших, но в то же время крайне продуктивных, моделей с четырехфермионным взаимодействием является модель Гросса– Невё (Gross–Neveu) [], на которой, а также на ее обобщениях, в дальнейшем и будет сосредоточено наше внимание. Помимо применения в качестве иллюстрации к явлениям квантовой хромодинамики (асимптотическая свобода, спонтанное нарушение симметрии и др., см. например []) она нашла широкое применение в качестве эффективной модели для описания явлений в физике конденсированного состояния вещества. Лагранжианы типа (1+1)-мерной модели Гросса-Невё возникают при описании одномерных полимеров (таких как полиацетилен [, ]), а (1+2)-мерной при описании планарных систем, таких как графен, и их модификаций, таких как углеродные нанотрубки (влияние магнитного поля на электрические свойства нанотрубок рассматривалось ранее в ряде работ, в частности [,10]).
Научная новизна Сказанное выше делает особо интересным рассмотрение модели Гросса–Невё при ненулевых значениях таких параметров как температура, химический потенциал, внешнее магнитное поле и др., чему посвящено большое количество статей и монографий. Несмотря на это, в силу многочисленности внешних параметров, большого числа модификаций модели Гросса–Невё, а также технических сложностей, возникающих при вычислениях в моделях, отличных от максимально простых случаев, значительное количество моделей с несколькими внешними параметрами и нетривиальными внутренними свойствами, такими как граничные условия и топология, по-прежнему находятся на стадии исследования их особенностей. Настоящая работа посвящена исследо-
ванию одной из таких моделей, находящей применение помимо физики высоких энергий также в физике конденсированного состояния вещества при описании свойств полимеров.
Объект исследования
В настоящей работе модель Гросса-Невё будет рассматриваться в (2+1)-мерном пространстве-времени с одним компактифицированным пространственным измерением (цилиндр, в приложении к полимерам, моделирующий нанотрубки) с нетривиальными граничными условиями (как показано в работе, схожим образом в лагранжиане модели учитывается эффект Ааронова-Бома, индуцированный проходящим внутри цилиндра магнитным потоком [?]). В работе учтено влияние на описанную систему конечных температуры, химического потенциала и внешнего магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра, вызывающего, помимо эффекта Ааронова–Бома, эффект Зеемана.
Метод исследования
Описанная выше модель исследуется методами квантовой теории поля при конечных температурах. В основе метода лежат методы континуального интегрирования и фейнмановских диаграмм в квантовой теории поля. Метод включает в себя переход к мнимому времени и наложение периодических (для Бозе-полей) или антипериодических (для Ферми-полей) граничных условий по временной координате и, как следствие, переход от интегрирования по континууму частот к суммированию по дискретным, мацубаровским, частотам [–]. Метод позволяет получить эффективный потенциал модели и исследовать различные особенности модели, такие как зависимость её свойств от внешних параметров и свойства симметрии вакуума.
Цели и задачи диссертации
Целью данной работы является вычисление эффективного потенциала исследуемой модели при конечной температуре и его применение для исследования свойств симметрии вакуума модели (возникновения
конденсатов), а также исследования влияния внешнего магнитного поля на свойства симметрии и возникновение намагниченности под действием внешнего магнитного поля вызывающего эффекты Зеемана и Ааронова– Бома.
Достоверность научных положений
Достоверность научных положений представляемых в настоящей работе обеспечивается применением строгих, многократно апробированных в физике высоких энергий и физике конденсированного состояния вещества, математических методов, а также повторением ранее известных результатов в предельных случаях, в которых рассматриваемая модель переходит в изученные ранее модели.
Научные положения, выносимые на защиту
-
Вычислен эффективный потенциал трехмерной модели Гросса–Невё на цилиндре с учетом конечной температуры и химического потенциала, находящейся под влиянием внешнего магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра.
-
Исследованы свойства симметрии вакуума модели при ненулевом химическом потенциале при наложении различных граничных условий по компактифицированной пространственной координате. Построены фазовые диаграммы. Обнаружено проявление размерной редукции при наложении периодических граничных условий и отсутствие таких проявлений при наложении антипериодических граничных условий.
-
Вычислена намагниченность исследуемой системы, индуцируемая эффектом Ааронова–Бома, возникающим при наличии внешнего магнитного поля параллельного оси цилиндра. Построены графики намагниченности в зависимости от величины прилагаемого магнитного поля и изучена зависимость намагниченности от температуры.
