Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теория возмущений в суперсимметричной электродинамике 16
1.1 Теория возмущений в теории поля 16
1.2 Суперполевое описание N=1 суперсимметричной электродинамики 24
1.3 Квантование в суперпространстве 30
1.4 Тождества У орда в сулерсимметричной электродинамике 37
Глава 2. Регуляризация в теории поля 41
2.1 Регуляризация обрезанием петлевого импульса 41
2.2 Регуляризация методом Паули-Вилларса . 45
2.3 Регуляризация высшими производными 47
2.4 Размерная регуляризация и размерная редукция 54
Глава 3. Квантовые поправки в N=1 суперсимметричной электродинамике при использовании регуляризации обрезанием петлевого импульса 61
3.1 Однопетлевые поправки 61
3.2 Двухпетлевая /3-функция 66
3.3 Двухпетлевая аномальная размерность 69
Глава 4. Аномалия Кониши, ее вычисление и влияние на функцию 72
4.1 Связь аномалии Кониши с аксиальной аномалией 72
4.2 Компонентное вычисление аномалии Кониши 75
Глава 5. Численная оценка петлевых интегралов, регуляризованных высшими производными 79
5.1 Численная оценка фейнмановских интегралов 79
5.2 Однопетлевые вклады в эффективное действие 83
5.3 Оценки двухпетлевых вкладов в эффективное действие. 87
Заключение 90
Приложение А. Выражения для расходящихся диаграмм в двухпетлевом приближении 91
Приложение В. Вычисление двухпетлевых интегралов, регуляризованных с помощью обрезания петлевого им пульса. 99
Библиография 101
- Суперполевое описание N=1 суперсимметричной электродинамики
- Регуляризация методом Паули-Вилларса
- Двухпетлевая /3-функция
- Компонентное вычисление аномалии Кониши
Введение к работе
Актуальность темы. Исследование квантовых поправок в моделях теории поля представляет собой интересную и во многих случаях крайне нетривиальную задачу. В процессе вычислений возникает необходимость устранения расходимостей и проведения программы перенормировок. И первая, и вторая задачи требуют достаточной аккуратности и далеко неоднозначны. Не случайно на сегодняшний день в квантовой теории поля известно несколько способов регуляризации расходящихся интегралов (обрезанием по импульсу, Паули-Вилларса, размерная и др). Причина заключается не только в технической простоте и удобстве. Так хорошо известно, что в калибровочных моделях некоторые способы регуляризации ведут к нарушению калибровочной инвариантности, или, например, при вычислении аномалии аксиального тока невозможно воспользоваться напрямую размерной регуляризацией, поскольку отсутствует корректное опредление 75-функции в пространствах нецелой размерности.
Следует отметить, что в суперсимметричных теориях эти проблемы приобретают особое значение и выбор подходящей регуляризации являтся крайне нетривиальной задачей. Дело в том, что наиболее удобная и часто используемая размерная регуляризация нарушает суперсимметрию, а ее модификация сохраняющая суперсимметрию - размерная редукция оказывается непоследовательной и внутренне противоречивой. В этой связи следует обратить особое внимание на проблему аномалий, суть которой заключается в том, что структура супермуль-типлета апомалий в N = 1 суперсимметричных теориях противоречит существованию вкладов высших петель в /^-функцию. Действительно, в суперсимметричных теориях аксиальная аномалия и аномалия следа тензора энергии импульса принадлежат одному супермультиплету. При этом аксиальная аномалия является чисто однопетлевой в силу теоремы Адлера-Бардина, тогда как аномалия следа пропорциональна /?-функции. Поэтому суперсимметрия, по-видимому, подразумевает, что /7-функция должна быть чисто однопетлевой, что вступает в противоречие с вычислениями, выполненными с помощью регуляризации размерной редукцией. Эта проблема известна достаточно давно и указывает на необходимость более ^"у^^гл рудчішг mrtnrficjimfa методов
:ид .1
БИБЛИОТЕКА „]
С Петербург
регуляризации расходящихся интегралов и перенормировки модели с требованием сохранения исходной симметрии теории.
