Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Вращающаяся черная дыра во внешнем электромагнитном поле
I. Пробное аксиально-симметричное однородное поле 15
2. Неоднородные аксиально-симметричные конфигура ции 21
3. Скрещенное электромагнитное поле 29
4. Сила, действующая на черную дыру 31
5. Точные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла для аксиально-симметричных полей 38
ГЛАВА II. Круговые и квазикруговые орбиты заряженных частиц
I. Квазикруговое движение частиц в метрике Керра-Ньюмена 52
2. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле в метрике Керра 63
3. Движение в поле Шварцшильда-Эрнста 68
ГЛАВА III. Спонтанное и вынужденное излучение при негеодезическом движении заряженных частиц
I. Излучение скалярных волн 72
2. Электромагнитное излучение 79
3. Метод локальных координат 83
4-. Отрицательное поглощение в квазиклассических негравитирующих системах (мазер-Эффект) 91
5. Вынужденные колебания около круговых орбит 94
6. Отрицательное поглощение волн нерелятивист скими частицами 100
7. Ультрарелятивистский случай 102
ГЛАВА ІV. Влияние внешнего магнитного поля на сверхизлучение и квантовые процессы в черных дырах
I. Сверхизлучение 106
2. Квантовое испарение 117
3. Квазистационарные состояния массивных частиц. (бозонная неустойчивость) 120
Заключение 124
Литература
- Неоднородные аксиально-симметричные конфигура ции
- Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле в метрике Керра
- Электромагнитное излучение
- Квазистационарные состояния массивных частиц. (бозонная неустойчивость)
Введение к работе
Возникший в начале семидесятых годов интерес к теоретическому исследованию классических и квантовых процессов, которые могут происходить в окрестности черных дыр, не ослабевает и сейчас, несмотря на большое число работ, выполненных за последние годы. Новые физические представления, возникшие в теории черных днр[і-4І уже оказали свое влияние на общее развитие исследований, направленных на включение гравитации в объединенную теорию фундаментальных взаимодействий [5-8J, тем самым доказав свою плодотворность вне зависимости от астрофизического статуса черных дыр [і,9,ІСм . С другой стороны, астрофизические модели, основанные на представлении о черных дырах, также завоевывают все большее признание. Возможность объяснения высокой активности ядер галактик и квазаров, наличием в этих объектах сверхмассивных черных дыр, кажется простой и привлекательной. В этом отношении особенно интересной, на наш взгляд, является недавно предложенная модель вращающейся черной дыры, погруженной во внешнее магнитное поле [ll,12] . Хотя в силу известных "ПО-haiX" теорем [13-15] электрически-нейтральная черная дыра не может иметь собственных "магнитных волос" (помимо гипотетических монопольных), магнитное поле вблизи черной дыры может возникнуть за счет внешних причин; например, наличия у черной дыры магнитного спутника (пульсара), в результате аккреции окружающей дыру плазмы [іб,І7І . Наличие магнитного поля вокруг черной дыры, которое вблизи горизонта событий во многих случаях можно считать квазиоднородным, создает условия для реализации электродинамического механизма извлечения вращательной энергии из черной дыры через взаимодействие заряженных частиц с индукционным электрическим полем, возникающем из-за ее вращения. Оценка энерговыделения в такой системе, говорит о возможности привлечения ее в качестве модели ядер галактик и квазаров [її] .
Стационарные аксиально-симметричные конфигурации электромагнитных полей вблизи черных дыр изучались во многих работах. В частности, в II8-20J было найдено решение уравнений Максвелла для пробного электромагнитного поля в метрике Керра, которое асимптотически соответствует однородному магнитному полю. В J2I-23J исследовались электромагнитные поля вблизи вращающемся черной дыры, генерируемые стационарными, аксиально-симметричными источниками (точечный электрический заряд, кольцевой ток), причем полученные в этих работах решения, в отличие от ранее известных решений [24, 25], представлены в замкнутой алгебраической форме, а не в виде мульти-полных разложений.
Для учета влияния внешних электромагнитных полей на геометрию пространства-времени необходимо найти соответствующее решение системы уравнений Эйнштейна-Максвелла. Это можно сделать воспользовавшись симметрией системы уравнений Эйнштейна-Максвелла, позволяющей на основе ранее известных точных решений, применяя определенный класс преобразований, построить другие точные решения. Одним из первых, кто указал на этот путь нахождения решений был Элерс 126] . Впоследствии эта проблема изучалась в работах І27-30І, в частности, в [зо] была доказана теорема о том, что система уравнений Эйнштейна-Максвелла, описывающая аксиально-симметричные конфигурации электро акуума инвариантна относительно некомпактной группы В работах [28,2э] теория была сформулирована на языке комплексных потенциалов, и далее с помощью упомянутой теоремы, в ІЗІ,32І были построены новые точные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла для невращающейся, а также вращающейся и обладающей некоторым "специфическим" электрическим зарядом черной дыры во внешне! аксиально-симметричном, однородном магнитном поле.
