Введение к работе
Актуальность темы. Вычисления по теории возмущений занимают важное место в исследованиях по квантовой теории поля. Например, для корректного сопоставления с экспериментальными данными с современных ускорителей часто требуются расчеты электрослабых поправок в однопетлевом приближении, электромагнитных -в двухпетлевом. Причем указанное приближение соответствует вычислению самой измеряемой величины; для правильной оценки точности полученного результата требуются расчеты в следующем порядке.
Особое место занимают КХД-поправки. Большая величина константы связи в этом случае приводит зачастую к тому, что учет первых порядков теории возмущений дает весьма грубые предсказания, соответствующие экспериментальным данным в лучшем случае по порядку величины. Попытки как-то улучшить ситуацию привели к возникновению различных вариантов пересуммпрования ряда теории возмущения, в частности к методу правил сумм КХД.
В этом методе разделяются вклады, соответствующие взаимодействиям на больших и малых расстояниях ("мягким" и "жестким" импульсам). Так, например, коррелятор (вакуумное среднее от Т-
произведения) двух токов разлагается в ряд, члены которого представляют собой произведения "коэффициентных функций" (соответствующие вкладу "жестких" импульсов) на некоторые параметры — "конденсаты", описывающие вклады "мягких" импульсов. Коэффициентные функции вычисляются по обычным правилам теории возмущений. Значения же конденсатов подбирают из условия лучшего согласия теоретических предсказаний с экспериментом, т.е. эти параметры имеют феноменологичекий характер.
Одной из наиболее важных задач при этом является определение значения глюонного конденсата (вакуумного среднего от квадрата кривизны глюонного поля), который определяет основной непертур-бативный вклад в целом ряде физических задач.
Оценки данного конденсата существенно зависят от деталей феноменологической обработки. Такое рассогласование можно было бы объяснить большой величиной неучтенных хромодинамических поправок к соответствующим коэффициентным функциям. Например, неведущие (однопетлевые) поправки к коэффициентным функциям четырехкварковых конденсатов, появляющихся в правиле сумм для "легких" кварков, довольно велики: на уровне 60% от борцовского вклада. Учет этих неведущих поправок приводит к лучшему согласию значений четырехкварковых конденсатов, найденных из /э-мезонных и барионных правил сумм. С другой стороны, неведущие (двухпетлевые) поправки к коэффициентным функциям глюонного конденсата в случае легких кварков довольно малы (на уровне 10% от ведущего вклада).
В случае токов тяжелых кварков аналогичные проблемы также
представляют большой интерес. Расчеты двухпетлевого вклада в коэффициентные функции глюонного конденсата для случая корреляторов токов тяжелых кварков составляют одну из основных задач диссертации.
При проведении подобных расчетов обычно используется размерная регуляризация расходящихся интегралов. Одним из главных ее достоинств является то, что она в случаях квантовой электродинамики и хромодинамики сохраняет калибровочную инвариантность, которая проявляется в виде тождеств Уорда. Однако для теорий, использующих киральные токи (например, в Стандартной Модели электрослабых взаимодействий) это не так. Аналогичные трудности возникают при расчетах с внешними аксиальными токами в хромоди-яамике (например, при вычислениях соответствующих корреляторов, необходимых для применения правил сумм).
Трудности в этих случаях связаны с корректным определением правил работы с 75 матрицей для пространства-времени нецелой размерности. В вычислениях чаще всего используют так называемую "антикоммутирующую" 75~матрицу, т.е. свойство
7у + уу в о, d ф 4, (1)
сохраняется для всех 7"_ма.триц Дирака. Однако этот способ несамосогласован. При вычислениях следов с нечетным числом 75_матриц возникают противоречия и, в частности, при прямом использовании правила (1) получается нулевое (неправильное) значение треугольной аномалии.
С другой стороны, существует корректный способ определения 75
матрицы в размерной регуляризации, а именно "четырехмерная" уъ матрица:
75 = г77У73, d*A. (2)
К сожалению, конкретные расчеты в этом случае значительно более громоздки. В частности, при вычислении функций Грина появляются так называемые "фиктивные" аномалии, т. е. члены, которые хотя формально нарушают тождества Уорда, но могут быть (и должны быть) устранены конечной перенормировкой.
Были предложены другие варианты работы с у5. Однако, они или приводят к чрезвычайно громоздким вычислениям, или их внутренняя непротиворечивость недостаточно хорошо обоснована. Таким образом, необходимы дальнейшие исследования в этом направлении.
Цель диссертационной работы - вычисление двухпетлевых поправок к коэффициентным функциям глюонного конденсата в разложении корреляторов векторных, аксиальных и (псевдо) скалярных токов, а также развитие методов работы с 75~матрицей в размерной регуляризации.
Научные результаты и новизна работы.
1. В приближении тяжелых кварков впервые были аналитически вычислены первые семь коэффициентов разложения в ряд Тейлора двухпетлевых поправок к коэффициентным функциям глюонного конденсата в корреляторах двух токов для случаев векторных, аксиальных и (псевдо)скалярных токов.
-
Полученные коэффициенты были использованы для аппроксимации спектральной плотности соответствующей коэффициентной функции.
-
Полученные данные были использованы для уточнения значения глюонного конденсата. Было показано, что учет полученных двухпетлевых поправок к структурной функции приводит к почти двухкратному увеличению этого значения.
-
Была предложена модификация стандартных правил работы с "четырехмерной" 75_матрицей, которая позволяет избежать появления фиктивных аномалий при однопетлевых расчетах в абелевых теориях, в частности, при расчетах корреляторов двух аксиальных токов.
-
Предложенный рецепт работы с "четырехмерной" -у5-матрицей был обобщен на многопетлевой уровень. Для этого было использовано специальное представление R-операщш, позволяющее перенормировать диаграммы рекуррентно по петлям, причем в желаемом порядке по сортам линий. В качестве перенормировочной процедуры использовалась специальная модификация размерной перенормировки, а именно "перенормировка по асимптотикам".
Практическая ценность работы. Практическая ценность полученных результатов определяется широким применением правил сумм в физике элементарных частиц. Вычисления двухпетлевого вклада в коэффициентную функцию глюонного конденсата предоставляют дополнительную информацию о свойствах рядов теории возмущений в КХД, а также могут быть использованы в различных феноменологических расчетах с использованием правил сумм. Пред-
ложенная модификация правил размерной регуляризации упрощает расчеты в случае появления фиктивных аномалий, что особенно актуально для многопетлевых задач.
Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-8] и докладывались на IV международной конференции по применению компьютерной алгебры в физических исследованиях (Дубна, 1990), Школах молодых ученых НИИЯФ МГУ (Ужгород, 1989; Сочи 1992), на семинарах Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ, в ИЯИ РАН, ОИЯИ, ИФВЭ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения, содержит 4 таблицы и 5 рисунков, а также список литературы (87 названий). Объем диссертации 96 страниц.
