Содержание к диссертации
Введение
1 Задача Штермера для эффективной потенциальной энергии на клонного вращающегося магнитного диполя 21
1.1 Поле прецессирующего магнитного диполя 23
1.2 Эффективная потенциальная энергия 30
1.2.1 Динамика заряженной частицы 31
1.3 Уравнения движения заряженных частиц 33
1.4 Стационарные точки эффективной потенциальной энергии
1.4.1 Координаты стационарных точек 38
1.4.2 Исследование стационарных точек на экстремум 41
1.5 Эквипотенциальные поверхности эффективной потенциальной энергии 46
1.5.1 Соосный ротатор, а = 0 47
1.5.2 Общий случай, а 0 49
1.5.3 Стационарные точки и эквипотенциальные поверхности 51
1.6 Выводы 53
2 Эффективная потенциальная энергия релятивистской заряженной частицы в поле наклонной вращающейся намагниченной сферы 55
2.1 Электромагнитное поле вращающейся намагниченной сферы 57
2.2 Интеграл движения для частиц в произвольном вращающемся электромагнитном поле 60
2.3 Потенциальная энергия
2.4 Стационарные точки эффективной потенциальной энергии 64
2.5 Эквипотенциальные поверхности
2.5.1 Эквипотенциальные поверхности для положительно заряженных частиц 69
2.5.2 Эквипотенциальные поверхности для отрицательно заряженных частиц 72
2.5.3 Ортогональный ротатор
2.6 Потенциальная энергия вблизи поверхности однородно намагниченной сферы 74
2.7 Выводы 78
3 Геометрия бессиловой поверхности для небесных тел с сильным магнитным полем 81
3.1 Понятие бессиловой поверхности 81
3.2 Уравнение бессиловой поверхности 82
3.3 Геометрия бессиловой поверхности 88
3.4 Выводы 90
Заключение 93
Список литературы
- Динамика заряженной частицы
- Эквипотенциальные поверхности эффективной потенциальной энергии
- Стационарные точки эффективной потенциальной энергии
- Уравнение бессиловой поверхности
Динамика заряженной частицы
Движение заряженных частиц в магнитном поле небесного тела, магнитная ось которого совпадает с осью вращения, хорошо изучено на примере магнитного поля Земли. Это, так называемая, задача Штермера. Известно, что в таком магнитном поле существуют замкнутые области пространства, в пределах которых движутся заряженные частицы с энергией не превышающей некоторого определенного значения. Такие области получили название радиационных поясов. Между тем, существуют тела, магнитная ось которых наклонена относительно оси вращения. Вопрос существования радиационных поясов в окрестности таких практически не был изучен до начала наших работ. Наиболее известным примером таких тел являются нейтронные звезды. Часть из них, а именно пульсары, интенсивно исследуются с использованием наблюдаемого излучения. Динамика заряженных частиц в поле нейтронной звезды имеет важное значение для объяснения природы излучения пульсара. Аналитическое решение уравнений движения в магнитном поле с наклонной магнитной осью представляет определенные трудности в связи с тем, что поле не обладает аксиальной симметрией и момент импульса частицы не является интегралом движения. В связи с этим, все предыдущие работы, посвященные динамике заряженных частиц в магнитосфере тел с наклонной магнитной осью, представляют либо численное интегрирование уравнений движения, либо приближенные оценки характера движения частиц. В настоящей главе излагается метод, который позволяет определить разрешенные и запрещенные для движения частиц области пространства в поле наклонного магнитного ротатора, если это поле аппроксимировать полем диполя.
Электромагнитное поле вращающегося намагниченного тела существенно за 22 висит от того, является ли оно проводящим или нет. В случае проводящего небесного тела на его поверхности индуцируется распределенный заряд, создающий собственное квадрупольное поле. Предполагается, что нейтронные звезды являются проводящими с очень низким коэффициентом сопротивления. Первая модель электрического поля, которое генерируются в окрестности нейтронной звезды была разработана Дойчем [38]. Ряд других моделей были предложены и изучены несколькими авторами. Обзор этих работ можно найти в монографии [39].