Движение пробных частиц в полях Керра и Керра-Ныомена исследовалось в работах ІЗЗ-4ІІ . Существенный вклад внес Картер, кото - 6 рый в рамках метода Гамильтона-Якоби нашел все независимые интегралы движения [33 J , В дальнейшем, движение пробных частиц в метрике Керра изучалось в [34-38,4IJ , а в поле Керра-Ньюмена в [39,40 (подробный список литературы можно найти в монографии [42] , а также в обзоре [43] ). В присутствии внешнего магнитного поля движение заряженных и нейтральных частиц в поле Шварцшильда подробно исследовалось в [44] . Было показано, что магнитное поле существенно расширяет области существования и устойчивости круговых траекторий, и делает возможным ультрарелятивистское движение по устойчивым орбитам, удаленным от замкнутой фотонной орбиты. Некоторые особенности движения заряженных частиц в магнитном поле в пространствах Шварцшильда и Керра, на основании численного анализа распределения эффективного потенциала, рассматривались в [45, 4б] .
Излучению ультрарелятивистских частиц, движущихся по геодезическим круговым траекториям в метрике Керра, получившее название "геодезического синхротронного излучения" (ГСИ), посвящены работы [47-49] .
В наиболее общем случае пространства-времени Керра-Ньюмена, излучение ультрарелятивистских частиц вблизи замкнутой фотонной орбиты, а также вдали от нее, исследовалось Г.А.Алексеевым І50,5ІІ.
Интерес к такому типу излучения связан с известными "полезными" свойствами синхротронного излучения улырарелятивистских частиц, движущихся в однородном магнитном поле в плоском пространстве-времени (прожекторный эффект и присутствие в спектре высоких гармоник основной частоты), теория которого была развита в работах А.А.Соколова, И.М.Тернова и других авторов [52-57] . Высказывалась мысль, что механизм гравитационного ГСИ может обеспечить аномально высокое значение потока гравитационных волн на Земле, находящегося на уровне результатов первых измерений Вебера I58 j . Однако,
- 7 -как это неоднократно подчеркивалось в литературе, ГСИ не обладает всеми свойствами "обычного" синхротронного излучения (СИ), например, гравитационное ГСЙ не имеет максимума в области высоких частот, кроме того мощность ГСИ в [ раз меньше ( J -лоренцев фактор) мощности синхротронного излучения. Недостатком модели является также то, что ультрарелятивистские траектории являются неустойчивыми, причем их близость к замкнутой фотонной орбите, дополнительно снижает мощность излучения. Различие в свойствах ГСИ и синхротронного излучения можно понять, используя приведенные в [59І соображения о длине формирования излучения с заданной частотой. При движении по орбите, близкой к замкнутой фотонной орбите, испускаемый релятивистской частицей высокочастотный импульс следует за ней, ввиду близости траектории фотона и ультрарелятивистской частицы. Вследствие этого излучение высокой частоты в заданном направлении формируется не на малом участке траектории порядка to/ f , как в случае плоского пространства-времени _5б], а на участке длины порядка радиуса траектории Z0 • Поэтому спектральное распределение излучения экспоненциально спадает не на частотах порядка "§ к основному тону, а на частотах в if раз меньших.
Однако следует отметить, что, как показано в [бо] , при движении ультрарелятивистской частицы вдали от замкнутой фотонной орбиты в поле Керра-Ньгомена, ее излучение повторяет свойства СИ в плоском пространстве-времени. Излучение ультрарелятивистских частиц, движущихся по круговым негеодезическим траекториям в метрике Шварцшильда при наличии внешнего магнитного поля рассматривалось в [44,60j . Было показано, что в этом случае качественно повторяется вся картина синхротронного излучения в плоском пространстве-времени. Такая модель также устраняет и другие недостатки, присущие ГСИ ( в частности, рассматриваемые ультрарелятивистские орбиты принадлежат к классу устойчивых орбит).
Известно, что взаимодействие электронов, движущихся в магнитном поле в плоском пространстве-времени с электромагнитными волнами, может иметь характер отрицательного поглощения, что лежит в основе принципа действия мазеров на циклотронном резонансе 57, 61, 62] . Физически это объясняется нелинейной зависимостью циклотронной частоты от энергии частицы. В работе Соколова А.А. и Тернова И.М. [63] было отмечено, что в принципе, возможно получение эффекта отрицательного поглощения на высоких гармониках циклотронной частоты. Изучение этой проблемы было продолжено в работах [64-,65] , в которых на основании анализа общих закономерностей взаимодействия электромагнитных волн с квазиклассическими системами были предложены некоторые новые системы, которые могут быть использованы в устройствах мазерного типа. В [бб]было показано, что в случае мультипериодических систем, обладающих несколькими несовпадающими частотами, отрицательное поглощение может возникнуть на некоторых комбинационных частотах, и в отсутствии зависимости периодов от энергии.
В дальнейшем Д.В.Гальцовым была высказана идея о возможности отрицательного поглощения волн в макроскопических гравитационных полях, и в работе [67J было показано, что взаимодействие заряженных частиц, движущихся в однородном магнитном поле в метрике Шварцшильда с электромагнитными волнами, на некоторых комбинационных частотах, имеет характер отрицательного поглощения.