Регуляризация с помощью высших ковариантных производных непротиворечива и сохраняет и калибровочную инвариантность и суперсимметрию, но ее применение в неабелевых теориях сопряжено со значительными техническими трудностями. Поэтому встает вопрос о возможности использования для вьгаислений в суперсимметричных теориях неинвариантных регуляризации, и, в частности, регуляризации обрезанием петлевого импульса. При этом важно продемонстрировать, что регуляризация остается техническим приемом не влияющим на конечный ответ и приводит к результатам не противоречащим в конечном итоге требованиям симметрии.
Актуальным является также создание численных методов расчета фейнмановских интегралов, регуляризованных высшими ковариантны-ми производными, в тех случаях когда не удается вычислить эти интегралы аналитическим путем.
Целью диссертационной работы является исследование структуры квантовых поправок в суперсимметричных теориях при использовании регуляризации обрезанием петлевого импульса, а также изучение характерных особенностей применения этой регуляризации при наличии суперсимметричной инвариантности.
Научная новизна. В диссертации при использовании неинвариантной (т.е. нарушающей калибровочную симметрию) регуляризации обрезанием петлевого импульса впервые вычислены двухпетлевая /J-функция и аномальная размерность N = 1 суперсимметричной электродинамики.
Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы для изучения влияния регуляризации на результаты вычислений квантовых поправок в суперсимметричных теориях, а также при разработке методов вьгаислений квантовых поправок с использованием неинвариантных регуляризации. Кроме того, вычисления с использованием регуляризации обрезанием петлевого
импульса могут быть интересны при исследовании проблемы аномалий в суперсимметричных теориях.
Результаты могут быть использованы в НИИЯФ МГУ, ИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ФИАН, ИТЭФ, МИАН, МГПУ им. Ленина.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре Института теоретической и экспериментальной физики (Москва), Лаборатории теоретической физики ОИЯИ (Дубна), сессии Отделения Ядерной физики РАН (2002 г.) на научных семинарах НИИЯФ МГУ, семинарах кафедры теоретической физики физического факультета МГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух приложений, заключения и списка используемой литературы. Объем диссертации составляет ПО страниц текста, набранного в издательской системе LATEX.
Суперполевое описание N=1 суперсимметричной электродинамики
Обощение метода т Хофта-Вельтмана на двухпетлевой случай было сделано в работе [58]. Однако, в соответствии с формулой (1-11) в двухпетлевом приближении необходимо знать не только вторую вариацию действия, но также третью и четвертую вариации, форма которых может быть достаточно сложной. Поэтому соответствующие алгоритмы также оказываются достаточно сложными и в настоящий момент построены только для весьма ограничеснного класса моделей. Поэтому в двухпетлевом приближении более предпочтительным оказывается метод, основанный на прямом построении и вычислении диаграмм Фейнмана в соответствии с описанным выше методом.
Для того, чтобы строить модели теории поля, которые инвариантны относительно преобразований суперсимметрии, наиболее удобно использовать некоторый специальный формализм, основанный на понятии суперпространства.
Добавим к обычным координатам х майорановский спинор в. Свойство майрановости означает, что спинор в удовлетворяет условию 0-0тС, . (1.19) где С - матрица зарядового сопряжения. Суперпространством называется пространство, координатами которого является набор (х ві). Функции, заданные на суперпространстве мы будем называть суперполями. В принципе, суперполя могут иметь произвольный закон преобразования под действием преобразований Лоренца, например, быть скалярами или спинорами.
