Содержание к диссертации
Введение
1 Эволюция гипермагнитной спиральности в ранней Вселенной: лептогенезис и гипермагнитная диффузия 17
1.1 Введение 17
1.2 Гипермагнитная спиральность перед ЭФП 22
1.2.1 Эволюция асимметрий лептонов 27
1.3 Эволюция спиральности и асимметрии лептонов в монохроматическом гипермагнитном поле 29
1.3.1 Режим насыщения монохроматического спектра плотности спиральности 30
1.3.2 Решение кинетических уравнений для монохроматического спектра(1.14)
1.4 Непрерывный спектр плотности спиральности 40
1.5 Обсуждение 44
1.6 Полная система эволюционных уравнений для произвольной
спиральности 47
2 Лептогенезис в симметричной фазе ранней Вселенной: барионная асимметрия и эволюция гипермагнитной спиральности 48
2.1 Введение 49
2.2 Лептогенезис в гипермагнитных полях 53
2.2.1 Лептонная асимметрия: основные уравнения и начальные условия 56
2.3 Законы сохранения и БАВ в гипермагнитных полях 58
2.3.1 Эволюция БАВ для непрерывного спектра плотности спиральности 60
2.4 Обсуждение
Произвольная гипермагнитная спиральность и лептогенезис в ранней Вселенной . 68
3.1 Предварительные замечания 68
3.2 Произвольная спиральность гипермагнитного поля перед ЭФП
3.2.1 Стремление спиральности к максимальной для маломасштабных гипермагнитных полей 74
3.2.2 Начальные условия 77
3.3 Уравнения лептогенезиса 78
3.4 Эволюция спиральности гипермагнитного поля в случае кол-могоровского спектра 81
3.5 Эволюция БАВ для колмогоровского спектра плотности энергии гипермагнитного поля 84
3.6 Обсуждение 86
Заключение 90
- Эволюция спиральности и асимметрии лептонов в монохроматическом гипермагнитном поле
- Непрерывный спектр плотности спиральности
- Законы сохранения и БАВ в гипермагнитных полях
- Стремление спиральности к максимальной для маломасштабных гипермагнитных полей
Эволюция спиральности и асимметрии лептонов в монохроматическом гипермагнитном поле
Для Вселенной в симметричной фазе до ЭФП мы можем опустить в последней строке (1.3) поверхностный интеграл (...), так как гиперзарядовое поле исчезает на бесконечности. Тем не менее, такой поверхностный интеграл может быть важен на границах разных фаз во время ЭФП, TEW. В работе [58] авторы изучали, как поток гипермагнитной спиральности проникает через границу раздела симметричной и нарушенной фаз, и как плотность гипермагнитной спиральности hy = ByY становится плотностью спиральности максвелловского магнитного поля h = ВА в момент ЭФП.
Заметим, что эволюционное уравнение (1.3) очень похоже на уравнение (7) в [60], выведенное в рамках СМ для времен после ЭФП, Т С TEW. Авторы использовали фермиевское точечно-подобное (близкодействующее) взаимодействие нейтрино с плазмой посредством тяжелых W, Z-бозонов, вместо дальнодействующего взаимодействия через безмассовое гиперзарядовое поле Y много раньше ЭФП при температурах TEW, Т TEW. Таким образом, различие уравнений заключается в значениях коэффициентов ту, т]у and a, ay в [60, 61] и в [20, 19]. Удобно перейти от физических переменных к конформным через конформное время г] = Мо/Т, MQ = Мрі/1.66л/д , где Мрі = 1.2 х 1019 GeV масса Планка, д = 106.75 - эффективное число релятивистских степеней свободы. В метрике Фридмана-Робертсона-Уокера ds2 = a2(rj)(dr]2 — ix2) используется обозначение а = Т-1, причем 2о = 1 в настоящий момент Tnow, df] = dt/a(t); кроме того, мы вводим следующие обозначения: к = ка = const конформный импульс (определяемый красным смещением из физического импульса, к Т = Tnow(l + z)); а{т]) = а11а = Ца/Т безразмерная асимметрия фермионов, меняющаяся во времени; By = а2Ву, Y = dY конформные безразмерные аналоги гипермагнитного поля и потенциала, соответственно.