4. Вычислена намагниченность исследуемой системы, индуцируемая эффектом Зеемана, возникающим при наличии внешнего магнитного поля параллельного оси цилиндра. Исследована зависимость намагниченности, вызванной эффектом Зеемана, от температуры. Построены соответствующие графики, демонстрирующие намагниченность системы как с учетом только эффекта Зеемана, так и с учетом одновременно, эффектов Зеемана и Ааронова-Бома.
Практическая ценность результатов
Представленные в настоящей работе результаты могут применяться для описания магнитных свойств полимеров в физике конденсированного состояния вещества и приближенного описания явлений квантовой хромодинамики. Кроме того, представленные результаты могут служить основой для дальнейших исследований с использованием обобщений модели Гросса-Невё, таких как модель Намбу–Йона-Лозинио -], и ряда других эффективных четырёхфермионных моделей, находящих широкое применение в исследовании свойств материи на ядерном уровне.
Список публикаций
Результаты, представленные в диссертационной работе, опубликованы в трёх статьях, изданных в реферируемых научных журналах, входящих в установленный ВАК перечень изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты на соискание учёной степени кандидата наук:
1. В.Ч. Жуковский, П.Б. Колмаков. Эффект Ааронова—Бомав трех
мерной модели Гросса-Невё с компактификацией при конечной тем-
пературе//Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2013. Т. 4. С.
2. Р.Н. Жохов, В.Ч. Жуковский, П.Б. Колмаков. Эффект Зеемана в
модифицированной модели Гросса—Невё в (2+1)-мерном пространстве-
времени с компактификацией// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ.
Астрон. 2015. Т. 4. С. 12
3. D. Ebert, K.G. Klimenko, P.B. Kolmakov, V.Ch. Zhukovsky. Phase
transitions in hexagonal, graphene-like lattice sheets and nanotubes
under the influence of external conditions // Annals of Physics. 2016.
V. 371. P. 254
Результаты диссертации также представлены на конференциях и вошли в сборники тезисов соответствующий конференций:
-
Ломоносовские чтения. Москва, 2014.
-
17th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics. Moscow, 2015.
Структура и объем диссертации
Эффективная низкоэнергетическая модель на плоской шестиугольной решетке
Для учета внешнего магнитного поля произведем следующие замены до — где Ах и Ay — компоненты внешнего электромагнитного потенциала, а дополнительный вклад а-Вв (32) является нерелятивистским зе-емановским вкладом в энергию, описывающим взаимодействие спина квазичастиц с внешним магнитным полем , который должен быть добавлен отдельно. Здесь д — спектроскопический фактор Ланде, а /ig = е/(2т) — магнетон Бора.
Рассмотрим магнитное поле В = (В\\,0,В±) где компонента В\\ параллельная плоскости решетки направлена вдоль оси ж, а перпендикулярная плоскости компонента В± направлена вдоль оси z. (Фазовые переходы в такой системе с наклонным магнитным полем недавно рассматривались в [40, 41, 42].) Удобно выбрать калибровку в которой трехмерный векторный потенциал имеет вид А = (0, А2 + В±х, В\\у) с постоянным Л.2, и таким образом В = rot А.
6Химический потенциал /л возникает в модели с «сильной связью» естественным образом, если в выражении (1) учесть взаимодействие с атомами следующими за соседними (т.е. относящимися к одной и той же подрешетке)Діїо = —t 2 {Ф+ \ТІ)Ф \fj) + Ф+В ( г)ФВ ( j)), leading to /і = Зі . Clearly, such term violates the quasiparticle-hole symmetry. Очевидно что перпендикулярная компонента В± взаимодействует и со спином az и с орбитальным моментом Lz, в то время как параллельная плоскости компонента ц взаимодействует только со спином квазичастиц. Кроме того здесь мы ввели постоянную компоненту векторного потенциала А% которая будет востребована при рассмотрении модели на цилиндре (нанотрубке) с компактифицированной координатой у: в такой модели постоянная компонента электромагнитного потенциала не может быть исключена из рассмотрения калибровочным преобразованием. В частности Ач играет важную роль при рассмотрении эффекта Ааронова-Бома (см. далее).