Также существуют небесные тела, состоящие из непроводящего вещества, которые вращаются вокруг оси, не совпадающей с осью магнитного поля. Их магнитное поле хорошо аппроксимируется полем прецессирующего магнитного момента или «наклонным ротатором» [66]. Электромагнитное поле и магнитосфера наклонного проводящего ротатора изучались многими авторами. См., например, [67-72]. В работе [72], кроме того, проведена оценка энергии, которая может быть приобретена частицами в процессе ускорения в магнитосфере.
Некоторые вопросы динамики заряженной частицы в электромагнитном поле в вакууме были рассмотрены в статьях [73,74]. Задача Штермера для параллельного проводящего ротатора была исследована в работе [75]. Обобщенная задача Штермера с учетом электромагнитных и гравитационных сил, действующих на заряженные пылинки вблизи планеты, рассмотрена в статье [76]. Динамика заряженной частицы вблизи бессиловой поверхности вращающейся намагниченной сферы была детально исследована в [63,65].
В настоящей главе изучается динамика заряженной частицы в поле прецессирующего магнитного дипольного момента. В первом разделе получены выражения для компонент векторов напряженности электрического и магнитного поля такого дипольного момента и исследованы их свойства.
Во втором разделе обсуждается динамика заряженной нерелятивистской ча 23 стицы в электромагнитном поле вращающегося намагниченного небесного тела. Определена эффективная потенциальная энергия с помощью одного интеграла движения. В третьем разделе найдены релятивистские уравнения движения. Четвертый раздел посвящен нахождению стационарных точек эффективной потенциальной энергии. Проводится их исследование на устойчивость. В пятом разделе изучены и построены разрешенные и запрещенные области движения заряженных частиц для различных значений интеграла движения.
Эквипотенциальные поверхности эффективной потенциальной энергии
Из (1.84) следует, что ecosa 0. Это означает, что две вышеупомянутые стационарные точки соответствуют положительным зарядам, если а тт/2 и отрицательным зарядам если а тт/2. Частица, находящаяся в критической точке, может находиться в состоянии равновесия относительно вращающейся системы отсчета. Это означает, что в лабораторной системе отсчета частица движется по окружности с постоянной скоростью. Нетрудно убедиться, что найденные в этом разделе стационарные точки соответствуют круговым орбитам, полученным как решение уравнений движения в разделе 1.3. Таким образом, шесть частных решений, которые описывают круговые движения частиц, соответствуют стационарным точкам эффективной потенциальной энергии. Положение орбит определяется углом в и их радиусы различны для положительной и отрицательной частицы. Две из полученных траекторий лежат в экваториальной плоскости z = 0.
Существование минимума потенциальной энергии является очень важным фактором для динамики частиц в данном поле. Для определения наличия в стационарных точках (1.80) - (1.86) максимума или минимума потенциальной энергии воспользуемся критерием Сильвестра: предположим, что в некоторой окрестности стационарной точки Мі(рі,$і,фі) определены частные производные второго порядка функции Vef(p,0,i/j). Функция имеет локальный максимум, если квадратичная форма d2Vef(Mo) определена отрицательно и локальный минимум если d2Vef(Mi) если определена положительно. Если форма d2f(Mi) знакопеременна, то в точке МІ экстремума нет (см., например, [84]). Найдем все вторые частные производные функции Vef(p,0,i/j) и определим их значения в стационарных точках (1.80) - (1.83).