Теперь перепишем (1.3) в конформных координатах х = х/а для компонент Фурье плотность спиральности 2, hy(rj) = f(Y By)d3x/V = f dkhy(k,rj), и плотность гипермагнитной энергии pByiji) = Ву(і])/2 = J dkpBY (k,r}) определяемых через их спектры: к п гьу(к,т)) =Y(к,ті) хіуік,т]), 2ir2V ко рву(к,г)) = В (&,??) By (к, г)) . (1.4) 4:71 V Это позволяет вычислить интегралы J d x(...)/V в (1.3) и получить dhy(k,rj) 2k2hy(k,rj) 2а [ед(?7) + Сеь(і])/2}к = h hy(k,r}), (1.5) 2d [ед(?7) + еь(г])/2]к K(JC dfj 7С 7Г(7С где а = д /4-7Г определяется через константу связи д = e/cosw в СМ, с"с = Vcondd = Vcond/T 100 - безразмерная проводимость плазмы; еп{т]) = Рев{Т)/Т и еь{т]) = еь{Т)/Т - асимметрии правых и левых электронов соответственно. Заметим, что в (1.5) мы подставляем плотность гипермагнитной энергии pBY(t) = BY(t)/2 для полностью спирального гипермагнитного поля, когда рву{к,г)) = khy(k,rj)/2 из (1.4). Такой выбор сильно упрощает (1.5) и обеспечивает эффективный обратный каскад для турбулентных максвелловских полей, возникающих после ЭФП из гиперзарядовых полей, рассматриваемых здесь. В качестве примера одного из таких полей (которое мы не будем здесь
Заметим, что экспоненты егкх = егкх совпадают в преобразовании Фурье для обычных и конформных переменных. 3В обычных размерных переменных hy(r)) и hy(k,r)) измеряются в 02ст или MAL = М3 = Ь 3что дает объем V в (1.4)с учетом соотношения ку(к,г)) = a3hy(k,r]). подробно рассматривать) можно привести удовлетворяющую калибровке V Y = 0, Уо = 0 волну Черн-Саймонса Y = Y (t)(sin ко z cos ко z O) для которой гипермагнитное поле By = V х Y = koY имеет нетривиальную топологию с максимальной спиральностью. В самом деле, плотность спиральности в такой волне hy = YBy = koY2(t) связана с плотностью энергии рву = By/2 = k,QY2(t)/2 в точности соотношением 2kohy = рву. Решение уравнения (1.5) берем в виде (ср. уравнение (8) в [45]): О 7 77 ґ ( \ 2к а , seLw ) г/ — — ,eRyl) Н Щ — куц — г]о) а с7Г L 2 (1.6) Спектр безразмерной плотности спиральности hy(kjTj) — (1 hy(kjTj) можно переписать в виде 7 /7 hy(k,rj) г(0)/Г Г л/ \7 7-і/ \72І пу{к}г]) = = /Цл (к, #7о) ехр \А{г])к — В(г])к , (1.7) где начальный спектр hY (к,г]о) = Ііу(к,г]о)/Т$ соответствует в нашем сценарии моменту, когда асимметрия левых частиц равна нулю в начальный момент То = TRL, и мы используем обозначения из (1.6)
Пренебрегая квантовыми эффектами, возникающими из-за абелевых аномалий (т.е. для случая а = 0) и в отсутствие диффузии гипермагнитного поля (когда динамо перестает работать в пределе идеальной плазмы тс — оо) мы получим из (1.7) привычный закон сохранения плотности спиральности dhy/drj = О, hy = const, помня, что hy{vj) = (rjo/rj hy o). Теперь мы используем (1.7) для получения самосогласованной системы уравнений для левых и правых асимметрий
Для простоты ма рассмотрим только обратный распад бозона Хиггса, т.е. будем считать, что асимметрия хиггсовских бозонов отсутствует /ІО = 0. (Случай /ІО ф 0 рассмотрен в работе [48], но только для монохроматического спектра с максимальной спиральностью.) Система кинетических уравнений для лептонов с учетом Абелевских аномалий для правых и левых (вместе с нейтрино) электронов, обратного распада Хиггса и сфалеронных переходов, имеет вид:
Непрерывный спектр плотности спиральности
Мы рассмотрели лептогенезис и соответствующий бариогенезис в присутствии гипермагнитных полей до момента ЭФП, Т TEW — 100 ГэВ , когда абелева аномалия для ед и левого дублета L = (ь/Єьєь)Т обеспечивают эволюцию их асимметрий. Учтены хиггсовский обратный распад и сфалеронные переходы в широкой области температур TRE Т TEW, TRE О± 10 ТэВ. Сомнения в том, возможно ли обеспечить наблюдаемую барионную асимметрию Вселенной в симметричной фазе, временно "запасая"БАВ в асимметрии ед развеяны в случае сильных гипермагнитных полей. Вымывание БАВ из-за сфалеронных переходов вследствие вовлечения левых частиц при Т TRE через обратный распад Хиггса не критично в широком диапазоне значений гипермагнитного поля. Сильное затравочное гипермагнитное поле By гарантирует нужный рост БАВ. x -0.5
Отрицательная барионная асимметрия для непрерывного начального спектра плотности спиральности Ну( 0-,к) = Скп, n s = 3. Линия БАВ отвечает ктах = 10-9, где правая асимметрия eR(v) стартует с большого начального значения ед(?70) = Ю-4. Начальная левая асимметрия равна нулю ,еь{щ) = 0.