Представляет интерес также изучение влияния внешнего магнитного поля на квантовые процессы ( сверхизлучение, квантовое испарение, бозонная неустойчивость) в поле микроскопических черных дыр. Явление, получившее название сверхизлучения [б8-7о],в настоящее время хорошо изучено в литературе. Идея о возможности эффекта усиления при рассеянии волн вращающейся черной дырой принадлежит Я.Б.Зельдовичу [б8,69І . Исследуя рассеяние электромагнитных волн вращающимся проводящим цилиндром, Зельдович обнаружил, что при выполнении условия 6)4 12, где 60 - частота, ЛП - орбитальный момент волны, a It - угловая скорость вращения цилиндра, происходит усиления отраженной волны. В связи с этим было высказано предположение, что подобное явление может иметь место при рассеянии волн вращающейся черной дырой. В дальнейшем справедливость этого предположения была показана в работах [71-74-]. С физической точки зрения явление усиления при рассеянии соответствует процессу индуцированного излучения, который в рамках квантовой теории возможен наряду со спонтанным излучением. Спонтанное "сверхизлучение" представляет собой процесс рождения пар. Благодаря квантовым флуктуациям вакуума в эргосфере черной дыры существуют виртуальные пары частиц и античастиц. При этом вследствие неоднородности гравитационного поля частицы виртуальной пары могут разойтись на такое расстояние, что они могут избежать аннигиляции и превратиться в реальные частицы. Если при этом одна из частиц находится в эргосфере, где ее энергия отрицательна, а другая - вне эргосферы, то первая частица захватывается черной дырой, а вторая уходит на бесконечность, отбирая энергию и момент у вращающейся черной дыры.Отметим, что процесс спонтанного сверхизлучения не приводит к нарушению закона возрастания площади поверхности горизонта, и в этом отношении является "квазиклассическим". Другое принципиально важное, чисто квантовое явление, имеющее место и в поле невращающейся черной дыры, было открыто Хокингом 75,76] , согласно которому черная дыра является источником стационарного теплового излучения с планковским спектром. Впоследствии это явление в различных аспектах изучалось в работах [77-82І .
Исследованию поведения массивных квантованных полей вблизи черных дыр посвящены работы [83-88] .В 183 І в случае массивного скалярного поля в метрике Керра, на основании численного анализа, в ВКБ приближении (комптоновская длина волны намного меньше гравитационного радиуса черной дыры), коэффициента прохождения через потенциальный барьер, было показано, что вблизи сверхизлучатель-ных мод возникают неустойчивости квазистационарных состояний. Впоследствии, детальное изучение этой проблемы вблизи вращающейся черной дыры проводилось в [84-87,88 J ,
В настоящей диссертации изложены результаты автора ІІІЗ-П5, 125,135,138,139,1421 по теории черных дыр, погруженных во внешнее асимптотически однородное магнитное поле. Она содержит:
1. Построение и исследование физических свойств некоторых новых решений для стационарных конфигураций электромагнитных полей в метрике Керра, выяснение характера воздействия этих полей на черную дыру.
2. Исследование экваториальных (круговых) и квазиэкваториальных (квазикруговых) орбит заряженных частиц в окрестности "замагни-ченной" вращающейся черной дыры, а также спонтанного и вынужденного излучения частиц, движущихся по таким орбитам.
3. Выяснение влияния внешнего магнитного поля на эффект "сверхизлучения" и квантовые процессы в пространстве времени Керра и Керра-Ньюмена.
Первая глава посвящена построению некоторых решений для стационарных электромагнитных полей в пространстве времени Керра, исследованию воздействия внешнего электромагнитного поля на вращающуюся черную дыру с учетом нелинейных членов, а также нахождению точного решения системы уравнений Эйнштейна-Максвелла, описывающего медленно вращающуюся электрически-нейтральную черную дыру во внешнем аксиально-симметричном магнитном поле.
Рассматривается случай однородных аксиально-симметричных магнитного и электрического полей. Модифицируется известный метод по - II лучения решений вакуумных уравнений Максвелла с помощью векторов Киллинга. Отмечается, что аналогично возникновению разности электростатических потенциалов между горизонтом и бесконечно-удаленной точкой ДфЭл=-йВ в однородном магнитном поле вследствие фа-радеевской индукции в метрике вращающейся черной дыры, однородное электрическое поле создает разность "магнитостатических" потенциалов дфм= &Е » что должно приводить к аккреции монополей черной дырой.
Далее излагается метод построения функций Грина стационарных и аксиально-симметричных полевых уравнений в формализме Ньюмена-Пенроуза для возмущений полей различного спина ( 6= 0, +1, +2), Полученные формулы используются для вычисления разности потенциалов дФЭл и дфм Для аксиально-симметричных конфигураций пробных электромагнитных полей.
Следующий параграф посвящен нахождению решения уравнений Максвелла в метрике Керра, описывающего стационарное однородное электромагнитное поле при отсутствии аксиальной симметрии. С этой целью используется метод потенциалов Дебая в формализме Ньюмена-Пенроуза.
В четвертом параграфе вычисляется сила, действующая на вращающуюся черную дыру во внешнем стационарном электромагнитном поле, описываемом найденным в § 3 потенциалом Дебая. Предполагается, что дыра несет также малый электрический заряд (0.«П. ). Показано, что помимо обычной силы & , имеется также квадратичная по на-пряженностям полей сила, которая остается отличной от нуля и при = 0. Отмечается, что вращающаяся черная дыра, погруженная во внешнее асимптотически-однородное электромагнитное поле, не обладающее аксиальной симметрией с течением времени теряет угловой момент и, в конечном счете полностью останавливается, что находится в соответствии с теоремой Хокинга.