Как видим, знак квадратичной формы, составленной из этих производных, неопределен. Подводя итог, мы утверждаем, что шесть стационарных точек (1.80) - (1.83), (1.85) и (1.86) являются точками равновесия, но равновесие не является устойчивым. Словосочетание «покоящаяся частица» означает, что координаты р,в,ф во вращающейся системе отсчета фиксированы. В инерциальной системе отсчета такая частица движется по окружности с постоянной скоростью. Стационарные точки, рассмотренные выше, не исчерпывают всех решений уравнений движения для круговых орбит. Как показано в разделе 1.3, существует еще одно решение уравнений движения (1.51) - (1.53) следующего вида: 6 = , p3 = 2iV, р = Ш + ро, (1-95) где Q = (1/2)бо , и еро - произвольная постоянная. Это решение справедливо для положительно заряженной частицы если а тт/2 и для отрицательно заряженной, если а 7г/2. Проверим это решение на устойчивость. Разложим уравнения движения в ряд по приращению координат в окрестности решения. Введем приращения координат следующим образом 0 = + 59, (p = nt + (p0 + 5(p, r = R + 5r. (1.96) Подставим эти координаты в уравнения (1.51) - (1.53) и сохраним члены первого порядка малости по приращениям координат:
Обсудим случай положительно заряженной частицы. Уравнение (1.109) не имеет положительных корней для р, если С 0 и неравенство (1.108) выполняется во всем пространстве. Таким образом во всем пространстве движение разрешено. В случае С Є (—оо; —3) уравнение (1.109) имеет два корня для любого в. Характерный вид эквипотенциальной поверхности в этом случае представлен на рисунке 1.3. Внутренняя поверхность образует тор. Неравенство (1.108) удовлетворяется внутри тора и, таким образом, эта область является разрешенной для движения. Область между тором и внешней поверхностью является запрещенной. В то время как оставшаяся часть пространства является разрешенной для движения областью. С ростом константы С от — оо до —3, поверхность тора увеличивается, в то время как радиус внешней поверхности уменьшается. При С = —3 поверхности касаются друг друга вдоль окружности радиуса р = 1. Это показано на рисунке 1.4.
Характерная форма эквипотенциальной поверхности в случае С Є (—3; 0) представлена на рисунке 1.5. Пространство внутри поверхности запрещено для движения, в то время как внешняя часть является разрешенной для движения. Верхняя и нижняя части поверхности на рисунке 1.5 имеют общую точку соприкосновения в начале координат р = 0. В пределе С —0 все про Рисунок 1.5 - Эквипотенциальная поверхность для а = О, С = — 2, g = 1. В - запрещенная зона, А - разрешенная зона. странство будет разрешенным для движения. Для отрицательно заряженной частицы уравнение (1.109) имеет один корень для любого С. В случае С Є (0, +оо) мы имеем поверхность в виде тора (рисунок 1.6). В других случаях (С Є (0, — оо)) эквипотенциальная поверхность имеет вид, представленный на рисунке 1.7. Радиус поверхности увеличивается с ростом С.
Стационарные точки эффективной потенциальной энергии
В этом разделе мы кратко опишем структуру потенциальной энергии для угла наклона а = тт/2. В этом случае последний член в уравнении (2.41) обращается в ноль. Следовательно, эквипотенциальные поверхности для положительных и отрицательных частиц становятся симметричными, так как замена е — эквивалентна замене. Энергетические профили для отрицательно заряженных частиц не сильно изменяются при а = тт/2. Но для положительно заряженных частиц это изменение существенно, как можно видеть из рисунках 2.28 и 2.29.