Рост БАВ возможен только при растущей правой электронной асимметрии, d,eR(ji)/dr) 0, стартующей с малого начального значения ед(т70) = 10-10 (см. левую панель рис.2.2). Однако, даже для положительных d,eR{j])I dr\ 0 такой рост возможен не для всех масштабов гипермагнитного поля Л = к-1 в области волновых чисел, 0 к ктах. Чем меньше ктаХ, тем меньше оказывается рост БАВ за счет уменьшения плотности спиральности hy — YB kY2, как источника лептогенезиса через абелеву аномалию. В результате, для малых значений ктах рост БАВ прекращается, и вместо него мы видим уменьшение БАВ вплоть до отрицательных величин В 0. Отметим, что аналогичная зависимость была обнаружена для монохроматической Черн-Саймоновской волны (см. правую панель рис. 1 в работе [48]). В данной главе на правой панели рис.2.1 показано падение БАВ, которая становится отрицательной, В 0, почти сразу для малых тах = 10-13.
С другой стороны, большие начальные значения лептонной асимметрии (ей(?70) = 10-4) не позволяют получить положительную БАВ, В 0. Действительно, несмотря на одинаковый уровень насыщения для ед для обоих начальных условий, малых ед(?70) = 10-10 и больших ед(?70) = 10-4 (см. панели на рис. 2.2), отрицательный знак производной d ед/d?7 0 во втором случае, (см. также уравнение(2.9)), приводит к отрицательным значениям БАВ, В 0. Этот случай показан на рис.2.3 для большого значения начальной асимметрии ед(т70) = 10-4 и интервала волновых чисел 0 к ктах = 10-9, для которого, наоборот, наблюдался рост БАВ в случае малой начальной асимметрии ед(т70) = 10-10 (для сравнения - левая панель рис.2.1).
Подчеркнем разницу между монохроматическим и более реалистичным непрерывным спектром плотности спиральности в их влиянии на рост БАВ. Случай монохроматического и непрерывного спектра плотности магнитной спиральности рассмотрен в первой главе без расчета соответствующей БАВ. Тем не менее, такая эволюция БАВ показана на рис.1 в работе [48], где рассмотрена Черн-Саймоновская волна гиперзарядового поля Y с некоторыми фиксированными волновыми числами ко . Заметим, что Черн-Саймоновская волна имеет максимальную плотность спиральности (см. комментарии выше к уравнению (2.2)) что делает сравнение со случаем непрерывного спектра разумным. На рис.1 в работе [48] сплошная линия достигает В0ь3 — 10-10 для — 10 10, с использованием параметра Во = 2.1 х 10 2 в уравнении (3.8). В то время как в настоящей работе случай тах = 10 10 приводит к небольшой БАВ, В С 0&s, и только большая величина ах 10 8 -т- 10 9 позволяет получить В = В0ъа = 10 10 (см. левую панель рис. 1). Такая контрастная разница объясняется учетом обратного каскада, который уменьшает волновые числа к kmax, к — 0, и сами крупномасштабные ГМП By kY, которые имеют все меньшие и меньшие амплитуды в последовательных шагах обратного каскада, а также тем, что плотность спиральности hy YBy r j kY2 падает, переставая поддерживать рост лептонного числа и рост БАВ.
Можно заключить, что наблюдаемая барионная асимметрия В0ъа 10 10 может быть обеспечена путем лептогенезиса в сильном гипермагнитном поле для широкой области масштабов ГМП = к 1, заданных волновыми числами 0 к ктах в непрерывном спектре. Для малой начальной лептонной асимметрии GR(VO) = 10-10 значение В0ь3 10 10 можно получить асимптотически для спектра, ограниченного интервалом
Законы сохранения и БАВ в гипермагнитных полях
Отрицательная барионная асимметрия для непрерывного начального спектра плотности спиральности Ну( 0-,к) = Скп, n s = 3. Линия БАВ отвечает ктах = 10-9, где правая асимметрия eR(v) стартует с большого начального значения ед(?70) = Ю-4. Начальная левая асимметрия равна нулю ,еь{щ) = 0.