Важную роль играют киральные суперполя, которые по определению удовлетворяют условию (1 - ъ)Оф = 0, (1.20) где суперсимметричная ковариантная производная D записывается в виде D = - -1 0 др. (1.21) Известно [1, 2], что произвольный интеграл вида 1 хсі4вУ + І х(і2вф + 1 х(12вф\ (1.22) является инвариантным {с точностью до интеграла от полной дивир-гениции) относительно преобразований суперсимметрии, которые генерируются оператором суперзаряда Я = Ь"0)д,. (1.23) При этом V - произвольное вещественное суперполе, ф - произвольное киральное суперполе, а интегралы по антикомму тирующим переменным определяются равенствами I =wp-riw (1-24) В частности, формула (1.22) может быть использована для построения различных суперсимметричных лагранжианов. Например, рассматриваемая далее N = 1 суперсимметричная электродинамика в супер-. пространстве описывается действием S = - Re J d4xd2eWaCabWb + j 1 х 1 6(ф е2Уф+ф е 2Уф) (1.25) При этом фиф- киральные суперполя, которые в терминах компонентных полей записываются как Ф(у,в) = Р(У) + ё(1 + ЪШУ) + \в(\ + 7Б)6/(У); ФІУ, В) = ФІУ) + 0(1 + Ъ)ф{у) + 2 (1 + 7&)Я/М, (1-26) где = + 75 (1-27) - киральные координаты, и ф - комплексные скалярные поля, / и / -вспомогательные комплексные скалярные поля, а ф и i/ - майорановские спиноры, которые могут быть объединены в один дираковский спинор Ф = ((1 + ъ)Ф + (1 - Ъ)Ф). (1.28) Раскладывая формулу (1.26) вблизи точки ж по степеням антиком-мутирующей переменной в, получаем другую форму записи N — 1 ки-ралъного суперполя: ф(х,в) = р(г) + 0(1 + ъ)Ф{х) + 0(1 + 75)6» f{x) + + 750 () - \{Щ (1 + 75)ад( ) - \(00)2&ф). (1.29) Аналогичная форма записи может быть приведена и для поля ф. Через V в действии (1.25) обозначено абелево вещественное суперполе, которое в компонентах записывается как V(zt6) = С{х) + Ы(а) + ЩК{х) + \{НВ)Щх) + -\д с{х)). (1.30) где Су К у Н и D - вещественные скалярные поля, А - калибровочное поле, а и х майорановские спиноры. Действие (1.25) является инвариантным относительно преобразований суперсимметрии 8 р = (1 + 75) ; 8ф — (Re/ + 75Іт/): - id (Re(p + 75 1 )7 1 8f = -ёу(1 + 1ь)дйф (1.31) для компонент кирального суперполя и 5С = {л/2Ъ; = ( - гЪК + Я + i-fAp + 7 75 С)є; 5Я = л/2(-ех-іе7 )і 5,4,, - V Vx + 7" )i 1 $Х = ущ{ - ііь& + vd,tAv)e\ 5D = л/2є уБд Х (1-32) для компонент калибровочного суперполя V. При этом видно, что преобразования супер симметрии действительно перемешивают между собой бо зонные и фермионные компонентные поля. Кроме того, действие (1.25) является инвариантным относительно суперсимметричных калибровочных преобразований У +У-\{А + А+); ф- еАф; ф - е лф, (1.33) где А - произвольное скалярное киральное суперполе, которое в компонентах может быть записано в виде A{y,$) = a{y) + 0(1 + ЪЩу) + І(1 + -уь)07(у). (1-34) где о: и (3 представляют собой комплексные скалярные поля, а (3 - май-орановский спинор. Это означает, что инвариантность (1.33) является значительно более широкой, чем обычная локальная калибровочная инвариантность в теории поля. Однако, существует возможность выбора т.н. калибровки Весса-Зумино, в которой величины /?, 7 и Im(a) фиксируются условием V{x,9) = ё ъе А х) + 1тД{Щ{9ъх{х)) +\(Щ2П{х). (1.35) При этом остаточная калибровочная инвариантность в калибровке Весса-Зумино [1, 2] будет совпадать с обычной локальной калибровочной инвариантностью. Тем не менее, калибровка Весса-Зумино явно нарушает суперсимметрию, что делает ее неудобной для вычисления квантовых поправок. Суперполе Wa в формуле (1.25) является суперсимметричным аналогом тензора напряженности калибровочного поля и в абелевом случае определяется как Wa = TeD{1 " lb)D[(l + l5)DaV) (1.36) и в абелевом случае не меняется под действием калибровочных преобразований (1.33). Поле Wa является киральным вейлевским спинором и с использованием киральных координат уи может быть представлено как Wa = i(l + 75)( 2 Х(У) - i9D{y) + І ЄЕ ІУ) - У хЫ в(1-+75)0). (1.37) После взятия интеграла по антикоммутирующим переменным в действие (1.25) в терминах компонентных полей записывается в виде S = \г J d \ % + ХУ Х + \&) + / (V Wtp + D V ip + 1 7 2?/ Ф + p D p - ф Вф + «Ф(1 - 75)х + х(1 + 7б)Ф - ДО - Ъ)Щ гф Ъ(1 + 75)х), (1-38) В массивном случае действие (1.25) должно быть модифицировано следующим образом: S = - Re J d x d20 WaCabWh + \jdAx d4 {ф е2Уф + ф е 2Уф) + +\тІ хй28фф+\т!аАхд?вф ф\ (1.39) 2 J 2 Вычисляя интегралы по антикоммутирующим переменным, несложно убедиться, что в этом случае скалярные и спинорные компоненты полей материи приобретают одинаковые массы равные т.