Особые профили на рисунке 2.29 возникают вследствие того, что седловые точки в экваториальной плоскости, как видно, например, из рисунке 2.21, движутся к оси Z согласно уравнению (2.32) по мере того, как угол а приближается к значению 7г/2. Профили для отрицательно заряженных частиц такие же, ее Рисунок 2.23 - Сечения эквипо- Рисунок 2.24 - Сечения эквипо тенциальных поверхностей для тенциальных поверхностей для
Потенциальная энергия вблизи поверхности однородно намагниченной сферы До этого мы пренебрегали квадрупольным электрическим полем, которое генерируется индуцированными зарядами в случае проводящего небесного тела. Поэтому полученные результаты справедливы для поля непроводящего тела или для поля проводящего тела, но на расстояниях, больших по сравнению с размерами небесного тела, поскольку квадрупольное поле убывает обратно пропорционально четвертой степени расстояния. Как уже упоминалось в разделе 2.2, электрическое поле вблизи звезды зависит от используемой модели. В этом разделе мы исследуем потенциальную энергию заряженных частиц в поле абсолютно проводящей намагниченной сферы [38]. Эти поля описываются уравнениями (2.7) и (2.8). Со
Величина а для реальных небесных объектов значительно меньше единицы. Для примера, величина а для Земли, Юпитера и пульсара в Крабовидной туманности равна: 1.5 10 6, 4 10 5 и 7.6 10 3. Построим систему эквипотенциальных поверхностей для а = 0,01. Графики, построенные для интервала 0 ряіпв 1, практически не отличаются от представленных в предыдущем разделе. Различие наблюдается лишь в области р а. Эти различия видны на рисунках 2.30 - 2.33. Отличительным свойством потенциальной энергии в этом случае является то, что минимум потенциальной энергии для отрицательных частиц и области захвата отделены от поверхности сферы как видно из рисунке 2.32. Форма сечений в пределах области р а не меняется с ростом N. Причина в том, что первый член в уравнении (2.43) близок к единице в случае малых р и им можно пренебречь, поскольку потенциальная энергия определена с точностью до аддитивной константы.
В этих точках заряженная частица, покоящаяся относительно вращающейся системы отсчета, находится в равновесии, если не учитывать центробежную силу. Для сравнения наших результатов найдем стационарные точки эффективной потенциальной энергии (2.43), пренебрегая центробежной силой. Получим следующие решения:
Потенциальная энергия которая описывается уравнением (2.41) была построена в соответствии с предположением что намагниченное тело находится в вакууме и нет областей с ненулевым зарядом в окружающей плазме. Но мы видим, что области захвата для частиц разного заряда расположены в разных пространственных областях. Следовательно, это может привести к разделению зарядов в магнитосфере. Если допустим, пара частиц рождается в какой то момент времени в результате рождения пар, одна из частиц будет находится в потенциальной яме, а другая на потенциальном холме. Впоследствии первая частица будет захвачена, в то время как частица с противоположным знаком покинет эту область с ускорением. Если области захвата накапливают достаточно большой заряд, то потенциальные профили будут искажены по сравнению с вакуумной магнитосфе -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
Для полей с большим N: таких как поля нейтронных звезд, на релятивистские заряженные частицы действует сила радиационного трения, что приводит к потери энергии частиц. Хотя движение частиц с учетом радиационного трения не обсуждается в данной работе, исследование потенциальной энергии, тем ни менее, является мощным инструментом качественного анализа поведения частиц и в этом случае, так как структура потенциальной энергии определяется только полем и не зависит от движения частиц. Очевидно, что если частица теряет энергию в процессе излучения, она переходит в состояния с более низкой энергией, двигаясь вдоль других линий магнитного поля. Следовательно, граница ограничения разрешенной области меняется со временем, сдвигая частицу вниз по потенциальным поверхностям. Если частица при этом движении пересекает бессиловую поверхность определенную уравнением Е Н = 0, то она может двигаться вдоль этой поверхности пока ее энергия сохраняется [50, 65], но в пределах области, ограниченной соответствующей эквипотенциальной поверхностью.
Как видно из приведенных выше рисунков, захваченные положительно заряженные частицы с потерей энергии в конечном итоге попадают на поверхность звезды, в то время не захваченные частицы уходят на бесконечность. Орбиты частиц с учетом излучения численно рассчитаны в [102] в поле ортогонального вращающегося диполя. Было показано, что существуют критические поверхности, такие что траектории начинающиеся внутри поверхности остаются в полярных областях, а траектории, начинающиеся вне этой поверхности, уходят на бесконечность.
Тот факт, что в случае ш-/л 0 отрицательно заряженные частицы концентрируются в полярных областях наклонного ротатора и частицы с положительным зарядом в экваториальной зоне, совпадает с выводами других авторов которые использовали различные модели для магнитосферы нейтронной звезды [40,50,65].