Хорошо известно, что перпендикулярная компонента В± приводит к возникновению уровней Ландау для фермионов и квантовому эффекту Холла (см. например [43, 44, 45]). В настоящей работе, однако, всюду полагается В± = 0 и рассматриваются свойства схематической модели Гросса-Невё. 7
Исследования углеродных нанотрубок, наравне с исследованиями графена, занимают одну из ведущих позиций в физике современной полимеров, что обусловлено, в частности тем, что углеродные нанотрубки были синтезированы раньше плоского листа графена. Теоретическое рассмотрение углеродных нанотрубок проводилось во
Помимо упомянутых выше, фазовые переходы в четырехфермионных моделях под влиянием магнитного поля рассматривались во множестве работ, включая такие, как [46-58] . множестве работ, в частности [58, 59].
Рассмотрим случай когда одно из пространственных измерений компактифицированно, что в приложении к полимерам моделирует нанотрубки, в которых лист с шестиугольной решеткой свернут в цилиндр. Мы будем рассматривать такой цилиндр как (2+1)-мерную брану помещенную в (3+1)-мерное пространство-время (балк). Фер-мионы распространяются на бране и подвержены влиянию постоянного и однородного магнитного поля направленного вдоль оси цилиндра. В дальнейшем, из соображений удобства, в балке будут использоваться декартовы или цилиндрические координаты (x,y,z) или (p,(/?,z), соответственно, а на бране (поверхности цилиндра) будут использоваться декартовы координаты (ж1, ж2), такие что ось х1 параллельна оси z в балке, а координата х2 = Rp компактифицирован-на и соответсвующее измерение имеет длину окружности L = 2TTR где R — радиус цилиндра. На поверхности цилиндра единичные векторы различных координатных систем подчиняются соотношениям Єї = ez и Є2 = е р. Ось Zв балке совпадает с осью цилиндра, а векторный потенциал постоянного и однородного магнитного поля направленного вдоль оси цилиндра Н = Щег может быть записан как А = Новр в балке и как Л = -jHoGp на поверхности цилиндра. Это поле Л должно быть добавлено к частной производной для формирования ковариантной производной &2 — D i = 82 + ІЄЛ2 в лагранжиане. В качестве альтернативы, возможно также сохранить в лагранжиане частную производную &2 и включить магнитную
Трёхмерная модель Гросса-Невё и её соответствие классическим результатам
Из предыдущей части рассмотрения можно видеть, что особый интерес представляет случай 0 = 0, соответствующий отсутствию маг 62 нитного поля (фактически характерные значения магнитного поля оказались достижимы, но достаточно велики). Однако, как было показано в предыдущих разделах, при строго периодических по компактифицированному пространственному измерению граничных условиях (при ф = 0) взятые отдельно вторые производные чисто компактификационной и перекрёстной частей содержат логарифмические расходимости, поэтому в этой части рассмотрения сконцентрируемся на этом случае и исследуем поведение системы.
Не будем разделять, как это делалось прежде, компактифика-ционную и перекрёстную части. Для этого вернёмся к общему виду эффективного потенциала и не станем подвергать пересуммированию Пуассона (78) температурную часть: (131) Чисто температурная, равно как и плоская, часть нас сейчас интересовать не будут (результаты для них можно взять из соответствующих частей данной работы), выпишем компактификационную часть с учётом температуры: cods + x) +00
Сумма ряда не является элементарной функцией (в широком смысле этих слов), однако, с учётом асимптотики функции Макдональ да при больших аргументах Kг/(ж) ос \/тт/2—= 1 + (9(ж 1), схо димость ряда не вызывает сомнений. Чтобы продвинуться дальше, продифференцируем полученную часть эффективного потенциала по т, и выпишем значения производных при сг = 0: dV
Выражение под знаком суммирования очевидно ведёт себя как Q-\mn) , при т — оо и/или п —оо, и его сходимость очевидна (причём выражение на самом деле сходится очень быстро, и для качественного построения графика оказывается достаточно учитывать лишь один ведущий член в двойной сумме, при т = п = 1, однако при построении графиков желательно не ограничиваться подобной низкой точностью). Таким образом показано, что возникавшие при ф = О расходимости на самом деле фиктивны и являются исключительно следствием искусственного разделения эффективного потенциала на составные части. В заключение очередной части рассмотрения приведём фазовую диаграмму в плоскости (L, /3) аналогичную тем что приводились ранее. Как видно из диаграммы, она действительно практически не отличается от аналогичной диаграммы для ф = 0.05 построенной в разделе 2.3, однако её построение требует вычисления эффективного потенциала в виде 134.
В настоящем разделе было проведено исследование фазовой структуры модели Гросса-Невё на цилиндре с учетом эффекта Ааронова-Бома и конечной температуры, а также выведено общее выражение для эффективного потенциала, которое также будет использоваться в дальнейших разделах.