В пятом параграфе строится точное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла, описывающее медленно вращающуюся, электрически-нейтральную, "замагниченную" черную дыру. В отличие от решения Эрнста-Вильда, получаемого из "затравочного" Керровского решения, которое оказывается "замагниченным" решением для заряженной дыры, строится решение при &/м«і ,отвечающее нулевому заряду. Обсужда-. ется физический смысл "замагниченных" решений и параметров \Л , ft, & в этих решениях.
Во второй главе рассматривается негеодезическое экваториальное и квазиэкваториальное движение заряженных пробных частиц.
В отличие от работ, в которых вслед за Картером аналогичная задача рассматривалась в формализме Гамильтона-Якоби, проводится непосредственное интегрирование уравнений движения в поле Керра-Ньюмена. Вычислены частоты радиально-фазовых и аксиальных колебаний, исследованы области устойчивости круговых орбит для заряженных и нейтральных частиц, указано положение резонансов, возникающих при значениях радиусов, для которых характерные частоты находятся в кратных отношениях.
Второй параграф этой главы посвящен изучению экваториальных и квазиэкваториальных орбит заряженных частиц вокруг вращающейся черной дыры, погруженной во внешнее асимптотически однородное магнитное поле, направленное вдоль оси симметрии. Здесь также получены явные выражения для частот обращения радиально-фазовых и аксиальных колебаний. Показывается, что наличие магнитного поля приводит к стабилизации круговых орбит и делает возможным движение с ультрарелятивистской скоростью по устойчивым орбитам, удаленным от замкнутой фотонной орбиты.
В третьем параграфе аналогичная задача рассматривается для частиц в поле невращающейся черной дыры, находящейся во внешнем однородном магнитном поле, с учетом влияния последнего на метрику пространства-времени.
В третьей главе исследуется спонтанное и вынужденное излучение заряженных частиц при негеодезическом движении в метрике Керра.
В первом и во втором параграфах этой главы изучается скалярное и электромагнитное излучение. Получены выражения, обобщающие известные из теории синхротронного излучения в плоском пространстве-времени, формулы на случай пространства-времени Керра. Прослеживается предельный переход от режима СИ к режиму ГСИ.
В третьем параграфе развивается локальный метод описания синхротронного излучения в произвольном медленно меняющемся гравитационном поле. Показывается, что приведенные в § 2 формулы для спектра и поляризации синхротронного излучения в метрике Керра можно получить более простым способом из соответствующих формул теории синхротронного излучения в плоском пространстве-времени путем некоторого преобразования координат. Аналогичным образом получены квантовые поправки к классическому спектру излучения.
Далее исследуется индуцированное излучение заряженных частиц, в однородном магнитном поле в метрике Керра. Показывается, что в случае, когда в спектре падающей волны присутствуют частотыСО=(Т№)0» СА) = ГП(л)0 ± 0дг и Сл) - ГПС00 ± СО , взаимодействие носит резонансный характер. Анализируются различные комбинации частот отрицательного поглощения в системе нерелятивистских частиц. Исследуется возможность отрицательного поглощения волн ультрарелятивистскими частицами. С помощью формализма Ньюмена-Пенроуза вычисляются корреляционные функции, в терминах которых выражаются коэффициенты усиления (поглощения) волн ультрарелятивистскими частицами.
В заключение этой главы обсуждается аналогия между рассмотренным механизмом отрицательного поглощения волн частицами, движущимися по круговым орбитам и явлением сверхизлучения в метрике Керра.
В четвертой главе исследуется влияние внешних полей на сверхизлучение, квантовое испарение и бозонную неустойчивость массивных полей в метрике Керра.
В первом параграфе строится решение уравнения Клейна-Гордона для массивной заряженной частицы во внешнем однородном магнитном поле в пространстве-времени Керра-Ньюмена. В начале рассматривается случай слабого пробного магнитного поля. Показывается, что магнитное поле сдвигает порог сверхизлучения таким образом, как если бы дыра приобретала добавочный заряд -2&МВ . Далее рассматривается более общий случай произвольной (пробной) аксиально-симметричной конфигурации электромагнитного поля, спадающего на бесконечности, и внешнего магнитного поля, искажающего метрику пространства-времени. Показано, что в этом случае изменяется как порог сверхизлучения (из-за появления дополнительной разности потенциалов между горизонтом событий и удаленной точкой, а также изменением скорости увлечения систем отсчета на горизонте заряженной черной дыры),так и коэффициент прохождения через потенциальный барьер.
Во втором параграфе рассматривается квантовое испарение черной дыры во внешнем аксиально-симметричном электромагнитном поле.
Третий параграф посвящен исследованию обусловленной магнитным полем асимметрии рождаемых частиц по знаку электрического заряда и проекции углового момента при развитии бозонной неустойчивости на суперрадиантных квазисвязанных уровнях массивных частиц.
В приложении I построено квазиклассическое приближение для спиновых сфероидальных функций.
В приложении 2 строятся радиальные функции в высокочастотном приближении с помощью преобразования уравнения Тьюкольского (при 5 4-° ) к уравнению с вещественным потенциалом.