Далее вычисление квантовых поправок можно производить, напри-мер, в терминах компонентных полей при помощи алгоритма, изложенного в предыдущем параграфе. Однако, такой метод с практической точки зрения ведет к достаточно сложным вычислениям, пример которых будет приведен далее. Поэтому более широкое применение нахошел метод, основанный на использовании техники суперграфов, который излагается ниже. 1.3 Квантование в суперпространстве
Квантование любой суперсимметричной теории может быть выполнено стандартным образом, если записать ее действие в компонентной форме. Однако, такой метод является очень неэффективным при исследовании структуры и нахождения явного вида квантовых поправок, поскольку число диаграмм Фейнмана оказывается достаточно большим, а структура вершин взаимодействия достаточно сложной. Кроме того, суперсимметрия при вычислениях никак не используется.
Однако, существует метод, позволяющий значительно упростить петлевые вычисления в супер симметричных теориях [1], а также явно сохранить супетсимметрию на всех этапах вычисления. Применим этот метод к N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамике.
Регуляризация методом Паули-Вилларса
Удобным методом регуляризации является метод Паули-Виларса [12]. Основной идеей метода является добавление в модель фиктивных полей значительной массы М и противополжной грасмановой четности. При рассмотрении теории с учетом таких полей расходимости исчезают. Переход же к пределу М .— оо дает нам исходный вариант теории.
Метод высших ковариантных производных, дополненный видоизмененной процедурой Паули-Виларса сводится к модификации исходного лагранжиана. Непосредственно метод высших ковариантных производных состоит из нескольких этапов. На первом в лагранжиан вводятся члены, содержащие высшие ковариантные производные, что фактически означает переход к суперперенормируемой теории, в которой расходится лишь конечное число однопетлевых диаграмм. Их регуляризация осуществляется при помощи метода Паули-Виларса.
На этом этапе полностью регуляризуются все многопетлевые диаграммы и все диаграммы с внешними духовыми линиями, таким образом мы получаем суперперенормируемую теорию. Далее в качестве калибровочного условия мы выбираем «и/ так, что К = - , + /- 2-28 Применение теперь процедуры регуляризации Паули-Виларса дает в однопетлевом случае Г = trln (ІЗАП(і4(Г) - і trln (СШ )6"). (2.29) В принципе можно не ограничиваться случаем теории Янга-Миллса, а рассмотреть наиболее общую полевую модель с действием, зависящим от полей ф в плоском пространстве [36]. При этом (2.29) также имеет #=- место, если г2сА DArJ = 5фЧф/ D« = www, " W = О.- - f.Jm?, (2.30) где учтено сокращение духовых детерминантов с высшими производными. (Заглавные буквы здесь относятся к полям 0, а строчные к духовым полям). Анализ формулы (2.29) показывает, что результат вычисления расходящейся части эффективного действия при использовании регуляризации высшими ковариантными производными всегда совпадает с аналогичным результатом, полученным в размерной технике [36]. Этот факт вообще говоря не является тривиальным, поскольку в литературе известен пример [64], когда вычисление однопетлевой /3-функции теории Янга-Миллса при использовании регуляризации высшими производными, дало результат, отличный от стандартного. Однако, как оказалось [65], полученное противоречие является артифактом сингулярного характера калибровки = 0, который требует проведения более аккуратного исследования.
Далее мы будем предполагать, что Afj-= аД, где-о, - некоторые постоянные. Добавление детерминантов Паули-Вилларса позволяет сократить остаточные расходимости во всех однопетлевых диаграммах, включая диаграммы с контрчленными вставками. Далее будет показано, что в рассматриваемом приближении расходимости в диаграммах с внутренними петлями полей Паули-Вилларса сокращаются при суммировании выражений для всех диаграмм. Поскольку регуляризация Паули-Вилларса подразумевует подиаграммное сокращение расхо-димостей, то это означает, что для таких диаграмм нет необходимости вводить какие-либо еще дополнительные регуляризации.