Уравнение бессиловой поверхности
В настоящей работе исследована динамика заряженных частиц в электромагнитном поле вращающегося намагниченного небесного тела. При этом использован метод эффективной потенциальной энергии во вращающейся системе отсчета. Применение данного метода позволило определить геометрию областей, доступных и запрещенных для движения заряженных частиц в окрестности вращающегося небесного тела, магнитная ось которого не совпадает с ось вращения.
Новизна данного исследования заключается, в частности, в том что проведено аналитическое исследование конфигурации разрешенных для движения областей в зависимости от величины магнитного момента вращающегося тела, угловой скорости вращения, угла между осью вращения и магнитной осью. В большинстве предшествующих работ, посвященных данной теме, динамика частиц в магнитосфере магнитных тел с наклонной осью вращения исследовалась методами численного моделирования. Подробный обзор литераруры приведен во Введении.
В первой главе найдены выражения для компонент векторов напряженности электрического и магнитного поля непроводящего, однородно намагниченного небесного тела с наклонной магнитной осью. Из полученных формул видно, что время входит в формулы для поля в сочетании ujt — ф. Это означает, что изменение cut эквивалентно соответствующему изменению ф. Другими словами, геометрия электрического и магнитного поля такова, что поле как целое поворачивается со скоростью си вокруг оси z. Этот вывод относится только к геометрии электрического и магнитного полей. Это не означает, что само поле вращается вокруг оси z. Линейная скорость вращения на достаточно больших расстояниях может быть больше скорости света. Практически, на больших расстояниях от диполя присутствует только поле излучения которое перемещается радиально со скоростью света.
Для того, чтобы выяснить, возможны ли «радиационные пояса» в такой системе, мы исследовали эффективную потенциальную энергию в поле наклонного вращающегося магнитного диполя. Показали, что существуют замкнутые эквипотенциальные поверхности, которые совместно вращаются с полем диполя. В этих поверхностях заключены частицы с начальной энергией, ниже определенного уровня. Эффективная потенциальная энергия исследована на наличие экстремумов. Найдены все стационарные точки и показано, что заряженная частица, покоящаяся в этих точках относительно вращающейся системы отсчета, находится в состоянии неустойчивого равновесия, поскольку данные стационарные точки являются седловыми и соответствуют точкам, в которых соприкасаются две разрешенные для движения области. Эквипотенциальные поверхности построены для различных значений интеграла движения, для положительного и отрицательного заряда частицы и для различных значений магнитного момента небесного тела.
Изучена динамика движения релятивистской заряженной в поле вращающейся наклонной проводящей сферы в сопутствующей вращающейся системе отсчета с использованием ковариантного формализма. Проведен анализ поля вращающейся намагниченной сферы. Найден четырехмерный потенциал такого поля. Найден интеграл движения для частицы в произвольном вращающемся электромагнитном поле и на основе него определена эффективная потенциальная энергия. Проведен анализ основных свойств эффективной потенциальной энергии. Найдены стационарные точки потенциальной энергии. В приближении р С 1 полученные решения совпадают с решениями для нерелятивистского случая. Подробно исследован случай поведения стационарных точек вблизи светового цилиндра в случае больших магнитных полей. Представлены сечения эквипотенциальных поверхно 95 стей для положительно и отрицательно заряженных частиц.
В третьей главе получено уравнение бессиловой поверхности (EH) = 0, справедливое на любом расстоянии от вращающегося намагниченного тела. Впервые исследована геометрия этой поверхности в окрестности и за пределами светового цилиндра. Построены трехмерные графики, иллюстрирующие поведение бессиловой поверхности в центральной области и вблизи светового цилиндра. Показано, что с удалением от центрального тела бессиловая поверхность закручивается вокруг оси вращения этого тела. Проведена оценка расстояний, на которых можно пренебречь действием центробежной силы во вращающейся системе отсчета. В случае сильного электромагнитного поля (N 1) действием центробежной силы можно пренебречь всюду внутри светового цилиндра, за исключением тонкого цилиндрического слоя у внутренней поверхности светового цилиндра. Вне светового цилиндра поверхность (EH) = 0 образует спираль, витки которой близки к сферическим поверхностям.