В работе принята система единиц c = G=Ti = 1 , сигнатура метрики (+ - — ), за исключением § 5 гл. I.
Неоднородные аксиально-симметричные конфигура ции
С помощью (1.25) нетрудно показать, что значения магнитостатичес-кого потенциала в бесконечно удаленной точке и на горизонте событий равны Совершая калибровочное преобразование 6 - $ = В + о-Е сії (1.27) можно найти, что преобразованный потенциал дает 3 м (-2-)00)=0, ЗМ(І- Ї+) =a (1.28)
Заметим, что как видно из (1.25), пробное электромагнитное поле, которое на бесконечности соответствует однородному электрическому полю, представляет собою суперпозицию монопольного магнитного ПОЛЯ, которое возникает из-за вращения черной дыры в электрическом поле и однородного электрического поля. В результате между различными точками пространства возникает разность магнитостатических потенциалов, даже при отсутствии у черной дыры магнитного заряда, что должно приводить к аккреции монополей черной дырой.
Для стационарных аксиально-симметричных возмущений уравнение Тьюкольского [92-95] приобретает форму tr nL ч ьг Smew w1 (1.29) где ф - скалярное поле j/ Jk « & & Ф0 у« jf Y » л " соответствующие источники ( , ф , v , vL - скаляры Ньюмена-Пенроуза [Ьб] , р s -(x-iaCOSOT Решение уравнения (1.29) можно построить, не прибегая к разложению по сфероидальным функциям. Для этого перейдем к координатам Вейля Построим Функцию Грина этого уравнения Для определенности считаем, что 5 0 . Случай S 0 сводится к нему с помощью легко проверяемого соотношения
Введем двухчастичную функцию, зависящую от параметра Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться в том, что интеграл (1.35) —1 - 23 -удовлетворяет уравнению (1.32) в несовпадающих точках (3,) и (-о,) . Остается проверить, что характер сингулярности выражения (1.35) при совпадении этих точек соответствует правой части (1.32). Пусть у - (Z-2e } W- \ тогда в интеграле особенность в точке j = 0 формируется в области 9С I. Вычисляя этот интеграл с логарифмической точностью, находим
Заметим, что член в (1.32), содержащий первую производную, не имеет особенности при s - о » оставшаяся часть представляет собой оператор Лапласа на плоскости (Ъ, ) . Таким образом при Ч- 0 т.е. мы получаем обычную функцию Грина уравнения Лапласа на плоскости. Тем самым доказано, что выражение (1.35) действительно является функцией Грина уравнения (1.32). Учитывая соотношение (1.33), решение неоднородного уравнения (1.29) получаем в виде & 4 JGu,IcSiaeo() ( і iof jo іво К (1.39) где мы вернулись к интегрированию по радиальной и угловой координатам. Это выражение совпадает с приведенными в [21,22] без вывода формулами для т при положительных и отрицательных S
В работе [22] отмечается, что уравнения Хржацовского [98] , задающие 4-потенциал электромагнитного поля в " Ufl - калибровке" через потенциал Дебая у , неприменимы в стационарном случае.
Мы покажем, что, переходя от \Л1 - калибровки к лоренцевой, можно найти 4-потенциал электромагнитного поля с помощью того жб - 24 -потенциала Дебая Ф в стационарном, аксиально-симметричном случае. С этой целью будем исходить из выражений для комплексного 4-х потенциала электромагнитного поля в \Ж - калибровке [98,99J Mrt" а г лУ Y (1.40) П S J (I.4I) причем Ар = Ап 0 , где t, IX, ITL - тетрады Ныомена-Пенроуза, которые для метрики Керра имеют вид [юо] m Sr-ipYiuSinQjO, ),—) Гш(И \ 1,0, 4), n = ±( -М,а) (1.42) " операторы (Dn, и Хс в общем случае записываются в виде [iOl] символ # означает комплексное сопряжение. Нам нужно найти 4-потенциал аксиально-симметричного, стационарного электромагнитного поля А/ Л%в) » удовлетворяющий условию (I.I), причем отличными от нуля будут лишь временная и азимутальная компоненты ДоХ -1А г( 9),0,0, /\ г (г &) } совпадающие с соответствующими величинами в [/щ -калибровке: Заметим, что )+=2)( - , Ч - -ч ) (I 44) для любой функции (tj0j .В обозначениях Ныомена-Пенроуза градиент такой функции принимает вид Н гг11г)ы Ы+у?ш а. 45) - 25 -Выберем функцию + в виде mi (1.4-6) где OUQ обратный оператор. Потенциал у(Х?в) удовлетворяет уравнению [98] (ад+д0 -) =о (1 47) причем операторы 2 и 2) , коммутируют между собой. Применяя к (1.46) оператор Х0 и воспользовавшись уравнением (1.47), представим у в альтернативной форме С помощью формул (1.46) и (1.48) можно показать, что удовлетворяющий перечисленным выше требованиям 4-х потенциал Д связан с Я»- соотношением Г VZ Г (1.49) А Ij, С- "у AV Действительно, в ІЛ- калибровке иг - - vri (1.50) поэтому из (1.49), с учетом (1.46) и (1.48) в первом и втором слагаемом соответственно получим (I.5I) Непосредственной проверкой можно убедиться , что этот вектор имеет лишь две отличные от нуля компоненты: - 26 /Г , также как и , является комплексным, физический, вещественный потенциал можно выбрать в виде вещественной части (1-51)- иг Подстановка Я в формулы для ф0 , ф1 , ф [98] , приводит, разумеется, к тем же выражениям, что и \лі- калибров 7-1 4 / { орі л -ірх о)! 1 (1.54) Фг«-fx.su Следует рассмотреть особо кулоновское решение го-г?-О » ф, - J /& »соответствующее сообщению заряда (Я М черной дыре. Найдем отвечающий этому решению потенциал Дебая JQ P Заметим, что оператор 5 на множестве функций, зависящих только от X и д , имеет простой вид
Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле в метрике Керра
Рассмотрим движение заряженных частиц в поле вращающейся черной дыры, находящейся во внешнем асимптотически однородном магнитном поле. В случае, если напряженность магнитного поля удовлетворяет условию % Врі у вне черной дыры существует область Bz , в которой пространство-время , с достаточной точностью, описывается метрикой Керра (т.е. (2.1) при Q- = 0), а отличные от нуля компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид (I.I2).