В подразделе 2.1 было получено общее выражение для эффективного потенциала теории и отмечены некоторые его характеристики, такие как периодичность по топологической фазе 0, обусловленной проходящим через сечение исследуемого цилиндра магнитным потоком, а также возможность обобщения результатов, полученных для граничных условий «металлических» нанотрубок, на случай «полупроводниковых» нанотрубок путем замены значения топологической фазы в эффективном потенциале, что в дальнейшем позволяет существенно упростить ряд вычислений.
В подразделе 2.2 получено преобразованное выражение для эффективного потенциала, после чего в частях 2.2.1-2.2.3 повторены и подвержены сравнению с работами других авторов ранее известные результаты, соответствующие рассмотрению модели Гросса-Невё в плоском пространстве при нулевой температуре (часть 2.2.1), в плоском пространстве при конечной температуре (часть 2.2.2) и в пространстве с компактификацией при нулевой температуре (часть 2.2.3).
В части 2.2.4 вычислен дополнительный вклад позволяющий одновременно учитывать влияние температуры и эффективного потенциала. Полученное выражение не выражается в элементарных или специальных функциях, и как следствие может быть учтено только путем численного расчета. После объединения полученных выражений в подразделе 2.3 исследована фазовая структура модели с учетом эффекта Ааронова-Бома и компактификации, продемонстрирована симметрия влияния компактификации пространственного изме 67 рения и конечной температуры при антипериодических граничных условиях (топологической фазе = 1/2).
В подразделе 2.5 доказано, что расходимости имеющиеся в эффективном потенциале полученном в разделах 2.2–2.2.4 являются фиктивными и вызваны исключительно искусственным разбиением эффективного потенциала на составные части.
Фазовая структура модели при ненулевом химическом потенциале
Дальнейшие расчеты и построение графиков производились численно [89]. Верхний график на рис. 9 демонстрирует фазовую структуру модели в плоскости (Т,/І) для L = 1.2LC. Фазовая структура схожа со структурой полученной в [86] для двумерной модели Гросса-Невё, что может быть интерпретировано как проявление размерной редукции из ассимметричной фазы трехмерной модели Гросса-Невё, существующей при достаточно низкой температуре и ф = 0 (см. [85]). Области I и III на рисунке соответствуют фазе нарушенной симметрии, для которой о" ф 0, различие этих областей заключается в том, что в области I существует только один минимум эффективного потенциала Ves, являющийся нетривиальным а ф 0, в области III, однако, существует два минимума — глобальный минимум а ф 0 и локальный минимум при сг = 0. Области II и IV являются областями с ненарушенной симметрией, при этом в области II существует только тривиальный минимум а = 0, в то время как в области IV присутствует также второй, нетривиальный, минимум а = 0, являющийся, однако, только локальным. Как следствие линия ВС является кривой фазового перехода первого рода, а линия АВ — кривой фазового перехода второго рода (это различие будет наглядно продемонстрировано в разделе 5). Линии BD и BE не являются кривыми фазовых переходов, а соответствуют линиям при пересечении которых появляется либо исчезает локальный минимум.
В противоположность этому, с учетом эффекта Ааронова-Бома создаваемого магнитным потоком соответствующим ф = 0.5 график демонстрирует отсутствие фаз III и IV в которых присутствуют локальные минимумы (метастабильные состояния). Это также соответствует утверждению об отсутствии размерной редукции при наличии антипериодических граничных условий, что указывалось ранее в [85]. Стоит отметить, что размерная редукция под влиянием магнитного поля не является уникальным свойством рассматриваемой системы, подобное явление рассматривалось например в [87] в моделе Намбу-Йона-Лозинио и КХД.
В настоящем разделе исследовано влияние химического потенциала на фазовую структуру исследуемой модели. Для этого в подразделе 3.1 аналитически вычислен эффективный потенциал трехмерной модели Гросса-Невё на цилиндре с учетом химического потенциала, 1.0 0.8 0.6 0.4
Фазовая диаграмма модели с учетом температуры и химического потенциала в отсутствие эффекта Ааронова–Бома (верхний график) и при наличии магнитного потока соответствующего = 0.5 (нижний график). конечной температуры и эффекта Ааронова–Бома. Поскольку исследованная модель описывает фермионы, то полученный результат схож с термодинамическим потенциалом Ферми-газа. На основе вычисленного эффективного потенциала в подразделе 3.2 исследована фазовая диаграмма модели при различных величинах эффекта Ааронова–Бома. Отмечено проявление явления размерной редукции при компактификации трехмерной модели Гросса– Невё с периодическими граничными условиями, и отсутствие этого явления при антипериодических граничных условиях, которые могут быть смоделированы при помощи эффекта Ааронова–Бома. Данный результат перекликается с результатами работ других авторов, рассматривавших влияние магнитного поля на различные можели квантовой теории поля, в том числе с четырехфермионным взаимодействием, а также рассматривавших модель Гросса–Невё без учета магнитного поля.