Рост БАВ возможен только при растущей правой электронной асимметрии, d,eR(ji)/dr) 0, стартующей с малого начального значения ед(т70) = 10-10 (см. левую панель рис.2.2). Однако, даже для положительных d,eR{j])I dr\ 0 такой рост возможен не для всех масштабов гипермагнитного поля Л = к-1 в области волновых чисел, 0 к ктах. Чем меньше ктаХ, тем меньше оказывается рост БАВ за счет уменьшения плотности спиральности hy — YB kY2, как источника лептогенезиса через абелеву аномалию. В результате, для малых значений ктах рост БАВ прекращается, и вместо него мы видим уменьшение БАВ вплоть до отрицательных величин В 0. Отметим, что аналогичная зависимость была обнаружена для монохроматической Черн-Саймоновской волны (см. правую панель рис. 1 в работе [48]). В данной главе на правой панели рис.2.1 показано падение БАВ, которая становится отрицательной, В 0, почти сразу для малых тах = 10-13.
С другой стороны, большие начальные значения лептонной асимметрии (ей(?70) = 10-4) не позволяют получить положительную БАВ, В 0. Действительно, несмотря на одинаковый уровень насыщения для ед для обоих начальных условий, малых ед(?70) = 10-10 и больших ед(?70) = 10-4 (см. панели на рис. 2.2), отрицательный знак производной d ед/d?7 0 во втором случае, (см. также уравнение(2.9)), приводит к отрицательным значениям БАВ, В 0. Этот случай показан на рис.2.3 для большого значения начальной асимметрии ед(т70) = 10-4 и интервала волновых чисел 0 к ктах = 10-9, для которого, наоборот, наблюдался рост БАВ в случае малой начальной асимметрии ед(т70) = 10-10 (для сравнения - левая панель рис.2.1).
Подчеркнем разницу между монохроматическим и более реалистичным непрерывным спектром плотности спиральности в их влиянии на рост БАВ. Случай монохроматического и непрерывного спектра плотности магнитной спиральности рассмотрен в первой главе без расчета соответствующей БАВ. Тем не менее, такая эволюция БАВ показана на рис.1 в работе [48], где рассмотрена Черн-Саймоновская волна гиперзарядового поля Y с некоторыми фиксированными волновыми числами ко . Заметим, что Черн-Саймоновская волна имеет максимальную плотность спиральности (см. комментарии выше к уравнению (2.2)) что делает сравнение со случаем непрерывного спектра разумным. На рис.1 в работе [48] сплошная линия достигает В0ь3 — 10-10 для — 10 10, с использованием параметра Во = 2.1 х 10 2 в уравнении (3.8). В то время как в настоящей работе случай тах = 10 10 приводит к небольшой БАВ, В С 0&s, и только большая величина ах 10 8 -т- 10 9 позволяет получить В = В0ъа = 10 10 (см. левую панель рис. 1). Такая контрастная разница объясняется учетом обратного каскада, который уменьшает волновые числа к kmax, к — 0, и сами крупномасштабные ГМП By kY, которые имеют все меньшие и меньшие амплитуды в последовательных шагах обратного каскада, а также тем, что плотность спиральности hy YBy r j kY2 падает, переставая поддерживать рост лептонного числа и рост БАВ.
Можно заключить, что наблюдаемая барионная асимметрия В0ъа 10 10 может быть обеспечена путем лептогенезиса в сильном гипермагнитном поле для широкой области масштабов ГМП = к 1, заданных волновыми числами 0 к ктах в непрерывном спектре. Для малой начальной лептонной асимметрии GR(VO) = 10-10 значение В0ь3 10 10 можно получить асимптотически для спектра, ограниченного интервалом kmax 10-8 -г- 10-9. Для той же начальной асимметрии более узкий обратный каскад в области волновых чисел 0 max 10-10 приводит к меньшему БАВ, В С Вobs (см. на левой панели рис.2.1). Это происходит из-за пониженной плотности спиральности в качестве источника БАВ при интегрировании в более узком интервале непрерывного спектра.