Подставляя значения символов Кристоффеля (2.3) при Q. = О, а также компонент тензора электромагнитного поля (I.I2) в уравнение движения (2.2) с у- - I, для частоты обращения 6)0 в экваториальной плоскости (#= %) » находим соотношение .(1+O U)J)=O (2 25) из которого следует, что (2.26) где 60g= &Q/JIU " циклотронная частота в гравитационном поле, s= M Vy& кеплерова частота, два знака соответствуют прямому и обратному вращениям частицы. При этом возможны "ларморово" ( 60о =60 ) ( сила Лоренца направлена на дыру) и "анти-ларморово" (6)0 =6)л ) (сила Лоренца направлена от дыры) вращения частицы.
Пусть 0)$ QH , т.е. электромагнитная сила преобладает, и предположим, что направление магнитного поля и момента вращения черной дыры совпадают между собою. Тогда из (2.26) получим, что 6), -0),. i± ? (2.27) Я- г Л + аа) (1+а )"1 (2.28)
При выключении гравитационного поля ( М 0 ) антиларморово движение становится невозможным, а ларморово движение переходит в обычное циклотронное вращение в магнитном поле. Покажем, что при значениях радиуса орбиты Z ЗМ возможно вращение в обе стороны, а при Т -ЗІЧ возможно только антиларморово вращение.
Запишем условие нормировки для 4-х скорости с учетом (2.25) + 0J06)g(l+a ) (2.29) Подставляя (2.2?) в это выражение, мы видим, что все члены, пропорциональные &)g , имеют отрицательный знак, следовательно ларморово вращение возможно только при 1 y3V\ . Однако, сопоставляя (2.28) и (2.29), нетрудно видеть, что антиларморово вращение возможно как при 14.31 1 » так и при X ЗМ
Введем безразмерный параметр = в// характеризующий относительное влияние магнитного поля на движение частицы. Заме - 65 -тим , что даже при малых значениях магнитного поля \ /а -±) параметр для частицы с большим отношением заряда к массе (для электрона AL 10 ) может быть большим. При 1 с помощью (2.25) и (2.29) находим первые поправки к частоте обращения и безразмерной энергии 4= "к" зг- j (l72tfco,WK)(i-a )(i-a f f=fo -і. (f+ гт й)іц()(і-аЧх)( ал)к) .й)к. (2-30) 4 (2.31)
Пользуясь этими формулами, по аналогии с предыдущим, можно исследовать области устойчивости круговых траекторий. Однако здесь более подробно рассмотрим противоположный предельный случай »JL . Покажем, что при этом возможно ультрарелятивистское движение по круговым орбитам, удаленным от замкнутой фотонной орбиты. Действительно, подставляя (2.27) в (2.29), после преобразований приходим к соотношению
Подставляя найденную при 0)s Сд частоту обращения для лар-моровых орбит O i (2.27) в выражение (2.37), легко можно заметить, что оно всегда положительно, т.е. ларморово движение частицы устойчиво относительно малых отклонений в направлении в , независимо от радиуса орбиты. Сопоставляя выражения (2.27), (2.28) и (2.36), нетрудно видеть, что границы области радиальной устойчивости смещаются в сторону горизонта событий как для ларморова, так и для антиларморова вращений частицы (случай d = 0 см. 44 ). Численный анализ эффективного потенциала в уравнении Гамильтона-Якоби проведен в [44,4б] .
Таким образом, мы приходим к выводу, что магнитное поле стабилизирует круговые орбиты и делает возможным движение по устойчивым ультрарелятивистским орбитам, удаленным от замкнутой фотонной орбиты.
Если на медленное движение частицы накладывается быстрое вращение вокруг силовых линий магнитного поля, то с помощью мето да усреднения Гі2І-І23І , можно получить уравнение, описывающее дрейф заряженной частицы в электромагнитном и сильном гравитаци онном полях. Пусть магнитное поле ортогонально экваториальной плоскости (6-) метрики Шварцшильда. Переходя к квазидекар товым координатам, в которых [124-]
Электромагнитное излучение
Интересно сопоставить также распределение по І в спектре СИ и ГСИ при заданной частоте 0У ПЪСА0 f определяемой номером гармоники WL . Поскольку эффективная область изменения параметра у простирается от нуля до единицы, то -/"»/ -тя , при Фиксированном гл. вклад в СИ дает большое число мультиполей Ь о в то время как основной вклад в ГСИ дают члены с 1 /л?/ и \, \Щ+І . Это согласуется с выводом работ [l29,I30J ,сделанным на основании численных оценок.