Полный ток индуцированный эффектом Ааронова–Бома
В настоящем разделе было исследовано влияние эффекта Зеемана обусловленного внешним магнитным полем на свойства модели.
В подразделе 5.1 вычислен вклад эффекта Зеемана в эффективный потенциал и отмечена симметрия вкладов эффекта Зеемана и химического потенциала, позволяющая обобщить результаты разде- ла 3 на исследование эффекта Зеемана.
В подразделе 5.2 исследован вклад эффекта Зеемана в намагниченность системы, построены графики намагниченности, демонстрирующие фазовые переходы отмеченные в разделе 3 и суммарной намагниченности вызванной эффектом Зеемана и эффектом Ааронова– Бома, исследованным ранее, в разделе 4.
В настоящей работе была исследована (2+1)-мерная модель Гросса– Невё на цилиндре под влиянием различных параметров, таких как ненулевая температура, химический потенциал (конченая плотность частиц) и внешнее магнитное поле.
Во введении (раздел 1) были введены основные понятия касающиеся исследуемой модели и кратко изложены основные известные результаты. Кроме того, поскольку в последние годы модель Гросса– Невё и подобные ей модели часто используются для описания явлений в линейных и плоских полимерах, таких как полиацетилен и графен, в подразделелах 1.2 и 1.3 были даны основные сведения о том, каким образом подобные модели возникают в физике конденсированного состояния вещества.
В разделе 2 с использованием оригинального метода регуляризации получено выражение для эффективного потенциала модели с учетом конечной температуры и эффекта Ааронова–Бома обусловленного внешним магнитным полем. В подразделах 2.2.1-2.2.3 повторены результаты полученные ранее другими авторами для модели с учетом только температуры или только эффекта Ааронова– Бома с использованием иных методов регуляризации. В подразделе 2.2.4 вычислен дополнительный вклад в эффективный потенциал, который позволяет одновременно учесть конечную температуру и эффект Ааронова–Бома, а в подразделе 2.3 построены фазовые диаграммы модели с учетом обоих эффектов.
В разделе 3 исследование влияние химического потенциала (ко 91 нечной плотности частиц) на фазовую структуру модели Гросса– Невё на цилиндре и построены соответствующие фазовые диаграммы. Отмечено, что в случае учета эффекта Ааронова–Бома можно в различных случаях наблюдать или не наблюдать явление размерной редукции в виду компактификации пространственного измерения, что согласуется с ранее известными результатами.
В разделе 5 рассмотрен эффект Зеемана вызванный внешним магнитным полем с учетом конечной температуры. При этом отмечено сходство полученных результатов, с результатами раздела 3, которое прямо следует из общего вида эффективного потенциала. Построены графики намагниченности вызванной эффектом Зеемана, а также график суммарной намагниченности обусловленной общим влиянием внешнего магнитного поля, с учетом и эффекта Зеемана и эффекта Ааронова–Бома. Таким образом, в настоящей работе проведено комплексное исследование Благодарности Автор настоящей работы искренне благодарит своего научного руководителя, профессора кафедры теоретической физики физического факультета МГУ, В.Ч. Жуковского за предложенную для исследования интересную тематику, а также всестороннюю помощь и поддержку в её освоении.
Автор выражает благодарность своим соавторам по печатным работам, совместно с которыми проводились исследования, результаты которых вошли в состав настоящей работы, а именно профессору Института физики высоких энергий (г. Протвино) К.Г. Клименко, профессору Института им. Гумбольдта (г. Берлин, Германия) Д. Эберту и м.н.с. Института физики высоких энергий Р.Н. Жохову.
Кроме того, автор благодарит коллектив кафедры теоретической физики физического факультета МГУ, за содержательное обсуждение результатов настоящей работы на научных семинарах кафедры, позволившее существенно улучшить её содержание.