Другим достаточно мощным методом устранения расходимостей является так называемая размерная регуляризация. По этой причине расходящиеся интегралы, которые соответствовали диаграммам в четырехмерии, в пространствах меньшей размерности могут превратиться в сходящиеся. При этом сохраняются свойства инвариантности относительно общекоординатных и калибровочных преобразований. Следующим шагом в этом направлении явяется переход к пространствам дробной размерности. Основная идея метода состоит в том, что функции Грина рассматриваются как функции размерности пространства щ имеющие при n = 4 полюса.
Вопрос интегрирования по пространству нецелой размерности нельзя понимать буквально, поскольку векторные пространства обладают либо конечной целой, либо бесконечной размерностью. В силу этих причин размерную технику стоит рассматривать как набор некоторых формальных правил, позволяющих зачастую прийти к правильному результату сравнительно малыми силами.
Двухпетлевая /3-функция
В двухпетлевом приближении нетривиальный вклад в /3-функцию дают диаграммы, показанные на рисунке 5.4. При их вычислении мы использовали регуляризацию с помощью обрезания петлевого импульса. При вычислении каждой конкретной диаграммы с помощью ряда тождеств результат вычисления приводился к виду: Диаграмма = WaCahWb Iw + V2 Iv. (3.18) где Iw и ly - некоторые регуляризованные интегралы. Соответствующие выражения приведены в приложении А.
После этого выражения для всех феймановских диаграмм суммировались. Поскольку слагаемые с не являются калибровочно инвариантными, то они должны сократится в конечном результате, если допустить возможность проведения сдвигов импульса в расходящихся интегралах. Однако, на самом деле такая операция приводит к появлению локальных неинвариантных слагаемых, нарушающих тождества Уор-да. Как уже было сказано ранее, такие вклады удаляются специальным выбором схемы вычитаний. Однако, проводя формально сдвиг импульса можно проверить правильность проведенных вычислений. Поэтому после формальных сдвигов импульса на некотором этапе для двухточечной функции Грина калибровочного поля должно получаться выражение:
Сумма диаграмм = WaCa Wb 5Z Iw- (3.19) В соответствии с описанной выше процедурой, интегралы Iyy после добавления контрчленов определяют перенормированное эффективное действие. Поэтому для нахождения р-функции они вычислялись с использованием регуляризации обрезанием петлевых импульсов.
Двухпетлевая аномальная размерность может быть получена после вычисления расходящихся двухпет левых диаграмм с Еф = 2 и Еу = О, показанных на рисунке. (На этом рисунке также приведена диаграмма, определяющая однопетлевую аномальную размерность.)
Эта двухпетлевая аномальная размерность не совпадает с результатами, полученными при помощи размерной редукции и MS-схемы [27] и при помощи метода высших производных [37, 38] в схеме вычитаний, аналогичной той, которая используется в данной работе. Однако, в рассматриваемом случае и не было необходимости ожидать совпадения результатов, поскольку двухпетлевая аномальная размерность является схемно зависимой. Значительно более интересным является сравнение полученного результата с трехпетлевой /3-функцией, вычисленной в предложенной схеме при использовании канонического условия нормировки для суперполей материи.
Однако, необходимо заметить, что для диаграмм, которые содержат вставки однопетлевых контрчленов, регуляризация обрезание петлевого импульса работает плохо, поскольку результат оказывается чувствительным к отношению импульсов обрезания в различных диаграммах. Поэтому такие диаграммы необходимо вычислять с использование какой-либо другой, непротиворечивой регуляризации. На самом деле, сумма таких диаграмм отлична от 0 и представляет собой аномалию Кониши, исследование которой проводится в следующей главе с помощью метода высших производных. Глава 4. Аномалия Кониши, ее вычисление и влияние на -функцию
Заметим, что приведенные рассуждения, строго говоря, доказательством не являются, поскольку формула (4.3) не содержит всех членов разложения выражения (4.2), пропорциональных вв. Строгий вывод аномалии Кониши будет приведен далее. Целью приведенных выше рассуждений является именно пояснение связи аксиальной аномалии в аномалии Кониши. i j d4x d49 (ф є2Уф + ф е 2Уф)) = --L Re / г d20 WaCobWb. (4.8)
Именно такая ситуация и имеет место в методе размерной редукции. Действительно, если мы работаем в формализме суперграфов, то дополнительные условия типа tr(АВ) ф tr(.RA), которые обычно накладываются при вычислении аксиальной аномалии, автоматически не удовлетворяются. В результате вычисления с необходимостью проводятся с использованием исходного варианта метода, предложенного в [40]. Но в рамках этого метода размерность пространства обязательно должна считаться меньшей 4. Поэтому (в отличие от размерной регуляризации) 75 матрица в размерной редукции антикоммутирует со всеми 7-матрицами, благодаря чему киральная симметрия в регуляризованной теории сохраняется. Однако, полученное противоречие просто является следствием описанных выше внутренних противоречий метода регуляризации при помощи размерной редукции. 4.2 Компонентное вычисление аномалии Кониши.