Приближенная формула для сфероидальных гармоник Z? (% 0/ » справедливая при L»1 , JiU »-/ , найдена в работе [49J . В наших обозначениях она приобретает следующий вид
Подставляя (3.24) в (3.21) и переходя, ввиду квазинепрерывности спектра, от суммирования по и W к интегрированию по т и по параметру 4М г } у Г-if (3.25) будем иметь згкД % tou30VS0 f8 26)
Выполнив интегрирование по f с помощью формул, приведенных в [бб] , для спектрального распределения найдем rfj" 32ЯГ V гв У tf-Gj ff. І ІЬ (3.27)
Отсюда нетрудно видеть, что при малых Ч интенсивность излучения растет как Ч , а при больших Ц, - экспоненциально спадает. Спектральная кривая имеет максимум, соответствующий критической гармонике (3.22). Полная интенсивность излучения скалярных волн равна
Отметим, что эта величина в Y раз превосходит интенсивность скалярного ГСИ [49] . При 0L = О эти результаты переходят в полученные в [44] .
Электромагнитное излучение При расчете электромагнитного излучения заряда, движущегося по круговым негеодезическим траекториям в метрике Керра, удобно воспользоваться формализмом Ньюмена-Пенроуза-Тьюкольского [92-96, 131,132] . - 80 -Поток излучения уходящего на бесконечность выражается формулой it±U H r (329) а величина потока излучения падающего на дыру может быть представлена в виде [94, I38J i"1 v 0. „ііл ІЯ ІЇГ- i- fern Фо ft від «Л" г- (з-30)
Разделение переменных в уравнении Тьюкольского для 6=-1 приводит к разложению (П.ІД). Источник в правой части (П.2.1) для рассматриваемого случая кругового движения имеет вид - (і-аа)[т(-і- ш0) + йг -1 ]_Д т( о)] «г-ъ) (3.31) В асимптотической области V»/ ! , Ф Ео-ІЕф »сВо -f- Bu где Ьф ур и D (О - проекции векторов электрического и магнитного полей на орты сферической системы координат. Учитывая, что для расходящихся волн EQ= ВФ , Cu =-6A» нетрудно выделить в выражении (3.29) величины, относящиеся к двум независимым состояниям поляризации электромагнитного излучения. Запаздывающее решение волнового уравнения для ф соответствует следующему решению радиального уравнения (3.32) Асимптотическое поведение.fKR H.fn. определяется формулами (П.2.15), (П.2.16).
В случае нерелятивистского движения, можно снова воспользоваться квазистатическими решениями однородного радиального уравне гв»М -ния. При этом для потока излучения, падающего на черную дыру, получим при (3.33) pHcie o/[MV(4- )] Поток излучения на бесконечности в этом приближении определяется формулой х 2 W0 Х0 , как и в случае плоского пространства-времени.
В случае движения с ультрарелятивистской скоростью для решения уравнения (П.2.1) сиJ = 0 можно воспользоваться методом ВКБ. Но при 6 - - I потенциал ..Jv является комплексным, что затрудняет сшивание квазиклассических решений. Однако, с помощью формализма, предложенного в работах [133,134] , можно обойти эту трудность, преобразовав уравнение к виду с вещественным потенциалом, после чего построение искомой радиальной функций проводится по аналогии со скалярным случаем (см. П.2). го излучения получим 6, т о и
Используя формулы (П.2.19), (П.2.20) для двух независимых состояний поляризации уходящего на бесконечность электромагнитно z:(MX(w v% (3.34) noui -, g ez Slt u 4%) С 3 Г Ш(ЗД ft-mio л (з-[?+а1)-1 I t,m o de (3.35) и используя асимптотическое представление
Переходя от суммирования по С и ль к интегрированию по и Ц. , юльзуя асимптотическое представление
Попытки прямого обобщения известных формул [56J , описывающих спектральное распределение излучения заряженных частиц в плоском пространстве-времени на случай искривленного пространства-времени наталкиваются на ряд трудностей. Прежде всего, спектральное распределение в пространстве-времени Минковского обычно находится с помощью разложения по плоским волнам, что вообще говоря, невыполнимо в искривленном пространстве-времени. Другая трудность связана с тем, что излучение частиц в искривленном пространстве-времени не описывается в терминах лишь локальных геометрических величин (например, нелокален,так называемый, "хвостовой член" Двг-Витта Бреме [l36J ). Тем не менее, с некоторыми физически приемлемыми оговорками, спектральное распределение излучения ультрарелятивистских частиц, движущихся в медленно меняющихся электромагнитном и гравитационном полях, в существенной части спектра может быть выражено через локальные переменные.