Стремление спиральности к максимальной для маломасштабных гипермагнитных полей
Эволюция БАВ в зависимости от начальной плотности энергии гипермагнитного поля. спиральности (3.3) в уравнении Фарадея (3.2), которое, в свою очередь, управляет эволюцией гипермагнитного поля. Рассмотрена эволюция плотности спиральности гипермагнитного поля hy(t) = V l J ftx(Y By) и его плотности энергии рву(і) = V l / 3ж(Ву)/2. В предположении изотропности спектра в представлении Фурье в конформных (безразмерных) переменных hy(T)) = Jdkh(k,r}), рвуіл) = IdkpBY(k}r]), из соответствующих кинетических уравнений (3.12, 3.13) аналитически найдена связь между спектром спиральности гипермагнитного поля h(k,rj) и лептонной асимметрией S = ед + еь/2 описываемой уравнением (3.7). В модели рассмотрен лептогенезис асимметрий ед, е, описываемых уравнениями (1.10, 1.11) где учтено влияние обратных хиггсовских распадов и слабые сфалеронные взаимодействия с левыми лептонами. Подчеркнем определяющую роль спиральности гипермагнитного поля для эффективного лептогенезиса и ее связь с генерацией БАВ. В нашей упрощенной модели мы учитываем для слабых сфалеронов только переходы вакуум-вакуум в SU(2)L и производимые реакции между наиболее слабо взаимодействующими левыми электронами и нейтрино, причем вероятность таких переходов равна Tsph 25о Т . Здесь мы проверили, что в случае колмогоровского спектра плотности энергии асимметрия левых лептонов не успевает вырасти до момента ЭФП T]EW чтобы значительно уменьшить БАВ через сфалеронные процессы - е остается много меньше чем асимметрия правых электронов е С ед, см. неравенство (2.3.1). Преимуществом нашей модели является ее простота по сравнению с более расширенными подходами в некоторых новых работах по данной теме [36, 37, 77]. В целом, во всех этих работах сделан вывод, о том, что чем более спирально гипермагнитное поле, тем быстрее идут в нем процессы лепто- и бариогенезиса, что мы и продемонстрировали здесь методами магнитной гидродинамики для колмогоровского спектра. В появившейся только что работе [78] рассмотрены модифицированные МГД-уравнения для симметричной и нарушенной фаз вблизи момента ЭФП. В симметричной фазе эволюция энергии гипермагнитного поля (р]Г) и его спиральности (h%) зависят только лишь от асимметрии правых электронов/хед - такой подход ранее был использован в работе [20] и основан на пяти глобальных зарядах (и соответствующих потенциалах), сохраняющихся в СМ. Учет в нашей модели асимметрии левых электронов (и нейтрино) /ie вызван необходимостью проверки равновесия хиггсовских распадов при температурах ниже То = 10 TeV когда скорость изменения киральности Гд Н, и здесь удалось подтвердить идею авторов [23] о том, что сфалеронные процессы не смогут "вымыть"БАВ и /іед играет главную роль в данном сценарии. Заключение
В работе изучена генерация барионной асимметрии в гипермагнитном поле с произвольной спиральностью вплоть до момента ЭФП. Сам сценарий впервые предложен М.Е.Шапошниковым и с тех пор исследовалсся в большом количестве работ (но всюду - в относительно простых случаях - с монохроматическим спектром и максимальной начальной спиральностью). В настоящей работе предложены существенные расширения исходного сценария: впервые рассмотрен сплошной спектр начальной плотности энергии гипермагнитного поля, учтена асимметрия левых лептонов, изучено гиперзарядовое поле с произвольной начальной спиральностью. В рамках Стандартной Модели физики частиц выводятся нелинейные дифференциальные уравнения, которые исследуются численно. Вместе с тем, получены некоторые аналитические результаты - показано стремление спиральности к максимальной для больших волновых чисел, численно подтверждена независимость эволюции асимметрии правых частиц от начальных условий. Изучено поведение плазмы ранней Вселенной для большого числа наборов свободных параметров: начальной спиральности гиперполя, начального спектра плотности энергии, диапазонов изменения волновых чисел и начальных значений асимметрии правых лептонов. Для всех рассмотренных видов спектров - монохроматического и сплошного рву = , (где ns принимает различные значения) установлено, что к моменту ЭФП возможна генерация БАВ, совпадающей с наблюдаемым значением В = 10-10, при выполнении условия "достаточной малости"начальной асимметрии правых лептонов ек(щ). Для монохроматического и колмогоровского спектров продемострирована прямая связь между начальной спиральностью гиперзарядового поля и генерацией барионной асимметрии: чем больше начальная спиральность поля, тем выше оказывается значение БАВ. Кроме того, показано, что слишком большие начальные значения асимметрии правых электронов приводят к генерации отрицательной БАВ, это является важным ограничением на один из главных свободных параметров модели. Наконец, продемонстрирована к моменту ЭФП генерация затравочного магнитного космологического поля, обладающего ненулевой начальной спиральностью.