Величина (4.1) может быть получена в результате вычисления диаграмм Фейнмана, которые приведены на рисунке 4.1, с использованием непротиворечивой регуляризации. Поэтому с точки зрения диаграмной техники сумму вкладов в двухточечную функцию Грина калибровочного поля от диаграмм, которые содержат контрчленные вставки на линиях суперполя материи, оказывается пропорционанльнои аномалии Кониши. Вообще говоря во внешних линиях могут присутствовать как векторные, так и спинорные компоненты суперполя V. Для простоты вычислений мы будем рассматривать диаграммы с внешними линиями калибровочного поля Ар. Тогда по петле будут распространяться либо только скалярные, либо только спинорные поля. (В спинорном случае диаграммы с двойной вершиной отсутствуют.)
Компонентное вычисление аномалии Кониши
Величина (4.1) может быть получена в результате вычисления диаграмм Фейнмана, которые приведены на рисунке 4.1, с использованием непротиворечивой регуляризации. Поэтому с точки зрения диаграмной техники сумму вкладов в двухточечную функцию Грина калибровочного поля от диаграмм, которые содержат контрчленные вставки на линиях суперполя материи, оказывается пропорционанльнои аномалии Кониши. Вообще говоря во внешних линиях могут присутствовать как векторные, так и спинорные компоненты суперполя V. Для простоты вычислений мы будем рассматривать диаграммы с внешними линиями калибровочного поля Ар.
Содержащийся здесь интеграл может быть вычислен в евклидовом пространстве после поворота Вика. Диаграммы Фейнмана, дающие нетривиальные вклады в аномалию Кониши для N = 1 суперсимметричной электродинамики. Глава 5. Численная оценка петлевых интегралов, регуляризованных высшими производными
Выше было рассмотрено вычисление диаграмм Фенмана при использовании достаточно простой (с технической точки зрения) регуляризации обрезанием петлевого импульса. Однако, значительно более интересно применять в супер симметричных теориях регуляризацию с помощью высших ковариантных производных. И если в абелевом случае ее применение не вызывает каких-либо затруднений, а соответствующие петлевые интегралы аналитически вычисляются, то в неабелевом случае появляются значительные технические сложности [72]. В этом случае определенным упрощающим обстоятельством может стать инс-пользование регуляризации, в которой вместо ковариантных производных в регуляризирующем слагаемом присутствуют обычные производные. Такая регуляризация нарушает калибровочную инвариантность, но как и для рассмотренной ранее регуляризации обрезанием петлевого импульса, калибровочная инвариантность может быть восстановлена при помощи специальной схемы перенормировки, которая дает перенор мированное эффективное действие, которое автоматически удовлетворяет тождествам У орда [61]. Однако, получающиеся при применении этой регуляризации интегралы оказываются достаточно сложными и, по-видимому, не могут быть вычислены аналитическими методами. Поэтому в данном случае скорее всего придется проводить их численное исследование. В данной главе такое исследование проводится для ряда характерных двухпетлевых интегралов.
Для проведения численного исследования интегралов, появляющихся при использовании регуляризации высшими производными, нами был избран широко известный метод прямоугольников [73]. Кратко перечислим основные идеи метода.
Другие методы, такие как метод трапеций или метод Симпсона, также можно применять для расчета интегралов и оценки соответствующих ошибок. Однако мы решили избрать именно метод прямоугольников, поскольку он является наименее ресурсоемким из всех перечисленных, а также позволяет достичь вполне приемлимой точности измерений.
После того, как расчет интеграла произведен для необходимых значений аргументов, мы хотим представить результат как некоторое разложение по параметру регуляризации Л и производим вычисление необходимых коэффициентов, для которых также оцениваем погрешности.