Предположим, что излучение с длиной волны У\ формируется на участке.траектории йі /і (для высокочастотной части спектра СИ surr /f2- .=И1[ЬслидЕг 1 , где L - масштаб неоднородности гравитационного поля, то волновая зона начинается на расстояниях, значительно меньших L . Тогда в свободно падающей системе отсчета СИ будет описываться формулами теории в плоском пространстве-времени, и можно естественным образом ввести волновой вектор по отношению к этой системе отсчета. Следует,однако, - 84 -отметить, что если в плоском пространстве-времени стандартная формула для спектра синхротронного излучения корректно перекрывает весь диапазон частот, то в случае искривленного пространства-времени низкочастотная часть спектра существенно зависит от глобальной структуры гравитационного поля. Хотя уравнения Максвелла и имеют в свободно-падающей системе отсчета локально-лоренцев вид, физическое запаздывающее решение этих уравнений должно быть согласовано с глобальной структурой пространства-времени, в частности с его топологией.
Для расчета излучения ультрарелятивистской заряженной частицы, движущейся вдоль мировой линии X (S) в электромагнитном поле Ru.v в пространстве-времени с метрикой Quj , перейдем в окрестности мгновенного положения частицы в свободно-падающую систему отсчета. Б качестве системы координат выберем нормально-римановы координаты.
Квазистационарные состояния массивных частиц. (бозонная неустойчивость)
Известно, что если на нерелятивистский заряженный гармони ческий осциллятор действует внешняя электромагнитная волна со слу чайными фазами, то в результате взаимодействия происходит погло щение энергии волны [I4-3J . Пусть гармонический осциллятор часто ты 0)о в некоторый момент времени подвергается действию внешней силы $(±) .. , (3.69, Очевидно, что решение этого уравнения с начальными условиями X(0)-X(o)zO имеет следующий вид Я( )« ftCjsiauUtWJdt (3-70) Считая, что внешняя сила является периодической, т.е. где О - произвольная юаза, предполагаемая случайной, вычислим работу, совершаемую внешней силой над осциллятором в единицу времени, усредняя по фазе внешней силы величину Выполнив интегрирование по , получим следующую форму лу для мощности поглощения Fo г sin (Wo+coj 0.(6)-0)0 " + р« (3.75) СОо+0) - 0
Мы видим, что эта величина является осциллирующей, и ее среднее значение равняется нулю, за исключением резонансного случая (сО-СОо) , когда она линейно нарастает со временем. При резонансе необходимо учесть диссипативные процессы, для чего в левую часть уравнения (3.69) следует добавить величину V«X . Альтернативный способ состоит в усреднении (3.75) по следующей формуле оо .і І (3.76) где у - эффективная частота соударений. Принимая во внимание лишь второй резонансный член в (3.75), получим « Z (0)-6)в)г + (3#77)
Очевидно, что эта величина, принимающая максимальное значение при Сд-Шо , всегда положительна (поглощение).
Существуют различные способы, позволяющие получить отрицательное поглощение волн. Одним из них является использование нелиней-ностей, что лежит в основе принципа действия мазеров на циклотронном резонансе [57, 61,62J . Отрицательное поглощение для электронов, движущихся в однородном магнитном поле, возникает благодаря релятивистской зависимости циклотронной частоты от энергии:
Если заряженная частица в результате взаимодействия с волной увеличивает свою энергию, то (л)% уменьшается, и наоборот, если она теряет энергию, то ее ларморово вращение становится более быстрым. Поэтому первоначально однородно распределенные по ларморовой окружности частицы со временем начинают группироваться, образуя сгусток. Если частота волны С») меньше частоты вращения частицы (3.78), то сгусток электронов будет ускоряться, а в противоположном случае (А WQ сгусток будет замедляться, передавая свою энергию полю [62J . Подобное явление может иметь место в астрофизических условиях, на что впервые указал Твисс [іЩ . Другой способ получения отрицательного поглощения, на примере мультпериодических линейных систем, был предложен в [бб] . Для иллюстрации рассмотрим грамонический осциллятор, центр которого движется по окружности в плоскости і = 0,и колебания совершаются вдоль оси Ъ . Считая, что колеблющаяся частица обладает электрическим зарядом 6 , рассмотрим ее вынужденные колебания в поле падающей электромагнитной волны, описываемом тензором $м . Поскольку невозмущенное движение чисто круговое, уравнение колебаний приобретает форму bal =f, =е( % + л. 8,) {д 79)
Нетрудно показать, что в этом случае мощность вплоть до членов второго порядка малости определяется формулой 4 Z Z/ (3.80) где учтена зависимость Тцу от координат Используя уравнение Максвелла - 94 7 В if Э (3.81) и опуская в (3.80) полную производную по времени, вклад которой исчезает при усреднении, для средней мощности поглощения находим dt (3.82)
Зададим зависимость силы от азимутального угла If в плоскости вращения (3.83) причем на невозмущенной траектории 4 = 0 . Повторяя вычисления, которые привели нас к формуле (3.77), получим (3.84) где І2"= Л0± СОо резонансные частоты.
Пусть 60ОІС-&(} , тогда Si У 0 .Мы видим, что величина (3.84) на частоте І1" отрицательна, т.е. имеет место отрицательное поглощение, в то время как на частоте S1 происходит положительное поглощение. Подчеркнем, что SIQ- O , Л+- а)0 » а второе слагаемое в (3.84) перестает быть резонансным, и мы возращаемся к формуле (3.77).
